Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Transkript

1 Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon

2 Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får f (g(t)) g (t) dt = f (g()) f (g()) hvis A = g() og B = g() vi kn skrive f (g(t)) g (t) dt = f (B) f (A) = A B f (u) du Integrsjon

3 Eksempler Oppgve 45 Finn π + cos(x)dx. Løsning Vi skl ruke t + cos(x) = cos ( x ) og f (g(x)) g (x) dx = f (g()) f (g()). Ved hjelp v + cos(x) = cos ( x ) vi får π + cos(x)dx = l π π cos( x ) dx, g(x) = x, g (x) =, f (u) = cos(u), f (u) = sin(u) + cos(x)dx = π cos( x ) dx = = (f (g( π )) f (g())) = (sin( π 4 ) sin()) π f (g(x)) g (x) dx = Integrsjon

4 Oppgve 45 Finn π + cos(x)dx = π cos( x ) dx, Løsning Vi kn ruke sustitusjon på en litt nnen måte ved å definere A = g() og B = g() og så ruke Som før tr vi f (g(x)) g (x) dt = f (B) f (A) = A B f (u) du. g(x) = x, g (x) =, f (u) = cos(u), f (u) = sin(u) d A = = og B = π 4 vi ruker formelen i rekkefølgen dette gir π f (g(x)) g (x) dt = cos( x ) dx = π 4 A B f (u) du = f (B) f (A) cos(u) du = (sin( π ) sin()) =. 4 Integrsjon

5 Eksempler Oppgve 8 Finn det uestemte integrlet dx e x + e x Løsning Dette etyr t vi skl finne den ntideriverte v funkjonen og legge til en konstnt. Ved hjelp v fundmentlteorem del den ntideriverte er x dt F (x) = e t + e t, og Vi nå ruker sustitusjon for å finne F (u) og Vi prøver med dx e x = F (x) + C. + e x u F (u) = f (g(x)) g (x) dx = f (g(u)) f (g()). g(x) = e x, g (x) = e x, f (y) = y +, u dx F (u) = e x + e x = u f (g(x)) g u (x) dx = og dx e x + e x = rctn(ex ) + C f (y) = rctn(y) e x dx (e x + ) = rctn(eu ) rctn(e ), Integrsjon

6 Eksempler, litt nnerledes ruk v sustitusjon Oppgve 8 Finn det uestemte integrlet dx e x + e x Løsning Dette etyr t vi skl finne den ntideriverte v funkjonen og legge til en konstnt. Ved hjelp v fundmentlteorem del den ntideriverte er x dt F (x) = e t + e t, og dx e x = F (x) + C. + e x Vi nå ruker sustitusjon for å finne F (u) og vi ruker som før g(x) = e x, g (x) = e x, f (y) = y +, og ved å definere A = g() = e og U = g(u) = e u og så ruke f (y) = rctn(y) u dx F (u) = e x + e x = u e x dx ((e x ) + ) = u f (g(x)) g U (x) dx = f (y) dy = f (U) f (A). A og så U F (u) = A y + dy = rctn(u) rctn(a) = rctn(eu ) rctn(e ), dx e x + e x = rctn(ex ) + C Integrsjon

7 Arelen mellom to kurver Eksempel Finn relen v områden omringet v kurvene y = x x og y = 4 x. Eksempel 3 Finn relen v områden som ligger mellom kurven y = sin(x) og y = cos(x) fr x = til x = π. Eksempel 4 Finn relen v område som ligger på høyre siden v prelen x = y og til venstre for linjen y = x Integrsjon

8 Forelesning (5..4): kp 6., 6. og 6.5 Delvisintegrsjon Delrøkoppsplting og integrsjon v rsjonle funksjoner Uegentlige integrl Integrsjon

9 Delvisintegrsjon Regel for den deriverte v en produkt: vi integrere på egge sider d (U(x)V (x)) = U(x)dV dx dx + V (x)du dx d dx (U(x)V (x)) dx = U(x) dv dx dx + og ruker fundmentlteoremet på venstre siden så U(x)V (x) = som kn også skrives som U(x) dv dx dx + U(x) dv dx dx = U(x)V (x) V (x) du dx dx V (x) du dx dx V (x) du dx dx Integrsjon

10 Delvisintegrsjon Vi ruker Eksempel 5: U(x) dv dx dx = U(x)V (x) e x 3 (ln x) dx V (x) du dx dx. Oppgve 5: sin (x) x dx Integrsjon

11 Oppgve 5 og d for integrlen sin (x) x sin (x) x ruker vi sustitusjonen x dx = [ x sin (x) dx = sin () + sin ( ) + u = sin (x), d dx (sin (x)) dx = d x dx (sin (x)) dx x = sin(u), sin () sin ( ) sin(u) d x dx (sin (x)) dx] d x dx (sin (x)) dx du dx = d dx (sin (x)), () du = ln csc(u) cot(u) sin sin ( ) sin (x) dx = sin ()+ sin ( )+ln cot(sin ()) ln cot(sin ( )) x Integrsjon

12 Integrler v rsjonle funksjoner P(x) Q(x) dx Integrsjon

13 Integrler v rsjonle funksjoner P(x) Q(x) dx vi skl se t det er lettere å integrere når grd(p(x)) < grd(q(x)). Integrsjon

14 Integrler v rsjonle funksjoner P(x) Q(x) dx vi skl se t det er lettere å integrere når grd(p(x)) < grd(q(x)). Hvis dette ikke er tilfellet prøve vi å skrive P(x) som P(x) = Q(x) Q(x) + R(x) med Q(x) og R(x) to polynomer v grd mindre enn grd(p(x)). Integrsjon

15 Integrler v rsjonle funksjoner P(x) Q(x) dx vi skl se t det er lettere å integrere når grd(p(x)) < grd(q(x)). Hvis dette ikke er tilfellet prøve vi å skrive P(x) som P(x) = Q(x) Q(x) + R(x) med Q(x) og R(x) to polynomer v grd mindre enn grd(p(x)). Så P(x) Q(x) = Q(x) + R(x) Q(x) her er Q(x) et polynom ( dvs lett å integrere) og vi kn håpe for er slik t grd(r(x)) < grd(q(x)) og også lett å t R(x) Q(x) integrere (i motstt fll må vi repeterer prosedyren for R(x) Q(x) ). Integrsjon

16 Lineær eller kvedrtisk Q(x) lineær c x + dx = c ln x + + C Integrsjon

17 Lineær eller kvedrtisk Q(x) lineær c x + dx = c ln x + + C kvdrtisk 3 4 x x + dx = ln x + + C x + dx = tn ( x ) + C x x dx = ln x + C x dx = x ln x + + C Integrsjon

18 Deløkoppsplting L Q(x) = (x ) (x ) (x n ), med,..., n reelle, og l grd(p) < grd(q) d P(x) Q(x) kn delrøkoppspltes i formen P(x) (x ) (x n ) = A (x ) + A (x ) + + A n (x n ) der A,..., A n er konstnter. Integrsjon

19 Deløkoppsplting L Q(x) = (x ) (x ) (x n ), med,..., n reelle, og l grd(p) < grd(q) d P(x) Q(x) kn delrøkoppspltes i formen P(x) (x ) (x n ) = A (x ) + A (x ) + + A n (x n ) der A,..., A n er konstnter. Rsjonle funksjoner P(x) Q(x) med grd(p) < grd(q) kn delrøkoppspltes. Se Teorem Kp 6.. Integrsjon

20 Deløkoppsplting L Q(x) = (x ) (x ) (x n ), med,..., n reelle, og l grd(p) < grd(q) d P(x) Q(x) kn delrøkoppspltes i formen P(x) (x ) (x n ) = A (x ) + A (x ) + + A n (x n ) der A,..., A n er konstnter. Rsjonle funksjoner P(x) Q(x) med grd(p) < grd(q) kn delrøkoppspltes. Se Teorem Kp 6.. Merk: dette er nyttig for å integrere P(x) Q(x). Integrsjon

21 Oppgve 8 kp 6. cos(θ)( + sin(θ)) dθ løses ved sustitusjon som fører til en rsjonlfunksjon og så delørkoppsplting. Sustitusjon x = sin(θ) gir Vi deløkoppsplter cos(θ)( + sin(θ)) dθ = ( x )( + x) dx. ( x )( + x) = A x + B + x + C ( + x) og A + B + C =, A C =, A B =, og så C =, A = B = 4 og ( x )( + x) dx = 4 x dx x dx + ( + x) dx cos(θ)( + sin(θ)) dθ = 4 ln sin(θ) + 4 ln + sin(θ) + sin(θ) + C Integrsjon

22 Uegentlige integrl kp 6.5 I = f (x) dx Type : når = eller = eller egge deler. A = x dx Type : når f (x) er ikke egrenset når x eller x. A = x dx Integrsjon

23 Teorem 3 kp 6.5 L < og f (x) g(x). Hvis konvergerer d konvergerer og g(x)dx f (x)dx f (x)dx g(x)dx. (Vicevers hvis f (x)dx divergerer d g(x)dx divergerer.) Integrsjon

24 Eksmen 5, oppgve 6 Beregn (x + )(x + )(x + 3) dx. Integrsjon

25 Forelesning 3..4: kp Numerisk integrsjon Trpesmetode Simpsons metode Bruk v Tylorformel for pproksimsjon v integrler Integrsjon

26 Trpesregel Numerisk tilnærmelse v f (x) dx. Bruk en prtisjon v [, ] med ekvidistnte noder: = x, x = + h, x = + h,..., x n = + n h =, nt t vi kn få tke i verdiene h = n f (x ), f (x ),..., f (x n ) pproksimer integrlet på hver suintervll [x i, x i ] med integrlet til en lineær tilnermelse til f : x i f (x) dx h x i (f (x i ) + f (x i )) så ved å legge smmen idrgene får vi f (x) dx = n i= x i f (x) x i n i= h (f (x i ) + f (x i )) Integrsjon

27 Trpesregel Trpesregel er en numerisk tilnærmelse v gitt v f (x) dx T n = h ( f (x ) + f (x ) + f (x ) +... f (x n ) + f (x n)) Teorem 4 Hvis f er to gnger deriverr med en kontinuerlig ndre deriverte på [, ] og f (x) K på [, ] d f (x)dx T n K( ) h K( )3 = n Integrsjon

28 Simpsonsregel Numerisk tilnærmelse v f (x) dx. Bruk en prtisjon v [, ] med ekvidistnte noder: = x, x = + h, x = + h,..., x n = + n h =, n prtll. Ant t vi kn få tke i verdiene f (x ), f (x ),..., f (x n ). h = n Approksimer integrlet på hver suintervll [x j, x j+ ] for j =,..., n, med integrlet til en kvdrtisk tilnermelse v f : x j+ f (x) dx h x j 3 (f (x j ) + 4f (x j ) + f (x j+ )) så ved å legge smmen idrgene får vi n f (x) dx = f (x) h x j 3 j= x j+ n j= (f (x j ) + 4f (x j ) + f (x j+ )) Integrsjon

29 Simpsonsregel Simpsonsregel er en numerisk tilnærmelse v f (x) dx der mn lger en prtisjon v [, ] med n ekvidistnte noder og n er prtll og slik t S n = h 3 (f (x ) + 4f (x ) + f (x ) + 4f (x 3 ) + + f (x n ) + 4f (x n ) + f (x n )) Teorem 5 Hvis f er fire gnger deriverr med en kontinuerlig firde deriverte på [, ] og f (4) (x) K på [, ] d f (x)dx S n K( ) h 4 K( )5 = 8 8n 4 Integrsjon

30 Bruk v Tylorformel for pproksimsjon v integrler, kp. 6.8 Eksempel 4 Betrkt integrlet e x dx finn en tilnærmelse v integrlet med en feil som er mindre enn 4. Løsning Vi ruker Tylorformel (Tylor-McLurin, en pproksimsjon v e y om y = ) der f (y) = e y = + y + y + y 3 E n (y) = Siden < X < d e X e < 3 og 3! + + y n n! + E n(y) e X (n + )! y n+, X (, y) E n (y) < 3 (n + )! y n+ Integrsjon

31 Bruk v Tylorformel for pproksimsjon v integrler, kp. 6.8 Ved å sette y = x i Tylorformel og å integrere på egge sider vi får e x dx = ( + x + x 4 + x 6 3! + + x n n! ) dx + E n (x )dx integrlet på høyre siden er lett å eregne (integrlet til en polynom) og vi tr den som en pproksimsjon v integrlet v e x, vi får e x dx = ! + + (n + )n! + E n (x )dx der E n(x )dx er feilen (som skl d kreve er mindre enn 4 ) så E n (x 3 )dx (n + )! x (n+) 3 dx = (n + )!(n + 3) nå må vi sørge for å t n stor nok slik t dette skjer med n = 6. 3 (n + )!(n + 3) < 4 Integrsjon