Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,"

Transkript

1 Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo

2 3. utgve Universitetsforlget AS utgve utgve 1996 ISBN-13: ISBN-10: Mterilet i denne puliksjonen er omfttet v åndsverklovens estemmelser. Uten særskilt vtle med rettighetshverne er enhver eksemplrfremstilling og tilgjengeliggjøring re tilltt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tilltt gjennom vtle med Kopinor, interesseorgn for rettighetshvere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller vtle kn medføre ersttningsnsvr og inndrgning, og kn strffes med øter eller fengsel. Boken hr egen nettside: Henvendelser om denne utgivelsen kn rettes til: Universitetsforlget AS Postoks 508 Sentrum 0105 Oslo Sts, figurer og formgiving: Arve Michelsen/Mtemtisk Sts Boken er stt med: MthTimes og Times Romn 10/12

3 Forord Dette tilleggskpitlet gir en kort innføring i regning med vektorer, determinnter og prmetriserte kurver. Stort sett skl vi holde oss i plnet og rommet, men kpitlet inneholder også litt stoff som peker fremover mot det n-dimensjonle tilfellet. Selv om de fleste lesere llerede vil h vært orti vektorregning i den videregående skolen, hr jeg for logikkens og smmenhengens skyld vlgt å strte fremstillingen fr unnen v. I undervisningen vil det sikkert være nturlig å hoppe over en del v det stoffet som skl være kjent fr før. Studenter som ikke hr vært orti vektorregning tidligere, vil knskje finne fremstillingen noe kortfttet enkelte steder, og de vil knskje føle seg ekskludert v en del emerkninger v typen: «Som vi husker fr videregående skole, så...». Jeg håper likevel det vil være mulig å ruke kpitlet også som en første innføring i emnet. En del v stoffet i dette kpitlet finnes også i tilleggskpittel T2, men ehndling her er lngsommere og mer elementær (den konsentrerer seg hovedsklig om vektorer i 2 og 3, mens fremstillingen i T2 stort sett hndler om vektorer i n ). Det er mulig å lese T1 først og så T2, men overlppet mellom kpitlene er så pss stort t de fleste nok vil være mer fornøyd med å velge ett v kpitlene. Ønsker mn en snill og forsiktig videreføring v vektorregningen i videregående skole, er dette kpitlet est egnet, men ønsker mn en rskere og mer misiøs innføring, er T2 det este vlget (her får mn i tillegg med en del stoff om funksjoner v flere vrile). Kpitlene hr til forskjellige tider vært rukt i første semester ved Universitetet i Oslo og fungerer godt for studentgruppen der. Litt om notsjon og orgnisering: Kpitlet er delt opp i «seksjoner» (seksjon 1, Forord 3

4 seksjon 2 osv), som igjen er delt opp i «vsnitt» (vsnitt 3.1, vsnitt 3.2, osv). Definisjoner, setninger og teoremer er nummerert fortløpende innen hvert seksjon. Eksempler og figurer er også nummerert seksjonsvis, men med egen nummerering. Jeg ruker til å mrkere slutten på et evis, og til å mrkere slutten på et eksempel. Til slutt en stor tkk til Klr Hveerg som hr kommet med en rekke konstruktive forslg underveis, og som hr hjulpet til med å lge fsiten. Blindern, 29. juni, 2006 Tom Lindstrøm 4 Forord

5 Innhold Forord Vektorregning og prmetriserte kurver Regning med n-tupler 7 Oppgver Vektorer i plnet 10 Geometrisk tolkning v regneopersjonene 11 Oppgver 13 Sklrproduktet 13 Oppgver 18 Prmeterfremstilling 19 Oppgver 22 Determinnter, reler og orientering 23 Oppgver 27 Prmetriserte kurver 28 Oppgver Vektorer i rommet 37 Geometrisk tolkning v regneopersjonene 38 Oppgver 39 Vektorproduktet 40 Oppgver 47 Determinnter, volumer og orientering 47 Oppgver 49 Pln 50 Oppgver 54 Prmetriserte kurver 55 Oppgver Geometri i høyere dimensjoner 59 Oppgver 64 Fsit 66 Innhold 5

6

7 tilleggskpittel1 Vektorregning og prmetriserte kurver Dette kpitlet er en repetisjon og videreføring v vektorregningen i videregående skole. De fleste egrepene (som vektorer, linjer og prmetriserte kurver) vil du kjenne fr før, men noen (som vektorprodukt og determinnter) vil knskje være nye. I tillegg til vektorregning i to og tre dimensjoner skl vi egynne å se litt på vektorregning i n dimensjoner et tem som høres mye skumlere ut enn det er! T1.1 Regning med n-tupler I denne seksjonen skl vi studere de grunnleggende regnereglene for n-tupler og se på noen eksempler som ntyder hv n-tupler kn rukes til. ( Et n-tuppel er en sekvens v n (reelle) tll ( 1, 2,..., n ). For eksempel er 3, 4, 3 4, 7, 0, 3) et 6-tuppel, mens ( 1,π, 1, 42) 37 er et 4-tuppel. Tllene 1, 2,..., n klles komponentene til n-tuppelet ( 1, 2,..., n ); 1 er førstekomponenten, 2 er ndrekomponenten osv. To n-tupler regnes som like dersom de inneholder de smme tllene i den smme rekkefølgen. At ( 1, 2,..., n ) = ( 1, 2,..., n ), etyr ltså t 1 = 1, 2 = 2,..., n = n. Legg merke til t (3, 2, 4) (2, 3, 4); selv om tllene er de smme, er rekkefølgen forskjellig. I dette kpitlet skl vi ruke okstver i fete typer som nvn på n-tupler, f.eks. = ( 2, 3, 0, 17). Det er vnskelig å ruke fete typer når mn skriver for hånd, og mn kn d isteden skrive en pil eller en strek over okstven slik = ( 2, 3, 0, 17) eller slik ā = ( 2, 3, 0, 17). 7

8 Vi skl skrive 0 for det n-tuppelet som hr lle komponenter lik 0, ltså 0 = (0, 0,...,0). Hvis vi hr et n-tuppel = ( 1, 2,..., n ), skriver vi for n-tuppelet ( 1, 2,..., n ). Det er en nturlig måte å definere ddisjon og sutrksjon v n-tupler på. Dersom = ( 1, 2,..., n ) og = ( 1, 2,..., n ),såer og + = ( 1 + 1, 2 + 2,..., n + n ) = ( 1 1, 2 2,..., n n ) Vi sier t vi dderer og sutrherer komponentvis. Legg merke til t vi re kn ddere og sutrhere n-tupler v smme type oppskriften ovenfor gir oss ikke noen måte å ddere et 3-tuppel og et 7-tuppel på. Før vi ser på noen eksempler, tr vi med en regneopersjon til. Dersom s er et tll og = ( 1, 2,..., n ) er et n-tuppel, definerer vi produktet v s og til å være Vi gnger ltså s inn i hver komponent i. s = (s 1,s 2,...,s n ) T1.1.1 Eksempel Vi lr = ( 2, 3, 0, 17) og = (4, 1, 3, 17). Der + = ( 2 + 4, 3 + ( 1), 0 + 3, ) = (2, 2, 3, 0) og = ( 2 4, 3 ( 1), 0 3, 17 17) = ( 6, 4, 3, 34) Hvis s = 3, får vi s = (3 ( 2), 3 3, 3 0, 3 ( 17)) = ( 6, 9, 0, 51) Vi skl innføre en regneopersjon til. Dersom = ( 1, 2,..., n ) og = ( 1, 2,..., n ) er to n-tupler, definerer vi sklrproduktet ved = n n Legg merke til t er ikke er et n-tuppel, men et tll (eller en sklr som mn ofte sier når mn vil understreke t noe er et tll og ikke et n-tuppel). Hvis vi lr = ( 2, 3, 0, 17) og = (4, 1, 3, 17) som ovenfor, ser vi t = ( 2) ( 1) ( 17) 17 = = 300 Vi hr nå sett hvordn vi kn regne med n-tupler, og det er knskje på tide å forklre hvorfor det er noen vits i slike regnestykker. Eksempelet nedenfor viser t n-tupler er nturlige redskp når vi skl holde styr på mer informsjon enn det som kn rommes i et enkelt tll, og t regneopersjonene svrer til regnestykker det ofte er nturlig å utføre i slike smmenhenger. T1.1.2 Eksempel En forretning hr nstt 7 studenter på timesis. For å holde styr på hvor mnge timer hver student hr reidet, kn vi ruke et 7-tuppel t = 8 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

9 (t 1,t 2,...,t 7 ) der t 1 er ntll timer den første studenten hr reidet, t 2 er ntll timer den ndre studenten hr reidet osv. Dersom studentene reider mer, kn vi på smme måte kode tilleggstimene som et n-tuppel s = (s 1,s 2,...,s 7 ). Det totle ntll timer som studentene hr reidet, er nå gitt ved t + s. Studentene hr ulik erfring og derfor ulik lønn. Hvis student nummer én hr en timelønn på p 1 kroner, student nummer to hr en timelønn på p 2 kroner osv., kn vi også representere lønnen som et 7-tuppel p = (p 1,p 2,...,p 7 ). Dersom studentene hr reidet t = (t 1,t 2,...,t 7 ) timer, er den totle lønnen som forretningen skylder, gitt v sklrproduktet p t = p 1 t 1 + p 2 t p 7 t 7. Dersom lle studentene får et lønnstillegg på 7 prosent, får vi det nye lønnstuppelet ved å gnge det gmle med sklren 1.07, ltså 1.07p. Vi tr med noen eksempler til som viser hvordn n-tupler rukes til å holde styr på tllmessig informsjon i forskjellige smmenhenger. T1.1.3 Eksempel Tilstnden til en gsseholder er estemt v trykket p, temperturen T og volumet V. Hvis du får i oppdrg å måle tilstnden til eholderen ved forskjellige tidspunkt, kn det være nturlig å ruke 4-tupler (t,p,t,v)der t er tidspunktet for målingen. Forskjellen mellom to målinger og er d gitt ved differensen. T1.1.4 Eksempel Et ilde på en fjernsynsskjerm eller en dtskjerm er ygget opp v små lysende punkter (piksler). Et vnlig formt er = piksler. I hvert punkt må vi ngi styrken til hver v de tre grunnfrgene rødt, lått og grønt, så totlt hr vi = tll å holde styr på. En nturlig måte å gjøre dette på, er å oppftte ilder som tupler! Her er noen enkle regneregler for n-tupler (det finnes flere): T1.1.5 Regneregler for n-tupler Dersom, og c er n-tupler og s og t er reelle tll, gjelder følgende regneregler: () + = + () = (c) s( + ) = s + s (d) (s + t) = s + t (e) c ( + ) = c + c og ( + ) c = c + c (f) 0 med likhet hvis og re hvis = 0 Bevis: Alle disse reglene evises lett ved å regne ut venstre- og høyresiden og kontrollere t svrene stemmer. Vi tr (c) og (f) som eksempler: (c) Dersom = ( 1, 2,..., n ) og = ( 1, 2,..., n ), ser vi t venstresiden kn skrives s( + ) = s( 1 + 1, 2 + 2,..., n + n ) = (s( ), s( ),...,s( n + n )) = (s 1 + s 1,s 2 + s 2,...,s n + s n ) Seksjon T1.1 Regning med n-tupler 9

10 Tilsvrende kn høyresiden skrives s + s = (s 1,s 2...,s n ) + (s 1,s 2...,s n ) = (s 1 + s 1,s 2 + s 2,...,s n + s n ) Siden de to uttrykkene er like, er (c) evist. (f) Vi ser t = n 0 siden kvdrter ldri er negtive. Likhet hr vi dersom 2 1 = 0,2 2 = 0,...,2 n = 0, dvs. dersom 1 = 0, 2 = 0,..., n = 0 Vi hr nå innført noen regneopersjoner for n-tupler og sett på noen v de enkleste regnereglene. I de neste to seksjonene skl vi se t når n er lik 2 eller 3, er ikke regning med n-tupler noe nnet enn regning med vektorer i plnet og i rommet. Forskjellen er re t i rommet og i plnet hr vi muligheten til å forestille oss vektorene geometrisk, og det gir oss en helt nnen forståelse v hv de er. Mot slutten v kpitlet skl vi se t det er mulig å t med seg mye v denne geometriske forståelsen når vi studerer generelle n-tupler. Dette vil gi oss en slgs geometrisk forståelse v n-dimensjonle ojekter! Før vi går videre, tr vi med noen ord om notsjon. Mengden v lle n-tupler kller vi n. Når vi skriver n, etyr dette derfor ikke noe nnet enn t er et n-tuppel. I dette kpitlet skl vi stort sett holde oss til reelle n-tupler, men vi kn selvfølgelig også tenke oss n-tupler (c 1,c 2,...,c n ) der komponentene c 1,c 2,...,c n er komplekse tll. Mengden v lle slike n-tupler kller vi n. Vi kn gjøre det end mer generelt: Dersom A er en hvilken som helst mengde, etegner A n mengden v lle n-tupler ( 1, 2,..., n ) der i A for lle i = 1, 2,...,n. Oppgver 1. Finn +,, s og når = (1, 2, 4, 5, 1), = ( 3, 5, 5, 0, 3) og s = Finn +,, s og når = (7, 0, 4, 2, 5, 4), = (0, 2, 1, 6, 0, 1) og s = Vi sier t står ortogonlt på dersom = 0. Vis t dersom står ortogonlt på åde og c, så står ortogonlt på + c. 4. Bevis punkt (d) i setning T Bevis punkt (e) i setning T T1.2 Vektorer i plnet Et 2-tuppel er ikke noe nnet enn et pr ( 1, 2 ). Geometrisk kn vi tenke på et slikt pr på to måter enten som et punkt med koordinter 1 og 2, eller som en vektor (pil) som strter i origo og ender i dette punktet (se figur T1.2.1). I skolemtemtikken ruker mn gjerne forskjellig notsjon om mn tenker på pret som et punkt eller som en vektor et punkt ( 1, 2 ) hr runde prenteser, mens en vektor [ 1, 2 ] hr klmmeprenteser. Det er gnske tungvint å ruke to forskjellige notsjoner, og vi vil derfor ruke runde prenteser = ( 1, 2 ) unsett om vi tenker på som et punkt eller 10 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

11 som en vektor. Hv som er nturlig, fremgår som regel v smmenhengen. Snkker vi om en linje gjennom, er det nturlig å tenke på som et punkt, men snkker vi om en linje prllell med, er det nturlig å tenke på som en vektor. Når jeg lger figurer, vil jeg noen gnger tegne pret ( 1, 2 ) som en vektor og ndre gnger som et punkt etter hv jeg synes psser est i hvert enkelt tilfelle (se figur T1.2.1). y y ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) x 1 x Figur T1.2.1 som et punkt og som en vektor Ofte er det nturlig å tegne vektorer med et nnet strtpunkt enn origo. Vi skl derfor regne to vektorer som like dersom de hr smme retning og er like lnge (selv om de ikke strter smme sted). Figur T1.2.2 viser flere versjoner v den smme vektoren. y x Figur T1.2.2 Forskjellige versjoner v smme vektor BEMERKNING: Det kn være på sin plss med en liten dvrsel det er ikke i lle smmenhenger vi kn neglisjere strtpunktet til en vektor. Det er greit i dette kpitlet der vi re er interessert i lengden og retningen til vektorer, men i fysikk symoliserer ofte vektorene krefter, og d er strtpunktet viktig fordi det mrkerer det stedet hvor krften ngriper. Flytter vi strtpunktet, får krften ofte en helt nnen virkning (tenk på en vektstng). I prksis er det nesten lltid klrt om strtpunktet spiller noen rolle eller ikke, men det skder ikke å være oppmerksom på prolemstillingen. Geometrisk tolkning v regneopersjonene Når n = 2, kn de regneopersjonene vi innførte i forrige seksjon, tolkes som smmensetting v vektorer. Figur T1.2.3 viser hvordn vi setter smmen vektorene og foråfå +, og hvordn vi setter smmen c og d foråfåc d. Multipliksjon med en sklr hr også en geometrisk tolkning. Dersom vi gnger med et positivt tll s, eholder vektoren retningen, men lir s gnger så lng. Dersom Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 11

12 vi gnger med et negtivt tll s, snur retningen 180 og den nye vektoren lir s gnger så lng som den opprinnelige (se figur T1.2.4). y y d c x c d x Figur T1.2.3 Addisjon og sutrksjon v vektorer y 3 x ( 2) Figur T1.2.4 Multipliksjon med et tll Lengden til en vektor = ( 1, 2 ) er gitt ved Pythgors setning: = Tilsvrende er vstnden d(, ) mellom to punkter = ( 1, 2 ) og = ( 1, 2 ) gitt ved d(, ) = ( 1 1 ) 2 + ( 2 2 ) 2 Legg merke til t d(, ) = Avstnden fr til er ltså lik lengden til vektoren (lg en figur!). To vektorer spiller en så viktig rolle t de hr fått egne nvn. Det er enhetsvektorene lngs x-ogy-ksen. Vi ruker etegnelsene i = (1, 0) og j = (0, 1) I enkelte øker vil du isteden finne notsjonen e x = (1, 0) og e y = (0, 1) 12 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

13 Vi skl ikke gjøre mye ruk v disse etegnelsene i dette kpitlet, men det er greit å vite om dem. Før vi går videre, tr vi oss tid til noen få ord om hv vektorer kn rukes til i fysikk. Der rukes vektorer til å eskrive fysiske fenomener som hr åde retning og størrelse, som for eksempel hstigheter og krefter. Når mn kjører i en il, er det ikke re viktig å vite hvor fort mn kjører retningen hr også noe å si. Mn kn derfor eskrive hstigheten som en vektor der lengden ngir hvor fort mn kjører, og der retningen til vektoren forteller hvilken vei mn kjører. Når mn ruker en krft for å flytte en gjenstnd, drr mn ikke re med en viss styrke, men også i en estemt retning. For å eskrive en slik krft, ruker mn en vektor der lengden ngir styrken mn drr med, og retningen ngir hvilken vei mn drr. Dersom det er flere krefter som trekker gjenstnden i hver sin retning, lir den smlede krften (resultnten) summen v lle disse vektorene. Oppgver 1. Vi hr vektorene = ( 2, 1) og = (1, 3).Tegn,, +, i smme koordintsystem. 2. L = ( 1, 3) og = (2, 3). Tegn punktene +, + 2, og 2 i smme koordintsystem. Beskriv mengden v lle punkter + t. 3. Tegn et punkt = (, ). Tegn deretter punktene (, ), (, ),(, ). Kommenter. 4. Finn vstnden fr ( 7, 8) til (6, 3). 5. Vnnet i en elv renner med en frt på 1 m/s. Du kn svømme med en frt på 2 m/s reltivt til vnnet. I hvilken retning ør du svømme dersom du skl til et punkt tvers over elven? Hvor lng tid ruker du på turen dersom elven er 50 meter red? Sklrproduktet Sklrproduktet v de to vektorene = ( 1, 2 ) og = ( 1, 2 ) er gitt på vnlig måte: = Vi ser t vi kn uttrykke lengden til ved hjelp v sklrproduktet på denne måten: Sgt på en nnen måte er = = 2 Denne smmenhengen er grei å ruke når vi skl skrive opp kvdrtsetningene for vektorer. T1.2.1 Kvdrtsetninger for vektorer Dersom og er to vektorer i plnet, gjelder: () + 2 = () 2 = (c) ( + ) ( ) = 2 2 Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 13

14 Bevis: Disse formlene kn evises på flere måter mn kn for eksempel regne ut egge sider og se t mn får det smme svret, eller mn kn ruke regnereglene T1.1.5 fr forrige seksjon. Som et eksempel skl jeg vise hvordn mn ruker regnereglene til å vise punkt () de ndre punktene greier du sikkert selv. Vi strter med venstresiden og regner ut (prøv å finne ut hvilke regneregler som rukes i hvert trinn): + 2 = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = = To vektorer og estemmer en vinkel v mellom 0 og 180 som vist på figur T Vi kller dette vinkelen mellom og. Legg merke til t dersom vi eveger oss i positiv omløpsretning, vil denne vinkelen noen gnger strte i og ende i (se figur T1.2.5 og ndre gnger strte i og ende i (se figur T I det første tilfellet sier vi t pret (, ) er positivt orientert, i det ndre tilfellet t det er negtivt orientert. Her er åpenrt rekkefølgen til vektorene viktig er første vektor og er ndre vektor. Bytter vi om rekkefølgen v vektorene, ytter vi også orientering. y y v v x x Figur T1.2.5 Vinkelen v Som de fleste vil huske fr skolemtemtikken, kn sklrproduktet uttrykkes geometrisk ved hjelp v vinkelen v: = cos v (1.1) At sklrproduktet kn uttrykkes på to vidt forskjellige måter (åde som = og som = cos v), er svært nyttig. Den første måten er grei når mn skl regne ut sklrprodukter eller evise regneregler, mens den ndre måten gjør det mulig å ruke sklrproduktet som et redskp i geometriske resonnementer. Siden det geometriske uttrykket (1.1) for sklrproduktet er så viktig, skl vi utlede det her selv om det er kjent fr videregående skole. Det er flere utledninger å velge mellom, men den vi skl ruke, hr den fordelen t den også fungerer for vektorer i rommet. Før vi strter på utledningen, minner jeg om cosinussetningen fr 1T: Gitt en treknt som på figur T D er c 2 = cos u 14 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

15 (husker du ikke denne setningen, finner du en utledning i oppgve ). Siden cos u = cos v (hvorfor?), kn denne formelen også skrives c 2 = cos v (1.2) c u v Figur T1.2.6 Cosinussetningen vi t Bevis for formel (1.1): Bruker vi formel (1.2) på treknten i figur T1.2.7, ser + 2 = cos v y v x Figur T1.2.7 Dersom vi isteden ruker den første kvdrtsetningen ovenfor, får vi: + 2 = Skl disse to uttrykkene være like, må og eviset for (1.1) er fullført. = cos v Formel (1.1) er grei å ruke når mn skl finne vinkelen mellom to vektorer. T1.2.2 Eksempel Finn vinkelen v mellom vektorene = (4, 1) og = ( 2, 3). Vi hr cos v = 4 ( 2) + ( 1) 3 = = En lommeregner forteller oss t v rccos( 0.74) Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 15

16 Som det neste eksemplet på smmenhengen mellom sklrproduktet og geometri, skl vi undersøke når vektorer er prllelle eller står normlt på hverndre (også dette er kjent fr skolemtemtikken). Husk t to ikke-null vektorer og står normlt på hverndre dersom vinkelen mellom dem er 90,ogtdeerprllelle dersom vinkelen mellom dem er 0 eller 180 (vektorer som peker i motstt retning, regnes ltså som prllelle). Når to vektorer står normlt på hverndre, sier vi ofte t de er ortogonle. T1.2.3 Setning L og være to vektorer i plnet forskjellig fr 0. D gjelder: () med likhet hvis og re hvis og er prllelle. () og er ortogonle hvis og re hvis = 0. Bevis: () Siden = cos v og cos v 1, er = cos v med likhet hvis og re hvis cos v =1, dvs. når v er lik 0 eller 180 grder. () Siden og er forskjellige fr 0, kn = cos v re være 0 fordi cos v = 0, og det skjer re når v er 90 grder. T1.2.4 Eksempel For å vise t vektorene = ( 3, 4) og = ( 2, 3 2) er ortogonle, sjekker vi t sklrproduktet er lik 0: = ( 3) = = 0 Altså er vektorene ortogonle. Tidligere i oken hr vi møtt trekntulikhetene for reelle og komplekse tll. Nå kommer trekntulikheten for vektorer: T1.2.5 Trekntulikheten Dersom og er to vektorer i plnet, så er + + Bevis: Geometrisk sier denne setningen t lengden til én side i en treknt lltid er mindre enn summen v de to ndre (forklr!). Vi kn gi et lgerisk evis ved å kominere første kvdrtsetning og setning T1.2.3() ovenfor: + 2 = = ( + ) 2 Siden åde + og + er positive, må Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

17 Vi skl nå ruke den geometriske tolkningen v sklrproduktet til å studere projeksjoner. Figur T1.2.8 viser projeksjonen p v ned på. Projeksjonen p er vektoren som er prllell med og så lng t p står normlt på. y p p x Figur T1.2.8 Projeksjonen p v ned på Vi skl finne et uttrykk for p. Siden p er prllell med,måp = t for ett eller nnet tll t. Siden p står ortogonlt på, må vi derfor h: 0 = ( p) = ( t) = t 2 Løser vi denne ligningen med hensyn på t, får vi t = 2 Dette etyr t Vi får dermed dette resulttet: p = 2 T1.2.6 Setning Ant t og er to ikke-null vektorer i plnet. D er projeksjonen p v ned på gitt ved: p = 2 Lengden til projeksjonen er p = Bevis: Den første formelen hr vi llerede utledet. Den ndre kn vi for eksempel finne med følgende regnestykke: p = t = = 2 Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 17

18 T1.2.7 Eksempel Finn lengden til projeksjonen p v = (2, 5) ned på = (3, 4). Vi hr ( 5) 4 p = = = Projeksjonen v en vektor ned på en nnen vektor rukes ofte i fysikk og meknikk. Ved hjelp v projeksjonen p kn vi skrive som en sum v to ortogonle vektorer p og p der den ene () er prllell med og den ndre står normlt på. Dette klles å dekomponere. Dekomposisjon rukes mye i forindelse med krefter der vi ofte er interessert i den komponenten v krften som peker i en spesiell retning (gjerne den retningen vi ønsker t krften skl virke i). Oppgver 6. Finn sklrproduktet v ( 2, 3) og (4, 1). Finn også vinkelen mellom vektorene. 7. =4, =5 og vinkelen mellom og er 45. Finn. 8. Finn vinkelen mellom vektorene = (4, 3) og = ( 1, 3). Finn også projeksjonen v ned på. 9. Hvor lng er projeksjonen v ( 3, 4) ned på (1, 2)? 10. Finn vinkelen som hver v vektorene = ( 3, 1) og = (1, 1) dnner med x-ksen. Regn ut og ruk svret til å finne et ekskt uttrykk for cos(15 ). 11. Skriv = (4, 3) som en sum v to vektorer og c der er prllell med d = (1, 2) og c står normlt på d. 12. =6, =4, + =3. Finn. 13. =3, =4og + =5. Finn vinkelen mellom og. 14. Per påstår t hn hr to vektorer og slik t =3, =2og + =7. Hvorfor tror du ikke på hm? 15. Kri påstår t hun hr to vektorer og slik t =7, =2og =4. Hvorfor tror du ikke på henne? 16. Bevis punkt () og (c) i setning T Husk t d(, ) =. Bevis t d(, ) d(, c) + d(c, ) for lle vektorer,, c. Hv er den geometriske tolkningen v denne ulikheten? 18. Ant t og c står normlt på. Vis t og c er prllelle. 18 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

19 19. Forklr t på figuren nedenfor er ( + cos v) 2 + ( sin v) 2 = c 2. c sin v u v cos v Bruk dette til å evise cosinussetningen c 2 = cos u når vinkel u er stump (dvs. større enn 90 ). Bruk en tilsvrende figur til å evise cosinussetningen når vinkel u er spiss (dvs. mindre enn 90 ). 20. Vis t for lle vektorer x og y gjelder x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2 Vis t i et prllellogrm er summen v kvdrtene v sidene lik summen v kvdrtene v digonlene. Prmeterfremstilling Vi skl nå se litt på hvordn vektorer kn rukes til å studere linjer i plnet. Du er vnt til å eskrive linjer ved hjelp v ligninger v typen y = x +. I vektorregning er det ofte nyttigere å ruke en nnen eskrivelse v linjer. Vi tr utgngspunkt i en linje som går gjennom et punkt = ( 1, 2 ) og er prllell med vektoren = ( 1, 2 ) (se figur T1.2.9). y x Figur T1.2.9 Rett linje gjennom prllell med Siden enhver vektor t er prllell med, ser vi t lle punkter v typen + t må ligge på linjen (se figur T1.2.10). Det er heller ikke så vnskelig å overevise seg om t ethvert punkt på linjen må være v formen + t for ett eller nnet tll t. Vi hr dermed kommet frem til t de punktene som ligger på den rette linjen, er nøyktig de som er v typen + t for et reelt tll t. Bruker vi koordinter, ser vi t + t = ( 1, 2 ) + t( 1, 2 ) = ( 1 + t 1, 2 + t 2 ) Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 19

20 Dette uttrykket kller vi en prmeterfremstilling for den rette linjen. Det er ofte greit å h et kortere nvn på prmeterfremstillingen, og vi skriver d gjerne r(t) = ( 1 + t 1, 2 + t 2 ) Tenk på r(t) som et punkt som eveger seg lngs linjen når t endrer seg. y t t x Figur T Prmeterfremstilling v en rett linje T1.2.8 Eksempel Vi skl finne en prmeterfremstilling for den rette linjen som går gjennom punktet = (2, 3) og er prllell med = ( 1, 4). Deretter skl vi undersøke om punktet (5, 2) ligger på linjen. Etter formelen ovenfor får vi: r(t) = + t = (2, 3) + t( 1, 4) = (2 t,3 + 4t) L oss sjekke om punktet (5, 2) ligger på linjen. D må det finnes et tll t slik t (2 t,3 + 4t) = (5, 2), det vil si t vi må h 2 t = 5 og 3+ 4t = 2 Løser vi den første ligningen, får vi t = 3, men prøver vi denne løsningen i den ndre ligningen, ser vi t den ikke psser. Det etyr t punktet ikke ligger på linjen (hdde t = 3 psset i denne ligningen også, ville punktet h ligget på linjen). Hittil hr vi eskrevet en linje ved å oppgi t den går gjennom et gitt punkt og er prllell med en gitt vektor, men ofte er det ndre eskrivelser som er mer nturlige, for eksempel å oppgi to punkter som linjen går gjennom. Hvordn finner vi en prmeterfremstilling for linjen som går gjennom de to punktene = ( 1, 2 ) og c = (c 1,c 2 )? Det er lett vi oserverer re t denne linjen må være prllell med vektoren = c (se figur T1.2.11), og ruker deretter formelen ovenfor. y c c x Figur T En rett linje gjennom to gitte punkter 20 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

21 T1.2.9 Eksempel Vi skl finne en prmeterfremstilling for den rette linjen som går gjennom punktene = (3, 5) og c = ( 1, 4). Vi ser t = c = ( 1 3, 4 ( 5)) = ( 4, 9). Dermed lir prmeterfremstillingen r(t) = + t = (3, 5) + t( 4, 9) = (3 4t, 5 + 9t) Prmetriserte linjer kn rukes til å eskrive jevne, rettlinjede evegelser. Her er et enkelt eksempel: T Eksempel I dette eksemplet er lle vstnder målt i nutiske mil. En fiskeåt efinner seg ved tidspunktet t = 0 i punktet (2, 3) og eveger seg med en jevn frt v 9 nutiske mil per time i retningen (3, 4). Finn åtens posisjon etter t timer. Siden vektoren d = (3, 4) hr lengde 5, vil åten i løpet v en time h forflyttet seg en strekning gitt ved 9 5d. I løpet v t timer vil den derfor h forflyttet seg en strekning d. Siden strtposisjonen er e = (2, 3), må posisjonen etter t timer være: 9t 5 r(t) = e + 9t 5 9t 27t d = (2, 3) + (3, 4) = ( , t 5 ) L oss t med et litt mer omfttende eksempel. T Eksempel Linjen l går gjennom punktene = ( 1, 2) og = (1, 3).Vi skl finne det punktet på l som ligger nærmest punktet c = (2, 6). Det er flere måter å gå frem på, men unsett hvilken vi velger, trenger vi først å finne en edre eskrivelse v punktene på l. Velger vi å ruke prmeterfremstilling, regner vi først ut vektoren d = = (1 ( 1), 3 2) = (2, 1). Prmeterfremstillingen lir dermed r(t) = + td = ( 1, 2) + t(2, 1) = ( 1 + 2t,2 + t) Vi må nå finne ut hvilket v disse punktene som ligger nærmest c. Det må være det punktet r(t) der vektoren c r(t) står ortogonlt på linjen l (se figur T1.2.12), eller, med ndre ord, ortogonlt på vektoren d. Dette etyr t vi må h (c r(t)) d = 0 y c c r(t) r(t) l d x Figur T Punktet på l nærmest c Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 21

22 Siden (c r(t)) = (2, 6) ( 1 + 2t,2 + t) = (3 2t,4 t) ser vi t (c r(t)) d = (3 2t, 4 t) (2, 1) = (3 2t) 2+(4 t) 1 = 6 4t +4 t = 10 5t Skl dette uttrykket være lik 0, må vi h t = 2. Det punktet på l som ligger nærmest c finner vi ltså ved å sette t = 2: r(2) = ( , 2 + 2) = (3, 4) Oppgver 21. Finn en prmeterfremstilling for linjen gjennom ( 3, 2) prllell med (1, 2). Sjekk om punktet ( 7, 6) ligger på linjen. 22. Finn en prmeterfremstilling for linjen som går gjennom punktene (2, 1) og (3, 8). 23. Finn en prmeterfremstilling for linjen som går gjennom (5, 2) og som står normlt på ( 1, 2). 24. Finn en prmeterfremstilling for linjen som hr ligning 2x + 3y = En linje hr prmeterfremstilling ( 3 + 2t,2 t). Finn en ligning v typen y = x + for denne linjen. 26. En linje går gjennom punktene (0, 1) og (3, 2). Finn det punktet på linjen som ligger nærmest (3, 4). 27. En linje går gjennom (3, 1) og er prllell med (1, 2). Finn vstnden fr punktet (1, 5) til linjen. 28. En linje går gjennom punktet (1, 2) og står normlt på vektoren (3, 4). Finn det punktet på linjen som ligger nærmest (9, 2). 29. I denne oppgven skl vi løse prolemet i eksempel T på en nnen måte. ) Forklr hvorfor vstnden fr punktet c = (2, 6) til punktet r(t) på linjen er (2t 3)2 + ( 4 + t) 2. ) Forklr hvorfor vstnden fr c til r(t) er minst når f(t)= (2t 3) 2 + ( 4 + t) 2 er minst. c) Deriver f(t)og ruk resulttet til å finne det punktet på linjen som ligger nærmest c. 30. En linje hr ligning x + y = c. Vis t vstnden fr et punkt (x 0,y 0 ) til linjen er x 0 + y 0 c To skip er på kryssende kurs. Ved tiden t = 0 er det ene skipet i punktet (0, 4), og det ndre skipet i punktet (39, 14) (lle vstnder er målt i nutiske mil.) Det første skipet eveger seg prllelt med vektoren (3, 4) med en frt v 15 knop (1 knop = 1 nutisk mil per time). Det ndre skipet eveger seg prllelt med vektoren ( 12, 5) med en frt v 13 knop. ) Hvor vil kursene krysse hverndre? ) Vil skipene kollidere? 22 Tilleggskpittel 1 Vektorregning og prmetriserte kurver

23 32. I sin evige jkt etter honning forsøker Ole Brumm å invdere et tre ved hjelp v en llong. Plutselig lir llongen ttt v et vindkst og frer v sted med Ole Brumm. Etter å h tenkt seg om et øyelikk, innser Kristoffer Roin t hns eneste sjnse til å redde vennen er å skyte istykker llongen med lekegeværet sitt. Figuren nedenfor viser en skisse v situsjonen. y (0,6) (4,3) u (20, 0) x Når vindkstet kommer ved tiden t = 0, efinner llongen seg i punktet (0, 6). Den lir ført v gårde med en frt v 5 m/s i retningen (4, 3). Ved tiden t = 2 skyter Kristoffer Roin mot llongen fr sin posisjon (20, 0). Vinkelen mellom geværet og underlget er u, og vi regner med t kulen eveger seg rettlinjet med en frt v 70 m/s. Alle vstnder er målt i meter og tiden er målt i sekunder. ) Forklr t llongens posisjon ved tiden t er (4t,6 + 3t). ) Vis t kulens posisjon ved tiden t er (20 70(t 2) cos u, 70(t 2) sin u). c) Hvilken vinkel u må Kristoffer Roin holde geværet i for å treffe midt i llongen? Hvor lngt er det ned til kken når llongen lir truffet? Determinnter, reler og orientering En 2 2-determinnt er et uttrykk c d (1.3) der,, c og d er fire tll. Dette uttrykket kn se mystisk ut, men det er rett og slett definert ved c d = d c Legg merke til t uttrykket d c fremkommer fr digonlene i c d ; gnger vi smmen tllene i den ene digonlen, får vi d, og gnger vi smmen tllene i den ndre digonlen, får vi c. Mn kn selvfølgelig lure på hvorfor mn trenger et så komplisert symol som c d for det enkle uttrykket d c. Det er det ikke så enkelt å forklre nå, men når du senere lærer om mtriser og generelle n n-determinnter, vil du se t denne definisjonen psser inn i et generelt system (vi skl se litt på 3 3-determinnter i neste seksjon). Seksjon T1.2 Vektorer i plnet 23

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Vektorregning. En kort innføring for MAT 100. Tom Lindstrøm

Vektorregning. En kort innføring for MAT 100. Tom Lindstrøm Vektorregning En kort innføring for MAT 100 Tom Lindstrøm Forord Dette heftet er skrevet som en kort innføring i vektorregning for studentene i kurset MAT 100 ved Universitetet i Oslo. Selv om de fleste

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet

Geometri. Kapittel 3. 3.1 Vektorproduktet Kapittel 3 Geometri I dette kapitlet skal vi benytte den teorien vi utviklet i kapittel 1 og 2 til å studere geometriske problemstillinger. Vi skal se på kurver og flater, og vi skal også studere hvordan

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER Mirosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER INNHOLDSFORTEGNELSE: Opprette en ny presentsjon: «Ml» vs. «tomt skll» Bilder: Sette inn ilder fr Google ildesøk. Bilder: Sette inn llerede lgrede ilder. Bilder:

Detaljer

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen? Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr

Detaljer

Kvalitetssikring av elektronisk pasientjournal - Skjema 1

Kvalitetssikring av elektronisk pasientjournal - Skjema 1 70778 EPJ Kvlitetssikring Skjem v. Hllvrd Lærum (tlf. 79886) Kvlitetssikring v elektronisk psientjournl - Skjem I dette spørreskjemet ønsker vi å få vite noe om din prktiske ruk v og ditt syn på elektronisk

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215 2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

Løsninger til oppgaver i boka

Løsninger til oppgaver i boka Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005 SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede

Detaljer

Snarveien til. MySQL og. Dreamweaver CS5. Oppgaver

Snarveien til. MySQL og. Dreamweaver CS5. Oppgaver Snrveien til MySQL og Dremwever CS5 Oppgver Kpittel 1 Innledning Oppgve 1 Forklr kort hv som menes med følgende egreper: disksert weområde serversert weområde Oppgve 2 Hv er viktig å tenke gjennom når

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak Tvng og mkt Omfng v tvng og mkt, og kommunl kompetnse Hv er tvng og mkt? Tiltk som tjenestemottkeren motsetter seg eller tiltk som er så inngripende t de unsett motstnd må regnes som ruk v tvng eller mkt.

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

Montering av Grand Star leddporter

Montering av Grand Star leddporter Montering v Grnd Str leddporter Slik holder du porten fin i mnge år Før du strter å mle, gi porten ett til to strøk Visir eller tilsvrende grunning. Bruk nerkjent, god husmling. To til tre strøk er å nefle.

Detaljer

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj. Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?

Detaljer

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007 Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012 Forkurs i mtemtikk til MAT-, ugust Kompendium v Amir Hshemi, HiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Institutt for Mtemtikk og Sttistikk, UiT, Høsten Innhold Forord... Kpittel Test deg

Detaljer

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter.

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter. Hvorfor reider vi? 1 Hv er viktig med jo? Sett kryss og diskuter. For meg er det viktig à treffe mennesker! Ti 3 Er Det er lnn som er viktisstl Jeg symes det er viktig á fà ruke evnene mine. Det er viktig

Detaljer

Leger. A. Om din stilling. Klinisk stilling: Turnuslege Assistentlege Overlege. B. Om din erfaring med bruk av datamaskin. 1 Eier du en datamaskin?

Leger. A. Om din stilling. Klinisk stilling: Turnuslege Assistentlege Overlege. B. Om din erfaring med bruk av datamaskin. 1 Eier du en datamaskin? 2357434042 A. Om din stilling Leger 1 11 Kryss v slik: Ikke slik: Klinisk stilling: Turnuslege Assistentlege Overlege B. Om din erfring med ruk v dtmskin 1 Eier du en dtmskin? J Nei 2 Hvor mnge fingre

Detaljer

Øving 13, løsningsskisse.

Øving 13, løsningsskisse. TFY455/FY3 Elektr & mgnetisme Øving 3, løsningsskisse nduksjon Forskyvningsstrøm Vekselstrømskretser nst for fysikk 5 Oppgve nduktns for koksilkbel ) Med strømmen jmt fordelt over tverrsnittet på lederne

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE nstitutt for mtemtiske relfg og teknologi EKSAMEN FYS135 - ELEKTROMAGNETSME Eksmensdg: 12. desember 2003 Tid for eksmen: Kl. 14:00-17:00 (3 timer) Tilltte hjelpemidler: B2 - Enkel

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................

Detaljer

Flervariabel analyse med lineær algebra

Flervariabel analyse med lineær algebra Flervariabel analyse med lineær algebra av Tom Lindstrøm og Klara Hveberg Matematisk institutt og Senter for matematikk for anvendelser (CMA) Universitetet i Oslo Revidert versjon for vårsemesteret 2009

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

Lokalt gitt eksamen 2010

Lokalt gitt eksamen 2010 Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 28. mi Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 9 Del 3: oppgve 12 13

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Lokalt gitt eksamen 2010. Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: 18. august

Lokalt gitt eksamen 2010. Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: 18. august Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 18. ugust Del 1: oppgve 1 4 Del 2: oppgve 5 10 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 10 Del 3: oppgve 11

Detaljer

Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007

Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007 Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 007 Mtemtikk sentrlt gitt eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Vurderingsveiledning til sentrlt gitt eksmen i Kunnsksløftet

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: sommerskolen

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: sommerskolen Loklt gitt eksmen 2011 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: sommerskolen Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 10 Del 3: oppgve

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Matematikk Oppgavesamling

Matematikk Oppgavesamling Mtemtikk Oppgvesmling Odd T Heir Gunnr Erstd John Engeseth Ørnulf Borgn Per Inge Pedersen BOKMÅL Mtemtikk T Oppgvesmling er en del v læreverket Mtemtikk T. Verket dekker målene i læreplnen v 00 for Mtemtikk

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004 NTNU Side 1 v 7 Institutt for fysikk Fkultet for nturvitenskp og teknologi Dette løsningsforslget er på 7 sider. Løsningsforslg til eksmen i TFY417 Fysikk Fysikk Torsdg. desember 4 Oppgve 1. Kvntemeknikk

Detaljer

RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015

RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015 RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 015 Utdnningsrogrm: Yrkesfg Fgkoder: MAT1, MAT6 Årstrinn: Vg1 Ogveroduksjon: En lokl ogvenemnd lger ogver til ordinær eleveksmen og sommerskolen.

Detaljer

KAP. 5 Kopling, rekombinasjon og kartlegging av gener på kromosomenen. Kobling: To gener på samme kromosom segregerer sammen

KAP. 5 Kopling, rekombinasjon og kartlegging av gener på kromosomenen. Kobling: To gener på samme kromosom segregerer sammen KP. 5 Kopling, rekominsjon og krtlegging v gener på kromosomenen OVERSIKT Koling og meiotisk rekominsjon Gener som er kolet på smme kromosom skilles vnligvis ut smmen. Kolede gener kn li seprert gjennom

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag for elever og privatister

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag for elever og privatister Lokl gitt eksmen 2011 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside:

Detaljer

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket

Detaljer

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538 5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter

Detaljer

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014)

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014) R Eksmen V04 R eksmen våren 04. (9.05.04) Løsningsskisser (Versjon 3.0.4) Del - Uten hjelpemidler Oppgve ) fx sinu; u 3x Kjerneregel: f x f uu x cosu3 3 cos3x b) e x e x med kjerneregel som i ) Produktregel:

Detaljer