R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november januar 2012

Transkript

1 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer il ære ten hjelpemidler. Repetisjon, prøer, mntlig, økter, dierse reid: Påske jni. Integrsjon: Tommy & Tigern ind 4 side 6ø Dette er et GeoGer-kpittel og et TI-nspire-kpittel. Klkltoren kn også eregne integrl, men re estemte: Foreløpig hr dere formler for reler og olmer figrer der sideknter og sideflter estår rette linjer og plne flter. Unntket er sirkelen og kl, og llerede i møtet med disse to enkle figrene, merker dere t de enkle formlene for treknter, firknter os. pltselig endrer seg. En krm linje lnder inn et tll π som det er nskelig å finne et ekskt mtemtisk ttrykk for. Tnkegngen når i hr rette linjer, er enkel og stmmer fr ntikken: Rektngel: Inndeles i små kdrter/rter, telles opp, generliseringer til formelen grnnlinje gnger høyde. Prllellogrm: Gjøres om til rektngel med litt tenkt klipping og formelen grnnlinje gnger høyde. Treknt: Vises lett t er et hlt prllellogrm. Mngeknter generelt deles opp i treknter. Arelene løses ed hjelp trekntformlene. Sirkel: Blei løst egypterne, men lle de 4 elekltrene eide en -erdi: 8-knten hr omtrent smme rel som sirkelen: Edoos -00/400 og Arkimedes i Hells regn også t rel sirkel. Arkimedes' metode rkte innskrene og omskrene mngeknter til sirkelen, og fnt t ed å inn- og omskrie 96-knten om en sirkel. Prinsippet hns lir med en 6-knt slik: Hn strt med 6-knten og hlerte til -, 4-, 48- og 96-knten: Frncois Viete rndt 500 eregn π i en -knt slik, i en formel som kn tides til end større nøyktighet: I en n-knt skl -tllet skiftes t med n og ntll -tll skl ære n-. Lr i n gå mot endelig, finner i nøyktig:,459 lim n... n Prelen og ellipsen fikk fktisk også sine relformler Arkimedes! Prelens rel er det rektngelet den psser inni. Og en ellipse som er rei og høy, hr relet π, eller relet rektngelet den får plss inni. Vi skl ltså gjennom et kpittel som kn eregne reler krmme krer: Metoden kller i integrsjon. Men integrsjon er ikke re et erktøy for reler. Det iser seg t å finne reler til en grf il si det smme som å finne det fnksjonsttrykket som hr grfen som deriert. Vi skl ltså nti-deriere et ttrykk! Og ntiderisjon hr lngt idere perspektier enn reler. I fysikken er integrl ofte knytt til egrepet reid. Og dersom d skl finne formelen for hilken kre en ier eller snor følger når den

2 henger mellom for eksempel et pr trær, må d ntideriere/integrere. Gjeldende eksempel kn også løses ed integrsjon: Når d skl rlle ei kle nedoerkke fr ett pnkt til et nnet, hilken ne er den rskeste? Den korteste er ntrligis den rette linj, men den rskeste? Glilei resonnerte slik ten derisjon i 68: Hn eregn tid fr A til B og fnt t kl gikk rskere dersom den trill lngs de to linjestykkene AC flgt CB, hor C ligger på en sirkele. Det er riktig t i skl rke en e, men Glilei lgte en gl e fordi hn ikke knne deriere og integrere! Glilei hdde egentlig ikke noe eis for t det lei en sirkel, hn re ntok det fordi sirkelen er en pen mtemtisk kre! Kr er en kjent mtemtisk kre som dkker opp i mnge smmenhenger, og desserre? ikke i årt pensm. Utgngspnktet for å løse den er å ite t frt til kl er proporsjonl med kdrtrot høyden kl hr flt, som dere lærer i fysikk. Og metoden for å finne frm, klles ltså integrsjon. Jco Bernolli rkte forresten også fysikeren Schnells rytningsloer for lys for å løse oppg. Kr klles en rkistokron. Kpitlet i skl egynne på klles ltså integrsjon. Integrsjon lei rkt for å finne reler nder grfer eller mellom grfer, og metoden kn også rkes for å finne olmer gnske mnge legemer og lengde fnksjoner. Og så er det ltså slik t å integrere er nøyktig det motstte å deriere! Kldd Innhold Dto Kort test ten hjelpemidler 0/ 4., 4., U 4. Arel nder en grf. Bestemt integrl: Enheten for sret er enheten lngs -ksen gnger enheten lngs y-ksen. Klkltoren CASIO kn finne rel slik, og det er re en tilnærmingserdi for relet mellom grfen f 0,5 0 og -ksen, fr 0 til 6 på -ksen.: 4.5, 4.6, 4.7 Metode RUN-menyen: <OPTN> <CALC> d 0,5 0,0,6 Sret d nå får er relet. Metode GRAPH-menyen: 0,5 0 Y m : 8 Y <V-Window>: X : 0, X : 6, scle:, : 0 min m Y,, scle:5 <EXIT> <DRAW> <G-SOLV> <F6> <F> : Gå til =0 <EXE> Gå til =6 <EXE>, d får mrkert relet og sret! Et estemt integrl mellom grfen og -ksen, og fr strten i og sltten i, skries mtemtisk slik: f d Innføring, kpittel :.84c,.89,.94,.0 / Prøe i kpittel! 6/ 4. Utregning estemt integrl med ntideriert: Vi tenker oss små rektngler mellom grfen og -ksen, med redde lik på -ksen. His i lger disse smlere og smlere, il smmen dem li mer og mer lik det relet i er te etter. Vi il finne grenseerdien for denne smmen når rektnglene lir ørsmå, ds. går mot nll. Vi er på jkt etter en formel for fnksjonen som ttrykker en fnksjon for relet. Det iser seg t i finner denne formelen, dette fnksjonsttrykket, ed å ntideriere! 5/ Dette klles mtemtikkens fndmentlteorem. Generell setning: f d F der F' f Prøe i kpittel 7/ 4.8, Uestemt integrl: Det estemte integrlet er ltså den ntiderierte, og estemt etyr t det ikkje går mellom to grenser, t det ikkje er et rel. En del derisjonsregler er gnske enkle å sn, men det er fktisk et prolem med ntideriering t i ikkje kn finne formler som dekker lle tilfelle, slik i kn med derisjon! min 5/ TI-nspire: TI-nspire kn regne t estemte integrl slik: Dere henter integrlerktøyet fr erktøylinj, lg 4 og elger : Integrl, og skrier inn fnksjonsttrykket og rgmentet, oftest, på rett sted. His det er et estemt integrl, er det lt som skl til, og dere ser løsning: Legg merke til t TI-nspire ikke legger til noen konstnt, den elger t kkrt den ntiderierte som ikke hr noe konstntledd, ltså re én endelig mnge sr: Dere må hske på C! /

3 Kldd Innhold Dto forts. GeoGer: Uestemt integrl, her il GeoGer tegne grfen og oppgi det ntiderierte fnksjonsttrykket, og heller ikke GeoGer legger til konstntleddet eller rker ekskte erdier. Dere må først få inn sjøle grfen, som får nnet f dersom dere ikke elger noe. Deretter er dere om Integrl[f], og den åde tegner og eregner: Bestemt integrl fins på omtrent smme måte: Legg merke til kommndoen nederst! forts. Når klkltoren år kn integrere lt, er det fordi den tilnærmer sret og rker ndre metoder. For eksempel kn klkltoren legge inn en million små rektngler nder grfen og smmere dem. Men sr er lltid tilnærm når dtmskiner og klkltorer regner t reler! Regneregler for integrl, ntideriering:

4 Kldd Innhold Dto 4.0, Mer om estemte integrler og releregninger: Hsk på t estemte integrler, reler, finnes slik: d F f F F Og: Dersom relet ligger nder -ksen, lir sret negtit! Det etyr t dersom rel er åde oer og nder - ksen, må det deles der det krysser, og her del må eregnes for seg! TI-nspire: TI-nspire kn regne t estemte integrl på smme måte med smme erktøy: Dere henter integrlerktøyet fr erktøylinj, lg 4 og elger : Integrl, og skrier inn fnksjonsttrykket og rgmentet, oftest, på rett sted. I tillegg må dere skrie inn nedre og øre grense, ltså de erdiene relet skl eregnes mellom. Bestemte integrler er ikke re rel, men for oss il det stort sett ære det, og i kn se dem som reler nder en grf. Dere ser løsning: / 4., 4., 4.4, 4.5 Og dere eit ntrligis t i rker <ctrl> for å finne et sr med deimltll. 4.5 Regler for estemte integrler. Arel mellom grfer: Skl i finne relet mellom to grfer f og g, tr i integrl øre mins integrl nedre:. Er i sikker på hilken som er øerst, men eit t de ikke krysser herndre, kn i rke soltterdien: A f g d 4.6, Smlet mengde: Mer trening med integrl. Hsk på t nnet på riel ikke etyr noe. 9/ 4.8, 4.7 Volm omdreiningslegemer: Når i integrerer, smmerer i egentlig endelig menge høyder som til 4.9, 4.0 smmen skl tgjøre relet mellom grfen og -ksen. His i i stedet hr et olm, er romlegeme som ligger 4.U prllelt med -ksen, kn i tenke oss t i skl smmere lle snittfltene i får når i skjærer i legemet, normlt 4., 4., U på -ksen, og dette skl li olmet. Dette må psse med integrlteorien år: V A d. His i kn finne en formel for dette relet, ttrykt ed, il dette li olm! His i lr en nlig grfe snrre om -ksen, il prolemstilling li sært enkel. f-erdien il tgjøre rdien i snittflt og relet li etter sirkelformelen f slik t olmet lir: V f d, et integrl som og til er sært enkelt! Volm oerflter: Ikke pensm, ikke i ok Som dere skjønner må i integrere omkretser til legemet, ltså smmere lle omkretsene fr strt til sltt. Når det gjelder omdreiningslegemer, må i i stedet for å integrere relet til en sirkel integrere omkretsen: O f d Og h med lengden en grfe? Ikke pensm, ikke i ok Her må i fktisk smmere endelig mnge ' hypotenser i treknter de smme som i rkte for å deriere fr strt til sltt: l f d, som ofte er kompliserte integrl. Prø å finne t horfor formelen lir slik. Kort prøe ten hjelpemidler 4/ 4.8 Integrsjon ed sstitsjon: Vi kn ersttte ekle -ttrykk med en ny riel,. D må i også ersttte d med et -ttrykk etter formelen: d ' d, ds. d d '. Og his -en lir orte og -ttrykket er enkelt å integrere, kn i i stedet integrere det! I et estemt integrl må i dessten: Enten sstitere tilke til før i setter inn øre og nedre grense, eller i kn sstitere grensene på smme måte, etter formelen for. Dette er egentlig å tenke kjerneregel klengs, og det gjør t i kn løse for eksempel ttrykk der i l.. skl integrere kdrtrot et smmenstt -ttrykk. Umlige integrler: Vi kn soltt ikke integrere lle ttrykk, sjøl om i kn deriere lle ttrykk! Likeel kn i gjøre det med nmeriske metoder dersom det er estemte integrler. 4/ 9/ 4/ 4

5 5 Kldd Innhold Dto 4.6, 4.7, U 4.0U 4.9 Delis integrsjon: Vi rker mltipliksjonsformelen for derisjon klengs. Når ' ' ' ', må ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' His i hr et prodkt der i kn integrere den første fktoren og deriere den ndre, kn i omforme ttrykket med denne formelen til og til et nytt ttrykk som i knskje kn integrere:. His i elger og dmt, prøer i igjen med motstt lg. 9/ 4. 4.U 4.0 Integrsjon ed delrøkoppsplting: Det fins ingen generell røkregel for integrsjon, slik som for derisjon, og det er mlig å rke regelen for derisjon røker klengs. D skl mn i tilfelle ære god! De eneste røkene mn kn t direkte, er de hor d hr et førstegrdsttrykk med i nener og en konstnt i teller: D gjelder: C c d c d c ln Men i mnge tilfelle går det n å gjøre kompliserte røker om til enklere ttrykk: I noen tilfelle kn mn diidere teller med nener og få et ttrykk ten røk og en rest som i eksempelet ofor. Og i noen tilfelle kn mn dele opp en komplisert røk i en sm røker som i ttrykket ofor: Delrøkoppsplting. B A Vi påstår t det opprinnelige ttrykket kn skries slik, og il finne A og B tfr to likninger som skl gjelde, hengig : Dette er ikke to fllstendige metoder, men og til kn de rkes. Den øerste metoden metoden klles polynomdiisjon, og den går ikke lltid. Her er et eksempel: Dere il seinere kjenne igjen formelen som smmen ei endelig geometrisk rekke med første ledd lik og kotient lik der er mellom og +, se kpittel 6. Her er et eksempel når teller hr minst like høy grd som nener. Vi diiderer t: : : : 5 5 Legger i smmen reslttene, får i et ttrykk som kn integreres: C d d ln 5 9/ Kort prøe ten hjelpemidler / U 4. Om å elge riktig metode: Når det gjelder integrsjon, er det iktig å elge rett. Ellers i mtemtikken i gs. hr i ikke slike prolemer. Dette lille delkpitlet skl trene dere litt i å finne metoden som fører frm! / 4.5, 4.6. Smmenstt eksempel: Her møter dere - som i forrige kpittel - ei større oppge som tr for seg mnge teknikkene dere hr lært i kpitlet. Det er iktig å se smmenhenger når dere lærer noe, knskje spesielt i mtemtikk der lt ygger på noe dere hr lært tidligere! Prø dere på oppgene! 6/ Smmendrg kpitlet - side 56 Bok R: Dette er stoff som psser på en hskelpp for kpittel 4. Test deg sel - side 57 Bok R: Utfør testen på egen hnd en stille ettermiddg. Deretter retter d tfr løsningene på side Klrer d hlprten, hr d så idt klrt en er! En tredel gir deg ståkrkter og fire femdeler er en 5er! Øingsoppgene til kpitlet - side Bok R: Fsit side - 9. Innføring til kpitlet: 4.00, 4.4, 4.5 6/ Prøe i kpitlet:

6 Tommy og Tigern Clin nd Hoes: Oppdtert onsdg, 0. noemer 0. Hns Isdhl Bind 4 side 45ø 6