S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

Transkript

1 S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E (995 5) ( ) E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) ( (000 )(000 + ) (000 7)( ) 000 (000 7 ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( 6) ( ) 5 5 Aschehoug Side 1 v 79

2 E4 c E5 + + ( )( ) + ( + ) + ( )( + ) ( )( + ) + + ( )( + ) (100 1)( ) Vi trekker uttrykket til venstre fr uttrykket til høyre. ( + y) ( + y ) y+ y y 40 y 40 ( 5) (1 )(1 ) + y (1 ) ( 4) ( 4) 4 (+ 4) ( 4) 4 ( 4) 1 Aschehoug Side v 79

3 ( + ) ( 4) c ( ) 4 + ( )( ) ( 4) ( 4) 4+ ( 4) ( 4) 1 d E6 (4 ) ( 5) ( 5) 19 + ( + 5) + ( 5) ( 5)( 5) 19 + (+ 15) ( 5) ( 5) 4 5 Vi løser først ndregrdslikningen ± ± ± 1 L {, } Påstnd 1 er gl fordi det er to løsninger på likningen, og her lir det re oppgitt én. Påstnd er korrekt fordi gir en løsning på likningen. Påstnd er gl fordi påstnd 1 er gl. Aschehoug Side v 79

4 E7 c d E8 9 ( ) lg + lg + lg( + ) lg lg lg lg lg( ) lg lg + lg( + ) lg + lg( + ) ( ) lg ( + ) + lg( ) 0 ( ) ( 4) 0+ ( 1) 1 0 lg( ) lg + lg( ) lg + lg (lg lg ) + lg + lg lg + lg lg + lg + lg + lg 6lg lg lg lg + lg + lg (lg 5lg ) lg( ) + 5 lg + 10 lg ( ) ( 1)( 1) ( )( 1) (4 1) + ( + ) Aschehoug Side 4 v 79

5 E9 E10 ( + 5) Vi løser ndregrdslikningen ± ( 14) 5 ± ± 81 5± 9 L { 7, } Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like ( 6) Vi løser ndregrdslikningen ± ( 6) 1± ± 5 1± 5 L {,} Aschehoug Side 5 v 79

6 c E Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Vi løser ndregrdslikningen ± ( ) 1± ± 9 1± L {, 1} Aschehoug Side 6 v 79

7 c d E1 c Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren ( ) 6 4 Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren 1. 6( ) Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren 6. ( + 6) Aschehoug Side 7 v 79

8 d E Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren ( 6) Vi løser ndregrdslikningen ± ( 6) 1± ± 5 1± 5 L {, } Vi multipliserer lle ledd med fellesnevneren ( 1)( + 1). ( + 1) ( 1) Vi løser ndregrdslikningen ( 1) ± ± ± 64 4± 8 L { 6, } Aschehoug Side 8 v 79

9 c d ( + 1)( ) 0 ( ) ( ) 0 0 Vi løser ndregrdslikningen ± ( 1) ( ) 1± ± 9 1± L { 1, } 1 (+ )( 1) ( 1)( + ) 0 + ( + ) L { 1, 1} E14 0 v v + t v v t v v 0 0 t v v t Aschehoug Side 9 v 79

10 E E (1 + ) (1 )(1 + ) 1 1+ Vi setter ntll sekker jørkeved som og ntll sekker grnved som y. Vi får likningssettet I: + y 0 II: 8+ 65y 1570 Vi løser likning (I) for III: 0 y Vi setter (III) inn i likning (II) 8(0 y) + 65y y+ 65y y 90 y 5 Vi setter svret inn i (III) Hrld kjøpte 15 sekker jørkeved og 5 sekker grnved. Aschehoug Side 10 v 79

11 E17 I: y 4 Løsninger til oppgvene i ok II: 4 + y 1 Vi ser t likning (I) er enklest å løse, og i likning (II) er det lettest å sette inn for y. III: y + 4 Vi setter inn i likning (II). 4 + ( + 4) (+ ) 0 0 Vi setter inn i likning (III). y + 4 y L,7, (0, 4) E18 I: y 6 II: y+ 4 Vi setter (I) inn i (II). (6 ) Vi løser ndregrdslikningen. 0 ± 4 10 ( 1) ( 1) ± ± 7 5 Vi setter inn i (I). y 6 ( ) y L (,8),(5,1) { } Aschehoug Side 11 v 79

12 E19 Løsninger til oppgvene i ok I: y II: y+ Vi ser t likning (II) er enklest å løse, og i likning (I) er det lettest å sette inn for y. III: y Vi setter inn i likning (I) ( 5) Vi setter inn i likning (III). y 0 y 5 8 L 0,,(5, 8) {( ) } E > 4 + Vi multipliserer med fellesnevneren i lle ledd. ( ) + > > > > 1 > ( + ) Vi finner nullpunktene til venstresiden. ± 4 1 ( ) 1 ± 4+ 8 ± 1 1 ± 1 1± 4 1± 1 1 Aschehoug Side 1 v 79

13 Vi fktoriserer uttrykket. ( ( ))( ( )) ( + + )( + ) L, 1 1, c ( + 1)( ) < 0 L, 1, d ( 6) 0 L [ 6,6] Aschehoug Side 1 v 79

14 E1 c Vi løser ndregrdslikningen ± ( 8) ± 4 + ± 6 ± 6 L { 4, } 7 1+ Siden grunntllet er likt, må eksponentene være like. 1+ lg( + 1) 4 lg( + 1) lg( + 1) E L 10 lg l + 10 L lg l L 10 lg l 10 lg l 0,1l 1 l 10 l 0,1 1 Aschehoug Side 14 v 79

15 E Vi strter med å ruke t funksjonen krysser i punktet (, 0). f () Funksjonen krysser også i punktet (0, 6). f (0) Vi setter inn i uttrykket ( 6) 0 6 og 6 Løsninger til oppgvene i ok Aschehoug Side 15 v 79

16 E4 Vertikl symptote er 1 som gir uttrykket c c 1 Horisontl symptote er som gir uttrykket for store verdier v. + f( ) c 1 c c 1 Vi ser t funksjonen går gjennom punktet (0, ). Vi ruker dette til å finne. f (0) 0 + c 0 1 1,, og c 1 E5 I: y+ 8 II: y 9 Vi løser likning (I) for. III: 8 y Vi setter inn i (II). y 9 (8 y) y 9 8+ y y y 1 y 1 Vi setter inn i (III) L {(6, 1)} Løsninger til oppgvene i ok Aschehoug Side 16 v 79

17 Vi tegner linjene 0 og y 0 Vi omformer de to siste for å få y lene på venstresiden. + y 8 + y 9 y 8 og y 9 y 4 1 y 1 Vi tegner opp linjene og skrverer området som oppfyller lle ulikhetene. c Sy (, ) + y S, ,5 10,5 d Vi tegner inn en linje der vi velger t S y y + 6 y + Stigningstllet til denne linj er, som er mindre enn egge linjene vi tegnet i oppgve. Den største verdien S (, y ) kn h, er dermed gitt ved punktet (8, 0), se figuren. S(8,0) Aschehoug Side 17 v 79

18 E6 Vi tegner inn linjene 0 og y 0. Vi omformer de to siste for å få y lene på venstresiden. + y 6 + y 6 y 6 og y 1 y 6 Vi tegner opp linjene og skrverer området som oppfyller lle ulikhetene. Aschehoug Side 18 v 79

19 E7 Vi tegner inn linjene 0 og y 0. Vi omformer de to siste for å få y lene på venstresiden. + y + y 6 og y y 6 Vi tegner opp linjene og skrverer området som oppfyller lle ulikhetene. E8 Vet t en lineær funksjon er gitt ved y +. Verdien til er y-verdien der funksjonen krysser y-ksen. Stigningstllet til funksjonen som går gjennom punktet (0, 6), er 1 og gir funksjonen y 6. 1 Stigningstllet til funksjonen som går gjennom punktet (0,) og (6, 0), er og gir 1 funksjonen y. Stigningstllet til funksjonen som går gjennom punktet (0,) og (, 4), er 1 1 funksjonen y +. Ulikhetene lir y 6 1 y 1 y + og gir Aschehoug Side 19 v 79

20 Vi setter Sy (, ) 8 og ordner likningen y 8y 8 1 Løsninger til oppgvene i ok y 1 Siden stigningstllet er mindre enn noen v ulikhetene i oppgve, vil nivålinj gå rttere nedover mot høyre enn noen v ulikhetene. D vil Sy (, ) få sin høyeste verdi ved punktet (6, 0). c Vi setter Zy (, ) 1 og ordner likningen y E9 y 1 Denne funksjonen hr likt stigningstll med ulikheten y 6 og derfor vil lle punktene som gir heltllige koordinter lngs denne funksjonen gi størst verdi v Z. Vi leser v grfen og finner punktene (, 4), (, ), (4, ), (5, 1), og (6, 0). Aschehoug Side 0 v 79

21 c Vi setter Z(, y ) 1 og ordner likningen. 1 y+ y 1 Stigningstllet til denne linj er, som er mindre enn egge linjene vi tegnet i oppgve. Den største verdien Z(, y ) kn h, er dermed gitt ved punktet (5, 0), se figuren. Verdien til Z lir d Z(5, 0) Aschehoug Side 1 v 79

22 E0 c d E1 lg + 5 lg 5 lg lg lg lg lg 8 lg (lg1 lg ) 8 lg 0 + lg 8 4lg 8 lg lg 100 lg( + ) + lg( ) lg 5 ( ) lg ( + )( ) lg 5 lg( ) lg 5 4 lg( 4) lg lg 9 ± Bre er en mulig løsning. lg 10 lg lg + lg 10 5lg 10 lg lg 10 lg Aschehoug Side v 79

23 c lg lg( ) lg lg lg( ) + lg lg lg lg( 5) lg lg( 5) 10 lg( 5) 10 4 lg( 5) 6 lg( 5) E Vi finner symptotene for å lge hjelpelinjer. Vi finner så nullpunktet og deretter en verditell for flere punkter for å kunne tegne grfen. Vertikl symptote: Horisontl symptote: f( ) 1 Nullpunkt: ( 1) Verditell: f( ), ,5 Aschehoug Side v 79

24 E f ( ) + + ( 1) f ( ) 0 ( 1) f ( 0 ) + + c 7 f (1) Bunnpunktet er (0, ), og toppunktet er 1, 7. f () Både unnpunktet og toppunktet ligger på oversiden v -ksen. Grfen vil synke etter toppunktet og vil først d krysse -ksen og få negtive y-verdier, som vi hr vist ved å regne ut f () 7. Aschehoug Side 4 v 79

25 E4 f ( + ) f( ) f ( ) lim 0 Vi gjør mellomregning. f( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + + ( ) ) + + ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) Vi setter inn i uttrykket. f( + ) f( ) + + ( ) + ( ) ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) Vi fktoriserer ut. ( + ( ) 1 ) Vi lr så nærme seg null. f( + ) f( ) f ( ) lim 0 lim + + ( ) ( ) 1 Løsninger til oppgvene i ok E5 O ( ) I ( ) K( ) p (0, ,1 ( p 10) ) Aschehoug Side 5 v 79

26 c E6 O ( ) 0,1 + ( ) , Vi deriverer uttrykket og finner toppunktet. O ( ) 0, , , , Vi multipliserer teller og nevner med Størst produksjonsmengde er når edriften produserer 750 enheter. Løsninger til oppgvene i ok Hvis overskuddet er størst ved 000 produserte enheter, må den deriverte være lik null ved 000. O (000) 0, (10 + p) 0 0, p p 90 p Prisen må være 90 kr. F( ) 0, , + 10 F ( ) 0,0 + 0, Vi setter den deriverte lik null for å finne ekstremlpunktene. 0 0, 0 + 0, 0, 0 0, 0, 0,0 15 Bedriften må produsere 15 enheter for t fortjenesten skl li størst mulig. Overskuddet O ( ) er fortjenesten per vre solgt F( ) multiplisert med ntll vrer solgt. O ( ) F ( ) c ( ) ( 0,01 0, 10) O ,01 0, 10 O ( ) 0, 0 + 0, Vi setter den deriverte lik null. 0 0, 0 + 0, Vi løser ved hjelp v digitlt verktøy Produksjon v 74 enheter gir det største overskuddet. Aschehoug Side 6 v 79

27 (74) 0, , O Ved produksjon v 74 enheter er overskuddet 6471 kr. E7 f f ( ) + + '( ) ( 6) 1 1 ( + )( ) f( ) stiger i intervllet,,. f( ) synker i intervllet,. E8 f ( ) ( ) 0 f ( ) + ( 1) Funksjonen hr toppunkt i (1,1) Aschehoug Side 7 v 79

28 c d Aschehoug Side 8 v 79

29 e Vi leser v grfen og finner skjæringspunktene (, 8) og (, 0). Løsninger til oppgvene i ok E9 Grfen til f stiger når den deriverte er positiv og synker når den deriverte er negtiv, det vil si t f stiger i intervllet, og synker i intervllet,,. Figuren viser et eksempel der nullpunktene er og. Aschehoug Side 9 v 79

30 E40 Dette er et inomisk forsøk, vi ruker inomilformelen P( mynt) ( ) Her må vi summere snnsynlighetene P(minst ) 1 ( P(0 mynt) + P(1 mynt) + P( mynt) ) Vi tr en mellomregning på de snnsynlighetene vi trenger P(0 mynt) ( ) P(1 mynt) ( 1) P( minst ) E Aschehoug Side 0 v 79

31 4 ( ) etyr rd 4, skråkolonne, se figur nedenfor Løsninger til oppgvene i ok c Vi kn d finne verdien til uttrykkene. 4 6 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( + ) Vi setter først opp uttrykket uten tll For å finne tllene forn hvert ledd ser vi på rd nummer 4 i Pscls treknt (eksponenten er 4) og skriver dem forn hvert ledd i rekkefølge ( + ) ( + ) Vi setter først opp uttrykket uten tll For å finne tllene forn hvert ledd ser vi på rd nummer 5 i Pscls treknt (eksponenten er 5) og skriver dem forn hvert ledd i rekkefølge ( + ) E4 En PIN-kode kn h ti tll på hver plss (0 9). Siden det er 4 plsser, er det totlt muligheter. P (riktig kode) Totlt ntll muligheter for kode er nå P (riktig kode) Aschehoug Side 1 v 79

32 E4 c Dette er et inomisk forsøk med 8 hendelser, der hver hendelse hr to utfll. 8 N 56 Det er 56 forskjellige måter å svre på de åtte spørsmålene. Dette er et vlg uten tilkelegging, der rekkefølgen er likegyldig. 6 N 15 Det er 15 måter å trekke ut to temer på. Dette er en hypergeometrisk snnsynlighet. ( ) 1 ( 1) P(1 gutt og 1 jente) 4 ( ) 6 E44 Uttrekning med tilkelegging. N 4 64 Antllet ulike koder vi kn lge, er 64. Uttrekning uten tilkelegging. N 4 4 Antllet ulike koder vi kn lge, er 4. c Minst to like lle mulige koder koder der lle er ulike Antllet koder med minst to like okstver er 40. E45 I Pscls tlltreknt er summen v de to tllene over. Vi setter d opp et likningssett. I: 1+ y II: y+ 16 Vi setter (I) inn i (II). (1 + ) Aschehoug Side v 79

33 Vi setter inn i (I) y y 56 Likningssystemet hr løsningen 5 og y 56. E46 c Leser ut v Pscls tlltreknt. 1 0 ( ) ( 1) 5 ( ) 8 ( ) Dette er hypergeometrisk snnsynlighet. ( ) 5 1 ( ) P(1 gutt og jenter) 8 ( ) d Leser v Pscls treknt t 8 er i rd 8 og kolonne 8 8 ( ) Det skl trekkes ut elever til komiteen. Aschehoug Side v 79

34 E47 ( ) Dette er hypergeometrisk snnsynlighet. 4 4 ( ) ( ) 1 P( gutter og 1 jente) 8 ( ) c P(minst 1 jente) 1 P(ingen jenter) 4 ( ) 4 ( 0) 1 8 ( ) E48 Vi løser venstre side v impliksjonspil. < 4 4< 0 ( + )( ) < 0 Vi tegner fortegnsdigrm. L, Impliksjonen er ikke korrekt Den motstt impliksjonen er heller ikke korrekt. Aschehoug Side 4 v 79

35 E49 Vi viser for et pr tll n+ ( n+ 1) + n n + n + 1 Vi fktoriserer med første kvdrtsetning. ( n + 1) E Impliksjonspil går re mot høyre fordi er en løsning v likningen, men likningen hr flere løsninger, så derfor går den ikke egge veier. E log log 5 log 7 log 5,06 1 Impliksjonen er riktig fordi venstresiden re gir én løsning v likningen på høyresiden. Impliksjonen er ikke riktig fordi venstresiden hr flere løsninger enn den ene gitt på høyresiden. c 1 Den motstte impliksjonen er ikke riktig fordi høyresiden re gir én løsning v likningen på venstresiden. Det er mnge tll som kn oppfylle likningen + y 10. Den motstte impliksjonen er riktig fordi høyresiden er en v løsningene til likningen på venstresiden. Aschehoug Side 5 v 79

36 E5 1 Bker nr. 1 tr hlvprten v melet og et hlvkilogrm, dvs D er det igjen Bker nr. tr hlvprten v melet som er igjen og et hlvkilogrm 1 4 4, dvs D er det igjen c Bker nr. tr hlvprten v melet som er igjen 1 og et hlvkilogrm , 1 1 dvs d Summen v det de tre kerne hr rukt, må være likt melet de hr rukt minus det ene kiloet som er igjen Vi multipliserer med fellesnevner som er E5 For t likningen skl h en løsning, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være lik null. 4c 0 I denne oppgven er ( + ) c Vi setter likningen inn i CAS. Aschehoug Side 6 v 79

37 Vi må i tillegg sjekke om 0 er en mulig løsning. 0 + (0 + ) Vi ser t dette gir også en løsning v likningen. L { 1, 0} For t likningen skl h to løsninger, må uttrykket være større enn null. Vi løser i CAS. L 1, \{ 0} For t likningen ikke skl h noen løsning, må uttrykket være mindre enn null. Vi løser i CAS. L, 1 E54 Vi setter uttrykket inn i CAS og løser. L { 1,05,1,05} Aschehoug Side 7 v 79

38 E55 For t likningen skl h nullpunkter, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være større null. Vi skriver inn i CAS. L, 6 6, Alterntivt L, 4 4, For t likningen skl h re ett nullpunkt, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være større null. Skriver inn i CAS. L { 6, 6} Alterntivt: L { 4, 4} E56 For t likningen skl h én løsning, må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være lik null. L {, } Vi setter inn løsningene for inn i uttrykket og løser i CAS. Aschehoug Side 8 v 79

39 Vi viser innsetting v i figuren. L {, } E57 Bilen som kjører fr y A, kjører i 60 km/h og vil d etter en tid t være 60 t unn yen. 1 Bilen fr y B strter 0 minutter seinere, dette tilsvrer t seinere d t er gitt i timer. Smme il kjører i 40 km/h og strter i y B som er 00 km unn y A. Avstnden denne 1 ilen hr kjørt, er d ( t ). Vi skriver likningssystemet inn i CAS og løser. Bilene møtes 18 km fr y A. Aschehoug Side 9 v 79

40 c Bilene skl møtes midt mellom yene, dvs. 100 km fr y A. Vi setter dette inn i likningen for ilen fr y A for å finne tiden det tr å komme dit. Vi finner t det tr 5 timer før ilen hr kommet hlvveis. Vi setter dette inn i likningen for ilen fr y B og ytter ut 40 km/h med en ukjent v for frt. Vi løser dette i CAS og ser t hn må kjøre i 75 km/h. E eskriver t vi ikke kn ruker mer enn 900 tonn veigrus. 0 y 1000 eskriver t vi ikke kn ruke mer enn 1000 tonn pukk. 1,6+ 1, 60y 7 16eskriver t vi ikke kn importere mer enn 1000 m pukk og veigrus. Vi kn d sette opp ulikheten: y , 60 1,6 1, 60 1, 6 y 1, 60 1, ,60 1,6 1, 60 1,6 1,6+ 1, 60y 176 F(, y) y Utslgsprisen på pukk er tllet forn vrielen for pukk, dvs. t utslgsprisen for pukk er 106 kr. Aschehoug Side 40 v 79

41 c Vi skriver inn likningene i en grftegner, smmen med nivålinj (stiplet linje). Vi ser v grfen t forhndleren ør kjøpe 4,5 tonn veigrus og 1000 tonn pukk. E59 0 eskriver t vi lger null eller flere kjøttkker v type A. y 0 eskriver t vi lger null eller flere kjøttkker v type B. 0, 60+ 0, 40y 800 eskriver t mengden hvetemel vi ruker, ikke kn overskride 800 kg. 0, 40+ 0,80y eskriver t mengden kjøttdeig vi ruker, ikke kn overskride 1000 kg. Aschehoug Side 41 v 79

42 Vi tegner likningene og nivålinj (stiplet linje) inn i en grftegner. De må produsere 1100 kg v kjøttkke A og 700 kg v kjøttkke B. c Vi legger til en ny ulikhet + y 1500 og tegner grfen med nivålinje (stiplet linje) inn i en grftegner. De må produsere 500 kg v kjøttkke A og 1000 kg v kjøttkke B. Aschehoug Side 4 v 79

43 E60 0,90+ 0, 40y 0 0, 10+ 0, 60y 5 Silje må lge 0 glss v type A og 5 glss v type B. I Hun tjener 1800 kr på slget. Nivålinj viser t dette er den største inntekten hun kn få. Aschehoug Side 4 v 79

44 c Vi lger et likningssett, der venstresiden er prisen for et glss v type 1 og høyresiden er prisen for et glss v type. Vi kller prisen på sukker for. Siden prisen på type skl være 5 kr mer enn type 1, trekker vi i fr 5 på prisen på type for t de skl li like. 0, ,10 0, , , , 6 0 0,5 40 Prisen på sukker er 40 kr per kilogrm. E61 0 eskriver t produksjonen v Godlks må være større eller lik null. y 0 eskriver t produksjonen v Gldlks må være større eller lik null. 0,+ 0, 6y 0 eskriver t ruken v stoff A til de to produktene ikke kn overstige 0 tonn. 0, 7+ 0, 4y 18 eskriver t ruken v stoff B til de to produktene ikke kn overstige 18 tonn. + y 5 eskriver t de kn mksimlt produsere 5 tonn v Godlks og Gldlks til smmen. Aschehoug Side 44 v 79

45 Vi tegner opp nivålinj (stiplet linje) i koordintsystemet. Vi ser v punktet t vi må produsere, tonn Godlks og 1,7 tonn Gldlks. P (, y) y P (,, 1,7) 5000, , Ved denne produksjonen tjener vi c kr. E6 Vi setter først opp ulikhetene som må gjelde for denne produksjonen. Vi lr ntll dukker som lges, være, og ntll lekeiler som lges, være y. 0,5+ 0, 5y 700 eskriver t det mksimlt kn rukes 700 timer på produksjonen. 1+ 0, 5y 1100 eskriver t det mksimlt kn rukes 1100 timer på mling. 0, + 0,5y 100 eskriver t det mksimlt kn rukes 100 timer på montering. Vi tegner opp dette i et koordintsystem med nivålinj Iy (, ) y som stiplet linje. Vi endrer på nivålinj til vi når mksiml verdi som er når de produserer 800 dukker og 100 lekeiler. Aschehoug Side 45 v 79

46 Vi setter inn verdiene fr oppgve inn i uttrykket for inntekten. I( 800,100) Den største inntekten edriften kn få, er litt over 1 million kr. E y 100 eskriver utnyttelsen v relet y 50 eskriver mksiml vekt. Vi setter ulikhetene inn i et koordintsystem. Aschehoug Side 46 v 79

47 c I(, y) y eskriver t fergen tr 106 kr for personiler og 604 kr for lsteiler. Vi setter denne nivålinj inn i koordintsystemet i oppgve (stiplet linje). Vi ser t vi får størst inntekt når vi hr 85 personiler og 16,5 lsteiler. Det er ikke mulig å h en hlv lsteil, så vi runder det nedover til 16. D kn vi t med en person il til siden en person il tr mindre plss og veier mindre enn en hlv lsteil. Den største inntekten er når de tr om ord 85 personiler og 16 lsteiler. I(85,16) Inntekten lir d kr. Aschehoug Side 47 v 79

48 d Vi tegner inn linj y 14 for å vgrense ntllet lsteiler. Vi tegner så den nye nivålinj (stiplet linje). Vi regner ut den nye høyeste inntekten. I( 9,14) Den høyeste inntekten er kr. E64 y 1 krysser y-ksen i og hr stigningstll y y krysser y-ksen i 5 og hr stigningstll y + 5 y krysser y-ksen i 6 og hr stigningstll y Aschehoug Side 48 v 79

49 c Mengde koerkis som lir ttt ut, er gitt ved + 6y 18 6y y + Dette tilsvrer y 1. Mengde sinklende som lir ttt ut, er gitt ved + y 5 y + 5 Dette tilsvrer y. Mengde lyglns som lir ttt ut, er gitt ved 6+ 4y 4 4y 6+ 4 y + 6 Dette tilsvrer y. Området må ligge på oversiden v lle linjene siden de må produsere minst det de får estilling på, se figuren. Aschehoug Side 49 v 79

50 d Vi setter inn nivålinj i figuren ovenfor. Merk t nivålinj er stt litt til høyre for punktet fordi nivålinj er prllell med linj y. Vi hr d to steder hvor vi får lvest kostnd. Enten kn vi produsere 6 dger i Kongens gruve, eller dger i Kongens gruve og dger i Dronningens gruve. e E65 Hvis vi re ruker Kongens gruve i 6 dger, får vi et overskudd på åde koerkis og sinklende. Hvis vi ruker Kongens gruve i dger og Dronningens gruve i dger, får vi re et overskudd v koerkis. 6 L 10 lg(10 ) ( 6) Lydstyrken er på 60 db. Vi løser likningen for l L 10 lg l+ 10 L lg l 0,1L 1 lg l 0,1 1 l 10 L Vi setter inn L 100 0, l ,01 Lydintensiteten er 0,01 W/m. Aschehoug Side 50 v 79

51 c E66 l , , l Vi legger smmen lydintensitetene og regner ut ny lydstyrke 1 4 L 10 lg( ) lg 0, , 0044 Lydstyrken er c. 110 db. Dyret strter med 6000 Bq per kilo. Deretter hlveres det hver 0. dg, dvs. t etter 0 dger er det hlvprten igjen. Etter 60 dger hr det hlvert seg to gnger, dvs. 0,5, osv. t R ,5 0 Vi setter strålingen R til 600 og løser for t , , ,1 0,5 t 0 t 0 t 0 t lg 0,1 lg 0,5 0 lg 0,1 t 0 lg 0,5 t 99,66 Det tr 100 dger før strålingen lir mindre enn 600 Bq per kilo. E67 L (450) lg 450 0, De regner med å selge c. 0 luer lg p lg p 600 lg p lg p 5 p 51, For å selge 600 luer må prisen være c. 50 kr. c I( p) L( p) p ( lg p) p 400 p 1500 plg p Aschehoug Side 51 v 79

52 d Vi skriver inn uttrykket i CAS, løser den deriverte lik null for å finne toppunkt. Vi setter så inn i uttrykket for å finne inntekten. Forretningen ør velge en pris på kr. Inntekten lir d c kr. E68 Vi setter først inn uttrykket i CAS. Deretter ruker kommndoen Løs[ <Likning>,<Vriel>] I0 der likningen er I () og vrielen vi skl løse for, er k. Aschehoug Side 5 v 79

53 Vi setter først det nye uttrykket inn i CAS og setter så inn likningen I( ) 0,6 I0 og trykker på løs. Vi får d et stygt uttrykk som kopieres til rden under og trykker så på regn ut numerisk (knpp nummer to fr venstre). På 4 meters dyp er intensiteten redusert med 60 %. 1 c Vi lger en ny likning i CAS med den nye formelen K( ) I 0. Vi kller den K( ) for å kunne skille de to uttrykkene. Vi ruker så kommndoen Løs[ <Likning>,<Vriel>]. c Konstnten c hr verdien 0,. E69 n n n n lg lg lg n n n n n n n Aschehoug Side 5 v 79

54 c E70 c lg lg lg n n lg ( lg lg n) n ( lg lg n) ( n) n( lg lg n) 0 ( lg n)( lg lg n) 0 lg lg lg n Uttrykket gir to mulige løsninger, hver v fktorene kn være lik null. Vi ser på dem hver for seg. lg n 0 lg lg n 0 lg n lg lg n 10 n n , ,64 Etter år hr Per c kr på konto. Vi setter opp en likning: , 04,5 1, 04 lg,5 lg1,04, 6 Det tr,4 år før Per hr kr på kontoen. I dg hr Per 11 48,64 kr på kontoen. Vi legger til en sum som vi kller til dette, regner 7 år frm i tid og setter det lik kr ,64 + 1, 04 ( ) ,64 + 1, ,64 1, ,1 Per må sette inn c kr på kontoen for å få etter 7 år til. Aschehoug Side 54 v 79

55 E71 Vi ruker regnerket i GeoGer og tr regresjon for å finne potensfunksjonen. V ( t),1 0, Tnken er full når vnnstnden hr nådd 10 meter, dvs. Vt ( ) 10. 0,1 10, ,1, ,1,104 8,118 Tnken er full etter c. 8 timer. Det lir fylt på 18 m per time. 8, ,7 Det er 506,4 m vnn i tnken når den er full. c , 56 Det tr c. 55,5 timer å fylle den nye tnken. Den nye tnken følger smme formel som vi fnt i oppgve, vi setter inn ntll timer og regner ut. 0,1 V (55,56),104 55,56 1,591 Den nye tnken er c. 1,5 meter høy. Aschehoug Side 55 v 79

56 E7 Høyden i rektnglet er gitt ved funksjonsverdien. Lengden i rektngelet er gitt ved. F( ) f ( ) Arelet kn ikke være null eller negtivt. Vi fktoriserer F( ). F( ) (1 ) ( 1 )( 1 + ) ( )( + ) Vi tegner fortegnslinje. Vi husker t relet ikke kn være null eller negtivt. D F 0, F( ) Vi løser i CAS. Vi kn ikke h en negtiv -verdi. 0,79 Aschehoug Side 56 v 79

57 c d Vi deriverer og setter lik null. F ( ) 1 0 (4 ) 0 ( )( + ) Vi kn ikke h negtive -verdier. Det største relet er ved. F () Det største relet er 16. O ( ) + + f( ) + f( ) 4+ f( ) Vi deriverer og setter lik null for å finne største omkretsen. O ( ) Omkretsen lir størst når. Dette er smme resultt som for størst rel. Størst rel gir også størst omkrets i dette tilfellet. Aschehoug Side 57 v 79

58 E7 Inntekt er ntll solgte vrer multiplisert med prisen på vren. g ( ) Vi ruker skjæring mellom to ojekter og finner skjæringspunktene. For å gå i lnse må edriften produsere og selge enten 401 enheter eller 05 enheter. Aschehoug Side 58 v 79

59 c Vi finner overskuddet ved å sette g ( ) f( ). O ( ) g ( ) f( ) 500 0, ( ) Vi deriverer dette i CAS og løser for O ( ) 0. Størst overskudd hr vi ved produksjon v 1601 enheter. Vi setter inn i O ( ) for å finne overskuddet. Størst overskudd er 4869 kr. E74 Stigningstllet er gitt som den deriverte i punktet. f ( ) f (1) 1 1 Stigningstllet til tngenten er 1. Aschehoug Side 59 v 79

60 Løsninger til oppgvene i ok Vi finner først et uttrykk for stigningstllet til tngenten i det oppgitte punktet. g ( ) g (1) Siden tngentene er prllelle, er stigningstllet likt. Vi setter uttrykket for stigningstllene lik hverndre c Vi tegner inn funksjonene og viser tngentene i 1 for egge funksjonene (stiplet linje). Vi ser t tngentene er prllelle, dermed er f (1) g (1), og den momentne vekstfrten er lik. Aschehoug Side 60 v 79

61 E75 Vi skriver tllene inn i et regnerk og tr regresjonsnlyse. ( ) 0,001 0,1 0,74 4 K 1 + +, Vi tegner inn K og I, og merker skjæringen mellom grfene. Bkeriet får overskudd for produksjonsmengden 64 6 og underskudd for produksjonsmengden 6 og 7. Aschehoug Side 61 v 79

62 c Vi setter opp uttrykket for overskuddet. O ( ) I ( ) K ( ) ( 0, + 0) 15 0, 001 0,00 + 0, 15 Vi setter inn i CAS og regner ut O ( ) 0. Vi får to svr, setter de inn i ( ) Oog ser t de ør produsere 171 enheter for å få det største overskuddet som d er 107 kr. Aschehoug Side 6 v 79

63 d Vi setter inntekten til I( ) p og løser I( ) K( ) i CAS. Løsninger til oppgvene i ok Vi fktoriserer ut slik t vi får et ndregrdsuttrykk. Vi skl h re én løsning d grfen til I( ) tngerer grfen til K( ). Vi setter 4c 0. Den minste verdien for p er 7,5. Vi setter den nye inntekten lik kostnden og løser. Det ør lges og selges 150 kker per dg. Aschehoug Side 6 v 79

64 E76 f( ) , , Vi ser re på de positive løsningene. 10, 4 Bedriften kn høyst produsere 10 enheter. Vi løser i CAS. c d Bedriften får overskudd for 50 < < 110. Størst overskudd får edriften når 80. Overskuddet er d på 9. Minsteprisen er når vi hr lnse mellom inntekt og kostnd. Dette skjer når h tngerer kostndskurven. I punktet T er stigningstllet til tngenten lik den deriverte til funksjonen f. Vi kn d sette p f ( ). p f ( ) f ( ) 0,0 1,48 0,0 1, 48 0,0 74 Det må produseres og selges 74 enheter for å oppnå minst pris. Aschehoug Side 64 v 79

65 e For å få re én løsning må uttrykket under rottegnet i ndregrdsformelen være lik null. 4c 0 ( p) 4 0, p, 0 p, p ± 1, 48 Vi ntr t prisen er positiv, d vil p re h én løsning. Siden f( ) h ( ) hr re én løsning for denne verdien v p, vil dette være den minste prisen som gir lnse. E77 V ( ) πr h πh h 6 d 6 V( ) πr (6 ) 6π π 6π π E78 Vi ruker lineær regresjon og finner funksjonsuttrykket 40 p+ 167,57. Aschehoug Side 65 v 79

66 c d Vi finner først et uttrykk for ntll enheter solgt ved en gitt pris. 40 p p 1600 p 40 p Vi setter opp et uttrykk for inntekten. I( ) p , K(1000) 0, I (1000) 0, Kostnden er større enn inntekten, edriften hr et underskudd. e O( ) I( ) K( ) 00, 5 ( ) , , Aschehoug Side 66 v 79

67 f O ( ) 0, E79 0 0, , ,56 Vi setter inn i uttrykket for p. 555,56 40 p p , ,56 p 40 p 6,11 Prisen må være 6 kr for t overskuddet skl være størst mulig. Første informsjon er t funksjonen hr toppunkt i (, f ()) Løsninger til oppgvene i ok, dvs. den deriverte er lik null. Andre informsjon er t tngenten i 1 hr stigningstll, dvs. t den deriverte er lik i dette punktet. Vi løser i CAS og får t og 9 8. Aschehoug Side 67 v 79

68 E80 f( ) f() f(1) 1 ( + 1 ) Aschehoug Side 68 v 79

69 c På grfen er punktene mrkert og linj gjennom dem tegnet inn. Vi ser t stigningstllet til linj er 1. f ( ) f ,5 På grfen er punktet mrkert og tngenten til punktet tegnet inn. Vi ser t stigningstllet til tngenten er 4,5. d f ( ) ( + ) 6( )( 1) Grfen stiger for < 1 og for >. Grfen synker for 1< <. Aschehoug Side 69 v 79

70 e 6( )( 1) Vi regner ut tilhørende funksjonsverdi. f () 4 f ( 1) 5 Toppunktet er (1, 5), og unnpunktet er (, 4). f E81 f( ) ( 9+ 1) Vi løser prentesen med ndregrdsformelen. ( 9) ± 9 ± ( 9) ± 15 4 Dette gir ingen løsning, dermed hr vi re 0 som en løsning. () 0 ( ) P 0,1 0,9 7 0,6 Det er,6 % snnsynlig t det iter nøyktig gnger. Vi løser på snnsynlighetsklkultoren i GeoGer. Løsninger til oppgvene i ok Det er 58,9 % sjnse for å få minst fisker. Aschehoug Side 70 v 79

71 c Vi ruker snnsynlighetsklkultoren, velger mer enn fisker og prøver verdier for n til vi får 80 %. Hvis vi kster 4 gnger, hr The over 80 % sjnse for å få minst fisker. Aschehoug Side 71 v 79

72 E8 10 ( ) ( ) 1 6 P(6 jenter) ( 8 ) 0,10 Det er 1,0 % snnsynlig t 6 jenter lir trukket ut. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer, der populsjonen er de elevene, n er de 8 som skl li trukket ut, og utvlget er ntll gutter som er 10. Det er 84,4 % snnsynlig t minst gutter lir trukket ut. c Hypergeometrisk snnsynlighet der de to guttene som er venner er en gruppe, de resterende guttene er en gruppe og jentene er en gruppe. ( ) 8 ( ) 1 0 ( 6 ) P( venner og 6 jenter) 8 ( ) 0, 0089 Det er 0,9 % snnsynlig t de to guttene lir trukket ut smmen med 6 jenter. Aschehoug Side 7 v 79

73 E8 1 ( ) ( ) ( jenter og gutte 16 P r) ( ) 8 4 0,87 Det er 8,7 % sjnse for t det lir trukket ut jenter og gutter. 1 ( ) ( ) ( jenter og 1 gutt 1 16 P ) ( ) 8 4 c d 0,8 Det er,8 % sjnse for t det lir trukket ut jenter og 1 gutt. Vi regner ut den siste kominsjonen v hvert kjønn. 1 ( ) 16 ( 1 ) P(1 jente og gutter) 8 4 ( ) 0,17 Vi legger smmen lle snnsynlighetene. P (minst en v hvert kjønn) 0,17 + 0,8 + 0,87 0,887 Det er 88,7 % snnsynlig t minst en v hvert kjønn lir trukket ut. Vi regner ut den siste kominsjonen v hvert kjønn. g ( ) 10 g 1 ( 1 ) P(1 jente og 1 gutt) 10 g ( ) 5 g (10 g) g(10 g) 10g+ 5 0 ( g 5) 0 g 5 Det er 5 gutter i lokllget. Løsninger til oppgvene i ok Aschehoug Side 7 v 79

74 E84 Løsninger til oppgvene i ok Det er to muligheter, riktig eller glt svr; snnsynligheten for riktig er 0,, og snnsynligheten for glt er1 0, 0,8, og forsøkene er uvhengige. 5 P 0 ( 5 ) c (5) 0, 08, 15 17, 45 Snnsynligheten for å få 5 riktige er 17,5 %. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren. Snnsynligheten for å få minst 5 riktige er 7,0 %. Aschehoug Side 74 v 79

75 E85 15 P 0 ( 15) ( 15) 0,75 0, 5 5 0, 0 Det er 0, % snnsynlig t 15 joer som lærere. Det er 41,5 % snnsynlig t flere enn 15 joer som lærere. Aschehoug Side 75 v 79

76 c Vi ruker snnsynlighetsklkultoren, velger mer enn 5 lærere og prøver verdier for n til vi får over 95 %. E86 Vi må spørre mist 9 personer for å få en snnsynlighet på 95 % for t flere enn 5 v dem joer som lærere. 60 P 70 ( 60) ( 60) 0,80 0,0 10 0, 06 Det er 6, % snnsynlighet for t 60 v eplene kn selges til vnlig forruk. Aschehoug Side 76 v 79

77 Det er 14,7 % snnsynlig t minst 60 v eplene kn selges til vnlig forruk. ( ) ( ) c P (10 v hver sort) ( ) E87 0,167 Det er 16, % snnsynlig t kunden får 10 epler v hver sort. 18 P 0 ( 18) ( 18) 0,75 0, 5 0, 0669 Det er 6,7 % snnsynlig t kkurt 18 lyspærer lyser når det hr gått 1000 h. Aschehoug Side 77 v 79

78 Det er 61,7 % snnsynlighet for t minst 15 lyspærer lyser mer enn 1000 h. c Vi prøver oss frm med forskjellige p-verdier i snnsynlighetsklkultoren. Lyspærene må h en snnsynlighet for å lyse mer enn 1000 h på 86,1 %. Aschehoug Side 78 v 79

79 E88 7 ( ) ( ) ( ) 8 5 ( 1 P( gule, 1 rød, 1 hvit) ) ,174 Det er 17, % snnsynlig t de får utdelt gule, 1 rød og 1 hvit kjkk. 7 ( ) ( ) ( ) ( 0 P(4 gule) ) , 007 Det er 0,7 % snnsynlig t de får utdelt 4 gule kjkker. Løsninger til oppgvene i ok c Siden det ikke spiller noen rolle så lenge kjkkene ikke er gule, smler vi de røde og hvite i en gruppe og velger lle 4 fr denne gruppen. 7 ( ) 1 0 ( 4) P(4 gule) 0 4 ( ) 0,1476 Det er 14,8 % snnsynlig t de ikke får utdelt noen gule kjkker. Aschehoug Side 79 v 79