Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Transkript

1 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn i 6 ueminutter, der hert ueminutt igjen kn deles inn i 6 uesekunder. I mtemtikken ruker i sjelden denne inndelingen i ueminutter og uesekunder. Når det er nødendig å dele opp en grd, ruker i heller nlige desimltll. R I mtemtikk er det ofte hensiktsmessig å ruke et nnet inkelmål, nemlig rdiner. Når i måler en inkel i rdiner, tenker i oss t i slår en sirkel med sentrum i inkelens topp-punkt. D er inkelens rdintll lik forholdet mellom lengden den sirkeluen som inkelen skjærer og lengden R rdien, slik figuren til enstre iser: = R Omregning mellom grder og rdiner skjer etter formelen nedenfor: Når g er grdtllet til en inkel, mens er inkelen målt i rdiner, er g = 8 Formelen følger t forholdet mellom inkelens grdtll og 6 er lik forholdet mellom uelengden og sirkelens omkrets: g 6 = g R 8 = R =. Noen smmenhenger mellom grder og rdiner for en inkel er så nlige t i ør kjenne dem. Tellen nedenfor iser noen slike smmenhenger. Fyll sel ut de rutene som mngler! Dersom du får prolemer, kn du løse oppge. først. Grder Rdiner Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

2 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. ske definisjoner for en rettinklet treknt. I utgngspunktet er de trigonometriske grunn-funksjonene sinus, osinus og tngens definert i forhold til en rettinklet treknt på denne måten: Sinus til en inkel er forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen. Cosinus til en inkel er forholdet mellom hosliggende ktet og hypotenusen. Tngens til en inkel er forholdet mellom motstående ktet og hosliggende ktet. Dette er illustrert i figuren nedenfor: A B C L C ære den rette inkelen i den rettinklede treknten ABC. L, og ære motstående sider til inklene A, B og C. D er: Sinus til A er sin A =. Cosinus til A er os A =. Tngens til A er tn A =. I prksis ruker i gjerne klkultor til å finne sinus, osinus og tngens til en kjent inkel. Vi ruker også klkultor til å finne inkelen når sinus, osinus eller tngens er kjent. D ruker i de inerse trigonometriske funksjonene som i skl se nærmere på senere. Eksempel : I den rettinklede treknten ABC oenfor et i t: ) Siden =.69 m og inkel A =.. Finn de ndre sidene. ) Siden =. m og inkel A = 6.9. Finn de ndre sidene. Løsning: ) sin A= = sin A=.69 m sin. =.69 m.6959 =.8m. os A= = os A=.69 m os. =.69 m.78 =.5 m..m.m ) sin A =.7 m = sin A = sin 6.9 =.6 =..m.m tn A =.65m = tn A = tn 6.9 =.758 =. Oppge. Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

3 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter. B Fr figuren til enstre får i t: A C sin A tn A = os A sin A+ os A= Den første smmenhengen ser i slik: sin A = = = tn A. os A Den siste smmenhengen følger Pytgors elkjente setning: + = ( sin A) ( os A) + = + =. Dessuten enytter i den nlige skriemåten sin A istedenfor ( sin A ), og tilsrende for osinus. Eksempel : 5 ) Du et t sin A =. Finn os A og tn A uten å finne inkelen A først. ) Du et t tn A =. Finn sin A og os A uten å finne inkelen A først. Løsning: 5 ) Når sin A =, lir os A= sin A= = = os A= =. D lir sin A 5 tn A = = =. os A 5 ( ) = A Dette gir os A = =, B = 5 C Dette kn i også finne ed hjelp den rettinklede treknten til enstre. Når 5 sin A =, elger i måleenhetene slik t = 5 og =. Dermed lir 5 sin A = =. D lir = = 5 = 69 5 = = Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

4 5 tn A = =. Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter. ) Oppgen løses enklest med utgngspunkt i en rettinklet treknt smme type som i del ). Når tn A =, elger i måleenhetene slik t = og =. Dermed lir tn A = =. D lir Dette gir sin A = =, 5 = + = + = = 5 = 5. os A = =. 5 Oppge.. Noen spesielle inkler. Sel om i i dg hr klkultorer som gir ut erdier for sinus, osinus og tngens, er det ofte nyttig å kjenne ekskte erdier for noen spesielle inkler som forekommer ofte. Vi skl nå se hordn i kn finne frm til noen slike erdier., Vi strter med inkler på og 6. Vi tr d utgngspunkt i en rettinklet treknt med inkler på og 6. Den frmkommer ed t det trekkes en rett linje fr et hjørne til motstående side i en likesidet treknt med sidelengde slik figuren til enstre iser. D får i t: sin = =. Deretter finner i os slik: sin + os = + os = ( ) os = = os = = Til slutt lir: sin tn = = = = os. Nå er det lett å finne sinus, osinus og tngens til 6. Vi kn enten ruke smme figur og smme frmgngsmåte som oenfor, eller i kn enytte t: ( ) ( ) sin 6 = os 9 6 = os =. ( ) ( ) os 6 = sin 9 6 = sin = sin 6 tn 6 = = = os6.. Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

5 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter. 5, Så tr i for oss en inkel på 5 på grunnlg figuren til enstre. Ved hjelp Pytgors setning finner i t den lengste siden lir + = =, slik t sin 5 = os 5 = = =. D lir tn 5 = =. Jeg il nefle t du nå smler resulttene i tellen nedenfor. Der ør du også føre inn inklene i rdiner i tillegg til i grder. Vinkel i grder Vinkel i rdiner Sinus Cosinus Tngens Generelle definisjoner de trigonometriske funksjonene. Hittil hr i holdt oss til rettinklede treknter. D er det kun mulig å definere sinus, osinus og tngens for inkler mellom og 9. Vi trenger imidlertid definisjoner som gjelder for inkler utenfor dette området. Dette ordner i slik: Slå en sirkel med sentrum i origo og rdius R = i et nlig (krtesisk) koordintsystem. En slik sirkel klles en enhetssirkel. Trekk ei rett linje fr sirkelens sentrum slik t linj dnner en inkel med x-ksen. Linj skjærer sirkelen i et punkt P med koordinter ( xy., ) Se figuren nedenfor. Legg merke til t inkelen ikke trenger å ligge mellom figuren. og 9, sel om den gjør det på Nå kn i definere sinus, osinus og tngens slik: Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

6 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter. y R = x P ( xy, ) = ( os,sin ) y y sin = = y. R x os = = x. R y tn =. x På denne måten kn sinus, osinus og tngens til en inkel defineres ut fr koordintene til et punkt på enhetssirkelen. Sinus, osinus og tngens er egentlig funksjoner der er den fri rile mens sinus-, osinusog tngens-erdiene er funksjonserdier. Vi urde derfor skreet -en i prentes slik: sin( ), os( ) og tn ( ). Når i tster inn på klkultorer, må i som regel enytte denne funksjons-skriemåten. I nlig skrift er det imidlertid litt nlig å sløyfe prentesene når dette kn gjøres uten t det oppstår misforståelser. Nå som sinus, osinus og tngens er litt funksjoner, kn i også tegne funksjonsgrfer. Grfen for sin lir y-erdiene til punktet P på figuren, mens grfen for os lir x-erdiene til P. For inkler mellom og (eller og 6 ) lir grfene for sinus og osinus slik:. ( ) sin ( ) os Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

7 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter. I en enhetssirkel kn i godt h negtie inkler. Vi kn også h inkler som er større enn. Generelt hr i t: sin( ± n ) = sin, os( ± n ) = os, n =,,, Vi sier t sinus- og osinus-funksjonene er periodiske med periode. Dette medfører t du kn tegne sinus- og osinus-grfer for lle mulige inkler ed å kopiere sinus- eller osinusgrfene oenfor og forskye dem en strekning n i egge retninger. På grunnlg sinus- og osinus-erdiene kn i nå eregne tngens-erdier. Grfen til tngens-funksjonen er ist nedenfor. Legg merke til t tngens-funksjonen ikke er definert når = og når =. Dette skyldes t neneren ( os ) i uttrykket sin tn = os er lik null når = og når =.. ( ) tn A grfen merker i oss t mens sinus- og osinus-funksjonene er periodiske med periode, er tngens-funksjonen periodisk med periode. Disse grfene for sinus, osinus og tngens ør du kjenne så godt t du uten idere kn skissere dem opp. Merk spesielt erdiene for skjæringene med -ksen. For sinus- og osinusgrfene ør du dessuten kjenne og topp- og unnpunkt, og for tngens-grfen ør du kjenne de inklene der grfen ikke er kontinuerlig. Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

8 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter. 5. Inerse trigonometriske funksjoner. Hittil hr i ttt utgngspunkt i en inkel og funnet sinus, osinus eller tngens til denne inkelen. Men i hr ofte ruk for å gå motstt ei: Vi kjenner en sinus-, osinus- eller tngenserdi, og ønsker å finne den tilhørende inkelen. Vi oppftter d inkelen som funksjon sinus-, osinus- eller tngenserdien. Slike funksjoner kller i inerse trigonometriske funksjoner eller rus-funksjoner. Vi hr tre dem: Arus sinus rukes til å finne en inkel når i kjenner sinuserdien til inkelen. Vi definerer rus sinus-funksjonen slik: y = sin = rsin y. Vi kn også skrie = sin y istedenfor rsin = y. sin - Det er et generelt kr til funksjoner t de skl ære entydige. For rus sinusfunksjonen inneærer dette t når i kjenner en sinuserdi, må inkelen ære entydig estemt. Dette medfører t i kun kn enytte inkler i området,. Dersom i tillter inkler utenfor dette området, er ikke inkelen entydig estemt når i kjenner sinus-erdien. os Arus osinus rukes til å finne en inkel når i kjenner osinuserdien til inkelen. Vi definerer rus osinus-funksjonen slik: y = os = ros y. Vi kn også skrie = ros y. = os y istedenfor - For t rus osinus-funksjonen skl ære entydig, kn i kun enytte inkler i området [, ], som ngitt på figuren til enstre. Arus tngens rukes til å finne en inkel når i kjenner tngenserdien til inkelen. Vi definerer rus tngens-funksjonen slik: y = tn = rtn y. Vi kn også skrie = tn istedenfor rtn = y. For t rus tngens-funksjonen skl ære entydig, kn i kun enytte inkler i området,. Dette innser du ed å se hordn tngens-grfen ser ut. Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.

9 Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter. Vi oppsummerer: y = sin,, = rsin y = sin y y = os,, = ros y = os y [ ] y = tn,, = rtn y = tn y Eksempel : H er: ) rsin ( )? ) ros( )? ) rtn ( )? Løsning: rsin ) ( ) = (eller ) fordi ( ) 6 sin =. 6 ) ros( ) = (eller 8 ) fordi os =. ) rtn ( ) = (eller 5 ) fordi ( ) tn =. Oppge. Bjørn Didsen, Uniersitetet i Tromsø.