1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka"

Transkript

1 T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h h h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, , 04 50, 047 h ± 50, 047 h 7,07 Hypotenusen er 7,07 m. Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h k + K h± k + K Hypotenusen er gitt ved uttrykket Oppgve 6.3 h k + K. Vi setter den ukjente siden lik og ruker pytgorssetningen ± 9 3 Den ukjente siden er 3. Aschehoug Side v 57

2 Vi setter den ukjente siden lik cm og ruker pytgorssetningen , 8 + 6,8 86,8 64,9 ± 64,9 8,0 Den ukjente siden er 8,0 cm. Oppgve 6.4 Vi setter den ukjente vstnden lik meter og ruker pytgorssetningen ,5 6 +, 5 6, 5 3, 75 ± 3, 75, 9 Den nederste delen v stigen står,9 m unn veggen. For å kunne ruke pytgorssetningen må vi gå ut fr t veggen, kken og stigen dnner en rettvinklet treknt med stigen som hypotenus. Oppgve 6.5 Vi ruker pytgorssetningen. h k + K K h k K ± h k Kteten K er gitt ved uttrykket Oppgve 6.6 Vi ruker pytgorssetningen ± 3 K h k. 3 Vi kontrollerer svret med CAS-delen v GeoGer. Aschehoug Side v 57

3 Oppgve 6.7 Vi setter den ukjente kteten lik og ruker pytgorssetningen. ( ) ± 3 3 Den ukjente kteten hr lengden 3. Hlvsirkelen hr rdius. Omkretsen v hlvsirkelen er derfor π π. Omkretsen v hele figuren er dermed Oppgve 6.8 ( ) + 3 +π + 3+π Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 8,9 79, k + K 3,9 + 8, 0 5, , Tllene psser i pytgorssetningen. Treknten er derfor rettvinklet. Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h k + K Tllene psser ikke i pytgorssetningen ( ). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 6.9 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h k + K Tllene psser i pytgorssetningen. Hjørnevinkelen er derfor 90. Aschehoug Side 3 v 57

4 Oppgve 6.0 Hypotenusen i en rettvinklet treknt er den motstående siden til den rette vinkelen. Altså er det siden c som er hypotenus. Hosliggende ktet til vinkel A er siden. Hosliggende ktet til vinkel B er siden. c Motstående ktet til vinkel A er siden. Motstående ktet til vinkel B er siden. d Ktetene er og, og hypotenusen er c. Pytgorssetningen kn derfor uttrykkes som Oppgve 6. + c. Løsninger Vi ruker pytgorssetningen. h 5,0 + 0,0 h h h ± 5 h, Hypotenusen er, cm. Oppgve 6. Digonlen er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. h 5 + h h h ± 369 h 9, Størrelsen på skjermen er 9. Aschehoug Side 4 v 57

5 Oppgve 6.3 Den lengste siden i en rettvinklet treknt er lltid hypotenusen. Ktetene er de to korteste sidene. Vi setter den ukjente siden lik cm og ruker pytgorssetningen. 0,0 6, ± 64 8,0 Den ukjente siden er 8,0 cm. Oppgve 6.4 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 3 9 k + K Tllene psser ikke i pytgorssetningen (9 5). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 6.5 BD er hypotenus i den rettvinklede treknten ABD. h 4,5 + 3, 0 h h 0, ,5 h ± 9,5 h 5, 4 Lengden v BD er 5,4 cm. BC er korteste ktet i den rettvinklede treknten BCD. Vi setter 6,8 + 5,4 39, , , , 68 0,703 ± 0,703 3, Lengden v BC er 3, cm. BC cm. Aschehoug Side 5 v 57

6 Oppgve 6.6 Motstående ktet til vinkel v er siden c. Motstående ktet til vinkel v er siden d. 3 Motstående ktet til vinkel v er siden h. 4 Motstående ktet til vinkel v er siden m. Hosliggende ktet til vinkel v er siden. Hosliggende ktet til vinkel v er siden f. 3 Hosliggende ktet til vinkel v er siden g. 4 Hosliggende ktet til vinkel v er siden k. c Hypotenusen er, og ktetene er og c. Altså er Hypotenusen er e, og ktetene er d og f. Altså er 3 Hypotenusen er i, og ktetene er g og h. Altså er 4 Hypotenusen er l, og ktetene er k og m. Altså er + c. d + f e. g + h i. k + m l. Oppgve 6.7 Bkken, stuen og treet dnner en rettvinklet treknt med treet som hypotenus. Vi ruker derfor pytgorssetningen til å finne høyden v den øverste delen v treet. h 5, +,6 h 3,04 + 6,76 h 37,8 h ± 37,8 h 5, 4 Den øverste delen v treet er 5,4 m høyt. Høyden v hele treet vr dermed 5,4 m +,6 m 8,0 m. Oppgve 6.8 Treknten ABC er likeeint. Normlen fr A på BC deler derfor BC i to like store deler. Vi ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten ABD. h 9,5 + 3,00 h 85, h 94,565 h ± 94,565 h 9,7 Lengden v AB er 9,7 cm. Aschehoug Side 6 v 57

7 Vi setter BC m og ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten BCD. 4,85,55 + 3,55 6, ,55 6,505 7,0 ± 7,0 4,3 Lengden v BC er 4,3 m. Dermed er AB 7,0 m 4,3 m,9 m. Oppgve 6.9 Vi setter den hosliggende kteten til vinkel A lik. Den motstående kteten er d. Fr pytgorssetningen er ( ) 0 + ( ) ± De to ktetene hr lengdene og 4. 4 Oppgve 6.0 Vi setter den ukjente kteten lik. Hypotenusen er d. Pytgorssetningen gir ( ) ± Den ukjente kteten hr lengden 3 3. Aschehoug Side 7 v 57

8 Oppgve 6. Meterstven hr lengden m 00 cm. Vi setter den ukjente vstnden lik cm og ruker pytgorssetningen ± Mrit må måle ut 80 cm lngs den ndre veggen. Vi setter den ukjente vstnden lik cm og ruker pytgorssetningen ± Hun må måle ut 7 cm lngs egge veggene. Oppgve 6. Tenk t Nin svømte meter ut fr strnden. D svømte hun 3 meter prllelt med strnden. Svømmeturen dnner en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen (3 ) , 6 ± 9985, 6 00 Nin svømte 00 m utover før hun svingte. Oppgve 6.3 Høyden ned på grunnlinj deler grunnlinj i to like store deler. Vi lr hlvprten v grunnlinj være, og ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten ACD. Det gir Lengden v grunnlinj er ltså 39. Aschehoug Side 8 v 57

9 Oppgve 6.4 Vi lr den ukjente kteten h lengden. Hypotenusen er d. Pytgorssetningen gir ( ) ± Den ukjente kteten hr lengden 4 3, og hypotenusen hr lengden 8 3. Oppgve 6.5 Treknten ABC er rettvinklet, der AB er hypotenusen. Pytgorssetningen gir dermed h h h h ± 7 h Siden AB hr lengden 6. De to ktetene hr lengden 6. Omkretsen v treknten er derfor Oppgve 6.6 Treknten ABC er rettvinklet. Hypotenusen er lik rdien i sirkelen, som er 3. Den ene kteten hr lengden. Vi setter lengden v den ukjente kteten lik. Pytgorssetningen gir Omkretsen v rektnglet er dermed Aschehoug Side 9 v 57

10 Oppgve 6.7 Løsninger Treknten ABD er rettvinklet. Vi finner derfor den ukjente kteten fr pytgorssetningen ± ,78 Dermed er DE 38,78 m 3 m 6,78 m. Treknten CDE er også rettvinklet. Det gir y 6, y 566,97 y ± 566,97 y 39,58 Omkretsen v firknten er dermed ( , , 78) m 49,36 m 49 m. Oppgve 6.8 Edderkoppen kn velge mellom to forskjellige ruter. Den kn strte med å gå lngs gulvet og så opp veggen til venstre (), eller den kn strte med å gå opp den nærmeste veggen og så ort lngs tket (). Vi må regne ut korteste vei for egge lterntivene. D tenker vi oss t vi retter ut esken, se figurene. Den korteste veien svrer til rette linjer på de utrettede eskene. Vi ruker derfor pytgorssetningen. Alterntiv : h , h Alterntiv : h , h Den korteste veien edderkoppen kn gå er ltså lterntiv, som til smmen er 64 cm. Aschehoug Side 0 v 57

11 Oppgve 6.9 Vinkel D tilsvrer vinklene A og G. Derfor er D 80. Vinkel E tilsvrer vinklene B og I. Derfor er B I 40. Vinkelsummen i trekntene er 80. Det gir C F H Oppgve 6.30 Vinkel A tilsvrer vinkel H. Derfor er A 60. Vinkel C tilsvrer vinkel F. Derfor er C 00. Vinkel E tilsvrer vinkel B. Derfor er E 90. Vinkel G tilsvrer vinkel D. Derfor er G 0. Vinkelsummen er Oppgve 6.3 c Løsninger To v vinklene i trekntene er prvis like store. D må den tredje vinkelen også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. (Den tredje vinkelen er C F ) De tilsvrende sidene ligger mellom tilsvrende vinkler. De tilsvrende sidene er derfor AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi kjenner lengden v BC, som er tilsvrende side med EF. Vi kn derfor finne lengden v EF ved å ruke formlikhet. EF og BC er tilsvrende sider, og DE og AB er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. EF DE BC AB 4,0 4,5 5, 0 4,5 4, 0 4,5 4,5 5, 0 3, 6 Lengden v EF er 3,6 cm. Oppgve 6.3 De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi finner først BC, og setter d BC. BC AB EF DE 4,60 4,90 6,90 4,90 4, 60 4,90 4,90 6,90 3, 7 Lengden v BC er 3,7 cm. Aschehoug Side v 57

12 Så finner vi DF, og setter d DF. DF DE AC AB 6,90,0 4, 60,0 6,90,0,0 4, 60 3,5 Lengden v DF er 3,5 cm. Oppgve 6.33 Huset og grsjen hr form som to formlike rektngler. På figuren er AB og EF tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. Lengden v grsjen er EH. EH EF AD AB 6,30 3,30 0, 00 3,30 6,30 3,30 3,30 0, 00 8,38 Lengden v grsjen må være 8,38 m. Oppgve ± 5 Siden må være positiv, er 5. Oppgve 6.35 Forholdet mellom tilsvrende sider i mngekntene er 5. Forholdet mellom relene er d 5 5. Forholdet mellom relene er 5. Den minste treknten hr relet Den største treknten hr derfor relet 5 8,0 cm 00 cm. 8,0 cm. Aschehoug Side v 57

13 Oppgve 6.36 De to ildene er formlike rektngler. Sidene AB og EF er tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Vi setter forholdet mellom de tilsvrende sidene lik hverndre. EH EF AD AB 8,0 8,0 8,0 8,0 4 Høyden i det forstørrede ildet lir 4 cm. Oppgve cm 4 cm 3 cm 6 4 cm 3 8 cm y 3 cm 0 cm 6 cm 3 y 0 cm 6 y 5 cm Forholdet mellom tilsvrende sider i trekntene er. Forholdet mellom relene er derfor 4. Vi kn også kontrollere dette ved å regne ut relene. Trekntene er rettvinklede. Arelet v den største treknten: 8 cm 6 cm 4 cm Arelet v den minste treknten: Forholdet mellom relene: 4 cm 3 cm 6 cm 4 cm 4 6 cm Oppgve 6.38 De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE EF AB BC ,5 Lengden v DE er 4,5 m. Aschehoug Side 3 v 57

14 DF EF AC BC Lengden v DF er 6 m. Oppgve 6.39 Trekntene ABC og ACD er egge rettvinklede, og de hr vinkel A felles. Derfor er også ACD B. Trekntene er ltså formlike. Sidene AC og AD er tilsvrende sider, og AB og AC er tilsvrende sider. Vi setter AC. AC AB AD AC ± Lengden v siden AC er 3. Vi finner lengden v BC ved å ruke pytgorssetningen på treknten ABC. ( ) ± Altså er AB 6, AC 3 og BC 6. Omkretsen v treknten er derfor Aschehoug Side 4 v 57

15 Oppgve 6.40 Trekntene ABC og EBD er rettvinklede, og de hr vinkel B felles. Trekntene hr ltså to vinkler felles. Den tredje vinkelen må derfor også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. AC og DE er tilsvrende sider, og AB og BE er tilsvrende sider. BE AB AE 9 cm 4 cm 5 cm Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE BE AC AB ,3 Lengden v DE er 3,3 cm. Oppgve 6.4 Forholdet mellom rdiene i sirklene er r r 3. Forholdet mellom relene er d A πr r r A πr r r Oppgve Sidene AB og DF i kvdrtet er prllelle. Derfor er ABC BED. Siden trekntene ABC og BED er rettvinklede, er dermed også BAC EBD. Trekntene ABC og BED er ltså formlike. DE og BC er tilsvrende sider, og BD og AC er tilsvrende sider, der BD AB. Fr pytgorssetningen er + c cm 5 cm 5 cm Dermed får vi DE BD BC AC 5 cm 3 cm 4 cm 53 cm 4 3, 75 cm Løsninger Aschehoug Side 5 v 57

16 Oppgve 6.43 Siden A 3 er forholdet mellom motstående og hosliggende ktet lik 0,60: BC 0,60 AB Dermed er BC 0,60 AB 0,60,0 cm 7, cm Nå er C 90 A Derfor er AB 0,60 BC AB 0,60 BC 0,60 7,5 cm 4,5 cm Oppgve 6.44 tn 9 0,584 tn 37,5 0, 7673 c tn 85, 430 Oppgve 6.45 tn 35,5 8,5 8,5 tn 35,5 8,5 0,73 6, tn v tn v 3 3 0, 4, 3 Oppgve ,5 tn 5,0 4,5 tn 5,0 4,5,80 3,5 Aschehoug Side 6 v 57

17 8 tn v Oppgve 6.47 BC tn A AB 0, 45 5,0 5,0 0, 45, 5 Lengden v BC er,5. AB tn C BC, 70 8,0 8,0,70 3, 6 Lengden v AB er 3,6. Oppgve 6.48 AB tn C AC 5,6,8 AC 5,6 AC,8 AC,0 Aschehoug Side 7 v 57

18 Oppgve 6.49 Treknten er likeeint. Høyden fr L på PK deler derfor PK i to like deler. LQ tn P PQ tn, tn,8 60,0 Kiteren er 60 meter fr lnd. Oppgve 6.50,0 tn 5,0 tn 0, 40 tn 0, 40,8 Oppgve 6.5 BC tn A AB 3 tn A 0, 75 4 A tn 0, 75 36,9 C 90 A C 90 36,9 53, De spisse vinklene i treknten er 36,9 og 53,. Oppgve 6.5 Vi ruker pytgorssetningen til å finne. + 3 ± 3 3 Dermed er tn 60 tn 60 3 Aschehoug Side 8 v 57

19 Oppgve 6.53 Vi måler på figuren og finner t 4,6 cm AB og BC,8 cm. Dermed er BC,8 cm tn A 0,39 AB 4,6 cm AB 4,6 cm tn C, 6 BC,8 cm Oppgve 6.54 tn 3,5 6 6 tn 3,5 3,8,5 tn 40,0,5 3, 0 tn 40,0 3 c tn 5,5 3,3 tn 5,5 d tn tn 35 7,0 3, 0 e tn v 0,5455 5,5 v tn 0,5455 8, 6 5 f tn v, 5 0 v tn,5 56,3 8, 4 g tn v 3, 65,3 v Oppgve 6.55 tn 3, 65 74, 7 Vi finner først høyden h på figuren. h tn 3 m h 3 m tn 5,3 m Høyden v veggen er ltså,5 m + 5,3 m 6,8 m. Aschehoug Side 9 v 57

20 Oppgve tn B 5 4 tn B 3 Oppgve 6.57 AC tn B AB 0,80 5,0 0,80 5,0 4,0 Lengden v AC er 4,0. Oppgve ,0 m tn v 3, 4 m 8,0 v tn 3, 4 v 67,0 Vinkelen mellom stigen og underlget er 67,0. Oppgve 6.59 AB tn C AC Lengden v AC er 3. Aschehoug Side 0 v 57

21 Oppgve 6.60 tnα 0, 08 c α Stigningen er på 4,6. tn 0,08 4,6 Stigningen er på %. Det etyr t tnα % 0,. c α tn 0, 6,3 En stigning på % er det smme som en stigning på 6,3. tnα 00 % α tn 45 En stigning på 00 % svrer til 45. Oppgve 6.6 h tn A 0 cm tn 65 0 cm 9,3 cm tn 65 h tn B y 0 cm tn 47 y 0 cm y 8,7 cm tn 47 AB + y 9,3 cm + 8,7 cm 8 cm Oppgve 6.6,8 +, 3, 9 tn A 5,6 5,6 3,9 A tn 34,85 5,6, tn w 5,6, w tn 0,56 5,6 v A w 34,85 0,56 4, 9 4,3 Aschehoug Side v 57

22 Oppgve 6.63 Hvis vi lr normlen fr C ned på AB være 4, ser vi t vstnden fr A til normlen lir 3, og vstnden fr B til normlen lir 5. Dermed er tn A 4 3 og tn B 4 5. (For øvrig er ikke treknten rettvinklet.) Oppgve 6.64 c er motstående ktet til vinkelen som er oppgitt. Vi ruker derfor sinus. sin 5,5,5,5 sin 5,5 5,38 Vi kjenner motstående ktet til vinkelen som er oppgitt. Derfor ruker vi sinus. 3,5 sin 55,0 3,5 sin 55,0 4,3 Vi kjenner hosliggende ktet til vinkelen som er oppgitt. Derfor ruker vi cosinus.,0 cos5,0 cos5 9, Oppgve 6.65 Vi vil finne motstående ktet, og ruker derfor sinus. sin 70 6,0 m 6,0 m sin 70 5,6 m Stigen når 5,6 m opp på veggen. Oppgve m sin 70 8 m sin 70 9 m Vieren er 9 m lng. Aschehoug Side v 57

23 Oppgve ,0 cos60 h 8,0 h 6,0 cos60 sin 60 6,0 6,0 sin 60 3,9 Lengden v hypotenusen er 6,0, og lengden v den ndre kteten er 3,9. Oppgve 6.68 Vi finner først den motstående kteten AC. AC sin B BC 3 y 4 3 y y y 6 Så finner vi AB fr pytgorssetningen. ( ) ± Lengden v AB er 3. Oppgve 6.69 BC cosc AC 3 y y y y 4 Lengden v BC er 4. Aschehoug Side 3 v 57

24 Vi finner AB fr pytgorssetningen. ( ) ± Omkretsen v treknten er ltså Oppgve ,0 sin 3 4,0 sin 3 7,9 Oppgve 6.7 6,0 cos 9,0 6,0 cos 9,0 48, Oppgve 6.7 8,0 cm cosc 0, 64,5 cm C cos 0, 64 50, 8,0 cm sin A 0, 64,5 cm A sin 0, 64 39,8 I tillegg til den rette vinkelen på 90 er vinklene i treknten 50, og 39,8. Aschehoug Side 4 v 57

25 Oppgve 6.73 c Se figuren til høyre. BC sin A AC sin 30 AB cos A AC cos30 3 BC cosc AC cos60 Oppgve 6.74 Fr pytgorssetningen finner vi t BC sin A AC sin 45 AB cos A AC cos 45 Oppgve 6.75 CD sin A AC CD sin 7,0 m CD 7,0 m sin CD,6 m AD cos A AC AD cos 7,0 m AD 7,0 m cos AD 6, 49 m Dermed er AB 6,49 m,98 m 3,0 m. AC +. Det gir Aschehoug Side 5 v 57

26 Oppgve 6.76 AD tn ABD AB AD tn 56,0,0 AD,0 tn 56,0 AD,965 Lengden v AD er 3,0. AD sin ACD CD,965 sin ACD 8,5,965 ACD sin 8,5 ACD 0, 4 Oppgve 6.77 DB cos CDB DC DB cos50 30 m DB 30 m cos50 DB 9,8 m 9 m Vi finner først BC ved å ruke sinus i treknten BCD. BC sin CDB DC BC sin m BC 30 m sin 50 BC,98 m Så finner vi AB fr pytgorssetningen. AB AC BC 40,98 m 3, 74 m Dermed er AD AB DB 3,74 m 9,8 m 3,46 m 3 m. Aschehoug Side 6 v 57

27 Oppgve 6.78 c d Vi skl finne motstående ktet til vinkelen som er oppgitt, og ruker derfor sinus. sin 40,5 3, 4 3,4 sin 40,5 8,7,5 sin 60,5 sin 60 4, 4 3 m sin v 4 m 3 v sin 4 v 3,8 Vi kjenner den hosliggende kteten til vinkelen v, og ruker derfor cosinus. 4 cm cosv 3 cm 4 v cos 3 v 5,5 Oppgve 6.79 Sinus til vinkelen B er lik forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen i treknten. Hvis den motstående kteten hr lengde 3 og hypotenusen hr lengde 5, vil derfor sin B 3 5. Oppgve 6.80 AB cos B BC 0, 40 8,0 8,0 0, 40 3, Lengden v AB er 3,. Løsninger Aschehoug Side 7 v 57

28 Oppgve 6.8 Vi skl finne hosliggende ktet til vinkelen, og ruker derfor cosinus. cos3 3,5 m 3,5 m cos3 3, 0 m Avstnden fr åten til rygg er 3,0 m. Oppgve 6.8 5,0 m sin 75 5,0 m sin 75 5, m Stigen må være 5, m lng. sin m 600 m sin 9 94 m Høydeforskjellen mellom høyeste og lveste punkt på veien er 94 m. Oppgve 6.83 tn 3 7 cm 7 cm tn 3 3, 0 cm 4,5 cm sin 33 4,5 cm sin 33 8,3 cm 9 cm c cos 0 cm cos 0,9 cos 0,9 5,8 Aschehoug Side 8 v 57

29 Oppgve 6.84 c Vi ruker sinus på treknten ABD. BD sin A AB m sin v 60 m v sin 0, v, 5 Vi ruker sinus på treknten CBD. BD sin BCD CB m sin 30 CB m CB sin 30 CB 4 m Vi finner først AD fr pytgorssetningen på treknten ABD, og deretter CD ved å ruke tngens på treknten CBD. AD AB BD 60 m 58,8 m BD tn BCD CD m tn 30 CD m CD tn 30 CD 0,8 m AC AD CD 58,8 m 0,8 m 38 m Lengden v AC er 38 m. Oppgve 6.85 Sinus til vinkelen C er lik forholdet mellom motstående ktet og hypotenusen i treknten, AB sin C BC Vi kn derfor finne lengden v BC. 3 4,5 cm 5 BC 5 BC 4,5 cm 7,5 cm 3 Aschehoug Side 9 v 57

30 Oppgve 6.86 Vi finner først lengden v AD ved å ruke tngens på treknten ABD. AD tn ABD AB AD tn 56,0,0 AD,0 tn 56,0 AD,97 Så finner vi AC ved å ruke pytgorssetningen på treknten ACD. AC CD AD 8,5,97 7,96 Dermed er BC AC AB 7,96, 0 5,96 6, 0. Oppgve 6.87 Vi ruker tngens på treknten ACD. CD tn A AD h tn 3 3,5 m h 3,5 m tn 3 h, m Høyden v hemsen er, m. Vi finner først vstnden på utsiden v veggen, og ser d på treknten BEF. EF tn B BF 0, 40 m tn 3 0, 40 m tn 3 0,64 m Mellom veggene er vstnden dermed 3,5 m 0,64 m 5,7 m 5,7 m Bredden v hemsen mellom veggene er 5,7 m. Aschehoug Side 30 v 57

31 Oppgve 6.88 Vi finner først høyden h fr åten opp til rygg før vnnet stiger (figuren til venstre). h sin 3 3,5 m h 3,5 m sin 3,855 m Etter t vnnet hr steget er denne høyden redusert til (figuren til høyre) y h 0,5 m,855 m 0,5 m,355 m Lengden v tuet, som dnner hypotenusen i treknten, er fortstt 3,5 m. Vi finner dermed fr pytgorssetningen. 3,5,355 m 3, m Avstnden fr åten til rygg etter t vnnet hr steget vil være 3, m. Oppgve 6.89 Vi egynner med å finne ktetene i treknten DGN. DN sin G GN DN sin m DN 330 m sin 5 39,46 m DG cosg GN DG cos m DG 330 m cos 5 99,08 m Dermed er CD 450 m 99, 08 m 50,9 m. Til slutt ruker vi pytgorssetningen på treknten CDN. CN CD + DN 50,9 + 39, 46 m 05, 49 m 05 m Avstnden mellom Corneli og Nnn er 05 m. Aschehoug Side 3 v 57

32 Oppgve 6.90 Vi finner BC ved hjelp v tngens, og CA ved hjelp v sinus. AB tn C BC 4, km tn 65 BC 4, km BC,968 km tn 65 AB sin C CA 4, km sin 65 CA 4, km CA 4,656 km sin 65 Dermed er AB + BC + CA 4, km +,968 km + 4, 656 km 0,844 km. Lengden v løyp er 0,84 km. Punktet M er midtpunktet på AC. Det etyr t normlen fr M på AB deler AB i to like store deler, og normlen fr M på BC deler BC i to like store deler. Trekntene ABM og BCM er derfor egge likeeinte. Altså er BM CM MA, og følgelig BM + MA CA. Vicky hr derfor jogget 4,66 km. Oppgve 6.9 På figuren er u 30 og v 50. Vi ser derfor t cos30 0,87 og cos50 0,87. To vinkler som til smmen er 80 hr ltså cosinusverdier med motstt fortegn. Oppgve 6.9 Punktet P hr koordintene (0,8, 0,6). Sinus til vinkelen er ndrekoordinten til punktet. Altså er sinus til vinkelen 0,6. Cosinus til vinkelen er førstekoordinten til punktet. Altså er cosinus til vinkelen 0,8. Sinus til vinkelen er ndrekoordinten til punktet, ltså. Cosinus til vinkelen er førstekoordinten til punktet, ltså. Oppgve 6.93 sin v sin ( 80 v) for lle vinkler v. Altså hr vinkelen 5 smme sinusverdi som vinkelen Vinklene v og 80 v hr smme sinusverdi. (Hvis v 0, 90 så vil 80 v 90,80.) Aschehoug Side 3 v 57

33 Oppgve 6.94 Når v 0 fller venstre vinkelein smmen med den positive førsteksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (, 0). Dermed er sin 0 0 og cos0. Når v 90 fller venstre vinkelein smmen med den positive ndreksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (0, ). Dermed er sin 90 og cos90 0. c Når v 80 fller venstre vinkelein smmen med den negtive førsteksen. Vinkeleinet skjærer enhetssirkelen i punktet (, 0). Dermed er sin80 0 og cos80. Oppgve 6.95 Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Ettersom sin v> sin u er derfor v> u. Vinkelen v er størst. Cosinus er en monotont synkende funksjon i intervllet 0,80. Ettersom cosu < cosv er derfor u > v. Vinkelen u er størst. c Sinus er en positiv funksjon i hele intervllet 0,80, mens cosinus er positiv i intervllet 0, 90 og negtiv i intervllet 90,80. Når sin v > 0 og cosv < 0 vet vi derfor t v 90,80. Oppgve 6.96 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. 5 0,6 9,0 F AB AC sin A 5,0 3,0 0,6 4,5 Arelet v treknten er 4,5. Oppgve 6.97 F 8,0 sin 36 8 F 4 sin 8 36 Aschehoug Side 33 v 57

34 Oppgve 6.98 Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A 5,5 sin Arelet v treknten er 54 cm. Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A. 36, 0,5 AC sin 50 36,0 AC,5 sin 50 AC 7,5 Siden AC hr lengden 7,5 cm. Oppgve 6.99 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. F 6,8 4,5 sin00 5, Arelet v treknten er 5, m. Oppgve 6.00 Tomt er stt smmen v to treknter. Treknt ABD: F 54, 78,3 sin 3,9 5,6 Treknt BDC: F 6,7 78,3 sin 44,5 693, Smlet rel: 5,6 m + 693, m 845,7 m 850 m Arelet v tomt er 850 m,85 mål. Aschehoug Side 34 v 57

35 Oppgve 6.0 Arelet v treknten er gitt ved F AC BC sin C Det gir likningen 50 0 sin C sin C 50 sin C 60 Vi må huske t likningen hr to løsninger: én spiss vinkel og én stump vinkel C sin C 80 sin C 56, 4 C 80 56, 4 C 56,4 C 3,6 F AB BC sin B 0,5 AB 7 sin50 0,5 AB 7 sin50 AB 6 Oppgve 6.0 Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Det kn vi se utfr enhetssirkelen. Når vinkelen v øker, øker ndrekoordinten til skjæringspunktet mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Siden 35 > 33 er ltså sin 35 > sin 33. Arelet v treknt I er gitt ved F I 3, 4,8 sin 35 Arelet v treknt II er gitt ved F II 3, 4,8 sin 33 Den eneste forskjellen mellom uttrykkene er vinkelen mellom de to sidene i treknten. Ettersom sin 35 > sin 33 er dermed FI > FII. Treknt I hr størst rel. c FI 3, 4,8 sin 35 4, 4 FII 3, 4,8 sin 33 4, Aschehoug Side 35 v 57

36 Oppgve 6.03 Løsninger sin v er definert som ndrekoordinten til skjæringspunktet P mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Altså er sin v 0,9. cosv er definert som førstekoordinten til skjæringspunktet P mellom vinkeleinet og enhetssirkelen. Altså er cosv 0,40. sin v er ndrekoordinten til punktet. Altså er sin v t. cosv er førstekoordinten til punktet. Altså er cosv s. Oppgve 6.04 Arelet v treknten er lik hlve produktet v de to sidene og sinus til den mellomliggende vinkelen. F 5,8 8, sin 53, 8,8 Arelet v treknten er 8,8 m. F 0,0,0 sin 45,5 4,8 Arelet v treknten er 4,8 cm. F 0,0,0 sin34,5 4,8 Arelet v treknten er 4,8 cm. Oppgve 6.05 Tomt er stt smmen v to treknter, som vist på figuren. Arelet v treknt ABC: F 35,4 0,4 sin06 347, Arelet v treknt ADC: F 7, 38,9 sin85 55, Smlet rel: 347, m + 55, m 87, m 87 m Arelet v tomt er 87 m. Oppgve 6.06 Både sin v og cosv er mellom 0 og. Vinkelen er derfor i intervllet 0, 90. v cos 0,559 56, 0 sin v er positiv og cosv er negtiv. Vinkelen er derfor i intervllet 90,80. v cos ( 0,89) 46, 0 c Vi vet t sin v sin ( 80 v). Når v > 90 er derfor v 80 sin 0, 784 8, 4. Aschehoug Side 36 v 57

37 Oppgve 6.07 c Treknten ADC er rettvinklet. D er CD tn DAC AD CD tn 3 m CD m tn 3 CD 3, m Lengden v CD er 3, m. Siden treknten er rettvinklet, er relet gitt ved CD AD 3, m m 45,4 m 45 m Arelet v treknt ADC er 45 m. Vi finner lengden v AC fr pytgorssetningen på treknten ADC. AC AD + CD + 3, m 5,67 m Arelet v treknt ABC: AB AC sin BAC 6 5, 67 sin 3 08,8 Arelet v hele området: 45,4 m + 08,8 m 54,4 m Antll trær: 54,4 8 9 Det vokser 8 trær på området. Oppgve 6.08 Løsninger Arelet v treknt I: F I 3,9 3, 0 sin38 Arelet v treknt II: F II 3,9 3, 0 sin 40 sin38 sin sin 4. Vi vet t ( ) Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Derfor er sin 4 > sin 40. Dette etyr t FI > FII. Treknt I hr ltså størst rel. FI 3,9 3, 0 sin38 3,9 FII 3,9 3, 0 sin 40 3,8 Aschehoug Side 37 v 57

38 Oppgve 6.09 Vi finner først lengden v AC ved hjelp v sinus, og deretter lengden v AB fr pytgorssetningen. BC sin A AC AC AC ( ) AB AC BC Arelet v treknten er dermed AB BC Oppgve 6.0 Arelet v treknten er gitt ved F AB AC sin A Det gir likningen sin A 0 40 sin A sin A 0,5 Likningen hr to løsninger: A sin 0,5 A 80 sin 0,5 A 30 A A 30 A 50 Oppgve 6. Arelet v området er gitt ved 3 sin v+ 3 4 sin v+ 4 5 sin v 3sin v+ 6sin v+ 0sin v 9sin v Arelet skl være 6,5. Det gir likningen 9sinv 6,5. 6,5 sin v 9 6,5 v sin 0 9 Aschehoug Side 38 v 57

39 Oppgve 6. Summen v vinklene i treknten skl være 80. Altså er C Her er AC og AB c 45. Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene B og C. c sin B sin C 45 sin80 sin 75 sin80 45 sin Lengden v siden AC er 46. Oppgve 6.3 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin A sin B 5,0 cm sin 4 sin 8 sin 4 5,0 cm 35,6 cm sin 8 Lengden v siden BC er 35,6 cm. Vinkelsummen i treknten er 80. Altså er C c sin C sin B c 5,0 cm sin0 sin 8 sin0 c 5,0 cm 50,0 cm sin 8 Lengden v siden AB er 50,0 cm. Oppgve 6.4 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene B og C. c sin B sin C 6,0 0, 4 0,8 0, 4 6,0 6,0 3 0,8 Lengden v siden AC er 3. Aschehoug Side 39 v 57

40 Oppgve 6.5 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin A sin C c sin A sin5 3,3 5, 3,3 sin A sin5 5, sin A 0,530 A sin 0,530 3 Dermed er B c sin B sin C 5, sin 3 sin5 sin 3 5,, 4 sin5 Lengden v siden AC er,4. Oppgve 6.6 Vi hr oppgitt to sider i treknten, og den motstående vinkelen til den lengste v de to sidene. Vinkelen er dessuten større enn 90. D er det re én treknt som psser til opplysningene. Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin30, 6, 4 6,, 4 C sin sin30, 6 6, C 35,53 35,5 Dermed er B 80 30,6 35,53 3,87 3,9. Til slutt finner vi ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 6, sin3,87 sin30, 6 sin3,87 6, 5, sin30, 6 Aschehoug Side 40 v 57

41 Oppgve 6.7 Vi strter med å tegne siden AB. Så tegner vi vinkel A, der lengden v det venstre vinkeleinet er ukjent. Så tegner vi en sirkel med sentrum i punktet B og rdius 8,5 cm. D ser vi t sirkelen skjærer vinkeleinet fr vinkel A i to punkter, C og C. Dette etyr t det er to treknter som stemmer med opplysningene, én med den spisse vinkelen C og én med den stumpe vinkelen C. Vi legger også merke til t høyden fr B på AC er den smme i de to trekntene. Derfor er sin C sin C. Vi må strte med å finne de ukjente vinklene. Først ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin 50 0, 0 8,5 Som vi vet fr oppgve hr likningen to løsninger: 0,0 0,0 C sin sin 50 C 80 sin sin 50 8,5 8,5 C 64,3 C 5, 68 Treknt I: C 64,3 64,3 B ,3 65, 68 65, 7 sin B sin A 8,5 cm sin 65,68 sin 50 sin 65,68 8,5 cm 0, cm sin 50 Lengden v siden AC er 0, cm. Treknt II: C 5, 68 5, 7 B , 68 4,3 4,3 sin B sin A 8,5 cm sin4,3 sin 50 sin4,3 8,5 cm,7 cm sin 50 Lengden v siden AC er,7 cm. Aschehoug Side 4 v 57

42 Oppgve 6.8 Vi setter den ukjente siden lik cm. Cosinussetningen gir 3,3 + 4,5 3,3 4,5 cos4,7 8,965 ± 8,965 3, 0 Den ukjente siden i treknten hr lengden 3,0 cm. Oppgve 6.9 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A cos A cos A 40 cos A cos A 40 3 A cos 36,8 40 Så ruker vi cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B cos B cos B 0 cos B cos B 0 87 B cos 43,53 0 Til slutt finner vi vinkel C: C 80 36,8 43,53 00,9 Vinklene i treknten er 36,, 43,5 og 00,3. Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. 4,5 6,0 + 7,5 6,0 7,5 cos A 90 cos A 7 7 A cos 36,87 90 Så ruker vi cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B. 6,0 4,5 + 7,5 4,5 7,5 cosb 67,5 cos B 40,5 40,5 B cos 53,3 67,5 Dermed er C 80 36,87 53,3 90. Vinklene i treknten er 36,9, 53, og 90. Aschehoug Side 4 v 57

43 Oppgve 6.0 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. BC AB + AC AB AC cos A BC BC BC 8 BC ± 8 BC Lengden v siden BC er. Oppgve 6. Cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel B gir AC, 0 + 9,5, 0 9,5 cos89 AC 806,956 AC ± 806,956 AC 8, 407 Digonlen AC hr lengden 8,4 m. c Cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel D gir AC,5 + 8,0,5 8,0 cos D 806, , 5 80 cos D 80 cos D 3, 94 3, 94 D cos 88,35 88, 4 80 Firknten er stt smmen v de to trekntene ABC og ACD. Treknt ABC: F,0 9,5 sin89 04,7 Treknt ACD: F,5 8,0 sin88,35 0,4 Smlet rel: 04,7 m + 0,4 m 407, m Arelet v firknten er 407 m. Aschehoug Side 43 v 57

44 Oppgve 6. c d Vi ruker sinussetningen.,9 sin 3 sin 5 sin 3,9 sin 5 3, 6 Vi ruker sinussetningen. sin sin 53, 4 5,, 4 sin sin 53 5, sin 0,3758 sin 0,3758, Vi ruker cosinussetningen. 3, 6 + 3, 0 3, 6 3, 0 cos3 33, 74 ± 33, 74 5,8 Vi ruker cosinussetningen. 6,0 3,0 + 5,0 3,0 5,0 cos cos 30 cos cos 30 cos 30 93,8 Aschehoug Side 44 v 57

45 Oppgve 6.3 Vinkelsummen i treknten er 80. Altså er C Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 5,9 sin 60 sin 45 sin 60 5,9 7, sin 45 Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. c sin C sin A c 5,9 sin 75 sin 45 sin 75 c 5,9 8, sin 45 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin A c sin C sin 30,7 6, 8,36 6, sin C sin 30,7 8,36 6, C sin sin 30, 7, 9,3 8,36 Dermed er B 80 30, 7, 9 7, 0 7, 0. Til slutt finner vi ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A 8,36 sin7, 0 sin 30, 7 sin7, 0 8,36 3, sin 30,7 Aschehoug Side 45 v 57

46 c Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin A sin B sin B sin sin 60 5, 5, 0 Dermed er C , 68, 79 68,8. Til slutt finner vi c ved å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. c sin C sin A c 0 sin 68,79 sin 60 sin 68,79 c 0 0,8 sin 60 d Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkelen A. + c c cos A cos cos 0,49, Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin 0 5,49 5 B sin sin 0 5, 73 5, 7,49 Dermed er C , 73 07, 7 07,3. e Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkelen A. 5,6 3,8 + 6,8 3,8 6,8 cos A 3,8 6,8 cos A 3,8 + 6,8 5,6 3,8 + 6,8 5,6 cos A 3,8 6,8 3,8 + 6,8 5,6 A cos 55, 44 55, 4 3,8 6,8 Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og B. sin B sin 55, 44 3,8 5, 6 3,8 B sin sin 55, 44 33,97 34, 0 5,6 Dermed er C 80 55, 44 33,97 90,59 90, 6. Aschehoug Side 46 v 57

47 Oppgve 6.4 Treknten ACD er rettvinklet. Vi ruker derfor pytgorssetningen. AC + Lengden v siden AC er 5,0.,0 9,0 5,0 Vi ruker sinussetningen. sin B sin ACB AC AB sin B sin 66,7 5,0 4,0 5,0 B sin sin 66, 7 79, 75 79,8 4,0 c BAC 80 66, 7 79, 75 33,55 Arelet v treknt ACD:,0 9,0 54,0 Arelet v treknt ABC: 4,0 5,0 sin 33,55 58,0 Arelet v firknten ABCD er dermed 54,0 + 58,0. Oppgve 6.5 Vi finner vstnden fr Dueøy til Kråkeøy ved hjelp v cosinussetningen cos cos Avstnden fr Dueøy til Kråkeøy er 58 m. Omkretsen v treknten er dermed 950 m + 58 m m 4808 m 4,8 km Båtturen er på 4,8 km. Aschehoug Side 47 v 57

48 Oppgve 6.6 Treknten ABC er rettvinklet. Vi ruker derfor pytgorssetningen. AC Lengden v digonlen AC er 7,4. 8,0 3,0 7,4 7,4 BC cos B AB 3, 0 cos B 8,0 3, 0 B cos 67,98 68, 0 8,0 Vi finner vinkelen D fr cosinussetningen. AC DC + DA DC DA cos D 7,4 3,5 5,5 3,5 5,5 cos 38,5 cos D,56 D +,56 38,5 cos 09, 04 09, 0 D c BAC ,98, 0 Vi finner CAD fr sinussetningen. sin CAD sin D CD AC sin CAD sin09, 04 3,5 7, 4 3,5 CAD sin sin09, 04 6, 48 7,4 Dermed er A BAC + CAD, 0 + 6, 48 48,50 48,5 C 360 ( A+ B+ D) 360 (48, , , 04 ) 34, 48 34,5 Oppgve 6.7 Sinussetningen på treknten BDC gir sin BDC sin B BC DC sin BDC sin 78 4,3 5, 0 4,3 BDC sin sin 78 57, ,0 ADC og BDC er supplementvinkler. Altså er ADC 80 57,7,73. Arelet v treknten ADC er dermed gitt ved F 7,5 5, 0 sin, 73 5,8 6 Aschehoug Side 48 v 57

49 Oppgve 6.8 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. sin C sin6, 0 5,5,5 5,5 C sin sin6, 0 37,33,5 B 80 6, 0 37,33 6, 67 Arelet v treknten er dermed F 5,5,5 sin6,67 5,5 Løsninger Det finnes to forskjellige treknter som egge stemmer med de tre opplysningene som er gitt om treknten. I den ene treknten er vinkel B stump (og vinkel C spiss), og i den ndre er vinkel B spiss (og vinkel C stump). Vi må derfor vite om B > 90 eller B < 90 for å kunne regne ut relet v treknten. Oppgve 6.9 Vi ser v figuren t det er to treknter som stemmer med opplysningene, én der vinkel C er spiss og én der vinkel C er stump. Vi finner vinkel C fr sinussetningen. sin C sin 5 4,3 3,9 4,3 4,3 C sin sin 5 C 80 sin sin 5 3,9 3,9 C 58,97 C, 03 Treknt I: C 58,97 59 B ,97 70, ,9 sin 70,03 sin 5 sin 70,03 3,9 4, 7 sin 5 Treknt II: C, 03 B 80 5, 03 7,97 8, 0 3,9 sin 7,97 sin 5 sin 7,97 3,9 0, 70 sin 5 Treknt I: F 4,3 3,9 sin70,03 7,9 Treknt II: F 4,3 3,9 sin7,97, Aschehoug Side 49 v 57

50 Oppgve 6.30 Vi finner først vinkel B ved hjelp v cosinussetningen. AC AB + BC AB BC cos B 6,5,0 + 5,5,0 5,5 cos,0 + 5,5 6,5 cos B, 0 5, 5,0 + 5,5 6,5 B cos 5, 73, 0 5, 5 Arelet v treknten er dermed gitt ved F AB BC sin B,0 5,5 sin 5,73 3, BDC 80 ADC DCB , 73 94, 7 Vi finner lengden v BD fr sinussetningen. BD BC sin DCB sin BDC BD 5,5 sin 94,7 sin 60 sin 94,7 BD 5,5 6,3 sin 60 Lengden v BD er 6,3. Oppgve 6.3 Treknten ACD er rettvinklet. Vi finner derfor AC fr pytgorssetningen. AC 4,8 + 4, m 6,38 m Dermed kn vi finne vinkel B fr cosinussetningen. 6,38 4,5 + 3,8 4,5 3,8 cos B 4,5 + 3,8 6,38 B cos 00,3 4,5 3,8 Arelet v treknt ACD: 4,8 4, 0,08 Arelet v treknt ABC: 4,5 3,8 sin00,3 8,4 Arelet v golvet er dermed 0,08 m + 8,4 m 8,5 m. B Aschehoug Side 50 v 57

51 Oppgve 6.3 Vi finner først lengden v digonlen AC fr cosinussetningen. AC,6 +,7,6,7 cos0,5 9,97 Så finner vi vinkel B fr sinussetningen, og husker d t vinkel B er stump. sin B sin BAC AC BC sin B sin 0,6 9,97 8, 4 9,97 B 80 sin sin 0, 6 3, 3 8, 4 Dermed er ACB 80 0, 6 3, 3 36,7. Arelet v treknt ABC: AC BC sin ACB 9,97 8, 4 sin 36,7 49,50 Arelet v treknt ACD: DC DA sin D,6,7 sin0,5 69,04 Arelet v firknten er dermed 49, ,04 8,54 9. Oppgve 6.33 Vi finner først lengden v AC fr cosinussetningen. AC + Så finner vi ACB fr sinussetningen. sin ACB sin0 05 m 84,97 m cos0 m 84,97 m 05 ACB sin sin0 33, 73 84,97 Dermed er ACD 35 33, 73 0, 7. Til slutt finner vi lengden v AD fr cosinussetningen. AD 84, ,97 95 cos0, 7 m 94 m Oppgve 6.34 Vi finner lengden v BC fr sinussetningen. BC AC sin A sin B BC BC Aschehoug Side 5 v 57

52 Oppgve 6.35 Vi ruker cosinussetningen med utgngspunkt i vinkel A. BC AB + AC AB AC cos A BC BC BC 0 BC ± 0 BC Lengden v BC er 5 cm. Oppgve 6.36 Vinklene u og A er supplementvinkler, siden u+ A 80. D er sin u sin A og cosu cos A. Fr pytgorssetningen på treknten ACD er + h h Dessuten er cosu cosu cos A der vi i siste linje hr rukt cosu cos A. Pytgorssetningen på treknten DBC gir dermed ( c+ ) + h ( c+ ) + c + + c c c + + ( cos ) c c A + cos c c A Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve motstående ktet til A 8 sin A 0, 8 hypotenus 00 hosliggende ktet til A 96 cos A 0,96 hypotenus 00 Aschehoug Side 5 v 57

53 Oppgve Den hosliggende kteten til vinkelen v hr lengden 4. Vi ruker definisjonen v tngens og finner den motstående kteten. motstående ktet til v tn v hosliggende ktet til v 4 Ettersom tn v 3 4 gir dette likningen Den motstående kteten hr lengden 3. Vi finner hypotenusen fr pytgorssetningen. h h h h ± 5 h 5 Hypotenusen hr lengden 5. Oppgve 3 c hosliggende ktet til A 4 cos A hypotenus 5 Hvis den hosliggende kteten til vinkelen A hr lengden 4 og hypotenusen hr lengden 5, vil dette stemme med cos A 4 5. Fr pytgorssetningen er ± 9 3 Dermed er motstående ktet til A 3 tn v hosliggende ktet til A 4 Vi ruker formlikhet Hvis AB hr lengden 8, hr AC lengden 0. Aschehoug Side 53 v 57

54 Oppgve 4 Arelet v treknt I: F I 34sin5 6sin5 Arelet v treknt II: F II 3 4 sin50 6 sin50 sin50 sin sin 30. Vi vet t ( ) Sinus er en monotont voksende funksjon i intervllet 0, 90. Altså er sin 30 > sin 5. Dette etyr t FII > FI. Treknt II hr derfor størst rel. Oppgve 5 Vi finner lengden v BC fr cosinussetningen. BC AB + AC AB AC cos A BC BC BC BC ± 30 Lengden v siden BC er 30. Vi ruker relsetningen med utgngspunkt i vinkelen B. F AB BC sin B sin B 7 5 sin B 7 30 sin B sin B sin B sin B sin B Aschehoug Side 54 v 57

55 Del Med hjelpemidler Oppgve 6 c Vi ruker sinus. BC sin A AC BC sin 35 8,6 m BC 8,6 m sin 35 BC 4,93 m 4,9 m Lengden v BC er 4,9 m. C F AC BC sin C F 8,6 m 4,93 m sin 55 F 7,37 m 7,4 m Arelet v treknten er 7,4 m. Trekntene ABC og DEF hr to vinkler felles. Den siste vinkelen må derfor også være lik, F C. Trekntene er ltså formlike. Forholdet mellom tilsvrende sider er,5, der treknt DEF er størst. Forholdet mellom relene er d,5, 5. Arelet v treknten DEF er dermed Oppgve 7 sin 70 8,0 m 8,0 m sin 70 7,5 m Stigen når 7,5 m opp på veggen. 7,37 m,5 39 m. 7 m sin v 8,0 m 7 v sin 8,0 v 6 Stigen dnner vinkelen 6 med kken. Aschehoug Side 55 v 57

56 Oppgve 8 Vi ruker relsetningen med utgngspunkt i vinkel A. F AB AC sin A 6,5 km 4,3 km sin 40 9, 0 km Arelet v lndområdet er 9,0 km. sin 40 4,3 km 4,3 km sin 40,8 km Avstnden fr C til siden AB er,8 km. c Vi finner først lengden v BC fr cosinussetningen. 4,3 6,5 4,3 6,5 cos 40 km 4, 3 km Løsninger BC + Det nturlige nå er å ruke sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og C. Men C er nær 90, og det er vnskelig å se fr figuren om vinkelen er spiss eller stump. Det «tryggeste» er derfor å finne vinkel B først, som vi vet er spiss. sin B sin A AC BC sin B sin 40 4,3 km 4,3 km 4,3 B sin sin 40 40,8 4, 3 Dermed er C ,8 99, 99. Oppgve 9 Vi finner først lengden v AC fr cosinussetningen. AC + Så ruker vi sinussetningen med utgngspunkt i AD AC sin ACD sin D AD 68,99 sin 40 sin0 sin 40 AD 68,99 47,9 47 sin0 Lengden v siden AD er cos0 68,99 ACD og D Arelet v treknt ABC: AB BC sin B 5 53 sin0 573, 74 Arelet v treknt ACD: AC AD sin CAD 68,99 47,9 sin 30 83,9 Arelet v firknten er dermed 573, ,9 387, Aschehoug Side 56 v 57

57 Oppgve 0 Vi ruker sinussetningen med utgngspunkt i vinklene A og ABD. BD AD sin A sin ABD BD,5 sin 50 sin 5 sin 50 BD,5 4,53 4,5 sin 5 Lengden v siden BD er 4,5. I ADB ruker vi relsetningen med utgngspunkt i ADB FADB AD BD sin ADB,5 4,53 sin05 5, 47 Treknt BCD er rettvinklet. Vi finner derfor lengden v BC fr pytgorssetningen. BC BD CD 4,53 4, 0,3 FBCD BC CD,3 4,0 4, 6 Arelet v firknten ABCD er dermed 5, , 6 9,73 9,7. Aschehoug Side 57 v 57

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

1P kapittel 4 Lengder og vinkler

1P kapittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 6 MW 6 1 000 000 W 6 000 000 W 7,5 MW 7,5 1 000 000 W 7 500 000 W c 8 000 000 W 8 1 000 000 W 8 MW d 14

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt 1.15

Løsningsforslag til oppgavene i avsnitt 1.15 til oppgver... til oppgvene i vsnitt.... August 00, oppgve Linjestykket er gitt Gitt et kvdrt ABCD der AB. Punktet E på BC og punktet F på CD ligger slik t AE BF. AE og BF skjærer hverndre i M. Konstruer

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Oppgaver i kapittel 6

Oppgaver i kapittel 6 Oppgaver i kapittel 6 603, 604, 606, 607, 608, 609, 610, 616, 619, 68, 630, 63, 633, 641 Jeg har ikke laget figurer på alle oppgavene, men det bør dere gjøre! 603 u og 70 er begge periferivinkler til v,

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

1P kapittel 5 Areal og volum

1P kapittel 5 Areal og volum Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 5 Arel og volum Løsninger til oppgvene i ok 5.1 Vi skl gå ett hkk mot høyre og gnger derfor med 100. 14 m 14 100 mm 1400 mm Vi skl gå to hkk mot høyre og gnger derfor

Detaljer

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012 Forkurs i mtemtikk til MAT-, ugust Kompendium v Amir Hshemi, HiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Institutt for Mtemtikk og Sttistikk, UiT, Høsten Innhold Forord... Kpittel Test deg

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

1.8 Digital tegning av vinkler

1.8 Digital tegning av vinkler 1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

Kapittel 3 Geometri Mer øving

Kapittel 3 Geometri Mer øving Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen

Løsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x. NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri

Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA2401/MA6401 Geometri Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 7355 0256 Eksamensdato: 21. mai 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik

Løsningsforslag. Høst Øistein Søvik Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave )

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215

Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215 2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer