9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler"

Transkript

1 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene som ligger på konturen til bokstven Legg merke til t den totle kurven også består v noen rette linjestykker Dtselskpet Apple utviklet tidlig på 1990-tllet en teknologi for å bryte Adobes monopol på font-området Denne teknologien klles TrueType og er bsert på kvdrtiske Bezier-kurver istedenfor kubiske TrueType er i dg svært utbredt og brukes også v Microsoft 96 Tilnærminger til deriverte og integrler Så lngt r vi sett vordn vi ved jelp v polynomer og stykkevise polynomer kn finne tilnærminger til mer generelle funksjoner ved jelp v dt (funksjonsverdier og deriverte) entet fr funksjonene I denne seksjonen skl vi se på en nnen form for pproksimsjon, nemlig vordn vi kn tilnærme én opersjon på funksjoner med en nnen opersjon på funksjoner Eksemplene vi skl se på er vordn vi kn regne ut tilnærminger til den deriverte og til integrlet v en funksjon ut fr funksjonsverdier, såklt numerisk derivsjon og integrsjon Vi r vært innom disse temene tidligere,

2 170 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER men er skl vi også gi estimter for feilen som gjøres Nøkkelen til det ele er Tylors formel med feilledd Hvis vi bre ser på de ulike tilnærmingene for seg, kn både numerisk integrsjon og derivsjon lett synes som en smling med mer eller mindre tilfeldige metoder, og det kn virke nokså uforståelig vordn noen kunne finne på disse metodene For å få oversikt i virvret, er det som lltid viktig å prøve å få øye på noen overordnede prinsipper Det overordnede prinsippet for både numerisk integrsjon og derivsjon er følgende: Ersttt funksjonen f som skl integreres eller deriveres med et interpolerende polynom p og integrer eller deriver p istedenfor f Under skl vi se nærmere på vordn dette gjøres i prksis Stoff om interpolsjon med polynomer finner du i seksjon Numerisk integrsjon I seksjonene 87 i Klkulus og 7 i kompendiet r vi llerede sett prinsippet over gjennomført i prksis i forbindelse med integrsjon Der delte vi integrsjonsområdet [, b] inn i delintervller, tilnærmet f med et polynom på vert delintervll, integrerte vert v disse polynomene og summerte til slutt opp bidrgene fr vert delintervll Den største utfordringen er dermed vordn vi skl finne polynomtilnærmingen på vert delintervll I forbindelse med numerisk derivsjon så vi på tre ovedmuligeter: Tilnærming på et delintervll med en konstnt funksjon, en lineær funksjon og en prbel L oss kjpt repetere disse metodene Trpesformelen L oss for enkelets skyld se på det første delintervllet [, + ] Vi finner først den rette linj p 1 som interpolerer f i og + Denne kn skrives som p 1 (x) = f() + f( + ) f() (x ) (914) Deretter bruker vi relet under denne linj som tilnærming til integrlet v f, + p 1 (x) dx = ( ) + f() + f( + ) f(x) dx Simpsons metode Her interpolerer vi med en prbel på vert delintervll Siden vi trenger tre punkter for å interpolere med prbler, ser vi på intervllet [, + ] og integrerer prbelen p som r smme verdi som f i punktene, + og + Vi kn skrive denne prbelen slik som i seksjon 91, men til vårt bruk er er en nnen form mer endig Hvis punktene vi skl interpolere i er x 0, x 1 og x, skriver vi polynomet som p (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b (x x 0 )(x x 1 ) I vårt tilfelle er x 0 =, x 1 = + og x = + Interpolsjonsbetingelsene gir d f() = p () = b 0, f( + ) = p ( + ) = b 0 + b 1, f( + ) = p ( + ) = b 0 + b 1 + b

3 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 171 Fr den første ligningen finner vi b 0 = f(), fr den ndre og fr den tredje får vi b 1 = f( + ) b 0 = f( + ) f() b = f( + ) b 0 b 1 Prbelen p kn derfor skrives som = f( + ) f( + ) + f() f( + ) f() p (x) = f() + (x ) f( + ) f( + ) + f() + (x )(x ) (915) Integrerer vi p får vi etter litt opprydding + p (x) dx = 3 ( f() + 4( + ) + f( + ) ) som tilnærming til + f(x) dx, og dette kjenner vi igjen som Simpsons formel Tilnærming med konstnter Integrlet v f er i Klkulus definert ved jelp v øvre og nedre trppesummer som jo nettopp består i å tilnærme f med en konstnt på vert delintervll For den øvre trppesummen bruker vi, på intervllet [, + ], verdien v f i det punktet C der f oppnår sitt mksimum på [, + ] Integrltilnærmingen på dette intervllet blir d f(c) For den nedre trppesummen bruker vi på tilsvrende måte verdien v f i punktet c der f oppnår sitt minimum på [, + ], slik t tilnærmingen blir f(c) Disse tilnærmingene er endige når vi skl finne frm til egenskper ved integrlet og vise t de øvre og nedre trppesummene konvergerer mot verndre Men for prktiske, numeriske beregninger er disse trppesummene som regel til liten jelp siden vi d må finne mksimum- og minimumverdiene til f på [, + ], noe som kn være vnskelig eller til og med umulig om f er en komplisert funksjon En mye enklere løsning er å bruke verdien v f i et fst punkt, for eksempel f(), siden vi d ikke trenger å kste bort tid på å regne oss frm til det rette punktet Tilnærmingen til integrlet blir d f() Andre muligeter ville være å bruke f(b) eller f ( ( + b)/ ) som tilnærming til f på intervllet [, + ]

4 17 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER 96 Numerisk derivsjon I seksjon 6 tilnærmet vi den deriverte til f ved jelp v uttrykket f () ( f( + ) f() ) / som er nturlig ut fr definisjonen v den deriverte Men med utgngspunkt i ideen vi r brukt for å finne frm til formler for numerisk integrsjon kn vi også finne frm til ndre tilnærminger til den deriverte Frmgngsmåten er som før t vi interpolerer f i noen punkter med et polynom og bruker den deriverte til polynomet som en tilnærming til den deriverte v f Her vil det åpenbrt ikke fungere om vi tilnærmer f med en konstnt siden den deriverte v en konstnt lltid er 0 L oss derfor forsøke å derivere den rette linj p 1 som interpolerer f i og + Formelen for p 1 er gitt ved (914) og deriverer vi denne får vi f () p 1() = f( + ) f() som er kkurt den smme tilnærmingen vi brukte i seksjon 6 Legg merke til t den deriverte v p 1 er konstnt siden p 1 er et polynom v grd 1 Vi kn derfor like gjerne bruke tilnærmingen i det ndre punktet, f ( + ) p 1( + ) = f( + ) f() En tredje muliget er bruke denne tilnærmingen i midtpunktet + /, f ( + /) p 1( + /) = f( + ) f() (916) Denne tilnærmingen r den fordelen t den er mer symmetrisk vi fvoriserer ikke noen v de to gitte punktene når vi bruker tilnærmingen i et punkt som ligger midt mellom dem Med det vi nå vet om slike tilnærminger r vi ingen grunn til å tro t dette betyr noe, men som vi skl se under viser det seg fktisk å være svært viktig for tilnærmingens nøyktiget Formelen (916) brukes vnligvis på formen f () f( + ) f( ) Vi ser t vi fremdeles tilnærmer den deriverte til f midt mellom to gitte punkter og + ved å t foroldet mellom forskjellen i funksjonsverdier og vstnden mellom funksjonsverdiene Alterntivt kn vi utlede denne formelen ved å interpolere f med en rett linje i punktene og +, derivere denne og bruke tilnærmingen i x = Ved å bruke flere funksjonsverdier kn vi interpolere f med polynomer v øyere grd og foråpentligvis finne frm til ndre tilnærminger både til f og øyere deriverte For eksempel ser vi t interpolsjonspolynomet p gitt ved (915) gir f () p () = f( + ) + 4f( + ) 3f()

5 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 173 Dette er en mer komplisert formel enn vi fikk fr p 1, men foråpentligvis er den også mer nøyktig Vi får en mer symmetrisk formel vis vi bruker p til å finne en tilnærming til f ( + ) Vi får d f ( + ) p ( + ) = f( + ) f() Dette er bre en forkledd versjon v (916) og er ltså smme formel som vi kom frm til ved jelp v p 1 Fr p 1 kunne vi ikke finne noen tilnærming til f siden p 1 er 0 overlt Ved jelp v p kn vi finne en slik formel, f ( + ) p f( + ) f( + ) + f() ( + ) = (917) Siden p er konstnt, kunne dette like gjerne vært en tilnærming til f () eller f ( + ), men som vi r nevnt tidligere er symmetri br i denne smmenengen og formelen fungerer best i midtpunktet Tilnærmingen (917) brukes forøvrig som regel på formen f () f( + ) f() + f( ) Ved å interpolere i flere punkter med polynomer v øyere grd kn vi finne mer kompliserte (og mer nøyktige) formler og tilnærminger til øyere deriverte Men det underliggende prinsippet for vordn vi finner frm til formlene er illustrert med eksemplene over 963 Feilestimter Over r vi utledet formler som lr oss regne ut tilnærminger til integrlet og den første og ndre deriverte til en funksjon f Spørsmålet er vor nøyktige disse formlene er Ved jelp v Tylors formel skl vi nå finne uttrykk for feilen slik t vi kn smmenligne formlene Utregningene under kn knskje virke overveldende og kompliserte Men emmeligeten er som vnlig ikke å drukne i detljene, men se de overordnede prinsippene Disse skl vi oppsummere mot slutten v seksjonen Vi minner om Tylors formel som sier t f(x) = f() + (x )f () + der R n f(x) minner om det neste leddet, (x ) f () + + (x )n f (n) () + R n f(x) (918) n! R n f(x) = (x )n+1 f (n+1) (c), (n + 1)! og c er et tll i intervllet [, c] (intervllet [c, ] om x < ) som venger v x Dette gjelder så snt f (n+1) og de lvere deriverte lle er kontinuerlige nær

6 174 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER L oss se vordn vi kn finne et uttrykk for feilen i tilnærmingen f () f( + ) f() (919) Feilen er gitt ved E 1 (f, ) = f f( + ) f() () (90) Ideen er å ersttte f( + ) med et Tylorpolynom med restledd med et åp om t en del ledd d vil flle mot verndre Vi setter x = +, bruker (918) og skriver f( + ) som f( + ) = f() + f () + f (c) der c er et tll i intervllet [, + ] Setter vi dette inn i (90) får vi E 1 (f, ) = f () f() + f () + f (c)/ f() = f (c) Spesielt ser vi t feilen vil gå mot null når går mot null For lettere å kunne finne frm til dette resulttet i teksten formulerer vi det som en setning Setning 915 Ant t f, f og f er kontinuerlige funksjoner på intervllet [, + ] D kn f () tilnærmes med og feilen i tilnærmingen er gitt ved f () f () der c er et tll i intervllet [, + ] f( + ) f(), f( + ) f() = f (c), L oss også finne et uttrykk for feilen i den ndre tilnærmingen til den deriverte, Denne feilen er gitt ved f () E (f, ) = f () f( + ) f( ) f( + ) f( ) (91) Her trenger vi å uttrykke både f( ) og f( + ) ved jelp v Tylor-polynomer Vi r f( + ) = f() + f () + f () f (c 1 ), (9) f( ) = f() f () + f () 3 6 f (c ), (93)

7 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 175 der c 1 ligger i intervllet [, + ] og c i intervllet [, ] Vi legger merke til t leddene er lternerer i fortegn slik t f( + ) f( ) = f () + ( f (c 1 ) + f (c ) ) 6 Setter vi dette inn i (91) fller leddene som involverer f () mot verndre og vi står igjen med E (f, ) = ( f (c 1 ) + f (c ) ) 1 Dette uttrykket kn forenkles litt vis vi ser på tllverdier og godtr en øvre grense for feilen istedenfor et ekskt uttrykk Vi r nemlig E (f, ) ( = f (c 1 ) + f (c ) ) 1 ( f(c1 ) + f(c ) ) 1 ( 1 = 6 mx c 1 [,+] mx x [,+] f (c 1 ) + f (x) mx c [,+] f (c ) ) I den første overgngen r vi brukt trekntuliketen mens den ndre uliketen følger når vi tr mksverdier v f I den siste liketen r vi bre utnyttet t de to mksverdiene er like Det ele er oppsummert i følgende setning Setning 916 L funksjonen f være definert på intervllet [, + ] og nt t både f, f, f og f er kontinuerlige på dette intervllet D kn f () tilnærmes med uttrykket f f( + ) f( ) () og feilen i denne tilnærmingen er begrenset v f () f( + ) f( ) 6 mx x [,+] f (x) Legg merke til t feilen er venger v, mens den for metoden i setning 915 venger v Dette er en vesentlig forskjell Hvis for eksempel = 10 4 vil feilen i den første metoden være omtrent 10 4 om f ikke er for stor, mens feilen i den ndre metoden vil være omtrent 10 8 så snt f ikke er for stor En illustrsjon v dette er vist i figur 916 der det frmgår tydelig t metoden i setning 916 gir minst feil Generelt vil feilen bli mindre jo øyere potens v som forekommer i feiluttrykket Men smtidig vil vnligvis metodens kompleksitet, og dermed nødvendig regnetid, også øke når eksponenten på øker L oss til slutt utlede et feilestimt for trpesregelen i det enkle tilfellet t vi bre bruker ett linjestykke i tilnærmingen til f Formelen er gitt ved + f(x) dx ( f() + f( + ) )

8 176 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER Figur 916 Den deriverte v sin x og de to tilnærmingene til den deriverte gitt ved setningene 915 (grovstiplet) og 916 (finstiplet) med = 05 Nok en gng benytter vi oss v Tylorutviklinger I dette tilfellet bruker vi f(x) = f() + (x )f () + f( + ) = f() + f () + f (c ), (x ) f (c 1 ), der c 1 ligger i intervllet [, x] og c i intervllet [ + ] Vi ersttter først f(x) med denne Tylorutviklingen og integrerer, + + f(x) dx = (f() + (x )f (x ) ) () + f (c 1 ) dx (x ] ) + + ( (x ) = [(x )f() + f ) () + f (c 1 ) dx Igjen ser vi på feilen, = f() + f () + E 3 (f, ) = + + (x ) f (c 1 ) dx f(x) dx ( f() + f( + ) ) Her setter vi inn verdien for integrlet som vi fnt over smt Tylorutviklingen v f(+) Dette gir + E 3 (f, ) = f() + f () + 1 (x ) f (c 1 ) dx (f() + f() + f () + ) f (c ) = 1 + (x ) f (c 1 ) dx 3 4 f (c )

9 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 177 For å få dette på en litt penere form tr vi igjen tllverdier og godtr estimter istedenfor liketer, E3 (f, ) 1 + (x ) f (c 1 ) dx + f (c ) 4 I det følgende kn vi spre litt trykksverte ved å innføre notsjonen M = mx x [,+] f (x) Det første leddet i uttrykket over estimerer vi til 1 + (x ) f (c 1 ) dx 1 1 = M (x ) f (c 1 ) dx (x ) M dx (x ) dx = M3 6 Den første uliketen kommer v t integrlet ldri kn bli mindre når vi integrerer bsoluttverdien v et uttrykk istedenfor uttrykket selv Den ndre uliketen følger når vi ersttter f(c 1 ) med mksimumsverdien v f på intervllet [, + ] Dermed blir den totle feilen begrenset v E 3 (f, ) M3 + M3 6 4 = 5M3 1 når vi også ersttter f(c ) med mksverdien til f på [, + ] Dette gir oss følgende setning Setning 917 L funksjonen f være slik t både f, f og f er kontinuerlige på intervllet [, + ] D kn integrlet v f på dette intervllet tilnærmes med + f(x) dx og feilen i denne tilnærmingen er begrenset ved + f(x) dx ( f() + f( + ) ) ( f() + f( + ) ) mx x [,+] f (x) Vi understreker t dette feilestimtet bre gjelder for ett delintervll Bruker vi metoden over flere delintervller viser det seg t vi mister en potens på, men dette skl vi ikke gå inn på er Merk også t det i seksjon 87 i Klkulus er oppgitt et feilestimt for trpesmetoden der fktoren 5/1 er erstttet med 1/1 Det er mulig å få til dette ved å bruke en litt mer rffinert metode enn vi r benyttet er Over r vi utledet estimter for den mtemtiske feilen i de forskjellige tilnærmingene, og i lle tilfellene går denne mot null når går mot null Men det er viktig å uske på t når disse metodene implementeres på en dtmskin er det en feilkilde til som spiller inn, nemlig vrundingsfeilen Dette r vi llerede sett eksempel på i seksjon 6 når

10 178 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER det gjelder numerisk derivsjon Dessverre er det generelt slik t for numerisk derivsjon øker vrundingsfeilen med vtgende For numerisk integrsjon er det derimot små problemer med vrundingsfeil En presis mtemtisk nlyse v vrundingsfeil er lngt mer komplisert enn den feilnlysen vi r ttt for oss er 964 Generell strtegi for å utlede feilestimter Over utledet vi tre feilestimter med til dels lnge utledninger I slike smmenenger er det viktig å se den overordnede ideen, ellers er det lett å drukne i detljene L oss forsøke å oppsummere strtegien vi brukte Utgngspunktet er t vi r en tilnærming til den deriverte eller integrlet v en funksjon f nær et punkt For å finne et uttrykk for feilen gjør vi følgende: 1 Skriv opp uttrykket for feilen Ersttt lle funksjonsverdier unnttt f() med Tylorpolynomer med feilledd, utviklet rundt 3 Trekk smmen lle uttrykkene (og beregn de integrlene som kn beregnes direkte) Hr du regnet riktig og ttt med pssende ntll ledd i Tylorutviklingene vil du ende opp med et uttrykk som bre involverer restleddene 4 Står det igjen mer enn ett restledd, må du t tllverdi v feilen og bruke trekntuliketen slik t du får en øvre grense som er summen v tllverdiene v restleddene 5 T mksverdier i lle funksjonsuttrykkene over det største intervllet som er involvert i tilnærmingen Slike mksverdier kn settes utenfor eventuelle integrler slik t de gjenstående integrlene lett kn beregnes Alle feilledd kn så slås smmen til ettuttrykk Det er lurt å gå tilbke å se over utledningene over for å gjenkjenne disse stegene Det mest mystiske er knskje vordn vi kn vite vor mnge ledd som skl ts med i Tylorpolynomene Tr du med for få ledd vil du til slutt ende opp med et feiluttrykk som inneolder en sum v to eller flere restledd fr Tylorutviklingene der summen v koeffisientene er null Dette betyr t du kn t med minst ett ledd til i vert Tylorpolynom siden disse leddene d vil flle mot verndre (d får du jo smme rgument i lle funksjonsuttrykkene) Tr du med for mnge ledd vil du til slutt stå igjen med flere ledd enn restleddene fr Tylorutviklingene i det endelige feiluttrykket Se oppgve 9 under for konkret øvelse i dette

11 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 179 Oppgver 91 Tylor-polynomene til e x, cos x og sin x er e x = 1 + x + x + x3 6 + x4 4 + x x x cos x = 1 x + x4 4 x sin x = x x3 6 + x5 10 x Regn ut Tylor-polynomet til e ix og bruk dette til å forklre t Eulers formel e ix = cos x + i sin x er en rimelig definisjon v e ix 9 Utled egenskpene 1 og ved Bernsteinbsisen gitt i lemm 93 Et nyttig redskp for å bevise egenskp er binomilteoremet 93 Utled egenskp 3 i lemm Utled egenskp 4 og 5 i lemm Utled egenskpene 1 3 i lemm 95 for Bernstein-polynomer v generell grd n på intervllet [0, 1] 96 Sjekk t relsjonen stemmer ( ) n = n i + 1 ( ) n i i i 1 97 ) Vis t polynomet x kn uttrykkes i Bernsteinbsisen som x = 3 i=0 i 3 b i,3(x) Hint: Sjekk t de deriverte på de to sidene v liketstegnet er like og t de to sidene r smme verdi i ett punkt b) Bruk () til å vise relsjonen ( ) 3 x, p(x) = (i/3, c i )b i,3 (x) i=0 (Dette må tolkes som en vektorrelsjon der venstresiden ( x, p(x) ) og kontrollpunktene (i/3, c i ) 3 i=0 er punkter i plnet, mens b i,3(x) for ver x er en sklr) Denne relsjonen viser t grfen til p(x) er et veiet gjennomsnitt v sine kontrollpunkter

12 180 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER 98 Progrmmer lgoritme 98 og test progrmmet ved å plotte ut noen v Bernsteinpolynomene i figur 97 og I denne oppgven skl vi gjent utregningene som førte oss frm til setning 916, men med flere eller færre ledd i Tylorpolynomet ) T med et ledd mindre i ver v de to Tylorutviklingene (9) (93) (slik t restleddene involverer ), men gjennomfør ellers utregningene som vist over Hvordn kn du gjenkjenne t dette kn gjøres bedre? b) T med et ledd mer i ver v de to Tylorutviklingene (slik t restleddene involverer 4 ), men gjennomfør igjen utregningene som over Hvordn kn du se t du r ttt med for mnge ledd? 910 Vis t feilen E(f, ) i tilnærmingen til den førstederiverte gitt ved f () f( + ) + 4f( + ) 3f() er begrenset v E(f, ) mx x [,+] f (x) 911 Utled et feilestimt for tilnærmingen til den ndrederiverte gitt ved f () f( + ) f() + f( ) 91 Utled et feilestimt for tilnærmingen til integrlet gitt ved + f(x) dx f( + /) Hint: Ersttt f(x) med en pssende Tylorutvikling om x = + /

13 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 181

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

Feilestimeringer. i MAT-INF1100

Feilestimeringer. i MAT-INF1100 Feilestimeringer i MAT-INF11 Ett v de viktigste punktene i MAT-INF11, og smtidig det som nsees som det vnskeligste i pensum, er feilestimter. Vi bruker mye tid på å beregne tilnærmede verdier for funksjoner,

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner

KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner KAPITTEL 9 Approksimsjon v funksjoner En grunnleggende teknikk som ofte brukes i ulike deler v mtemtikk og nvendelser er å tilnærme eller pproksimere et objekt med et nnet. Som regel er objektet som skl

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11)

Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Litt om numerisk integrasjon og derivasjon og løsningsforslag til noen ekstraoppgaver MAT-INF 1100 uke 48 (22/11-26/11) Knut Mørken 22. november 2004 Vi har tidligere i kurset sett litt på numerisk derivasjon

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen

Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen 3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2

Detaljer

Løsningsforslag Kollokvium 1

Løsningsforslag Kollokvium 1 Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som

Detaljer

Numerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres.

Numerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres. Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/15 I(f) = hvor f : R R kn Riemnn-integreres. b f(x)dx. Newton-Cotes kvdrtur Newton-Cotes kvdrtur erbsert på ekvidistnte noder i [, b]: For en n-noder åpen

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er

Detaljer

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side Numerisk mtemtikk Fr Mtemtikk 3MX (2002) Side 142 147 142 Kpittel 4: Integrlregning 47 NUMERISK MATEMATIKK pffiffiffiffiffi På lommeregneren finner du rskt t 71 er lik 8,426150, og t lg 5 er lik 0,698970

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R. LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning

Detaljer

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle

Detaljer

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

Dagens program. 7.6 Numerisk integrasjon (fortsatt) 7.7 Uegentlige integraler

Dagens program. 7.6 Numerisk integrasjon (fortsatt) 7.7 Uegentlige integraler Dgens progrm 7.6 Numerisk integrsjon (fortstt) 7.7 Uegentlige integrler Forelesningen onsdg 28. oktober flyttes til ud. R7. Trpesmetoden Merknd side 479 Den tilnærmede verdien til integrlet f (x)dx beregnet

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

Kvadratur. I(f) = f(x)dx.

Kvadratur. I(f) = f(x)dx. Kvdrtur Når mn snkker om numerisk kvdrtur er mn interessert i pproksimere integrler v funksjoner (som representerer reler, volumer, densiteter, o.s.v.) I(f) = f(x)dx. Det klles for kvdrtur fordi i gmle

Detaljer

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007 Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

Kap. 3 Krumningsflatemetoden

Kap. 3 Krumningsflatemetoden SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning

Detaljer

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett

Detaljer

Tillegg om integralsatser

Tillegg om integralsatser Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem,

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk 0 EMNENUMMER: REA04 EKSAMENSDATO:. desember 008 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Algebr Aritmetiske opersjoner (b + c) b + c + c b Potensregler Polynom b + c b b + c d + bc d bc b c d b d c d bc x y x+y x x / x y x y n x x /n 0 x n x n ( x ) y xy (b) x x y (

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302

LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Sie 1 v 6 LØSNINGSFORSLAG(Sensor) I TMA4140 og MA0302 12. esemer 2006 Oppgve 1 ) Skriv ne efinisjonen på en tutologi. Svr: En tutologi

Detaljer

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014)

R2 eksamen våren 2014. (19.05.2014) R Eksmen V04 R eksmen våren 04. (9.05.04) Løsningsskisser (Versjon 3.0.4) Del - Uten hjelpemidler Oppgve ) fx sinu; u 3x Kjerneregel: f x f uu x cosu3 3 cos3x b) e x e x med kjerneregel som i ) Produktregel:

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag 75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

addisjon av 2 og 3. Vi skriver da i alt: 2+3= og etter at likhetstegnet er skrevet så gir matcad oss svaret.

addisjon av 2 og 3. Vi skriver da i alt: 2+3= og etter at likhetstegnet er skrevet så gir matcad oss svaret. ddisjon v og. Vi skriver d i lt: += og etter t likhetstegnet er skrevet så gir mtcd oss svret. + + + = 5 ddisjon med + først. Skriv inn et +tegn, så og bruk TAB + + + + = 5 minus 5 5 5 = Å bruke gngetegn

Detaljer

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t

Detaljer

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Kosmologisk perturbasjonsteori: Einsteintensoren vender tilbake

Kosmologisk perturbasjonsteori: Einsteintensoren vender tilbake Kosmologisk perturbsjonsteori: Einsteintensoren vender tilbke Vi hr funnet Boltzmnnligninger for fotoner, bryoner og mørk mterie. Om vi hdde ønsket det, kunne vi også stt opp ligningene for msseløse nøytrinoer.

Detaljer

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x. NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVESITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: FYS1120 Elektromgnetisme Eksmensdg: 5. oktober 2015 Tid for eksmen: 10.00 13.00 Oppgvesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tilltte hjelpemidler:

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

Nynorsk. e) Ein bestemt ellipse kan i polarkoordinatar skrivast på forma. 2) Bruk lommereknaren og finn arealet av flatestykket avgrensa av grafen.

Nynorsk. e) Ein bestemt ellipse kan i polarkoordinatar skrivast på forma. 2) Bruk lommereknaren og finn arealet av flatestykket avgrensa av grafen. OPPGÅVE 1 ) Deriver funksjonne: 1) f ( ) = 3 + cos ) g ( ) = sin b) Finn integrlet: ln d c) Løys likning ved rekning: 6cos cos 1 0 0, π = d) L X vere ein binomisk fordelt vribel med n = 50 og p = 0,75.

Detaljer

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME

NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi EKSAMEN I FYS135 - ELEKTROMAGNETISME NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE nstitutt for mtemtiske relfg og teknologi EKSAMEN FYS135 - ELEKTROMAGNETSME Eksmensdg: 12. desember 2003 Tid for eksmen: Kl. 14:00-17:00 (3 timer) Tilltte hjelpemidler: B2 - Enkel

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: MAT1140 Strukturer og rgumenter Eksmensdg: Fredg 8. desemer 2017 Tid for eksmen: 14:30 18:30 Oppgvesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen

Detaljer

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012 Forkurs i mtemtikk til MAT-, ugust Kompendium v Amir Hshemi, HiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Institutt for Mtemtikk og Sttistikk, UiT, Høsten Innhold Forord... Kpittel Test deg

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer