S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka"

Transkript

1 S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E (995 5) ( ) E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) ( (000 )(000 + ) (000 7)( ) 000 (000 7 ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( 6) ( ) 5 5 Aschehoug Side 1 v 79

2 E4 c E5 + + ( )( ) + ( + ) + ( )( + ) ( )( + ) + + ( )( + ) (100 1)( ) Vi trekker uttrykket til venstre fr uttrykket til høyre. ( + y) ( + y ) y+ y y 40 y 40 ( 5) (1 )(1 ) + y (1 ) ( 4) ( 4) 4 (+ 4) ( 4) 4 ( 4) 1 Aschehoug Side v 79

3 ( + ) ( 4) c ( ) 4 + ( )( ) ( 4) ( 4) 4+ ( 4) ( 4) 1 d E6 (4 ) ( 5) ( 5) 19 + ( + 5) + ( 5) ( 5)( 5) 19 + (+ 15) ( 5) ( 5) 4 5 Vi løser først ndregrdslikningen ± ± ± 1 L {, } Påstnd 1 er gl fordi det er to løsninger på likningen, og her lir det re oppgitt én. Påstnd er korrekt fordi gir en løsning på likningen. Påstnd er gl fordi påstnd 1 er gl. Aschehoug Side v 79

4 E7 c d E8 9 ( ) lg + lg + lg( + ) lg lg lg lg lg( ) lg lg + lg( + ) lg + lg( + ) ( ) lg ( + ) + lg( ) 0 ( ) ( 4) 0+ ( 1) 1 0 lg( ) lg + lg( ) lg + lg (lg lg ) + lg + lg lg + lg lg + lg + lg + lg 6lg lg lg lg + lg + lg (lg 5lg ) lg( ) + 5 lg + 10 lg ( ) ( 1)( 1) ( )( 1) (4 1) + ( + ) Aschehoug Side 4 v 79

5 E9 E10 ( + 5) Vi løser ndregrdslikningen ± ( 14) 5 ± ± 81 5± 9 L { 7, } Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like ( 6) Vi løser ndregrdslikningen ± ( 6) 1± ± 5 1± 5 L {,} Aschehoug Side 5 v 79

6 c E Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Vi løser ndregrdslikningen ± ( ) 1± ± 9 1± L {, 1} Aschehoug Side 6 v 79

7 c d E1 c Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren ( ) 6 4 Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren 1. 6( ) Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren 6. ( + 6) Aschehoug Side 7 v 79

8 d E Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren ( 6) Vi løser ndregrdslikningen ± ( 6) 1± ± 5 1± 5 L {, } Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren ( 1)( + 1). ( + 1) ( 1) Vi løser ndregrdslikningen ( 1) ± ± ± 64 4± 8 L { 6, } Aschehoug Side 8 v 79

9 c d ( + 1)( ) 0 ( ) ( ) 0 0 Vi løser ndregrdslikningen ± ( 1) ( ) 1± ± 9 1± L { 1, } 1 (+ )( 1) ( 1)( + ) 0 + ( + ) L { 1, 1} E14 0 v v + t v v t v v 0 0 t v v t Aschehoug Side 9 v 79

10 E E (1 + ) (1 )(1 + ) 1 1+ Vi setter ntll sekker jørkeved som og ntll sekker grnved som y. Vi får likningssettet I: + y 0 II: 8+ 65y 1570 Vi løser likning (I) for III: 0 y Vi setter (III) inn i likning (II) 8(0 y) + 65y y+ 65y y 90 y 5 Vi setter svret inn i (III) Hrld kjøpte 15 sekker jørkeved og 5 sekker grnved. Aschehoug Side 10 v 79

11 E17 I: y 4 Løsninger til oppgvene i ok II: 4 + y 1 Vi ser t likning (I) er enklest å løse, og i likning (II) er det lettest å sette inn for y. III: y + 4 Vi setter inn i likning (II). 4 + ( + 4) (+ ) 0 0 Vi setter inn i likning (III). y + 4 y L,7, (0, 4) E18 I: y 6 II: y+ 4 Vi setter (I) inn i (II). (6 ) Vi løser ndregrdslikningen. 0 ± 4 10 ( 1) ( 1) ± ± 7 5 Vi setter inn i (I). y 6 ( ) y L (,8),(5,1) { } Aschehoug Side 11 v 79

12 E19 Løsninger til oppgvene i ok I: y II: y+ Vi ser t likning (II) er enklest å løse, og i likning (I) er det lettest å sette inn for y. III: y Vi setter inn i likning (I) ( 5) Vi setter inn i likning (III). y 0 y 5 8 L 0,,(5, 8) {( ) } E > 4 + Vi multipliserer med fellesnevneren i lle ledd. ( ) + > > > > 1 > ( + ) Vi finner nullpunktene til venstresiden. ± 4 1 ( ) 1 ± 4+ 8 ± 1 1 ± 1 1± 4 1± 1 1 Aschehoug Side 1 v 79

13 Vi fktoriserer uttrykket. ( ( ))( ( )) ( + + )( + ) L, 1 1, c ( + 1)( ) < 0 L, 1, d ( 6) 0 L [ 6,6] Aschehoug Side 1 v 79

14 E1 c Vi løser ndregrdslikningen ± ( 8) ± 4 + ± 6 ± 6 L { 4, } 7 1+ Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like. 1+ lg( + 1) 4 lg( + 1) lg( + 1) E L 10 lg l + 10 L lg l L 10 lg l 10 lg l 0,1l 1 l 10 l 0,1 1 Aschehoug Side 14 v 79

15 E Vi strter med å ruke t funksjonen krysser i punktet (, 0). f () Funksjonen krysser også i punktet (0, 6). f (0) Vi setter inn i uttrykket ( 6) 0 6 og 6 Løsninger til oppgvene i ok Aschehoug Side 15 v 79

16 E4 Vertikl symptote er 1 som gir uttrykket c c 1 Horisontl symptote er som gir uttrykket for store verdier v. + f( ) c 1 c c 1 Vi ser t funksjonen går gjennom punktet (0, ). Vi ruker dette til å finne. f (0) 0 + c 0 1 1,, og c 1 E5 I: y+ 8 II: y 9 Vi løser likning (I) for. III: 8 y Vi setter inn i (II). y 9 (8 y) y 9 8+ y y y 1 y 1 Vi setter inn i (III) L {(6, 1)} Løsninger til oppgvene i ok Aschehoug Side 16 v 79

17 Vi tegner linjene 0 og y 0 Vi omformer de to siste for å få y lene på venstresiden. + y 8 + y 9 y 8 og y 9 y 4 1 y 1 Vi tegner opp linjene og skrverer området som oppfyller lle ulikhetene. c Sy (, ) + y S, ,5 10,5 d Vi tegner inn en linje der vi velger t S y y + 6 y + Stigningstllet til denne linj er, som er mindre enn egge linjene vi tegnet i oppgve. Den største verdien S (, y ) kn h, er dermed gitt ved punktet (8, 0), se figuren. S(8,0) Aschehoug Side 17 v 79

18 E6 Vi tegner inn linjene 0 og y 0. Vi omformer de to siste for å få y lene på venstresiden. + y 6 + y 6 y 6 og y 1 y 6 Vi tegner opp linjene og skrverer området som oppfyller lle ulikhetene. Aschehoug Side 18 v 79

19 E7 Vi tegner inn linjene 0 og y 0. Vi omformer de to siste for å få y lene på venstresiden. + y + y 6 og y y 6 Vi tegner opp linjene og skrverer området som oppfyller lle ulikhetene. E8 Vet t en lineær funksjon er gitt ved y +. Verdien til er y-verdien der funksjonen krysser y-ksen. Stigningstllet til funksjonen som går gjennom punktet (0, 6), er 1 og gir funksjonen y 6. 1 Stigningstllet til funksjonen som går gjennom punktet (0,) og (6, 0), er og gir 1 funksjonen y. Stigningstllet til funksjonen som går gjennom punktet (0,) og (, 4), er 1 1 funksjonen y +. Ulikhetene lir y 6 1 y 1 y + og gir Aschehoug Side 19 v 79

20 Vi setter Sy (, ) 8 og ordner likningen y 8y 8 1 Løsninger til oppgvene i ok y 1 Siden stigningstllet er mindre enn noen v ulikhetene i oppgve, vil nivålinj gå rttere nedover mot høyre enn noen v ulikhetene. D vil Sy (, ) få sin høyeste verdi ved punktet (6, 0). c Vi setter Zy (, ) 1 og ordner likningen y E9 y 1 Denne funksjonen hr likt stigningstll med ulikheten y 6 og derfor vil lle punktene som gir heltllige koordinter lngs denne funksjonen gi størst verdi v Z. Vi leser v grfen og finner punktene (, 4), (, ), (4, ), (5, 1), og (6, 0). Aschehoug Side 0 v 79

21 c Vi setter Z(, y ) 1 og ordner likningen. 1 y+ y 1 Stigningstllet til denne linj er, som er mindre enn egge linjene vi tegnet i oppgve. Den største verdien Z(, y ) kn h, er dermed gitt ved punktet (5, 0), se figuren. Verdien til Z lir d Z(5, 0) Aschehoug Side 1 v 79

22 E0 c d E1 lg + 5 lg 5 lg lg lg lg lg 8 lg (lg1 lg ) 8 lg 0 + lg 8 4lg 8 lg lg 100 lg( + ) + lg( ) lg 5 ( ) lg ( + )( ) lg 5 lg( ) lg 5 4 lg( 4) lg lg 9 ± Bre er en mulig løsning. lg 10 lg lg + lg 10 5lg 10 lg lg 10 lg Aschehoug Side v 79

23 c lg lg( ) lg lg lg( ) + lg lg lg lg( 5) lg lg( 5) 10 lg( 5) 10 4 lg( 5) 6 lg( 5) E Vi finner symptotene for å lge hjelpelinjer. Vi finner så nullpunktet og deretter en verditell for flere punkter for å kunne tegne grfen. Vertikl symptote: Horisontl symptote: f( ) 1 Nullpunkt: ( 1) Verditell: f( ), ,5 Aschehoug Side v 79

24 E f ( ) + + ( 1) f ( ) 0 ( 1) f ( 0 ) + + c 7 f (1) Bunnpunktet er (0, ), og toppunktet er 1, 7. f () Både unnpunktet og toppunktet ligger på oversiden v -ksen. Grfen vil synke etter toppunktet og vil først d krysse -ksen og få negtive y-verdier, som vi hr vist ved å regne ut f () 7. Aschehoug Side 4 v 79

25 E4 f ( + ) f( ) f ( ) lim 0 Vi gjør mellomregning. f( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + + ( ) ) + + ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) Vi setter inn i uttrykket. f( + ) f( ) + + ( ) + ( ) ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) Vi fktoriserer ut. ( + ( ) 1 ) Vi lr så nærme seg null. f( + ) f( ) f ( ) lim 0 lim + + ( ) ( ) 1 Løsninger til oppgvene i ok E5 O ( ) I ( ) K( ) p (0, ,1 ( p 10) ) Aschehoug Side 5 v 79

26 c E6 O ( ) 0,1 + ( ) , Vi deriverer uttrykket og finner toppunktet. O ( ) 0, , , , Vi multipliserer teller og nevner med Størst produksjonsmengde er når edriften produserer 750 enheter. Løsninger til oppgvene i ok Hvis overskuddet er størst ved 000 produserte enheter, må den deriverte være lik null ved 000. O (000) 0, (10 + p) 0 0, p p 90 p Prisen må være 90 kr. F( ) 0, , + 10 F ( ) 0,0 + 0, Vi setter den deriverte lik null for å finne ekstremlpunktene. 0 0, 0 + 0, 0, 0 0, 0, 0,0 15 Bedriften må produsere 15 enheter for t fortjenesten skl li størst mulig. Overskuddet O ( ) er fortjenesten per vre solgt F( ) multiplisert med ntll vrer solgt. O ( ) F ( ) c ( ) ( 0,01 0, 10) O ,01 0, 10 O ( ) 0, 0 + 0, Vi setter den deriverte lik null. 0 0, 0 + 0, Vi løser ved hjelp v digitlt verktøy Produksjon v 74 enheter gir det største overskuddet. Aschehoug Side 6 v 79

27 (74) 0, , O Ved produksjon v 74 enheter er overskuddet 6471 kr. E7 f f ( ) + + '( ) ( 6) 1 1 ( + )( ) f( ) stiger i intervllet,,. f( ) synker i intervllet,. E8 f ( ) ( ) 0 f ( ) + ( 1) Funksjonen hr toppunkt i (1,1) Aschehoug Side 7 v 79

28 c d Aschehoug Side 8 v 79

29 e Vi leser v grfen og finner skjæringspunktene (, 8) og (, 0). Løsninger til oppgvene i ok E9 Grfen til f stiger når den deriverte er positiv og synker når den deriverte er negtiv, det vil si t f stiger i intervllet, og synker i intervllet,,. Figuren viser et eksempel der nullpunktene er og. Aschehoug Side 9 v 79

30 E40 Dette er et inomisk forsøk, vi ruker inomilformelen P( mynt) ( ) Her må vi summere snnsynlighetene P(minst ) 1 ( P(0 mynt) + P(1 mynt) + P( mynt) ) Vi tr en mellomregning på de snnsynlighetene vi trenger P(0 mynt) ( ) P(1 mynt) ( 1) P( minst ) E Aschehoug Side 0 v 79

31 4 ( ) etyr rd 4, skråkolonne, se figur nedenfor Løsninger til oppgvene i ok c Vi kn d finne verdien til uttrykkene. 4 6 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( + ) Vi setter først opp uttrykket uten tll For å finne tllene forn hvert ledd ser vi på rd nummer 4 i Pscls treknt (eksponenten er 4) og skriver dem forn hvert ledd i rekkefølge ( + ) ( + ) Vi setter først opp uttrykket uten tll For å finne tllene forn hvert ledd ser vi på rd nummer 5 i Pscls treknt (eksponenten er 5) og skriver dem forn hvert ledd i rekkefølge ( + ) E4 En PIN-kode kn h ti tll på hver plss (0 9). Siden det er 4 plsser, er det totlt muligheter. P (riktig kode) Totlt ntll muligheter for kode er nå P (riktig kode) Aschehoug Side 1 v 79

32 E4 c Dette er et inomisk forsøk med 8 hendelser, der hver hendelse hr to utfll. 8 N 56 Det er 56 forskjellige måter å svre på de åtte spørsmålene. Dette er et vlg uten tilkelegging, der rekkefølgen er likegyldig. 6 N 15 Det er 15 måter å trekke ut to temer på. Dette er en hypergeometrisk snnsynlighet. ( ) 1 ( 1) P(1 gutt og 1 jente) 4 ( ) 6 E44 Uttrekning med tilkelegging. N 4 64 Antllet ulike koder vi kn lge, er 64. Uttrekning uten tilkelegging. N 4 4 Antllet ulike koder vi kn lge, er 4. c Minst to like lle mulige koder koder der lle er ulike Antllet koder med minst to like okstver er 40. E45 I Pscls tlltreknt er summen v de to tllene over. Vi setter d opp et likningssett. I: 1+ y II: y+ 16 Vi setter (I) inn i (II). (1 + ) Aschehoug Side v 79

33 Vi setter inn i (I) y y 56 Likningssystemet hr løsningen 5 og y 56. E46 c Leser ut v Pscls tlltreknt. 1 0 ( ) ( 1) 5 ( ) 8 ( ) Dette er hypergeometrisk snnsynlighet. ( ) 5 1 ( ) P(1 gutt og jenter) 8 ( ) d Leser v Pscls treknt t 8 er i rd 8 og kolonne 8 8 ( ) Det skl trekkes ut elever til komiteen. Aschehoug Side v 79

34 E47 ( ) Dette er hypergeometrisk snnsynlighet. 4 4 ( ) ( ) 1 P( gutter og 1 jente) 8 ( ) c P(minst 1 jente) 1 P(ingen jenter) 4 ( ) 4 ( 0) 1 8 ( ) E48 Vi løser venstre side v impliksjonspil. < 4 4< 0 ( + )( ) < 0 Vi tegner fortegnsdigrm. L, Impliksjonen er ikke korrekt Den motstt impliksjonen er heller ikke korrekt. Aschehoug Side 4 v 79

35 E49 Vi viser for et pr tll n+ ( n+ 1) + n n + n + 1 Vi fktoriserer med første kvdrtsetning. ( n + 1) E Impliksjonspil går re mot høyre fordi er en løsning v likningen, men likningen hr flere løsninger, så derfor går den ikke egge veier. E log log 5 log 7 log 5,06 1 Impliksjonen er riktig fordi venstresiden re gir én løsning v likningen på høyresiden. Impliksjonen er ikke riktig fordi venstresiden hr flere løsninger enn den ene gitt på høyresiden. c 1 Den motstte impliksjonen er ikke riktig fordi høyresiden re gir én løsning v likningen på venstresiden. Det er mnge tll som kn oppfylle likningen + y 10. Den motstte impliksjonen er riktig fordi høyresiden er en v løsningene til likningen på venstresiden. Aschehoug Side 5 v 79

36 E5 1 Bker nr. 1 tr hlvprten v melet og et hlvkilogrm, dvs D er det igjen Bker nr. tr hlvprten v melet som er igjen og et hlvkilogrm 1 4 4, dvs D er det igjen c Bker nr. tr hlvprten v melet som er igjen 1 og et hlvkilogrm , 1 1 dvs d Summen v det de tre kerne hr rukt, må være likt melet de hr rukt minus det ene kiloet som er igjen Vi multipliserer med fellesnevner som er E5 For t likningen skl h en løsning, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være lik null. 4c 0 I denne oppgven er ( + ) c Vi setter likningen inn i CAS. Aschehoug Side 6 v 79

37 Vi må i tillegg sjekke om 0 er en mulig løsning. 0 + (0 + ) Vi ser t dette gir også en løsning v likningen. L { 1, 0} For t likningen skl h to løsninger, må uttrykket være større enn null. Vi løser i CAS. L 1, \{ 0} For t likningen ikke skl h noen løsning, må uttrykket være mindre enn null. Vi løser i CAS. L, 1 E54 Vi setter uttrykket inn i CAS og løser. L { 1,05,1,05} Aschehoug Side 7 v 79

38 E55 For t likningen skl h nullpunkter, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være større null. Vi skriver inn i CAS. L, 6 6, Alterntivt L, 4 4, For t likningen skl h re ett nullpunkt, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være større null. Skriver inn i CAS. L { 6, 6} Alterntivt: L { 4, 4} E56 For t likningen skl h én løsning, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være lik null. L {, } Vi setter inn løsningene for inn i uttrykket og løser i CAS. Aschehoug Side 8 v 79

39 Vi viser innsetting v i figuren. L {, } E57 Bilen som kjører fr y A, kjører i 60 km/h og vil d etter en tid t være 60 t unn yen. 1 Bilen fr y B strter 0 minutter seinere, dette tilsvrer t seinere d t er gitt i timer. Smme il kjører i 40 km/h og strter i y B som er 00 km unn y A. Avstnden denne 1 ilen hr kjørt, er d ( t ). Vi skriver likningssystemet inn i CAS og løser. Bilene møtes 18 km fr y A. Aschehoug Side 9 v 79

40 c Bilene skl møtes midt mellom yene, dvs. 100 km fr y A. Vi setter dette inn i likningen for ilen fr y A for å finne tiden det tr å komme dit. Vi finner t det tr 5 timer før ilen hr kommet hlvveis. Vi setter dette inn i likningen for ilen fr y B og ytter ut 40 km/h med en ukjent v for frt. Vi løser dette i CAS og ser t hn må kjøre i 75 km/h. E eskriver t vi ikke kn ruker mer enn 900 tonn veigrus. 0 y 1000 eskriver t vi ikke kn ruke mer enn 1000 tonn pukk. 1,6+ 1, 60y 7 16eskriver t vi ikke kn importere mer enn 1000 m pukk og veigrus. Vi kn d sette opp ulikheten: y , 60 1,6 1, 60 1, 6 y 1, 60 1, ,60 1,6 1, 60 1,6 1,6+ 1, 60y 176 F(, y) y Utslgsprisen på pukk er tllet forn vrielen for pukk, dvs. t utslgsprisen for pukk er 106 kr. Aschehoug Side 40 v 79

41 c Vi skriver inn likningene i en grftegner, smmen med nivålinj (stiplet linje). Vi ser v grfen t forhndleren ør kjøpe 4,5 tonn veigrus og 1000 tonn pukk. E59 0 eskriver t vi lger null eller flere kjøttkker v type A. y 0 eskriver t vi lger null eller flere kjøttkker v type B. 0, 60+ 0, 40y 800 eskriver t mengden hvetemel vi ruker, ikke kn overskride 800 kg. 0, 40+ 0,80y eskriver t mengden kjøttdeig vi ruker, ikke kn overskride 1000 kg. Aschehoug Side 41 v 79

42 Vi tegner likningene og nivålinj (stiplet linje) inn i en grftegner. De må produsere 1100 kg v kjøttkke A og 700 kg v kjøttkke B. c Vi legger til en ny ulikhet + y 1500 og tegner grfen med nivålinje (stiplet linje) inn i en grftegner. De må produsere 500 kg v kjøttkke A og 1000 kg v kjøttkke B. Aschehoug Side 4 v 79

43 E60 0,90+ 0, 40y 0 0, 10+ 0, 60y 5 Silje må lge 0 glss v type A og 5 glss v type B. I Hun tjener 1800 kr på slget. Nivålinj viser t dette er den største inntekten hun kn få. Aschehoug Side 4 v 79

44 c Vi lger et likningssett, der venstresiden er prisen for et glss v type 1 og høyresiden er prisen for et glss v type. Vi kller prisen på sukker for. Siden prisen på type skl være 5 kr mer enn type 1, trekker vi i fr 5 på prisen på type for t de skl li like. 0, ,10 0, , , , 6 0 0,5 40 Prisen på sukker er 40 kr per kilogrm. E61 0 eskriver t produksjonen v Godlks må være større eller lik null. y 0 eskriver t produksjonen v Gldlks må være større eller lik null. 0,+ 0, 6y 0 eskriver t ruken v stoff A til de to produktene ikke kn overstige 0 tonn. 0, 7+ 0, 4y 18 eskriver t ruken v stoff B til de to produktene ikke kn overstige 18 tonn. + y 5 eskriver t de kn mksimlt produsere 5 tonn v Godlks og Gldlks til smmen. Aschehoug Side 44 v 79

45 Vi tegner opp nivålinj (stiplet linje) i koordintsystemet. Vi ser v punktet t vi må produsere, tonn Godlks og 1,7 tonn Gldlks. P (, y) y P (,, 1,7) 5000, , Ved denne produksjonen tjener vi c kr. E6 Vi setter først opp ulikhetene som må gjelde for denne produksjonen. Vi lr ntll dukker som lges, være, og ntll lekeiler som lges, være y. 0,5+ 0, 5y 700 eskriver t det mksimlt kn rukes 700 timer på produksjonen. 1+ 0, 5y 1100 eskriver t det mksimlt kn rukes 1100 timer på mling. 0, + 0,5y 100 eskriver t det mksimlt kn rukes 100 timer på montering. Vi tegner opp dette i et koordintsystem med nivålinj Iy (, ) y som stiplet linje. Vi endrer på nivålinj til vi når mksiml verdi som er når de produserer 800 dukker og 100 lekeiler. Aschehoug Side 45 v 79

46 Vi setter inn verdiene fr oppgve inn i uttrykket for inntekten. I( 800,100) Den største inntekten edriften kn få, er litt over 1 million kr. E y 100 eskriver utnyttelsen v relet y 50 eskriver mksiml vekt. Vi setter ulikhetene inn i et koordintsystem. Aschehoug Side 46 v 79

47 c I(, y) y eskriver t fergen tr 106 kr for personiler og 604 kr for lsteiler. Vi setter denne nivålinj inn i koordintsystemet i oppgve (stiplet linje). Vi ser t vi får størst inntekt når vi hr 85 personiler og 16,5 lsteiler. Det er ikke mulig å h en hlv lsteil, så vi runder det nedover til 16. D kn vi t med en person il til siden en person il tr mindre plss og veier mindre enn en hlv lsteil. Den største inntekten er når de tr om ord 85 personiler og 16 lsteiler. I(85,16) Inntekten lir d kr. Aschehoug Side 47 v 79

48 d Vi tegner inn linj y 14 for å vgrense ntllet lsteiler. Vi tegner så den nye nivålinj (stiplet linje). Vi regner ut den nye høyeste inntekten. I( 9,14) Den høyeste inntekten er kr. E64 y 1 krysser y-ksen i og hr stigningstll y y krysser y-ksen i 5 og hr stigningstll y + 5 y krysser y-ksen i 6 og hr stigningstll y Aschehoug Side 48 v 79

49 c Mengde koerkis som lir ttt ut, er gitt ved + 6y 18 6y y + Dette tilsvrer y 1. Mengde sinklende som lir ttt ut, er gitt ved + y 5 y + 5 Dette tilsvrer y. Mengde lyglns som lir ttt ut, er gitt ved 6+ 4y 4 4y 6+ 4 y + 6 Dette tilsvrer y. Området må ligge på oversiden v lle linjene siden de må produsere minst det de får estilling på, se figuren. Aschehoug Side 49 v 79

50 d Vi setter inn nivålinj i figuren ovenfor. Merk t nivålinj er stt litt til høyre for punktet fordi nivålinj er prllell med linj y. Vi hr d to steder hvor vi får lvest kostnd. Enten kn vi produsere 6 dger i Kongens gruve, eller dger i Kongens gruve og dger i Dronningens gruve. e E65 Hvis vi re ruker Kongens gruve i 6 dger, får vi et overskudd på åde koerkis og sinklende. Hvis vi ruker Kongens gruve i dger og Dronningens gruve i dger, får vi re et overskudd v koerkis. 6 L 10 lg(10 ) ( 6) Lydstyrken er på 60 db. Vi løser likningen for l L 10 lg l+ 10 L lg l 0,1L 1 lg l 0,1 1 l 10 L Vi setter inn L 100 0, l ,01 Lydintensiteten er 0,01 W/m. Aschehoug Side 50 v 79

51 c E66 l , , l Vi legger smmen lydintensitetene og regner ut ny lydstyrke 1 4 L 10 lg( ) lg 0, , 0044 Lydstyrken er c. 110 db. Dyret strter med 6000 Bq per kilo. Deretter hlveres det hver 0. dg, dvs. t etter 0 dger er det hlvprten igjen. Etter 60 dger hr det hlvert seg to gnger, dvs. 0,5, osv. t R ,5 0 Vi setter strålingen R til 600 og løser for t , , ,1 0,5 t 0 t 0 t 0 t lg 0,1 lg 0,5 0 lg 0,1 t 0 lg 0,5 t 99,66 Det tr 100 dger før strålingen lir mindre enn 600 Bq per kilo. E67 L (450) lg 450 0, De regner med å selge c. 0 luer lg p lg p 600 lg p lg p 5 p 51, For å selge 600 luer må prisen være c. 50 kr. c I( p) L( p) p ( lg p) p 400 p 1500 plg p Aschehoug Side 51 v 79

52 d Vi skriver inn uttrykket i CAS, løser den deriverte lik null for å finne toppunkt. Vi setter så inn i uttrykket for å finne inntekten. Forretningen ør velge en pris på kr. Inntekten lir d c kr. E68 Vi setter først inn uttrykket i CAS. Deretter ruker kommndoen Løs[ <Likning>,<Vriel>] I0 der likningen er I () og vrielen vi skl løse for, er k. Aschehoug Side 5 v 79

53 Vi setter først det nye uttrykket inn i CAS og setter så inn likningen I( ) 0,6 I0 og trykker på løs. Vi får d et stygt uttrykk som kopieres til rden under og trykker så på regn ut numerisk (knpp nummer to fr venstre). På 4 meters dyp er intensiteten redusert med 60 %. 1 c Vi lger en ny likning i CAS med den nye formelen K( ) I 0. Vi kller den K( ) for å kunne skille de to uttrykkene. Vi ruker så kommndoen Løs[ <Likning>,<Vriel>]. c Konstnten c hr verdien 0,. E69 n n n n lg lg lg n n n n n n n Aschehoug Side 5 v 79

54 c E70 c lg lg lg n n lg ( lg lg n) n ( lg lg n) ( n) n( lg lg n) 0 ( lg n)( lg lg n) 0 lg lg lg n Uttrykket gir to mulige løsninger, hver v fktorene kn være lik null. Vi ser på dem hver for seg. lg n 0 lg lg n 0 lg n lg lg n 10 n n , ,64 Etter år hr Per c kr på konto. Vi setter opp en likning: , 04,5 1, 04 lg,5 lg1,04, 6 Det tr,4 år før Per hr kr på kontoen. I dg hr Per 11 48,64 kr på kontoen. Vi legger til en sum som vi kller til dette, regner 7 år frm i tid og setter det lik kr ,64 + 1, 04 ( ) ,64 + 1, ,64 1, ,1 Per må sette inn c kr på kontoen for å få etter 7 år til. Aschehoug Side 54 v 79

55 E71 Vi ruker regnerket i GeoGer og tr regresjon for å finne potensfunksjonen. V ( t),1 0, Tnken er full når vnnstnden hr nådd 10 meter, dvs. Vt ( ) 10. 0,1 10, ,1, ,1,104 8,118 Tnken er full etter c. 8 timer. Det lir fylt på 18 m per time. 8, ,7 Det er 506,4 m vnn i tnken når den er full. c , 56 Det tr c. 55,5 timer å fylle den nye tnken. Den nye tnken følger smme formel som vi fnt i oppgve, vi setter inn ntll timer og regner ut. 0,1 V (55,56),104 55,56 1,591 Den nye tnken er c. 1,5 meter høy. Aschehoug Side 55 v 79

56 E7 Høyden i rektnglet er gitt ved funksjonsverdien. Lengden i rektngelet er gitt ved. F( ) f ( ) Arelet kn ikke være null eller negtivt. Vi fktoriserer F( ). F( ) (1 ) ( 1 )( 1 + ) ( )( + ) Vi tegner fortegnslinje. Vi husker t relet ikke kn være null eller negtivt. D F 0, F( ) Vi løser i CAS. Vi kn ikke h en negtiv -verdi. 0,79 Aschehoug Side 56 v 79

57 c d Vi deriverer og setter lik null. F ( ) 1 0 (4 ) 0 ( )( + ) Vi kn ikke h negtive -verdier. Det største relet er ved. F () Det største relet er 16. O ( ) + + f( ) + f( ) 4+ f( ) Vi deriverer og setter lik null for å finne største omkretsen. O ( ) Omkretsen lir størst når. Dette er smme resultt som for størst rel. Størst rel gir også størst omkrets i dette tilfellet. Aschehoug Side 57 v 79

58 E7 Inntekt er ntll solgte vrer multiplisert med prisen på vren. g ( ) Vi ruker skjæring mellom to ojekter og finner skjæringspunktene. For å gå i lnse må edriften produsere og selge enten 401 enheter eller 05 enheter. Aschehoug Side 58 v 79

59 c Vi finner overskuddet ved å sette g ( ) f( ). O ( ) g ( ) f( ) 500 0, ( ) Vi deriverer dette i CAS og løser for O ( ) 0. Størst overskudd hr vi ved produksjon v 1601 enheter. Vi setter inn i O ( ) for å finne overskuddet. Størst overskudd er 4869 kr. E74 Stigningstllet er gitt som den deriverte i punktet. f ( ) f (1) 1 1 Stigningstllet til tngenten er 1. Aschehoug Side 59 v 79

60 Løsninger til oppgvene i ok Vi finner først et uttrykk for stigningstllet til tngenten i det oppgitte punktet. g ( ) g (1) Siden tngentene er prllelle, er stigningstllet likt. Vi setter uttrykket for stigningstllene lik hverndre c Vi tegner inn funksjonene og viser tngentene i 1 for egge funksjonene (stiplet linje). Vi ser t tngentene er prllelle, dermed er f (1) g (1), og den momentne vekstfrten er lik. Aschehoug Side 60 v 79

61 E75 Vi skriver tllene inn i et regnerk og tr regresjonsnlyse. ( ) 0,001 0,1 0,74 4 K 1 + +, Vi tegner inn K og I, og merker skjæringen mellom grfene. Bkeriet får overskudd for produksjonsmengden 64 6 og underskudd for produksjonsmengden 6 og 7. Aschehoug Side 61 v 79

62 c Vi setter opp uttrykket for overskuddet. O ( ) I ( ) K ( ) ( 0, + 0) 15 0, 001 0,00 + 0, 15 Vi setter inn i CAS og regner ut O ( ) 0. Vi får to svr, setter de inn i ( ) Oog ser t de ør produsere 171 enheter for å få det største overskuddet som d er 107 kr. Aschehoug Side 6 v 79

63 d Vi setter inntekten til I( ) p og løser I( ) K( ) i CAS. Løsninger til oppgvene i ok Vi fktoriserer ut slik t vi får et ndregrdsuttrykk. Vi skl h re én løsning d grfen til I( ) tngerer grfen til K( ). Vi setter 4c 0. Den minste verdien for p er 7,5. Vi setter den nye inntekten lik kostnden og løser. Det ør lges og selges 150 kker per dg. Aschehoug Side 6 v 79

64 E76 f( ) , , Vi ser re på de positive løsningene. 10, 4 Bedriften kn høyst produsere 10 enheter. Vi løser i CAS. c d Bedriften får overskudd for 50 < < 110. Størst overskudd får edriften når 80. Overskuddet er d på 9. Minsteprisen er når vi hr lnse mellom inntekt og kostnd. Dette skjer når h tngerer kostndskurven. I punktet T er stigningstllet til tngenten lik den deriverte til funksjonen f. Vi kn d sette p f ( ). p f ( ) f ( ) 0,0 1,48 0,0 1, 48 0,0 74 Det må produseres og selges 74 enheter for å oppnå minst pris. Aschehoug Side 64 v 79

65 e For å få re én løsning må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være lik null. 4c 0 ( p) 4 0, p, 0 p, p ± 1, 48 Vi ntr t prisen er positiv, d vil p re h én løsning. Siden f( ) h ( ) hr re én løsning for denne verdien v p, vil dette være den minste prisen som gir lnse. E77 V ( ) πr h πh h 6 d 6 V( ) πr (6 ) 6π π 6π π E78 Vi ruker lineær regresjon og finner funksjonsuttrykket 40 p+ 167,57. Aschehoug Side 65 v 79

66 c d Vi finner først et uttrykk for ntll enheter solgt ved en gitt pris. 40 p p 1600 p 40 p Vi setter opp et uttrykk for inntekten. I( ) p , K(1000) 0, I (1000) 0, Kostnden er større enn inntekten, edriften hr et underskudd. e O( ) I( ) K( ) 00, 5 ( ) , , Aschehoug Side 66 v 79

67 f O ( ) 0, E79 0 0, , ,56 Vi setter inn i uttrykket for p. 555,56 40 p p , ,56 p 40 p 6,11 Prisen må være 6 kr for t overskuddet skl være størst mulig. Første informsjon er t funksjonen hr toppunkt i (, f ()) Løsninger til oppgvene i ok, dvs. den deriverte er lik null. Andre informsjon er t tngenten i 1 hr stigningstll, dvs. t den deriverte er lik i dette punktet. Vi løser i CAS og får t og 9 8. Aschehoug Side 67 v 79

68 E80 f( ) f() f(1) 1 ( + 1 ) Aschehoug Side 68 v 79

69 c På grfen er punktene mrkert og linj gjennom dem tegnet inn. Vi ser t stigningstllet til linj er 1. f ( ) f ,5 På grfen er punktet mrkert og tngenten til punktet tegnet inn. Vi ser t stigningstllet til tngenten er 4,5. d f ( ) ( + ) 6( )( 1) Grfen stiger for < 1 og for >. Grfen synker for 1< <. Aschehoug Side 69 v 79

70 e 6( )( 1) Vi regner ut tilhørende funksjonsverdi. f () 4 f ( 1) 5 Toppunktet er (1, 5), og unnpunktet er (, 4). f E81 f( ) ( 9+ 1) Vi løser prentesen med ndregrdsformelen. ( 9) ± 9 ± ( 9) ± 15 4 Dette gir ingen løsning, dermed hr vi re 0 som en løsning. () 0 ( ) P 0,1 0,9 7 0,6 Det er,6 % snnsynlig t det iter nøyktig gnger. Vi løser på snnsynlighetsklkultoren i GeoGer. Løsninger til oppgvene i ok Det er 58,9 % sjnse for å få minst fisker. Aschehoug Side 70 v 79

71 c Vi ruker snnsynlighetsklkultoren, velger mer enn fisker og prøver verdier for n til vi får 80 %. Hvis vi kster 4 gnger, hr The over 80 % sjnse for å få minst fisker. Aschehoug Side 71 v 79

72 E8 10 ( ) ( ) 1 6 P(6 jenter) ( 8 ) 0,10 Det er 1,0 % snnsynlig t 6 jenter lir trukket ut. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer, der populsjonen er de elevene, n er de 8 som skl li trukket ut, og utvlget er ntll gutter som er 10. Det er 84,4 % snnsynlig t minst gutter lir trukket ut. c Hypergeometrisk snnsynlighet der de to guttene som er venner er en gruppe, de resterende guttene er en gruppe og jentene er en gruppe. ( ) 8 ( ) 1 0 ( 6 ) P( venner og 6 jenter) 8 ( ) 0, 0089 Det er 0,9 % snnsynlig t de to guttene lir trukket ut smmen med 6 jenter. Aschehoug Side 7 v 79

73 E8 1 ( ) ( ) ( jenter og gutte 16 P r) ( ) 8 4 0,87 Det er 8,7 % sjnse for t det lir trukket ut jenter og gutter. 1 ( ) ( ) ( jenter og 1 gutt 1 16 P ) ( ) 8 4 c d 0,8 Det er,8 % sjnse for t det lir trukket ut jenter og 1 gutt. Vi regner ut den siste kominsjonen v hvert kjønn. 1 ( ) 16 ( 1 ) P(1 jente og gutter) 8 4 ( ) 0,17 Vi legger smmen lle snnsynlighetene. P (minst en v hvert kjønn) 0,17 + 0,8 + 0,87 0,887 Det er 88,7 % snnsynlig t minst en v hvert kjønn lir trukket ut. Vi regner ut den siste kominsjonen v hvert kjønn. g ( ) 10 g 1 ( 1 ) P(1 jente og 1 gutt) 10 g ( ) 5 g (10 g) g(10 g) 10g+ 5 0 ( g 5) 0 g 5 Det er 5 gutter i lokllget. Løsninger til oppgvene i ok Aschehoug Side 7 v 79

74 E84 Løsninger til oppgvene i ok Det er to muligheter, riktig eller glt svr; snnsynligheten for riktig er 0,, og snnsynligheten for glt er1 0, 0,8, og forsøkene er uvhengige. 5 P 0 ( 5 ) c (5) 0, 08, 15 17, 45 Snnsynligheten for å få 5 riktige er 17,5 %. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren. Snnsynligheten for å få minst 5 riktige er 7,0 %. Aschehoug Side 74 v 79

75 E85 15 P 0 ( 15) ( 15) 0,75 0, 5 5 0, 0 Det er 0, % snnsynlig t 15 joer som lærere. Det er 41,5 % snnsynlig t flere enn 15 joer som lærere. Aschehoug Side 75 v 79

76 c Vi ruker snnsynlighetsklkultoren, velger mer enn 5 lærere og prøver verdier for n til vi får over 95 %. E86 Vi må spørre mist 9 personer for å få en snnsynlighet på 95 % for t flere enn 5 v dem joer som lærere. 60 P 70 ( 60) ( 60) 0,80 0,0 10 0, 06 Det er 6, % snnsynlighet for t 60 v eplene kn selges til vnlig forruk. Aschehoug Side 76 v 79

77 Det er 14,7 % snnsynlig t minst 60 v eplene kn selges til vnlig forruk. ( ) ( ) c P (10 v hver sort) ( ) E87 0,167 Det er 16, % snnsynlig t kunden får 10 epler v hver sort. 18 P 0 ( 18) ( 18) 0,75 0, 5 0, 0669 Det er 6,7 % snnsynlig t kkurt 18 lyspærer lyser når det hr gått 1000 h. Aschehoug Side 77 v 79

78 Det er 61,7 % snnsynlighet for t minst 15 lyspærer lyser mer enn 1000 h. c Vi prøver oss frm med forskjellige p-verdier i snnsynlighetsklkultoren. Lyspærene må h en snnsynlighet for å lyse mer enn 1000 h på 86,1 %. Aschehoug Side 78 v 79

79 E88 7 ( ) ( ) ( ) 8 5 ( 1 P( gule, 1 rød, 1 hvit) ) ,174 Det er 17, % snnsynlig t de får utdelt gule, 1 rød og 1 hvit kjkk. 7 ( ) ( ) ( ) ( 0 P(4 gule) ) , 007 Det er 0,7 % snnsynlig t de får utdelt 4 gule kjkker. Løsninger til oppgvene i ok c Siden det ikke spiller noen rolle så lenge kjkkene ikke er gule, smler vi de røde og hvite i en gruppe og velger lle 4 fr denne gruppen. 7 ( ) 1 0 ( 4) P(4 gule) 0 4 ( ) 0,1476 Det er 14,8 % snnsynlig t de ikke får utdelt noen gule kjkker. Aschehoug Side 79 v 79

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra. Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 4 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok 4.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f 4. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

S2 kapittel 6 Sannsynlighet

S2 kapittel 6 Sannsynlighet S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

8 Eksamens trening. E1 (Kapittel 1) Bruk en av kvadratsetningene til å bestemme verdien av produktet 995 995. (Eksamen høsten 2014)

8 Eksamens trening. E1 (Kapittel 1) Bruk en av kvadratsetningene til å bestemme verdien av produktet 995 995. (Eksamen høsten 2014) 4 8 Eksamenstrening 8 Eksamens trening Uten hjelpemidler E1 (Kapittel 1) Bruk en av kvadratsetningene til å bestemme verdien av produktet 995 995. (Eksamen høsten 014) E (Kapittel 1) Bruk konjugatsetningen

Detaljer

1T kapittel 2 Likninger

1T kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5

Detaljer

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer