Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Transkript

1 Prt I M Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett v B, men A B Og b og b Eller b eller b Negsjon ikke For lle for lle Eksisterer det finnes en! Unik eksistens! det finnes en unik Fordi b fordi b Derfor b derfor b Går mot b går mot b Impliksjon (hvis) b hvis b Impliksjon (bre hvis) b bre hvis b Ekvivlent (hvis og bre hvis) b er ekvivlent med b ( hvis og bre hvis b) Quod Ert Demonstrndum Som skulle vises 1. Tllene Nturlige: N {1,, 3,...} Hele: Z {...,, 1, 0, 1,,...} Rsjonelle: Q { b, b Z b 0} Irrsjonelle: {...,,... e,... π,...} etc. Reelle: R Q {...,, e, π,...} Komplekse: C { + bi, b R i = 1} 1.3 Noen lgebriske lover N Z Q R C Kommuttiv lov: x + y = y + x xy = yx Assositiv lov: (x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz) Distributiv lov: x(y + z) = xy + xz 1

2 1.4 Funksjoner Definisjon: En funksjon er en tilordningregel mellom to mengder; definisjonsmengden (Domin, D), og verdimengden (Rnge, R), slik t til hvert element i definisjonsmengden tilordnes ett, og bre ett, element i verdimengden. Gitt funksjonen f(x) er definisjonsmengden hvilke x-verdier vi kn velge, mens verdimengden er hvilke verdier f(x) kn h ut fr den gitte definisjonsmengden. Symmetri: Like-funksjon: f( x) = f(x) cos( x) = cos(x) Odde-funksjon: f( x) = f(x) sin( x) = sin(x) Noen kombinsjoner v funksjoner: Gitt to funksjoner f g kn vi kombinere dem: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) 1.5 Trekntulikheten (fg)(x) = f(x)g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x) (f g)(x) = f(g(x)) + b + b ( + b ) = ( + b) = + b + b ( + b ) = + b + b + b + b + b + b b b Grenser og kontinuitet.1 Eksistens v grenseverdi Epsilon-delt: holder: slik t når: Vi sier t grenseverdien til f når x er L dersom følgende ɛ > 0 δ > 0 0 < x < δ så er f(x) L < ɛ Eksistens: For t en grense skl sies å finnes må lim f(x) = lim f(x) x + x

3 Kontinuitet: Gitt en funksjon f og et punkt D f, så sier vi t f er kontinuerlig i dersom lim f(x) = f() x ± f er kontinuerlig i venstre endepunkt dersom lim f(x) = f(b) x + og i høyre endepunkt hvis lim f(x) = f(b) x f vil være en kontinuerlig funksjon dersom den er kontinuerlig x D f. Skviseteoremet Ant t f(x) g(x) h(x) for selv). Ant også t: x i en omegn som inneholder (unttt muligens lim f(x) = L = lim h(x) x x D hr vi t: lim g(x) = L x 3 Noen triks ved grenseverdier Fktoriser ut og forkort, utvid v.h.. konjugtsetningen, del på høyeste eksponent v x, eller bruk L Hôpitl og deriver teller og nevner for seg selv. Prt II M110 4 Tilnærminger 4.1 Tylorpolynom P n (x) = f() + f () 1! 4. Newtons metode (x ) f (n) () (x ) n n! E n (x) f (n+1) (s) (x )n+1 (n + 1)! x n+1 = x n f(x n) f (x n ) 3

4 4.3 Integrltilnærming Del opp i n intervller hver med lengde h. Trpesmetoden: T n = h( 1 y 0 + y y n y n) f(x)dx T n K(b ) 3 1n f (x) K Midtpunktmetoden: M n = h n f(m i ) m i = midtpunktet på delintervll i i=1 f(x)dx M n K(b ) 3 4n f (x) K Hvis grfen til f(x) er konveks på [,b] vil M n f(x)dx T n, hvis den derimot er konkv (ned) vil T n f(x)dx M n Simpsons regel: S n = 1 3 (T n + M n ) = h ( n 1 n ) y 0 + y n + 4 y n 1 + y n 3 k=1 K(b ) 5 f(x)dx S n 180n Estimsjon v summen til en rekke k=1 f (4) (x) K Ant t k = f(k) for k = n+1, n+, n+3,... hvor f er en positiv, kontinuerlig, ikke-økende funksjon på [n, >. Definer videre A n = n f(x)dx og s n som summen v de n første leddene. D hr vi t: Videre kn vi si t: s n + A n+1 s s n + A n s s n = s n + A n+1 + A n med feil: s s n A n A n+1 4

5 5 Kjeglesnitt 5.1 Prbel y = x + bx + c Alle punkter på prbelen ligger like lngt vekke fr styrelinj som brennpunktet. Spesielt vil prbelens ekstremlpunkt ligge på en rett linje mellom brennpunktet og styrelinj, prbelens kse. En hver stråle fr brennpunktet vil bli reflektert prllellt med prbelens kse. Styrelinj kn ngis ved y = c b Ellipse x + y b = 1 er store kse og b er lille kse. Gitt brennpunkt i F 1 og F så vil: F 1 X 1 + F X 1 = F 1 X + F X og brennpunktet ved ( b, c b 1 4 ) X n Ellipse Eksentrisitet, ɛ: b ɛ = > b Ellipsens styrelinjer kn d bli gitt ved x = /ɛ og x = /ɛ Gitt brennpunkt i F 1 = (x 1, y 1 ) og F = (x, y ), smt t ellipsen skl gå gjennom P = (x 0, y 0 ), så vil ellipsen kunne beskrives v: (x + x1 ) + (y + y 1 ) + (x + x ) + (y + y ) = d(f 1, P ) + d(f, P ) 5.3 Hyperbel x y b = 1 er semi-trnsversl ksen og b er semi-konjugt ksen. Gitt brennpunkt i F 1 og F så vil: F 1 X 1 F X 1 = F 1 X F X X n Hyperbel Eksentrisitet, ɛ: + b ɛ = Hyperbelens styrelinjer kn d bli gitt ved x = /ɛ og x = /ɛ Gitt brennpunkt i F 1 = (x 1, y 1 ) og F = (x, y ), smt differnsen c mellom hyperbelens toppunkter vil den kunne beskrives v: (x + x1 ) + (y + y 1 ) (x + x ) + (y + y ) = ±c 5

6 6 Kurver 6.1 Prmetriske kurver Gitt x = f(t) og y = g(t) så vil stigningstllet til tngenten i (x 0, y 0 ) være dy.tilsvrende vil stigningstllet til normlen i smme punkt være dx = g (y 0) f (x 0) f (x 0) g (y 0). Krumningen vil kunne ngis ved d y dx = g (y 0)f (x 0) g (y 0)f (x 0) (f (x 0)) 3. Tngenten i et gitt punkt (f(t 0 ), g(t 0 )) kn enkelt gis ved: Kurvelengde: r(u) = [f(t 0 ) + f (t 0 )u, g(t 0 ) + g (t 0 )u] s = Overflte dersom dreid om x-kse / y-kse: S = π g(t) f (t) + g (t) dt f (t) + g (t) dt S = π Arel mellom x-kse og grf / y-kse og grf: A = 6. Polrkurver Tngent: f (t)g(t)dt A = tn ψ = f(θ) f (θ) f(t) f (t) + g (t) dt f(t)g (t)dt Merk: ψ = π hvis f (θ) = 0 ψ er vinkelen mellom den rdielle linj fr origo til tngeringspunktet og selve tngenten. θ + ψ = π gir en horisontl tngent, mens θ + ψ = π gir en vertikl tngent. Kurvelenge, r = f(θ): Arel: s = β α s = 1 f(θ) + f (θ) dθ β α f(θ) dθ 7 Følger og rekker 7.1 Følger lim n ( n + b n ) = lim n n + lim n b n 6

7 lim n c n = c lim n n Hvis n b n (etterhvert) så er lim n n lim n b n Hvis n b n c n og lim n n = L = lim n c n d er lim n b n = L 7. Rekker 7..1 Konvergerende rekker Rekker som konvergerer bsolutt, konvergerer. Geometriske rekker: r n konvergerer hvis r < 1 til 1 r p-rekker: 1 n p konvergerer hvis p > Konvergenstester Smmenligningstesten: Hvis k 0 s.. 0 n kb n (etterhvert), d gjelder: I) Hvis b n konvergerer, så konvergerer n II) Hvis n divergerer, så divergerer b n Grensesmmenligningstesten: Ant t lim n n bn = L 0, d gjelder: I) Hvis L < og b n konvergerer, så konvergerer n II) Hvis L > 0 og b n divergerer, så divergerer n Integrltesten: Ant t n = f(n) og t f er positiv, kontinuerlig og ikke-økende på [N, >, d vil: N=1 n og f(t)dt enten begge konvergere, eller begge divergere. N Forholdstesten: Ant t n > 0 n og ρ = lim n+1 n n, d gjelder: I) Hvis 0 ρ < 1 så konvergerer n II) Hvis 1 < ρ < så divergerer n III) Hvis ρ = 1 kn ikke testen brukes. 7

8 Rottesten: Ant t n > 0 n og σ = lim n n n, d gjelder: I) Hvis 0 σ < 1 så konvergerer n II) Hvis 1 < σ < så divergerer n III) Hvis σ = 1 kn ikke testen brukes. Alternerende rekke-testen: Ant en lternerende rekke ( 1)n n som er s.. n+1 n (etterhvert) og lim n n = 0. D vil rekk konvergere. 7.3 Potensrekker s(x) = n (x c) n Konvergensrdius: Ant t L = lim n n+1 n eksisterer eller er. D vil konvergensrdiusen være R = 1/L (Hvis L = 0 er R =, hvis L = er R = 0) ( n + b n )(x c) n hr konvergensrdius minst lik min{r, R b } Derivsjon og integrsjon v potensrekker: s (x) = n n(x c) n 1 x 0 s(t)dt = x 0 n (t c) n dt Den nye rekk vil h smme konvergensrdius som den nye, bortsett fr knskje i endepunkter. Abels setning: En potensrekke er kontinuerlig på hele konvergensområdet. 7.4 Uniform konvergens Vi sier t funksjonsfølgen {g n }, g n :[, b] R konvergerer uniformt mot en funksjon g:[, b] R dersom det ɛ N s.. når n N så vil g(x) g n (x) < ɛ x [, b] Teorem I: Ant t funksjonsfølgen {g n }, g n :[, b] R konvergerer uniform mot funksjonen g:[, b] R. D hr vi: I) g er kontinuerlig II) lim n g n(x)dx = g(x)dx 8

9 Teorem II: Gitt potensrekk n(x c) n med konvergensrdius R, < c R, c + R >. d vil følgen v delsummer {s n (x)} konvergere uniformt mot s(x) på etthvert lukket intervll [, b] < c R, c + R >. Lemm: Hvis nx n konvergerer på < R, R >, så vil nnx n 1 også konvergere på < R, R > Differensilregning Ersttt y, y og y med tilsvrende rekke. y(x) = n x n = 0 + n x n y (x) = n nx n 1 = n+1 (n + 1)x n n= y (x) = n n(n 1)x n = n+ (n + )(n + 1)x n Tips: y(0) = 0 og y (0) = 1 etc. Prøv å først få lle x n v smme grd for deretter å få summeringsindeksen på lle rekker lik slik t du kn trekke dem smmen. Prøv deretter å se etter en smmenheng mellom n leddene. 7.5 Spesielle rekker Tylorrekker: f (n) (c) (x c) n n! Noen Mclurinrekker: e x = x n n! (x ) n e x = n! etc... sin(x) = ( 1) n (n + 1)! xn+1 cos(x) = ( 1) n (n)! xn Binominlsetningen: ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k n N 9

10 Fourierrekker: s(t) = 0 + [ n cos(nωt) + b n sin(nωt)] Gitt en periodisk funksjon med periode T = π ω, vil leddene i fourierrekk være: n = T T/ T/ f(t) cos(nωt)dt b n = T T/ T/ f(t) sin(nωt)dt Hvis f er kontinurelig, så vil s(t) = f(t) Noen rekker med π: 4 π = ( 1) n n + 1 π 6 = 1 n π = 1 π = 9801 (4n)!( n) (n!) n 1 ( 4 16 n 8n + 1 8n n ) 8n