1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka"

Transkript

1 T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h h h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, , 04 50, 047 h ± 50, 047 h 7,07 Hypotenusen er 7,07 m. Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h k + K h± k + K Hypotenusen er gitt ved uttrykket Oppgve 6.3 h k + K. Vi setter den ukjente siden lik og ruker pytgorssetningen ± 9 3 Den ukjente siden er 3. Aschehoug Side v 57

2 Vi setter den ukjente siden lik cm og ruker pytgorssetningen , 8 + 6,8 86,8 64,9 ± 64,9 8,0 Den ukjente siden er 8,0 cm. Oppgve 6.4 Vi setter den ukjente vstnden lik meter og ruker pytgorssetningen ,5 6 +, 5 6, 5 3, 75 ± 3, 75, 9 Den nederste delen v stigen står,9 m unn veggen. For å kunne ruke pytgorssetningen må vi gå ut fr t veggen, kken og stigen dnner en rettvinklet treknt med stigen som hypotenus. Oppgve 6.5 Vi ruker pytgorssetningen. h k + K K h k K ± h k Kteten K er gitt ved uttrykket Oppgve 6.6 Vi ruker pytgorssetningen ± 3 K h k. 3 Vi kontrollerer svret med CAS-delen v GeoGer. Aschehoug Side v 57

3 Oppgve 6.7 Vi setter den ukjente kteten lik og ruker pytgorssetningen. ( ) ± 3 3 Den ukjente kteten hr lengden 3. Hlvsirkelen hr rdius. Omkretsen v hlvsirkelen er derfor π π. Omkretsen v hele figuren er dermed Oppgve 6.8 ( ) + 3 +π + 3+π Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 8,9 79, k + K 3,9 + 8, 0 5, , Tllene psser i pytgorssetningen. Treknten er derfor rettvinklet. Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h k + K Tllene psser ikke i pytgorssetningen ( ). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 6.9 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h k + K Tllene psser i pytgorssetningen. Hjørnevinkelen er derfor 90. Aschehoug Side 3 v 57

4 Oppgve 6.0 Hypotenusen i en rettvinklet treknt er den motstående siden til den rette vinkelen. Altså er det siden c som er hypotenus. Hosliggende ktet til vinkel A er siden. Hosliggende ktet til vinkel B er siden. c Motstående ktet til vinkel A er siden. Motstående ktet til vinkel B er siden. d Ktetene er og, og hypotenusen er c. Pytgorssetningen kn derfor uttrykkes som Oppgve 6. + c. Løsninger Vi ruker pytgorssetningen. h 5,0 + 0,0 h h h ± 5 h, Hypotenusen er, cm. Oppgve 6. Digonlen er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. h 5 + h h h ± 369 h 9, Størrelsen på skjermen er 9. Aschehoug Side 4 v 57

5 Oppgve 6.3 Den lengste siden i en rettvinklet treknt er lltid hypotenusen. Ktetene er de to korteste sidene. Vi setter den ukjente siden lik cm og ruker pytgorssetningen. 0,0 6, ± 64 8,0 Den ukjente siden er 8,0 cm. Oppgve 6.4 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 3 9 k + K Tllene psser ikke i pytgorssetningen (9 5). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 6.5 BD er hypotenus i den rettvinklede treknten ABD. h 4,5 + 3, 0 h h 0, ,5 h ± 9,5 h 5, 4 Lengden v BD er 5,4 cm. BC er korteste ktet i den rettvinklede treknten BCD. Vi setter 6,8 + 5,4 39, , , , 68 0,703 ± 0,703 3, Lengden v BC er 3, cm. BC cm. Aschehoug Side 5 v 57

6 Oppgve 6.6 Motstående ktet til vinkel v er siden c. Motstående ktet til vinkel v er siden d. 3 Motstående ktet til vinkel v er siden h. 4 Motstående ktet til vinkel v er siden m. Hosliggende ktet til vinkel v er siden. Hosliggende ktet til vinkel v er siden f. 3 Hosliggende ktet til vinkel v er siden g. 4 Hosliggende ktet til vinkel v er siden k. c Hypotenusen er, og ktetene er og c. Altså er Hypotenusen er e, og ktetene er d og f. Altså er 3 Hypotenusen er i, og ktetene er g og h. Altså er 4 Hypotenusen er l, og ktetene er k og m. Altså er + c. d + f e. g + h i. k + m l. Oppgve 6.7 Bkken, stuen og treet dnner en rettvinklet treknt med treet som hypotenus. Vi ruker derfor pytgorssetningen til å finne høyden v den øverste delen v treet. h 5, +,6 h 3,04 + 6,76 h 37,8 h ± 37,8 h 5, 4 Den øverste delen v treet er 5,4 m høyt. Høyden v hele treet vr dermed 5,4 m +,6 m 8,0 m. Oppgve 6.8 Treknten ABC er likeeint. Normlen fr A på BC deler derfor BC i to like store deler. Vi ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten ABD. h 9,5 + 3,00 h 85, h 94,565 h ± 94,565 h 9,7 Lengden v AB er 9,7 cm. Aschehoug Side 6 v 57

7 Vi setter BC m og ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten BCD. 4,85,55 + 3,55 6, ,55 6,505 7,0 ± 7,0 4,3 Lengden v BC er 4,3 m. Dermed er AB 7,0 m 4,3 m,9 m. Oppgve 6.9 Vi setter den hosliggende kteten til vinkel A lik. Den motstående kteten er d. Fr pytgorssetningen er ( ) 0 + ( ) ± De to ktetene hr lengdene og 4. 4 Oppgve 6.0 Vi setter den ukjente kteten lik. Hypotenusen er d. Pytgorssetningen gir ( ) ± Den ukjente kteten hr lengden 3 3. Aschehoug Side 7 v 57

8 Oppgve 6. Meterstven hr lengden m 00 cm. Vi setter den ukjente vstnden lik cm og ruker pytgorssetningen ± Mrit må måle ut 80 cm lngs den ndre veggen. Vi setter den ukjente vstnden lik cm og ruker pytgorssetningen ± Hun må måle ut 7 cm lngs egge veggene. Oppgve 6. Tenk t Nin svømte meter ut fr strnden. D svømte hun 3 meter prllelt med strnden. Svømmeturen dnner en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen (3 ) , 6 ± 9985, 6 00 Nin svømte 00 m utover før hun svingte. Oppgve 6.3 Høyden ned på grunnlinj deler grunnlinj i to like store deler. Vi lr hlvprten v grunnlinj være, og ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten ACD. Det gir Lengden v grunnlinj er ltså 39. Aschehoug Side 8 v 57

9 Oppgve 6.4 Vi lr den ukjente kteten h lengden. Hypotenusen er d. Pytgorssetningen gir ( ) ± Den ukjente kteten hr lengden 4 3, og hypotenusen hr lengden 8 3. Oppgve 6.5 Treknten ABC er rettvinklet, der AB er hypotenusen. Pytgorssetningen gir dermed h h h h ± 7 h Siden AB hr lengden 6. De to ktetene hr lengden 6. Omkretsen v treknten er derfor Oppgve 6.6 Treknten ABC er rettvinklet. Hypotenusen er lik rdien i sirkelen, som er 3. Den ene kteten hr lengden. Vi setter lengden v den ukjente kteten lik. Pytgorssetningen gir Omkretsen v rektnglet er dermed Aschehoug Side 9 v 57

10 Oppgve 6.7 Løsninger Treknten ABD er rettvinklet. Vi finner derfor den ukjente kteten fr pytgorssetningen ± ,78 Dermed er DE 38,78 m 3 m 6,78 m. Treknten CDE er også rettvinklet. Det gir y 6, y 566,97 y ± 566,97 y 39,58 Omkretsen v firknten er dermed ( , , 78) m 49,36 m 49 m. Oppgve 6.8 Edderkoppen kn velge mellom to forskjellige ruter. Den kn strte med å gå lngs gulvet og så opp veggen til venstre (), eller den kn strte med å gå opp den nærmeste veggen og så ort lngs tket (). Vi må regne ut korteste vei for egge lterntivene. D tenker vi oss t vi retter ut esken, se figurene. Den korteste veien svrer til rette linjer på de utrettede eskene. Vi ruker derfor pytgorssetningen. Alterntiv : h , h Alterntiv : h , h Den korteste veien edderkoppen kn gå er ltså lterntiv, som til smmen er 64 cm. Aschehoug Side 0 v 57

11 Oppgve 6.9 Vinkel D tilsvrer vinklene A og G. Derfor er D 80. Vinkel E tilsvrer vinklene B og I. Derfor er B I 40. Vinkelsummen i trekntene er 80. Det gir C F H Oppgve 6.30 Vinkel A tilsvrer vinkel H. Derfor er A 60. Vinkel C tilsvrer vinkel F. Derfor er C 00. Vinkel E tilsvrer vinkel B. Derfor er E 90. Vinkel G tilsvrer vinkel D. Derfor er G 0. Vinkelsummen er Oppgve 6.3 c Løsninger To v vinklene i trekntene er prvis like store. D må den tredje vinkelen også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. (Den tredje vinkelen er C F ) De tilsvrende sidene ligger mellom tilsvrende vinkler. De tilsvrende sidene er derfor AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi kjenner lengden v BC, som er tilsvrende side med EF. Vi kn derfor finne lengden v EF ved å ruke formlikhet. EF og BC er tilsvrende sider, og DE og AB er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. EF DE BC AB 4,0 4,5 5, 0 4,5 4, 0 4,5 4,5 5, 0 3, 6 Lengden v EF er 3,6 cm. Oppgve 6.3 De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi finner først BC, og setter d BC. BC AB EF DE 4,60 4,90 6,90 4,90 4, 60 4,90 4,90 6,90 3, 7 Lengden v BC er 3,7 cm. Aschehoug Side v 57

12 Så finner vi DF, og setter d DF. DF DE AC AB 6,90,0 4, 60,0 6,90,0,0 4, 60 3,5 Lengden v DF er 3,5 cm. Oppgve 6.33 Huset og grsjen hr form som to formlike rektngler. På figuren er AB og EF tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. Lengden v grsjen er EH. EH EF AD AB 6,30 3,30 0, 00 3,30 6,30 3,30 3,30 0, 00 8,38 Lengden v grsjen må være 8,38 m. Oppgve ± 5 Siden må være positiv, er 5. Oppgve 6.35 Forholdet mellom tilsvrende sider i mngekntene er 5. Forholdet mellom relene er d 5 5. Forholdet mellom relene er 5. Den minste treknten hr relet Den største treknten hr derfor relet 5 8,0 cm 00 cm. 8,0 cm. Aschehoug Side v 57

13 Oppgve 6.36 De to ildene er formlike rektngler. Sidene AB og EF er tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Vi setter forholdet mellom de tilsvrende sidene lik hverndre. EH EF AD AB 8,0 8,0 8,0 8,0 4 Høyden i det forstørrede ildet lir 4 cm. Oppgve cm 4 cm 3 cm 6 4 cm 3 8 cm y 3 cm 0 cm 6 cm 3 y 0 cm 6 y 5 cm Forholdet mellom tilsvrende sider i trekntene er. Forholdet mellom relene er derfor 4. Vi kn også kontrollere dette ved å regne ut relene. Trekntene er rettvinklede. Arelet v den største treknten: 8 cm 6 cm 4 cm Arelet v den minste treknten: Forholdet mellom relene: 4 cm 3 cm 6 cm 4 cm 4 6 cm Oppgve 6.38 De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE EF AB BC ,5 Lengden v DE er 4,5 m. Aschehoug Side 3 v 57

14 DF EF AC BC Lengden v DF er 6 m. Oppgve 6.39 Trekntene ABC og ACD er egge rettvinklede, og de hr vinkel A felles. Derfor er også ACD B. Trekntene er ltså formlike. Sidene AC og AD er tilsvrende sider, og AB og AC er tilsvrende sider. Vi setter AC. AC AB AD AC ± Lengden v siden AC er 3. Vi finner lengden v BC ved å ruke pytgorssetningen på treknten ABC. ( ) ± Altså er AB 6, AC 3 og BC 6. Omkretsen v treknten er derfor Aschehoug Side 4 v 57

15 Oppgve 6.40 Trekntene ABC og EBD er rettvinklede, og de hr vinkel B felles. Trekntene hr ltså to vinkler felles. Den tredje vinkelen må derfor også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. AC og DE er tilsvrende sider, og AB og BE er tilsvrende sider. BE AB AE 9 cm 4 cm 5 cm Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE BE AC AB ,3 Lengden v DE er 3,3 cm. Oppgve 6.4 Forholdet mellom rdiene i sirklene er r r 3. Forholdet mellom relene er d A πr r r A πr r r Oppgve Sidene AB og DF i kvdrtet er prllelle. Derfor er ABC BED. Siden trekntene ABC og BED er rettvinklede, er dermed også BAC EBD. Trekntene ABC og BED er ltså formlike. DE og BC er tilsvrende sider, og BD og AC er tilsvrende sider, der BD AB. Fr pytgorssetningen er + c cm 5 cm 5 cm Dermed får vi DE BD BC AC 5 cm 3 cm 4 cm 53 cm 4 3, 75 cm Løsninger Aschehoug Side 5 v 57

16 Oppgve 6.43 Siden A 3 er forholdet mellom motstående og hosliggende ktet lik 0,60: BC 0,60 AB Dermed er BC 0,60 AB 0,60,0 cm 7, cm Nå er C 90 A Derfor er AB 0,60 BC AB 0,60 BC 0,60 7,5 cm 4,5 cm Oppgve 6.44 tn 9 0,584 tn 37,5 0, 7673 c tn 85, 430 Oppgve 6.45 tn 35,5 8,5 8,5 tn 35,5 8,5 0,73 6, tn v tn v 3 3 0, 4, 3 Oppgve ,5 tn 5,0 4,5 tn 5,0 4,5,80 3,5 Aschehoug Side 6 v 57

17 8 tn v Oppgve 6.47 BC tn A AB 0, 45 5,0 5,0 0, 45, 5 Lengden v BC er,5. AB tn C BC, 70 8,0 8,0,70 3, 6 Lengden v AB er 3,6. Oppgve 6.48 AB tn C AC 5,6,8 AC 5,6 AC,8 AC,0 Aschehoug Side 7 v 57

18 Oppgve 6.49 Treknten er likeeint. Høyden fr L på PK deler derfor PK i to like deler. LQ tn P PQ tn, tn,8 60,0 Kiteren er 60 meter fr lnd. Oppgve 6.50,0 tn 5,0 tn 0, 40 tn 0, 40,8 Oppgve 6.5 BC tn A AB 3 tn A 0, 75 4 A tn 0, 75 36,9 C 90 A C 90 36,9 53, De spisse vinklene i treknten er 36,9 og 53,. Oppgve 6.5 Vi ruker pytgorssetningen til å finne. + 3 ± 3 3 Dermed er tn 60 tn 60 3 Aschehoug Side 8 v 57

19 Oppgve 6.53 Vi måler på figuren og finner t 4,6 cm AB og BC,8 cm. Dermed er BC,8 cm tn A 0,39 AB 4,6 cm AB 4,6 cm tn C, 6 BC,8 cm Oppgve 6.54 tn 3,5 6 6 tn 3,5 3,8,5 tn 40,0,5 3, 0 tn 40,0 3 c tn 5,5 3,3 tn 5,5 d tn tn 35 7,0 3, 0 e tn v 0,5455 5,5 v tn 0,5455 8, 6 5 f tn v, 5 0 v tn,5 56,3 8, 4 g tn v 3, 65,3 v Oppgve 6.55 tn 3, 65 74, 7 Vi finner først høyden h på figuren. h tn 3 m h 3 m tn 5,3 m Høyden v veggen er ltså,5 m + 5,3 m 6,8 m. Aschehoug Side 9 v 57

20 Oppgve tn B 5 4 tn B 3 Oppgve 6.57 AC tn B AB 0,80 5,0 0,80 5,0 4,0 Lengden v AC er 4,0. Oppgve ,0 m tn v 3, 4 m 8,0 v tn 3, 4 v 67,0 Vinkelen mellom stigen og underlget er 67,0. Oppgve 6.59 AB tn C AC Lengden v AC er 3. Aschehoug Side 0 v 57

21 Oppgve 6.60 tnα 0, 08 c α Stigningen er på 4,6. tn 0,08 4,6 Stigningen er på %. Det etyr t tnα % 0,. c α tn 0, 6,3 En stigning på % er det smme som en stigning på 6,3. tnα 00 % α tn 45 En stigning på 00 % svrer til 45. Oppgve 6.6 h tn A 0 cm tn 65 0 cm 9,3 cm tn 65 h tn B y 0 cm tn 47 y 0 cm y 8,7 cm tn 47 AB + y 9,3 cm + 8,7 cm 8 cm Oppgve 6.6,8 +, 3, 9 tn A 5,6 5,6 3,9 A tn 34,85 5,6, tn w 5,6, w tn 0,56 5,6 v A w 34,85 0,56 4, 9 4,3 Aschehoug Side v 57

22 Oppgve 6.63 Hvis vi lr normlen fr C ned på AB være 4, ser vi t vstnden fr A til normlen lir 3, og vstnden fr B til normlen lir 5. Dermed er tn A 4 3 og tn B 4 5. (For øvrig er ikke treknten rettvinklet.) Oppgve 6.64 c er motstående ktet til vinkelen som er oppgitt. Vi ruker derfor sinus. sin 5,5,5,5 sin 5,5 5,38 Vi kjenner motstående ktet til vinkelen som er oppgitt. Derfor ruker vi sinus. 3,5 sin 55,0 3,5 sin 55,0 4,3 Vi kjenner hosliggende ktet til vinkelen som er oppgitt. Derfor ruker vi cosinus.,0 cos5,0 cos5 9, Oppgve 6.65 Vi vil finne motstående ktet, og ruker derfor sinus. sin 70 6,0 m 6,0 m sin 70 5,6 m Stigen når 5,6 m opp på veggen. Oppgve m sin 70 8 m sin 70 9 m Vieren er 9 m lng. Aschehoug Side v 57

23 Oppgve ,0 cos60 h 8,0 h 6,0 cos60 sin 60 6,0 6,0 sin 60 3,9 Lengden v hypotenusen er 6,0, og lengden v den ndre kteten er 3,9. Oppgve 6.68 Vi finner først den motstående kteten AC. AC sin B BC 3 y 4 3 y y y 6 Så finner vi AB fr pytgorssetningen. ( ) ± Lengden v AB er 3. Oppgve 6.69 BC cosc AC 3 y y y y 4 Lengden v BC er 4. Aschehoug Side 3 v 57

24 Vi finner AB fr pytgorssetningen. ( ) ± Omkretsen v treknten er ltså Oppgve ,0 sin 3 4,0 sin 3 7,9 Oppgve 6.7 6,0 cos 9,0 6,0 cos 9,0 48, Oppgve 6.7 8,0 cm cosc 0, 64,5 cm C cos 0, 64 50, 8,0 cm sin A 0, 64,5 cm A sin 0, 64 39,8 I tillegg til den rette vinkelen på 90 er vinklene i treknten 50, og 39,8. Aschehoug Side 4 v 57

25 Oppgve 6.73 c Se figuren til høyre. BC sin A AC sin 30 AB cos A AC cos30 3 BC cosc AC cos60 Oppgve 6.74 Fr pytgorssetningen finner vi t BC sin A AC sin 45 AB cos A AC cos 45 Oppgve 6.75 CD sin A AC CD sin 7,0 m CD 7,0 m sin CD,6 m AD cos A AC AD cos 7,0 m AD 7,0 m cos AD 6, 49 m Dermed er AB 6,49 m,98 m 3,0 m. AC +. Det gir Aschehoug Side 5 v 57

26 Oppgve 6.76 AD tn ABD AB AD tn 56,0,0 AD,0 tn 56,0 AD,965 Lengden v AD er 3,0. AD sin ACD CD,965 sin ACD 8,5,965 ACD sin 8,5 ACD 0, 4 Oppgve 6.77 DB cos CDB DC DB cos50 30 m DB 30 m cos50 DB 9,8 m 9 m Vi finner først BC ved å ruke sinus i treknten BCD. BC sin CDB DC BC sin m BC 30 m sin 50 BC,98 m Så finner vi AB fr pytgorssetningen. AB AC BC 40,98 m 3, 74 m Dermed er AD AB DB 3,74 m 9,8 m 3,46 m 3 m. Aschehoug Side 6 v 57

27 Oppgve 6.78 c d Vi skl finne motstående ktet til vinkelen som er oppgitt, og ruker derfor sinus. sin 40,5 3, 4 3,4 sin 40,5 8,7,5 sin 60,5 sin 60 4, 4 3 m sin v 4 m 3 v sin 4 v 3,8 Vi kjenner den hosliggende kteten til vinkelen v, og ruker derfor cosinus. 4 cm cosv 3 cm 4 v cos 3 v 5,5 Oppgve 6.79 Sinus til vinkelen B er lik forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen i treknten. Hvis den motstående kteten hr lengde 3 og hypotenusen hr lengde 5, vil derfor sin B 3 5. Oppgve 6.80 AB cos B BC 0, 40 8,0 8,0 0, 40 3, Lengden v AB er 3,. Løsninger Aschehoug Side 7 v 57

28 Oppgve 6.8 Vi skl finne hosliggende ktet til vinkelen, og ruker derfor cosinus. cos3 3,5 m 3,5 m cos3 3, 0 m Avstnden fr åten til rygg er 3,0 m. Oppgve 6.8 5,0 m sin 75 5,0 m sin 75 5, m Stigen må være 5, m lng. sin m 600 m sin 9 94 m Høydeforskjellen mellom høyeste og lveste punkt på veien er 94 m. Oppgve 6.83 tn 3 7 cm 7 cm tn 3 3, 0 cm 4,5 cm sin 33 4,5 cm sin 33 8,3 cm 9 cm c cos 0 cm cos 0,9 cos 0,9 5,8 Aschehoug Side 8 v 57

29 Oppgve 6.84 c Vi ruker sinus på treknten ABD. BD sin A AB m sin v 60 m v sin 0, v, 5 Vi ruker sinus på treknten CBD. BD sin BCD CB m sin 30 CB m CB sin 30 CB 4 m Vi finner først AD fr pytgorssetningen på treknten ABD, og deretter CD ved å ruke tngens på treknten CBD. AD AB BD 60 m 58,8 m BD tn BCD CD m tn 30 CD m CD tn 30 CD 0,8 m AC AD CD 58,8 m 0,8 m 38 m Lengden v AC er 38 m. Oppgve 6.85 Sinus til vinkelen C er lik forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen i treknten, AB sin C BC Vi kn derfor finne lengden v BC. 3 4,5 cm 5 BC 5 BC 4,5 cm 7,5 cm 3 Aschehoug Side 9 v 57

30 Oppgve 6.86 Vi finner først lengden v AD ved å ruke tngens på treknten ABD. AD tn ABD AB AD tn 56,0,0 AD,0 tn 56,0 AD,97 Så finner vi AC ved å ruke pytgorssetningen på treknten ACD. AC CD AD 8,5,97 7,96 Dermed er BC AC AB 7,96, 0 5,96 6, 0. Oppgve 6.87 Vi ruker tngens på treknten ACD. CD tn A AD h tn 3 3,5 m h 3,5 m tn 3 h, m Høyden v hemsen er, m. Vi finner først vstnden på utsiden v veggen, og ser d på treknten BEF. EF tn B BF 0, 40 m tn 3 0, 40 m tn 3 0,64 m Mellom veggene er vstnden dermed 3,5 m 0,64 m 5,7 m 5,7 m Bredden v hemsen mellom veggene er 5,7 m. Aschehoug Side 30 v 57

31 Oppgve 6.88 Vi finner først høyden h fr åten opp til rygg før vnnet stiger (figuren til venstre). h sin 3 3,5 m h 3,5 m sin 3,855 m Etter t vnnet hr steget er denne høyden redusert til (figuren til høyre) y h 0,5 m,855 m 0,5 m,355 m Lengden v tuet, som dnner hypotenusen i treknten, er fortstt 3,5 m. Vi finner dermed fr pytgorssetningen. 3,5,355 m 3, m Avstnden fr åten til rygg etter t vnnet hr steget vil være 3, m. Oppgve 6.89 Vi egynner med å finne ktetene i treknten DGN. DN sin G GN DN sin m DN 330 m sin 5 39,46 m DG cosg GN DG cos m DG 330 m cos 5 99,08 m Dermed er CD 450 m 99, 08 m 50,9 m. Til slutt ruker vi pytgorssetningen på treknten CDN. CN CD + DN 50,9 + 39, 46 m 05, 49 m 05 m Avstnden mellom Corneli og Nnn er 05 m. Aschehoug Side 3 v 57

32 Oppgve 6.90 Vi finner BC ved hjelp v tngens, og CA ved hjelp v sinus. AB tn C BC 4, km tn 65 BC 4, km BC,968 km tn 65 AB sin C CA 4, km sin 65 CA 4, km CA 4,656 km sin 65 Dermed er AB + BC + CA 4, km +,968 km + 4, 656 km 0,844 km. Lengden v løyp er 0,84 km. Punktet M er midtpunktet på AC. Det etyr t normlen fr M på AB deler AB i to like store deler, og normlen fr M på BC deler BC i to like store deler. Trekntene ABM og BCM er derfor egge likeeinte. Altså er BM CM MA, og følgelig BM + MA CA. Vicky hr derfor jogget 4,66 km. Oppgve 6.9 På figuren er u 30 og v 50. Vi ser derfor t cos30 0,87 og cos50 0,87. To vinkler som til smmen er 80 hr ltså cosinusverdier med motstt fortegn. Oppgve 6.9 Punktet P hr koordintene (0,8, 0,6). Sinus til vinkelen er ndrekoordinten til punktet. Altså er sinus til vinkelen 0,6. Cosinus til vinkelen er førstekoordinten til punktet. Altså er cosinus til vinkelen 0,8. Sinus til vinkelen er ndrekoordinten til punktet, ltså. Cosinus til vinkelen er førstekoordinten til punktet, ltså. Oppgve 6.93 sin v sin ( 80 v) for lle vinkler v. Altså hr vinkelen 5 smme sinusverdi som vinkelen Vinklene v og 80 v hr smme sinusverdi. (Hvis v 0, 90 så vil 80 v 90,80.) Aschehoug Side 3 v 57

33 Oppgve 6.94 Når v 0 fller venstre vinkelein smmen med den positive førsteksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (, 0). Dermed er sin 0 0 og cos0. Når v 90 fller venstre vinkelein smmen med den positive ndreksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (0, ). Dermed er sin 90 og cos90 0. c Når v 80 fller venstre vinkelein smmen med den negtive førsteksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (, 0). Dermed er sin80 0 og cos80. Oppgve 6.95 Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Ettersom sin v> sin u er derfor v> u. Vinkelen v er størst. Cosinus er en monotont synkende funksjon i intervllet 0,80. Ettersom cosu < cosv er derfor u > v. Vinkelen u er størst. c Sinus er en positiv funksjon i hele intervllet 0,80, mens cosinus er positiv i intervllet 0, 90 og negtiv i intervllet 90,80. Når sin v > 0 og cosv < 0 vet vi derfor t v 90,80. Oppgve 6.96 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. 5 0,6 9,0 F AB AC sin A 5,0 3,0 0,6 4,5 Arelet v treknten er 4,5. Oppgve 6.97 F 8,0 sin 36 8 F 4 sin 8 36 Aschehoug Side 33 v 57

34 Oppgve 6.98 Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A 5,5 sin Arelet v treknten er 54 cm. Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A. 36, 0,5 AC sin 50 36,0 AC,5 sin 50 AC 7,5 Siden AC hr lengden 7,5 cm. Oppgve 6.99 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. F 6,8 4,5 sin00 5, Arelet v treknten er 5, m. Oppgve 6.00 Tomt er stt smmen v to treknter. Treknt ABD: F 54, 78,3 sin 3,9 5,6 Treknt BDC: F 6,7 78,3 sin 44,5 693, Smlet rel: 5,6 m + 693, m 845,7 m 850 m Arelet v tomt er 850 m,85 mål. Aschehoug Side 34 v 57

35 Oppgve 6.0 Arelet v treknten er gitt ved F AC BC sin C Det gir likningen 50 0 sin C sin C 50 sin C 60 Vi må huske t likningen hr to løsninger: én spiss vinkel og én stump vinkel C sin C 80 sin C 56, 4 C 80 56, 4 C 56,4 C 3,6 F AB BC sin B 0,5 AB 7 sin50 0,5 AB 7 sin50 AB 6 Oppgve 6.0 Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Det kn vi se utfr enhetssirkelen. Når vinkelen v øker, øker ndrekoordinten til skjæringspunktet mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Siden 35 > 33 er ltså sin 35 > sin 33. Arelet v treknt I er gitt ved F I 3, 4,8 sin 35 Arelet v treknt II er gitt ved F II 3, 4,8 sin 33 Den eneste forskjellen mellom uttrykkene er vinkelen mellom de to sidene i treknten. Ettersom sin 35 > sin 33 er dermed FI > FII. Treknt I hr størst rel. c FI 3, 4,8 sin 35 4, 4 FII 3, 4,8 sin 33 4, Aschehoug Side 35 v 57

36 Oppgve 6.03 Løsninger sin v er definert som ndrekoordinten til skjæringspunktet P mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Altså er sin v 0,9. cosv er definert som førstekoordinten til skjæringspunktet P mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Altså er cosv 0,40. sin v er ndrekoordinten til punktet. Altså er sin v t. cosv er førstekoordinten til punktet. Altså er cosv s. Oppgve 6.04 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. F 5,8 8, sin 53, 8,8 Arelet v treknten er 8,8 m. F 0,0,0 sin 45,5 4,8 Arelet v treknten er 4,8 cm. F 0,0,0 sin34,5 4,8 Arelet v treknten er 4,8 cm. Oppgve 6.05 Tomt er stt smmen v to treknter, som vist på figuren. Arelet v treknt ABC: F 35,4 0,4 sin06 347, Arelet v treknt ADC: F 7, 38,9 sin85 55, Smlet rel: 347, m + 55, m 87, m 87 m Arelet v tomt er 87 m. Oppgve 6.06 Både sin v og cosv er mellom 0 og. Vinkelen er derfor i intervllet 0, 90. v cos 0,559 56, 0 sin v er positiv og cosv er negtiv. Vinkelen er derfor i intervllet 90,80. v cos ( 0,89) 46, 0 c Vi vet t sin v sin ( 80 v). Når v > 90 er derfor v 80 sin 0, 784 8, 4. Aschehoug Side 36 v 57

37 Oppgve 6.07 c Treknten ADC er rettvinklet. D er CD tn DAC AD CD tn 3 m CD m tn 3 CD 3, m Lengden v CD er 3, m. Siden treknten er rettvinklet, er relet gitt ved CD AD 3, m m 45,4 m 45 m Arelet v treknt ADC er 45 m. Vi finner lengden v AC fr pytgorssetningen på treknten ADC. AC AD + CD + 3, m 5,67 m Arelet v treknt ABC: AB AC sin BAC 6 5, 67 sin 3 08,8 Arelet v hele området: 45,4 m + 08,8 m 54,4 m Antll trær: 54,4 8 9 Det vokser 8 trær på området. Oppgve 6.08 Løsninger Arelet v treknt I: F I 3,9 3, 0 sin38 Arelet v treknt II: F II 3,9 3, 0 sin 40 sin38 sin sin 4. Vi vet t ( ) Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Derfor er sin 4 > sin 40. Dette etyr t FI > FII. Treknt I hr ltså størst rel. FI 3,9 3, 0 sin38 3,9 FII 3,9 3, 0 sin 40 3,8 Aschehoug Side 37 v 57

38 Oppgve 6.09 Vi finner først lengden v AC ved hjelp v sinus, og deretter lengden v AB fr pytgorssetningen. BC sin A AC AC AC ( ) AB AC BC Arelet v treknten er dermed AB BC Oppgve 6.0 Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A Det gir likningen sin A 0 40 sin A sin A 0,5 Likningen hr to løsninger: A sin 0,5 A 80 sin 0,5 A 30 A A 30 A 50 Oppgve 6. Arelet v området er gitt ved 3 sin v+ 3 4 sin v+ 4 5 sin v 3sin v+ 6sin v+ 0sin v 9sin v Arelet skl være 6,5. Det gir likningen 9sinv 6,5. 6,5 sin v 9 6,5 v sin 0 9 Aschehoug Side 38 v 57

39 Oppgve 6. Summen v vinklene i treknten skl være 80. Altså er C Her er AC og AB c 45. Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene B og C. c sin B sin C 45 sin80 sin 75 sin80 45 sin Lengden v siden AC er 46. Oppgve 6.3 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin A sin B 5,0 cm sin 4 sin 8 sin 4 5,0 cm 35,6 cm sin 8 Lengden v siden BC er 35,6 cm. Vinkelsummen i treknten er 80. Altså er C c sin C sin B c 5,0 cm sin0 sin 8 sin0 c 5,0 cm 50,0 cm sin 8 Lengden v siden AB er 50,0 cm. Oppgve 6.4 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene B og C. c sin B sin C 6,0 0, 4 0,8 0, 4 6,0 6,0 3 0,8 Lengden v siden AC er 3. Aschehoug Side 39 v 57

40 Oppgve 6.5 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin A sin C c sin A sin5 3,3 5, 3,3 sin A sin5 5, sin A 0,530 A sin 0,530 3 Dermed er B c sin B sin C 5, sin 3 sin5 sin 3 5,, 4 sin5 Lengden v siden AC er,4. Oppgve 6.6 Vi hr oppgitt to sider i treknten, og den motstående vinkelen til den lengste v de to sidene. Vinkelen er dessuten større enn 90. D er det re én treknt som psser til opplysningene. Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin30, 6, 4 6,, 4 C sin sin30, 6 6, C 35,53 35,5 Dermed er B 80 30,6 35,53 3,87 3,9. Til slutt finner vi ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 6, sin3,87 sin30, 6 sin3,87 6, 5, sin30, 6 Aschehoug Side 40 v 57

41 Oppgve 6.7 Vi strter med å tegne siden AB. Så tegner vi vinkel A, der lengden v det venstre vinkeleinet er ukjent. Så tegner vi en sirkel med sentrum i punktet B og rdius 8,5 cm. D ser vi t sirkelen skjærer vinkeleinet fr vinkel A i to punkter, C og C. Dette etyr t det er to treknter som stemmer med opplysningene, én med den spisse vinkelen C og én med den stumpe vinkelen C. Vi legger også merke til t høyden fr B på AC er den smme i de to trekntene. Derfor er sin C sin C. Vi må strte med å finne de ukjente vinklene. Først ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin 50 0, 0 8,5 Som vi vet fr oppgve hr likningen to løsninger: 0,0 0,0 C sin sin 50 C 80 sin sin 50 8,5 8,5 C 64,3 C 5, 68 Treknt I: C 64,3 64,3 B ,3 65, 68 65, 7 sin B sin A 8,5 cm sin 65,68 sin 50 sin 65,68 8,5 cm 0, cm sin 50 Lengden v siden AC er 0, cm. Treknt II: C 5, 68 5, 7 B , 68 4,3 4,3 sin B sin A 8,5 cm sin4,3 sin 50 sin4,3 8,5 cm,7 cm sin 50 Lengden v siden AC er,7 cm. Aschehoug Side 4 v 57

42 Oppgve 6.8 Vi setter den ukjente siden lik cm. Cosinussetningen gir 3,3 + 4,5 3,3 4,5 cos4,7 8,965 ± 8,965 3, 0 Den ukjente siden i treknten hr lengden 3,0 cm. Oppgve 6.9 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A cos A cos A 40 cos A cos A 40 3 A cos 36,8 40 Så ruker vi cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B cos B cos B 0 cos B cos B 0 87 B cos 43,53 0 Til slutt finner vi vinkel C: C 80 36,8 43,53 00,9 Vinklene i treknten er 36,, 43,5 og 00,3. Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. 4,5 6,0 + 7,5 6,0 7,5 cos A 90 cos A 7 7 A cos 36,87 90 Så ruker vi cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B. 6,0 4,5 + 7,5 4,5 7,5 cosb 67,5 cos B 40,5 40,5 B cos 53,3 67,5 Dermed er C 80 36,87 53,3 90. Vinklene i treknten er 36,9, 53, og 90. Aschehoug Side 4 v 57

43 Oppgve 6.0 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. BC AB + AC AB AC cos A BC BC BC 8 BC ± 8 BC Lengden v siden BC er. Oppgve 6. Cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B gir AC, 0 + 9,5, 0 9,5 cos89 AC 806,956 AC ± 806,956 AC 8, 407 Digonlen AC hr lengden 8,4 m. c Cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel D gir AC,5 + 8,0,5 8,0 cos D 806, , 5 80 cos D 80 cos D 3, 94 3, 94 D cos 88,35 88, 4 80 Firknten er stt smmen v de to trekntene ABC og ACD. Treknt ABC: F,0 9,5 sin89 04,7 Treknt ACD: F,5 8,0 sin88,35 0,4 Smlet rel: 04,7 m + 0,4 m 407, m Arelet v firknten er 407 m. Aschehoug Side 43 v 57

44 Oppgve 6. c d Vi ruker sinussetningen.,9 sin 3 sin 5 sin 3,9 sin 5 3, 6 Vi ruker sinussetningen. sin sin 53, 4 5,, 4 sin sin 53 5, sin 0,3758 sin 0,3758, Vi ruker cosinussetningen. 3, 6 + 3, 0 3, 6 3, 0 cos3 33, 74 ± 33, 74 5,8 Vi ruker cosinussetningen. 6,0 3,0 + 5,0 3,0 5,0 cos cos 30 cos cos 30 cos 30 93,8 Aschehoug Side 44 v 57

45 Oppgve 6.3 Vinkelsummen i treknten er 80. Altså er C Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 5,9 sin 60 sin 45 sin 60 5,9 7, sin 45 Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. c sin C sin A c 5,9 sin 75 sin 45 sin 75 c 5,9 8, sin 45 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin 30,7 6, 8,36 6, sin C sin 30,7 8,36 6, C sin sin 30, 7, 9,3 8,36 Dermed er B 80 30, 7, 9 7, 0 7, 0. Til slutt finner vi ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 8,36 sin7, 0 sin 30, 7 sin7, 0 8,36 3, sin 30,7 Aschehoug Side 45 v 57

46 c Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A sin B sin B sin sin 60 5, 5, 0 Dermed er C , 68, 79 68,8. Til slutt finner vi c ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. c sin C sin A c 0 sin 68,79 sin 60 sin 68,79 c 0 0,8 sin 60 d Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkelen A. + c c cos A cos cos 0,49, Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin 0 5,49 5 B sin sin 0 5, 73 5, 7,49 Dermed er C , 73 07, 7 07,3. e Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkelen A. 5,6 3,8 + 6,8 3,8 6,8 cos A 3,8 6,8 cos A 3,8 + 6,8 5,6 3,8 + 6,8 5,6 cos A 3,8 6,8 3,8 + 6,8 5,6 A cos 55, 44 55, 4 3,8 6,8 Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin 55, 44 3,8 5, 6 3,8 B sin sin 55, 44 33,97 34, 0 5,6 Dermed er C 80 55, 44 33,97 90,59 90, 6. Aschehoug Side 46 v 57

47 Oppgve 6.4 Treknten ACD er rettvinklet. Vi ruker derfor pytgorssetningen. AC + Lengden v siden AC er 5,0.,0 9,0 5,0 Vi ruker sinussetningen. sin B sin ACB AC AB sin B sin 66,7 5,0 4,0 5,0 B sin sin 66, 7 79, 75 79,8 4,0 c BAC 80 66, 7 79, 75 33,55 Arelet v treknt ACD:,0 9,0 54,0 Arelet v treknt ABC: 4,0 5,0 sin 33,55 58,0 Arelet v firknten ABCD er dermed 54,0 + 58,0. Oppgve 6.5 Vi finner vstnden fr Dueøy til Kråkeøy ved hjelp v cosinussetningen cos cos Avstnden fr Dueøy til Kråkeøy er 58 m. Omkretsen v treknten er dermed 950 m + 58 m m 4808 m 4,8 km Båtturen er på 4,8 km. Aschehoug Side 47 v 57

48 Oppgve 6.6 Treknten ABC er rettvinklet. Vi ruker derfor pytgorssetningen. AC Lengden v digonlen AC er 7,4. 8,0 3,0 7,4 7,4 BC cos B AB 3, 0 cos B 8,0 3, 0 B cos 67,98 68, 0 8,0 Vi finner vinkelen D fr cosinussetningen. AC DC + DA DC DA cos D 7,4 3,5 5,5 3,5 5,5 cos 38,5 cos D,56 D +,56 38,5 cos 09, 04 09, 0 D c BAC ,98, 0 Vi finner CAD fr sinussetningen. sin CAD sin D CD AC sin CAD sin09, 04 3,5 7, 4 3,5 CAD sin sin09, 04 6, 48 7,4 Dermed er A BAC + CAD, 0 + 6, 48 48,50 48,5 C 360 ( A+ B+ D) 360 (48, , , 04 ) 34, 48 34,5 Oppgve 6.7 Sinussetningen på treknten BDC gir sin BDC sin B BC DC sin BDC sin 78 4,3 5, 0 4,3 BDC sin sin 78 57, ,0 ADC og BDC er supplementvinkler. Altså er ADC 80 57,7,73. Arelet v treknten ADC er dermed gitt ved F 7,5 5, 0 sin, 73 5,8 6 Aschehoug Side 48 v 57

49 Oppgve 6.8 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin6, 0 5,5,5 5,5 C sin sin6, 0 37,33,5 B 80 6, 0 37,33 6, 67 Arelet v treknten er dermed F 5,5,5 sin6,67 5,5 Løsninger Det finnes to forskjellige treknter som egge stemmer med de tre opplysningene som er gitt om treknten. I den ene treknten er vinkel B stump (og vinkel C spiss), og i den ndre er vinkel B spiss (og vinkel C stump). Vi må derfor vite om B > 90 eller B < 90 for å kunne regne ut relet v treknten. Oppgve 6.9 Vi ser v figuren t det er to treknter som stemmer med opplysningene, én der vinkel C er spiss og én der vinkel C er stump. Vi finner vinkel C fr sinussetningen. sin C sin 5 4,3 3,9 4,3 4,3 C sin sin 5 C 80 sin sin 5 3,9 3,9 C 58,97 C, 03 Treknt I: C 58,97 59 B ,97 70, ,9 sin 70,03 sin 5 sin 70,03 3,9 4, 7 sin 5 Treknt II: C, 03 B 80 5, 03 7,97 8, 0 3,9 sin 7,97 sin 5 sin 7,97 3,9 0, 70 sin 5 Treknt I: F 4,3 3,9 sin70,03 7,9 Treknt II: F 4,3 3,9 sin7,97, Aschehoug Side 49 v 57

50 Oppgve 6.30 Vi finner først vinkel B ved hjelp v cosinussetningen. AC AB + BC AB BC cos B 6,5,0 + 5,5,0 5,5 cos,0 + 5,5 6,5 cos B, 0 5, 5,0 + 5,5 6,5 B cos 5, 73, 0 5, 5 Arelet v treknten er dermed gitt ved F AB BC sin B,0 5,5 sin 5,73 3, BDC 80 ADC DCB , 73 94, 7 Vi finner lengden v BD fr sinussetningen. BD BC sin DCB sin BDC BD 5,5 sin 94,7 sin 60 sin 94,7 BD 5,5 6,3 sin 60 Lengden v BD er 6,3. Oppgve 6.3 Treknten ACD er rettvinklet. Vi finner derfor AC fr pytgorssetningen. AC 4,8 + 4, m 6,38 m Dermed kn vi finne vinkel B fr cosinussetningen. 6,38 4,5 + 3,8 4,5 3,8 cos B 4,5 + 3,8 6,38 B cos 00,3 4,5 3,8 Arelet v treknt ACD: 4,8 4, 0,08 Arelet v treknt ABC: 4,5 3,8 sin00,3 8,4 Arelet v golvet er dermed 0,08 m + 8,4 m 8,5 m. B Aschehoug Side 50 v 57

51 Oppgve 6.3 Vi finner først lengden v digonlen AC fr cosinussetningen. AC,6 +,7,6,7 cos0,5 9,97 Så finner vi vinkel B fr sinussetningen, og husker d t vinkel B er stump. sin B sin BAC AC BC sin B sin 0,6 9,97 8, 4 9,97 B 80 sin sin 0, 6 3, 3 8, 4 Dermed er ACB 80 0, 6 3, 3 36,7. Arelet v treknt ABC: AC BC sin ACB 9,97 8, 4 sin 36,7 49,50 Arelet v treknt ACD: DC DA sin D,6,7 sin0,5 69,04 Arelet v firknten er dermed 49, ,04 8,54 9. Oppgve 6.33 Vi finner først lengden v AC fr cosinussetningen. AC + Så finner vi ACB fr sinussetningen. sin ACB sin0 05 m 84,97 m cos0 m 84,97 m 05 ACB sin sin0 33, 73 84,97 Dermed er ACD 35 33, 73 0, 7. Til slutt finner vi lengden v AD fr cosinussetningen. AD 84, ,97 95 cos0, 7 m 94 m Oppgve 6.34 Vi finner lengden v BC fr sinussetningen. BC AC sin A sin B BC BC Aschehoug Side 5 v 57

52 Oppgve 6.35 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. BC AB + AC AB AC cos A BC BC BC 0 BC ± 0 BC Lengden v BC er 5 cm. Oppgve 6.36 Vinklene u og A er supplementvinkler, siden u+ A 80. D er sin u sin A og cosu cos A. Fr pytgorssetningen på treknten ACD er + h h Dessuten er cosu cosu cos A der vi i siste linje hr rukt cosu cos A. Pytgorssetningen på treknten DBC gir dermed ( c+ ) + h ( c+ ) + c + + c c c + + ( cos ) c c A + cos c c A Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve motstående ktet til A 8 sin A 0, 8 hypotenus 00 hosliggende ktet til A 96 cos A 0,96 hypotenus 00 Aschehoug Side 5 v 57

53 Oppgve Den hosliggende kteten til vinkelen v hr lengden 4. Vi ruker definisjonen v tngens og finner den motstående kteten. motstående ktet til v tn v hosliggende ktet til v 4 Ettersom tn v 3 4 gir dette likningen Den motstående kteten hr lengden 3. Vi finner hypotenusen fr pytgorssetningen. h h h h ± 5 h 5 Hypotenusen hr lengden 5. Oppgve 3 c hosliggende ktet til A 4 cos A hypotenus 5 Hvis den hosliggende kteten til vinkelen A hr lengden 4 og hypotenusen hr lengden 5, vil dette stemme med cos A 4 5. Fr pytgorssetningen er ± 9 3 Dermed er motstående ktet til A 3 tn v hosliggende ktet til A 4 Vi ruker formlikhet Hvis AB hr lengden 8, hr AC lengden 0. Aschehoug Side 53 v 57

54 Oppgve 4 Arelet v treknt I: F I 34sin5 6sin5 Arelet v treknt II: F II 3 4 sin50 6 sin50 sin50 sin sin 30. Vi vet t ( ) Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Altså er sin 30 > sin 5. Dette etyr t FII > FI. Treknt II hr derfor størst rel. Oppgve 5 Vi finner lengden v BC fr cosinussetningen. BC AB + AC AB AC cos A BC BC BC BC ± 30 Lengden v siden BC er 30. Vi ruker relsetningen med utgngspunkt i vinkelen B. F AB BC sin B sin B 7 5 sin B 7 30 sin B sin B sin B sin B sin B Aschehoug Side 54 v 57

55 Del Med hjelpemidler Oppgve 6 c Vi ruker sinus. BC sin A AC BC sin 35 8,6 m BC 8,6 m sin 35 BC 4,93 m 4,9 m Lengden v BC er 4,9 m. C F AC BC sin C F 8,6 m 4,93 m sin 55 F 7,37 m 7,4 m Arelet v treknten er 7,4 m. Trekntene ABC og DEF hr to vinkler felles. Den siste vinkelen må derfor også være lik, F C. Trekntene er ltså formlike. Forholdet mellom tilsvrende sider er,5, der treknt DEF er størst. Forholdet mellom relene er d,5, 5. Arelet v treknten DEF er dermed Oppgve 7 sin 70 8,0 m 8,0 m sin 70 7,5 m Stigen når 7,5 m opp på veggen. 7,37 m,5 39 m. 7 m sin v 8,0 m 7 v sin 8,0 v 6 Stigen dnner vinkelen 6 med kken. Aschehoug Side 55 v 57

56 Oppgve 8 Vi ruker relsetningen med utgngspunkt i vinkel A. F AB AC sin A 6,5 km 4,3 km sin 40 9, 0 km Arelet v lndområdet er 9,0 km. sin 40 4,3 km 4,3 km sin 40,8 km Avstnden fr C til siden AB er,8 km. c Vi finner først lengden v BC fr cosinussetningen. 4,3 6,5 4,3 6,5 cos 40 km 4, 3 km Løsninger BC + Det nturlige nå er å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. Men C er nær 90, og det er vnskelig å se fr figuren om vinkelen er spiss eller stump. Det «tryggeste» er derfor å finne vinkel B først, som vi vet er spiss. sin B sin A AC BC sin B sin 40 4,3 km 4,3 km 4,3 B sin sin 40 40,8 4, 3 Dermed er C ,8 99, 99. Oppgve 9 Vi finner først lengden v AC fr cosinussetningen. AC + Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i AD AC sin ACD sin D AD 68,99 sin 40 sin0 sin 40 AD 68,99 47,9 47 sin0 Lengden v siden AD er cos0 68,99 ACD og D Arelet v treknt ABC: AB BC sin B 5 53 sin0 573, 74 Arelet v treknt ACD: AC AD sin CAD 68,99 47,9 sin 30 83,9 Arelet v firknten er dermed 573, ,9 387, Aschehoug Side 56 v 57

57 Oppgve 0 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og ABD. BD AD sin A sin ABD BD,5 sin 50 sin 5 sin 50 BD,5 4,53 4,5 sin 5 Lengden v siden BD er 4,5. I ADB ruker vi relsetningen med utgngspunkt i ADB FADB AD BD sin ADB,5 4,53 sin05 5, 47 Treknt BCD er rettvinklet. Vi finner derfor lengden v BC fr pytgorssetningen. BC BD CD 4,53 4, 0,3 FBCD BC CD,3 4,0 4, 6 Arelet v firknten ABCD er dermed 5, , 6 9,73 9,7. Aschehoug Side 57 v 57

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012 Forkurs i mtemtikk til MAT-, ugust Kompendium v Amir Hshemi, HiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Institutt for Mtemtikk og Sttistikk, UiT, Høsten Innhold Forord... Kpittel Test deg

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215 2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A

Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus 10A. Matematikk for ungdomstrinn. Matematikk for ungdomstrinnet. Fasit. Grunnbok 10A Jan Erik Gulbrandsen Arve Melhus Matematikk for ungdomstrinn Matematikk for ungdomstrinnet 0A Fasit Grunnbok 0A FASIT TIL KAPITTEL A GEOMETRI A Konstruer speilbildet av endepunktene til linjestykkene og

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

Trigonometri. Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Formlikhet 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215 219, 220, 221, 222, 223, 224

Trigonometri. Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Formlikhet 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215 219, 220, 221, 222, 223, 224 2 Trigonometri Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleen skal kunne gjøre rede for definisjonene a sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å beregne lengder, inkler og areal i ilkårlige

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling.

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri 1 I trekanten ABC er A = 65. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene CD og AB. Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB.

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004

Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004 NTNU Side 1 v 7 Institutt for fysikk Fkultet for nturvitenskp og teknologi Dette løsningsforslget er på 7 sider. Løsningsforslg til eksmen i TFY417 Fysikk Fysikk Torsdg. desember 4 Oppgve 1. Kvntemeknikk

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

Lokalt gitt eksamen 2010

Lokalt gitt eksamen 2010 Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 28. mi Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 9 Del 3: oppgve 12 13

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

Montering av Grandal vippeporter

Montering av Grandal vippeporter Montering v Grndl vippeporter Gjelder for lle Viking og Viking ekstr vippeportbeslg Bildet viser ferdig montert vippeport med slglister v stål. Nødvendig verktøy Hmmer, vter, bufil, kubein, tommestokk,

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA

NOTAT. TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA NOTAT Postboks 133, 6851 SOGNDAL telefon 57676000 telefaks 57676100 TITTEL NOTATNR. DATO Supplerende stoff til geometriske emner i Nygaard, Hundeland, Pettersen: AHA 4.05.0 PROSJEKTTITTEL TILGJENGE TAL

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................

Detaljer

Øving 13, løsningsskisse.

Øving 13, løsningsskisse. TFY455/FY3 Elektr & mgnetisme Øving 3, løsningsskisse nduksjon Forskyvningsstrøm Vekselstrømskretser nst for fysikk 5 Oppgve nduktns for koksilkbel ) Med strømmen jmt fordelt over tverrsnittet på lederne

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Lokal gitt eksamen 2012. Del 1: oppgave 1-5 Del 2: oppgave 6-10 Del 3: oppgave 11-12 I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Lokal gitt eksamen 2012. Del 1: oppgave 1-5 Del 2: oppgave 6-10 Del 3: oppgave 11-12 I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 15. jnur 2013 Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-10 Del 3: oppgve 11-12 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer

Oppgaver i matematikk, 13-åringer Oppgver i mtemtikk, 13-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri Alger Dtrepresentsjon og snnsynlighet Målinger Proporsjonlitet Emnetilhørighet

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013 Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer