1 Mandag 18. januar 2010

Transkript

1 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte bruk for dette, men det vil være en god bkgrunn for det vi skl gjennom for funksjoner i flere vrible. Voksende og vtgende funksjoner Lokle ekstremlpunkter Kritiske punkter Globle ekstremlpunkter Krumning Vendepunkter Det første begrepet vi skl se på er monotoni-egenskpene til en funksjon, dvs. hvor de vokser og hvor de vtr. Definisjon.. En funksjon y = f(x) er (strengt) voksende på et intervll [, b] dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) < f(x 2 )) for lle x < x 2. Funksjonen er (strengt) vtgende dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) > f(x 2 )) for lle x < x 2. Eksempel.2. Funksjonen f(x) = x 2 er strengt voksende på intervllet [, >, siden x 2 < x 2 2 når x < x 2. Tilsvrende er funksjonen strengt vtgende på intervllet <, ]. Vi strter med den lokle teorien, dvs. t vi nlyserer funksjonenes lokle egenskper. Lokle egenskper til en funksjon er egenskper som måles i punkter og små omegner om dem. Definisjon.3. Det er to typer lokle ekstremlpunkter: y = f(x) hr et loklt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x) for lle x i et åpent intervll om x = c. y = f(x) hr et loklt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x)for lle x i et åpent intervll om x = c. Teorem.4. Dersom f (x) > (f (x) < ) på et intervll, så vokser (henholdsvis vtr ) f(x) på intervllet. Eksempel.5. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen vokser på intervllet (, ) og vtr på intervllet (, ). Eksempel.6. Betrkt funksjonen f(x) = e x. Den deriverte er gitt ved f (x) = e x >, som betyr t funksjonen vokser overlt. Et helt sentrlt begrep innen klkulus er kritiske punkter: Definisjon.7. Et punkt x = c klles et kritisk punkt dersom f (c) = eller f (c) ikke eksisterer. Eksempel.8. Funksjonen f(x) = x hr et kritisk punkt i x = siden f () ikke er definert i det punktet. Eksempel.9. Alle potensfunksjoner g(x) = x n for n 2 hr kritisk punkt i x = siden f () = n n =. Eksempel.. Funksjonen h(x) = x dette punktet. hr ikke et kritisk punkt i x = siden funksjonen ikke er definert i

2 Ofte er det smmenfll mellom ekstremlpunkter og kritiske punkter, men det er ikke lltid snt. Den ene retningen er snn: Teorem.. Dersom f(x) hr et loklt mksimum eller loklt minimum i x = c, så er c et kritisk punkt. Bevis.2. Se på f (c) f(x) f(c) x c Ant t f(x) hr et loklt mksimum i x = c. Dersom f (c) >, så vil f(x) > f(c) for x > c, og dersom f (c) <, så vil f(x) > f(c) for x < c. Motsetning. Med noen tilleggskrv hr vi også impliksjon den ndre veien. Teorem.3. Hvis f(x) hr et kritisk punkt i x = c, så er dette et loklt minimum dersom f (x) skifter tegn fr negtiv til positiv i x = c et loklt mksimum dersom f (x) skifter tegn fr positiv til negtiv i x = c Eksempel.4. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt i x =. Dette er også et loklt minimumspunkt. Eksempel.5. Gitt funksjonen g(x) = x 3. Den deriverte er gitt ved g (x) = 3x 2, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt for x =. Dette er imidlertid ikke noe ekstremlpunkt. f(x) = 3x 4 4x Regner ut den deriverte og setter den lik for å finne fktorisering: f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) = Tegner fortegnsskjem: x < < x < x > 2x x f (x) I motsetning til de lokle egenskpene, som måler funksjonens oppførsel i en liten omegn om et punkt, vil de globle egenskpene måle funksjonens oppførsel på hele definisjonsområdet sett under ett. Definisjon.6. y = f(x) hr et globlt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x)for lle x i D f. y = f(x) hr et globlt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x) for lle x i D f. Funksjoner trenger hverken å h lokle eller globle ekstremlpunkter, se f.eks. på funksjonen f(x) = x definert på hele tllinj. Den hr selvfølgelig ingen ekstremlpunkter. For å sikre oss t en funksjon oppnår ekstremlverdier kn vi legge begrensninger på typen v definisjonsområde. Vi trenger et lukket og begrenset intervll som definisjonsområde. Teorem.7. Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig på et lukket, begrenset inervll [, b], så vil f oppnå sin mksimums- og minimums-verdi i intervllet. 2

3 Se på Deriverer og tegner fortegnsskjem: f(x) = x 2 e x x 3 f (x) = 2xe x x 2 e x = x(2 x)e x = - <, > <, 2 > 2 < 2, 3 > 3 x x e x f (x) f(x) e e 2 e 3 Neste skritt er å studere funksjonenes krumningsegenskper. Definisjon.8. En deriverbr funksjon y = f(x) krummer opp (resp. ned) i et intervll (, b) dersom f (x) > (resp. f (x) < ) i intervllet. Teorem.9. L f(x) være deriverbr (to gnger deriverbr) på et intervll. Dersom f > så krummer grfen oppover. Dersom f < så krummer grfen nedover. Definisjon.2. Et punkt x = c der funksjonen f(x) skifter krumning fr opp til ned eller motstt, klles et vendepunkt for f. Teorem.2. Dersom (c, f(c)) er et vendepunkt for f, og f (c) er veldefinert, så er f (c) =. Eksempel.22. Funksjonen f(x) = x 3 hr et vendepunkt i x = siden f () = og den deriverte f (x) skifter tegn i x =. f(x) = 3x 4 4x Regner ut den deriverte og den dobbelt-deriverte og setter den lik for å finne fktorisering: Tegner fortegnsskjem for den dobbel-deriverte: f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) f (x) = 36x 2 24x = 2x(3x 2) x < < x < x > 2 3 2x x f (x) opp ned vendepunkt opp 3

4 2 Onsdg 2. jnur 2 Tidligere (MAT ) hr vi nti-derivert funksjoner for å finne løsninger v differensillikninger. Vi skl gå litt videre med dette og se på et som klles bestemte integrler. Regnereglene er egentlig kkurt de smme, men nå evluerer vi integrlene over et intervll slik t svret blir et tll og ikke en funksjon. Dette tllet skl vi tolke som relet mellom grfen og x-ksen, eller mer generelt som en kkumulert verdi for en funksjon over et tidsrom, strekning eller nnet vlg v tolkning v rgumentet x (eller t). Det viktigste resulttet knyttet til dette er det såklte fundmentlteoremet (introdusert v Newton og Leibniz) som knytter smmen derivsjon og integrsjon. Anti-derivert/ubestemt integrl Tolking v det bestemte integrl Integrsjonsregler og -teknikker Fundmentlteoremet Riemnnsummer, eksplisitte former Archimedes og volumet v en kule Teorem 2.. Dersom F (x) og F 2 (x) begge er nti-deriverte til smme funksjon på et intervll <, b >, så er de like på en konstnt nær. Dette er grunnen til t vi lltid må legge til en integrsjonskonstnt når vi nti-deriverer. Definisjon 2.2. L f(x) være en funksjon. Fmilien v lle nti-deriverte til f(x) klles det ubestemte integrlet til f(x). L F (x) være en slik nti-derivert. D skriver vi f(x)dx = F (x) + C hvor C er en vilkårllg konstnt. Definisjon 2.3. L y = f(x) være en positiv funksjon definert på et intervll [, b]. D er S = f(x) dx definert som relet over intervllet [, b] mellom x-ksen og grfen til f. Lineritet: Additivitet: (αf(x) + βg(x))dx = α f(x)dx + β c f(x)dx = f(x)dx + c b f(x)dx g(x)dx 4

5 Integrsjon motstt vei: Degenerert rel: f(x)dx = b f(x)dx = f(x)dx Teorem 2.4. L f(x) være en integrerbr funksjon på et intervll [, b], og l F (x) være en nti-derivert til f(x). D hr vi F (x) = d x f(t) dt = f(x) dx f(x)dx = F (x) b = F (b) F () Merk: Dette er den mest fundmentle egenskpen ved integrlet og fktisk den egenskpen som er grunnlget for hele differensil- og integrlregningen. x k dx = k + (bk+ k+ ) x dx = ln b e kx dx = k (ekb e k ) sin x dx = cos b + cos cos x dx = sin b sin Substitusjon: hvor F (x) er en nti-derivert til f(x). f(g(x))g (x)dx = F (g(b)) F (g()) 5

6 Delvis integrsjon: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b Eksempel 2.5. Vi skl beregne det bestemte integrlet f (x)g(x)dx Vi bruker delvis integrsjon π x cos x dx π x cos x dx = [u v] π u = x u = = [x sin x] π Eksempel 2.6. Vi skl beregne det bestemte integrlet π u v dx v = cos x v = sin x π sin x dx = [x sin x + cos x] π = π sin π + cos π cos = 2 Vi bruker substitusjon 2 xe x2 dx 2 xe x2 dx = = ex 2x dx u = x 2 du = 2x dx x = gir u = x = 2 gir u = eu du = [ 2 eu ] 4 = 2 (e4 ) Arel mellom to kurver y = f(x) og y = g(x), der f(x) g(x) på hele intervllet [, b]: [f(x) g(x)]dx = [Arelet mellom f og g] Eksempel 2.7. (x 3 3 x 2 )dx = [ 4 x x ] = = 2 6

7 Vi tenker oss t vi deler intervllet [, b] opp i delintervller med delingspunkter = < <... < n = b og t vi velger ut et punkt x i i hvert delintervll, ltså x i [ i, i+ ]. D vil summen (som vi kller en Riemnnsum) n f(x i )( i+ i ) være en god pproksimsjon til integrlet f(x)dx. Vi kn fktisk definere i= n f(x)dx = lim f(x i )( i+ i ) n i= Eksempel 2.8. Vi skl beregne Prtisjon v enhetsintervllet, med x = n : x 2 dx Vi skl beregne < n < 2 n < 3 n < < n n n f(x i ) x med x i som venstre endepunkt i delintervllene, dvs. x i = i n. Dette gir sum Dvs. i= < n n = ( n )2 n +( 2 n )2 n + ( 3 n )2 n + + (n n )2 n = n 3 ( n 2 ) = n(n + )(2n + ) n 3 6 = 2n3 + 3n 2 + n 6n 3 = 3 + 2n + 6n 2 3 når n x 2 dx = 3 7

8 Archimedes stilte opp et prktisk eksperiment: Dersom systemet er i blnse er dette nok til å beregne volumet v kul. Alle legemene nts å h tetthet lik. Sylinderen (til høyre) hr rdius og høyde lik, kul hr rdius 2, mens kjeglen også hr rdius og høyde lik. Tyngdepunktet til sylinderen hr rmlengde 2, dvs. et moment på π2 2. Armen på venstre side hr lengde og momentet er (V + 3 π2 ), der V er volumet v kul. Dersom systemet er i blnse gir dette V = 4 3 π( 2 )3, som er volumet v kul slik vi kjenner det. Så det gjenstår å vise t systemet er i blnse. Vi skl smmenlikne tynne skiver på de to figurene. L x. På høyre side hr vi en skive i vstnd x, som gir et moment på x π 2 dx. På venstre side er det litt mer regning. Kjeglen måler vi ovenifr, slik t skiv ved dybde x gir et moment på πx 2 dx. Kul deler vi også ovenfr, ved Pythgors blir rdius i skiv ( 2 )2 ( 2 x)2 = x x 2, dvs. et bidrg til momentet på π(x x 2 )dx. Dette er i blnse siden π 2 x dx = πx 2 dx + π(x x 2 )dx 3 Onsdg 27. jnur 2 Oppgve 3. (). L funksjonen f være definert ved f(x) = x 3 x x [, 3] ) Avgjør hvor f vokser og vtr. Finn eventuelle ekstremlpunkter for f. b) Finn eventuelle vendepunkter for f og undersøk hvor grfen til f krummer opp og hvor den krummer ned. Oppgve 3.2 (2). L funksjonen f være definert for lle relle tll x ved hvor er en konstnt. f(x) = e 2 (x )2 ) Avgjør hvor f vokser og vtr. Finn eventuelle ekstremlpunkter for f. b) Finn eventuelle vendepunkter for f og undersøk hvor grfen til f krummer opp og hvor den krummer ned. Oppgve 3.3 (3). ) Funksjonen f(t) er gitt ved f(t) = t ln t t, 4 t 3 Avgjør hvor funksjonen f vokser og hvor den vtr og finn ut hvor i definisjonsområdet den ntr sin største/minste verdi. 8

9 b) Beregn det bestemte integrlet Oppgve 3.4 (4). Regn ut de bestemte integrlene e 2 e (ln x) dx x ) b) 4 2π x + x dx sin t sin (ωt) dt Oppgve 3.5 (5). Regn ut de bestemte integrlene ) b) xe 3x2 dx xe 2x dx 9