Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Transkript

1 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2

2 Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle grunnlg. Derfor er også veldig mnge bevis uteltt, mens det er desto flere eksempler. Kompendiet er under utvikling og lle lesere oppfordres derfor til å komme med konstruktive kommentrer på innhold og utforming, slik t kompendiets neste utgve kn bli bedre enn denne. Blindern, 5. jnur 2 Arne B. Sletsjøe

3 Innhold 2 Innhold Funksjoner i en vribel 3. Monotoni-egenskper og lokle ekstremlpunkter Kritiske punkter Globle ekstremlpunkter Krumning og vendepunkter Bestemt integrl 9 2. Ubestemt integrl Bestemt integrl Fundmentlteoremet Riemnnsummer Mellomspill: Archimedes beregning v volumet v en kule Trpesmetoden og Simpsons metode Uekte integrler Approksimering 2 3. Tylorpolynom Restleddsestimter Følger Rekker Rekker som funksjoner Konvergenskriterier* Løsning v differensillikninger 3 5 Funksjoner i flere vrible Noen definisjoner og eksempler Nivåmengder Prtiell derivsjon Lokle ekstremlpunkter Kritiske punkter Vrme- og bølgelikningene Minste kvdrters metode Vektorklkulus Vektorfelt Grdient Konservtive felt Integrlkurver i plne vektorfelt Sirkulsjon Kurveintegrler Prmetriserte kurver Buelengde Kurveintegrler Integrere vektorfelt Kurveintegrler i konservtive felt Multippel integrsjon Multippel integrsjon over rektngler Multippel integrsjon over mer generelle områder Arel og tyngdepunkt Greens teorem A Fsit til oppgver 69

4 3 Funksjoner i en vribel I det første kpitlet skl vi friske opp teorien for funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere deres kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. For intervller skl vi bruke notsjonen [, b] = {x R x b} for lukkede intervller, (, b) = {x R < x < b} for åpne intervller og (, b] = {x R < x b} og [, b) = {x R x < b} for hlvåpne intervller.. Monotoni-egenskper og lokle ekstremlpunkter Lokle egenskper til en funksjon er egenskper som observeres i små intervller om punkter i definisjonsområdet til funksjonen. Monotoni-egenskpene til en funksjon, dvs. hvor de vokser og hvor de vtr, er en lokl egenskp, det smme gjelder krumning. Definisjon.. En funksjon y = f(x) er (strengt) voksende på et intervll I dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) < f(x 2 )) for lle x < x 2 i intervllet. Funksjonen er (strengt) vtgende dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) > f(x 2 )) for lle x < x 2 i intervllet. Figur : To monotone grfer, voksende til venstre og vtgende til høyre. Eksempel.. Funksjonen f(x) = x 2 er strengt voksende på intervllet [, ), siden x 2 < x 2 2 når < x < x 2. Tilsvrende er funksjonen strengt vtgende på intervllet (, ] siden x 2 > x 2 2 når x < x 2 <. Monotoni kn måles ved den deriverte til funksjonen. Teorem.2. Dersom f (x) > (f (x) < ) på et intervll I, så vokser (vtr) funksjonen f(x) på I. Bevis. L x I. Vi bruker definisjonen v den deriverte v f i x f (x) = lim h f(x + h) f(x) h Setter vi f (x) = og ntr h >, så følger det t f(x + h) > f(x) for lle x I. Dvs. t funksjonen er voksende på hele intervllet. Eksempel.2. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen vokser på intervllet [, ) og vtr på intervllet (, ]. Eksempel.3. Betrkt funksjonen f(x) = e x. Den deriverte er gitt ved f (x) = e x >, som betyr t funksjonen vokser overlt. Vi er interessert i å finne punkter der funksjonen ntr sine største/minste verdier. I første omgng leter vi etter lokle mksimums- og minimumspunkter, dvs. punkter der funksjonen er større (mindre) enn lle ndre punkter i nærheten. Dette trenger ikke gi oss de største eller minste verdiene for funksjonen, som vi skl se senere. Definisjon.3. i) Funksjonen y = f(x) hr et loklt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x) for lle x i et åpent intervll som inneholder c. ii) Funksjonen y = f(x) hr et loklt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x) for lle x i et åpent intervll som inneholder c.

5 .2 Kritiske punkter 4 Figur 2: Ekstremlpunkter En fellesbetegnelse på lokle mksimums- og lokle minimumspunkter er lokle ekstremlpunkter. Eksempel.4. Funksjonen f(x) = x 2 definert på hele R hr et loklt minimumspunkt i x = siden f(x) > f() for lle x. Eksempel.5. Funksjonen f(x) = cos x definert på hele R hr et loklt mksimumspunkt i x = siden cos x < cos = for lle x i nærheten v. Siden funksjonen er periodisk med periode 2π hr vi lokle mksimum også for x = 2kπ, for lle hele tll k..2 Kritiske punkter Den deriverte til en funksjon y = f(x) i et punkt x gir oss stigningstllet til funksjonen i punktet. I et mksimums- eller minimumspunkt for en deriverbr funksjon (en funksjon er deriverbr i et punkt dersom den hr en derivert i punktet) vil tngenten være horisontl, dvs. tngentlinjen hr stigningstll. Det betyr t f (x ) =. Slike punkter er så viktige t de hr fått et eget nvn. Definisjon.4. Et punkt x = c i definisjonsområdet til en funksjon y = f(x) klles et kritisk punkt for f dersom f (c) = eller f (c) ikke eksisterer. Figur 3: Kritiske punkter Eksempel.6. Alle potensfunksjoner g(x) = x n for n 2 hr kritisk punkt i x = siden f (x) = n x n og derfor f () = n n =. Eksempel.7. Funksjonen f(x) = x hr et kritisk punkt i x = siden f () ikke er definert i det punktet. Absoluttverdifunksjonen er ikke deriverbr i x = siden grenseverdiene fr høyre og venstre side ikke er like, vi hr for positive verdier v h f( + h) f() h lim = lim h h h h = og for negtive verdier v h f( + h) f() h lim = lim h h h h =

6 .2 Kritiske punkter 5 Figur 4: Grfen til bsoluttverdifunksjonen f(x) = x. Eksempel.8. Funksjonen h(x) = x dette punktet. hr ikke et kritisk punkt i x = siden funksjonen ikke er definert i Figur 5: Hyperbelen y = x er ikke definert for x =. I mnge tilfeller er det smmenfll mellom ekstremlpunkter og kritiske punkter, men det er ikke lltid snt. Imidlertid er det lltid slik t ekstremlpunkter er kritiske punkter, mens det er det motstte som ikke nødvendigvis er riktig. Teorem.5. Dersom f(x) hr et loklt mksimumspunkt eller loklt minimumspunkt i x = c, så er c et kritisk punkt. Bevis. Vi hr f f(c + h) f(c) f(c + h) f(c) (c) = lim h h h Ant t f(x) hr et loklt mksimumspunkt i x = c. Dersom f (c) >, så vil f(x) > f(c) for x > c. Dette er ikke mulig siden c er et loklt mksimumspunkt. Dersom f (c) <, så vil f(x) > f(c) for x < c som på tilsvrende måte er umulig og vi hr en motsetning. Smme slgs rgument gjelder for lokle minmimumspunkter. Med noen tilleggskrv hr vi også impliksjon den ndre veien. Teorem.6. Hvis f(x) hr et kritisk punkt i x = c, så er dette i) et loklt minimumspunkt dersom f (x) skifter tegn fr negtiv til positiv i x = c

7 .3 Globle ekstremlpunkter 6 ii) et loklt mksimumspunkt dersom f (x) skifter tegn fr positiv til negtiv i x = c Bevis. Følger nokså direkte fr definisjonen v den deriverte ved å nlysere fortegnet til uttrykkene som inngår. Eksempel.9. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt i x =. Dette er også et loklt minimumspunkt. Eksempel.. Gitt funksjonen g(x) = x 3. Den deriverte er gitt ved g (x) = 3x 2, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt for x =. Dette er imidlertid ikke noe ekstremlpunkt. Funksjonens deriverte skifter ikke tegn i dette punktet, vi hr g (x) > for lle x. Eksempel.. Vi skl bestemme monotomi-egenskper og lokle ekstremlpunkter for funksjonen f(x) = 3x 4 4x Vi regner ut den deriverte, fktoriserer og setter den lik : Vi tegner fortegnsskjem for f (x): f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) = x < < x < x > 2x x f (x) Den deriverte er to steder for x = og for x =, men kun for x = skifter den tegn. Det betyr t vi hr et loklt minimumspunkt for x =, t funksjonen er vtgende for x < og t den er voksende for x >. Punktet x = er et kritisk punkt, men ikke noe ekstremlpunkt..3 Globle ekstremlpunkter I motsetning til de lokle egenskpene, som sier noe om funksjonen i et lite intervll rundt et punkt, vil de globle egenskpene beskrive funksjonen på hele definisjonsområdet sett under ett. Definisjon.7. i) Funksjonen y = f(x) hr et globlt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x) for lle x i definisjonsområdet. ii) Funksjonen y = f(x) hr et globlt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x) for lle x i definisjonsområdet. Vi vil omtle funksjonsverdien i de globle minimums- og mksimumspunktene som funksjonens minimumsog mksimumsverdier og smlet som funksjonens ekstremlverdier. Funksjoner trenger hverken å h lokle eller globle ekstremlpunkter. Et eksempel er funksjonen f(x) = x definert på hele tllinj. Den hr ingen ekstremlpunkter i det hele ttt. Funksjonen f(x) = x hr heller ikke noen ekstremlverdier dersom definisjonsområdet er et åpent intervll (, b). På et lukket intervll derimot hr funksjonen f(x) = x både et globlt mksimumspunkt og et globlt minimumspunkt. For å sikre oss t en funksjon oppnår ekstremlverdier kn vi legge begrensninger på definisjonsområdet til funksjonen, slik det er formulert i ekstremverdi-teoremet som vi gjengir uten bevis. Teorem.8. Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig på et lukket, begrenset inervll [, b], så vil f oppnå sin mksimums- og minimums-verdi i intervllet. Eksempel.2. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2 e x x 3

8 .4 Krumning og vendepunkter 7 Vi regner ut den deriverte til funksjonen og setter denne lik, f (x) = 2xe x x 2 e x = x(2 x)e x = Denne informsjonen bruker vi til å tegne fortegnsskjem for f (x): - <, > <, 2 > 2 < 2, 3 > 3 x x e x f (x) f(x) e e 2 e 3 Skjemet viser t funksjonen vtr på intervllene (, ) og (2, 3) og vokser på intervllet (, 2). Den hr lokle mksimumspunkter i x = og i x = 2, og lokle minimumspunkter i x = og for x = 3. For å finne ut hvilke punkter som gir oss de globle ekstremlverdiene regner vi ut funksjonsverdien i de lokle ekstremlpunktene, og i tillegg i endepunktene til det lukkede intervllet. Verdiene står i nederste linje. Av disse ser vi t x = gir den største verdien, ltså et globlt mksimumspunkt og x = gir minste verdi og dermed svrer til et globlt minimumspunkt..4 Krumning og vendepunkter Neste skritt er å studere funksjonenes krumningsegenskper. Definisjon.9. En deriverbr funksjon y = f(x) krummer opp (ned) i et intervll I dersom f (x) vokser (vtr) i intervllet I. Teorem.. L f(x) være to gnger deriverbr på et intervll I. i) Dersom f > på I, så krummer grfen oppover. ii) Dersom f < på I, så krummer grfen nedover. Bevis. Bruk Teorem.2 på den deriverte. Definisjon.. Et punkt x = c der funksjonen f(x) skifter krumning fr opp til ned eller motstt, dvs. f (x) hr motstt fortegn til høyre og til venstre for x = c, klles et vendepunkt for f. Teorem.2. Dersom x = c er et vendepunkt for f, og f (c) er veldefinert, så er f (c) =. Bevis. Bruk Teorem.5 på den deriverte. Eksempel.3. Funksjonen f(x) = x 3 hr et vendepunkt i x = siden f () = og den dobbelt-deriverte f (x) skifter tegn i x =. Merk t vi kn h f (c) = uten t x = c er et vendepunkt, slik som tilfellet er for funksjonen f(x) = x 4 i punktet x =. Den dobbeltderiverte er gitt ved f (x) = 2x 2. Den hr et nullpunkt for x =, uten å skifte tegn i dette punktet. Eksempel.4. Vi skl studere krumningsegenskpene til funksjonen Vi regner ut den dobbelt-deriverte og setter den lik : f(x) = 3x 4 4x f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) f (x) = 36x 2 24x = 2x(3x 2)

9 .4 Krumning og vendepunkter 8 Vi tegner fortegnsskjem for den dobbel-deriverte: Konklusjonen står i nederste linje. x < < x < x > 2 3 2x x f (x) opp vendepunkt ned vendepunkt opp Oppgver til kpittel Oppgve.. I de følgende oppgvene, i) finn lle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoni-egenskpene til funksjonene ved å se på fortegnet til f (x), iii) finn lokle ekstremlpunkter, iv) bestem de intervllene der funksjonene krummer, henholdsvis opp og ned, v) finn funksjonenes vendepunkter ) f(x) = x 2 3x + 2 b) f(x) = (x ) 2 (x + 2) c) f(x) = 2 + (x ) 4 d) f(x) = x + x 2 e) f(x) = 2x + cos x Oppgve.2. L funksjonen f være definert ved f(x) = x 3 x x [, 3] ) Avgjør hvor f vokser og vtr. Finn eventuelle ekstremlpunkter for f. b) Finn eventuelle vendepunkter for f og undersøk hvor grfen til f krummer opp og hvor den krummer ned. Oppgve.3. L funksjonen f være definert for lle relle tll x ved hvor er en konstnt. f(x) = e 2 (x )2 ) Avgjør hvor f vokser og vtr. Finn eventuelle ekstremlpunkter for f. b) Finn eventuelle vendepunkter for f og undersøk hvor grfen til f krummer opp og hvor den krummer ned. Oppgve.4. Funksjonen f(t) er gitt ved f(t) = t ln t t, 4 t 3 Avgjør hvor funksjonen f vokser og hvor den vtr og finn ut hvor i definisjonsområdet den ntr sin største/minste verdi. Oppgve.5. I de følgende oppgvene, i) finn lle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoni-egenskpene til funksjonene ved å se på fortegnet til f (x), iii) finn lokle ekstremlpunkter, iv) bestem de intervllene der funksjonene krummer, henholdsvis opp og ned, v) finn funksjonenes vendepunkter, vi) finn globle mks og min ) f(x) = x 3 4x, x [, 2] b) f(x) = x2 4 x 2 9, x [, 2] c) f(x) = x sin x, x [ π, π] d) f(x) = sin 2 x, x [ π, π]

10 9 2 Bestemt integrl For å finne løsninger v differensillikninger må vi som oftest nti-derivere en eller flere funksjoner, dvs. lete etter funksjoner som hr en gitt derivert. Vi kller dette også ubestemt integrsjon. I dette kpitlet skl studere bestemte integrler. Bestemte integrler beregnes ved å evluere ubestemte integrler over et intervll slik t svret blir et tll og ikke en funksjon. Dette tllet skl vi tolke som relet mellom grfen og x-ksen, eller i mer generelle tilfeller som den kkumulerte verdien for en funksjon over et tidsrom, strekning eller nnet vlg v rgumentet x (eller t). Et svært viktig resulttet er fundmentlteoremet (introdusert v Newton og Leibniz) som knytter smmen bestemt og ubestemt integrsjon, eller derivsjon og integrsjon. Vi skl også se på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien v et bestemt integrl når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t for oss en del ulike fysiske tolkninger v det bestemte integrl. Det er ikke lltid t definisjonsområdet til en funksjon er et lukket intervll og d må vi gjøre noen modifiksjoner mht. definisjonen v det bestemte integrlet. Det er heller ikke lltid t funksjonen vi skl integrere er begrenset, men vi kn likevel regne ut et rel under grfen. Dette vil involvere bruk v grenseverdier. 2. Ubestemt integrl Teorem 2.. Dersom F (x) og F 2 (x) begge er nti-deriverte til smme funksjon på et intervll (, b), så er de like på en konstnt nær. Bevis. Vi vet t dersom en funksjon f oppfyller f (x) = for lle x, så er funksjonen konstnt. Lr vi f(x) = F (x) F 2 (x) og bruker denne kunnskpen, så følger resulttet. Dette er grunnen til t vi lltid må legge til en integrsjonskonstnt når vi nti-deriverer. Definisjon 2.2. L f(x) være en funksjon. Fmilien v lle nti-deriverte til f(x) klles det ubestemte integrlet til f(x). L F (x) være en slik nti-derivert. D skriver vi f(x) dx = F (x) + C hvor C er en vilkårlig konstnt. 2.2 Bestemt integrl Definisjon 2.3. L y = f(x) være en positiv funksjon definert på et intervll [, b]. D er S = b f(x) dx definert som relet mellom x-ksen og grfen til f, og mellom linjene x = og x = b. Figur 6: Bestemt integrl tolket som rel. Mn kn vise t følgende generelle regneregler gjelder for bestemte integrl:

11 2.3 Fundmentlteoremet Lineritet: Additivitet: Degenerert rel: b (αf(x) + βg(x))dx = α c f(x)dx = b b f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx + β c b b f(x)dx g(x)dx De to siste er nokså opplgte ut i fr definisjonen, mens den første kn bevises ved et grenseverdirgument. I tillegg til disse tre definerer vi et bestemt integrl beregnet i motstt retning b f(x)dx = b f(x)dx For å beregne det bestemte integrlet til en vilkårlig funksjon (ikke kun positiv), deler vi opp intervllet i delintervller slik t funksjonen enten er positiv eller negtiv på delintervllene. For en negtiv funksjon g(x) < setter vi hvor g(x) nå er en positiv funksjon. 2.3 Fundmentlteoremet b g(x) dx = b ( g(x)) dx Teorem 2.4. L f(x) være en integrerbr funksjon på et intervll [, b], og l F (x) være en nti-derivert til f(x). D hr vi F (x) = d x f(t) dt = f(x) dx b f(x)dx = [F (x)] b := F (b) F () Merk: Dette er den mest fundmentle egenskpen for integrsjon vs. derivsjon og fktisk den egenskpen som er grunnlget for hele differensil- og integrlregningen. Figur 7: Fundmentlteoremet for differensil- og integrlregningen. Figuren illustrerer fundmentlteoremet, vi lr A(x) være relet under grfen fr x = og ut til en vilkårlig x. Den reltive tilveksten fr x til x + h er gitt ved A(x + h) A(x) h f(x) h h = f(x)

12 2.3 Fundmentlteoremet Den prktiske nytten v fundmentlteoremet er t vi kn beregne rel ved å nti-derivere funksjoner. Følgende spesielle integrsjonsregler gjelder for bestemte integrl: b b b b b x k dx = k + (bk+ k+ ) x dx = ln b e kx dx = k (ekb e k ) sin x dx = cos b + cos cos x dx = sin b sin I tillegg hr vi generelle integrsjonsteknikker, nlogt med dem vi hr for ubestemt integrsjon: Substitusjon: b hvor F (x) er en nti-derivert til f(x). Delvis integrsjon: b f(g(x))g (x)dx = F (g(b)) F (g()) f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b b f (x)g(x)dx I prksis vil utregning v et bestemt integrl foregå ved først å beregne et ubestemt integrl og deretter evluere svret i endepunktene til intervllet vi integrerer over. Eksempel 2.. Vi skl beregne det bestemte integrlet Vi bruker delvis integrsjon π π x cos x dx = [u v] π u = x u = x cos x dx = [x sin x] π Eksempel 2.2. Vi skl beregne det bestemte integrlet Vi bruker substitusjon 2 xe x2 dx = π u v dx v = cos x v = sin x π sin x dx = [x sin x + cos x] π = π sin π + cos π cos = 2 = 2 2 u = x 2 x=2 x= xe x2 dx 2 2 ex 2x dx du = 2x dx 2 eu du = [ 2 eu ] x=2 x= = [ 2 ex2 ] 2 = 2 (e4 )

13 2.4 Riemnnsummer 2 Vi kn bruke det bestemte integrlet til å beregne relet mellom to kurver y = f(x) og y = g(x), der f(x) g(x) på hele intervllet [, b]: b (f(x) g(x))dx = Arelet mellom f og g, og mellom x = og x = b Figur 8: Arelet mellom grfene til y = x 2 og y = x 3. Eksempel 2.3. Eksempel 2.4. (x 2 x 3 )dx = [ 3 x3 4 x4 ] = 3 4 = 2 (x 3 3 x 2 )dx = [ 4 x x 3 2 ] = = 2 Det er ikke tilfeldig t de to siste eksemplene gir smme svr. Hvorfor? 2.4 Riemnnsummer Vi skl se på en måte å beregne et rel og som også kn illustrere fundmentlteoremet. Vi tenker oss t vi deler opp intervllet [, b] i delintervller med delingspunkter = < <... < n = b og t vi velger ut et punkt x i i hvert delintervll, ltså x i [ i, i+ ]. D vil summen (som vi kller en Riemnnsum, etter mtemtikeren Bernhrd Riemnn) n f(x i )( i+ i ) i= være en god pproksimsjon til integrlet b f(x)dx. Vi kn fktisk i mnge tilfeller definere b n f(x)dx = lim f(x i )( i+ i ) n i=

14 2.4 Riemnnsummer 3 Figur 9: Riemnnsum. Vi skl i lle eksempler holde oss til uniforme oppdelinger, dvs. der i+ i = x er den smme for lle i. Vi sier t vi pproksimerer funksjonen ved hjelp v trppefunksjoner. Trppefunksjoner er funksjoner som er stykkvis konstnte og derfor ser litt ut som trppetrinn. Fordelen med å bruke trppefunksjoner er t det er enkelt å regne ut relet under grfen. Smtidig kn vi lge dem på en slik må t når vi gjør en finere og finere oppdeling, dvs. t trinnene blir flere og flere og smlere og smlere, så vil grenseverdien gi oss det relet vi egentlig vil beregne. Eksempel 2.5. Vi skl beregne x 2 dx ved hjelp v Riemnnsummer og bruke en oppdeling v enhetsintervllet [, ], med x = n : Vi skl beregne < n < 2 n < 3 n < < n n n f(x i ) x med x i som venstre endepunkt i delintervllene, dvs. x i = i n. Det gir sum i= < n n = ( n )2 n +( 2 n )2 n + ( 3 n )2 n + + (n n )2 n = n 3 ( n 2 ) = n(n + )(2n + ) n 3 6 = 2n3 + 3n 2 + n 6n 3 = 3 + 2n + 6n 2 3 dvs. x 2 dx = 3 som stemmer med resulttet vi får ved å bruke en mer vnlige formelen når n x 2 dx = [ 3 x3 ] = 3

15 2.5 Mellomspill: Archimedes beregning v volumet v en kule Mellomspill: Archimedes beregning v volumet v en kule Archimedes stilte opp et prktisk eksperiment for å beregne volumet v en kule. Metoden hns er en kløktig bruk v Riemnnsummer, presentert c. 2 år før Riemnn introduserte begrepet, kombinert med vektstngprinsippene Archimedes er kjent for. Figur : Illustrsjon v Archimedes oppsett for utregning v volumet v en kule. Dersom dette systemet er i blnse er dette nok til å beregne volumet v kul. Alle legemene nts å h tetthet lik. Sylinderen (til høyre) hr rdius og høyde lik, kul hr rdius 2, mens kjeglen også hr rdius og høyde lik. Tyngdepunktet til sylinderen hr rmlengde 2, dvs. et moment på π2 2. Armen på venstre side hr lengde og momentet er (V + 3 π2 ), der V er volumet v kul. Dersom systemet er i blnse gir dette V = 4 3 π( 2 )3, som er volumet v kul slik vi kjenner det. Så det gjenstår å vise t systemet er i blnse. Vi skl smmenlikne tynne skiver på de to figurene. L x. På høyre side hr vi en skive i vstnd x, som gir et moment på x π 2 dx. På venstre side er det litt mer regning. Kjeglen måler vi ovenifr, slik t skiv ved dybde x gir et moment på πx 2 dx. Kul deler vi også ovenfr, ved Pythgors blir rdius i skiv ( 2 )2 ( 2 x)2 = x x 2, dvs. et bidrg til momentet på π(x x 2 )dx. Dette gir oss blnse siden π 2 x dx = πx 2 dx + π(x x 2 )dx for lle x. 2.6 Trpesmetoden og Simpsons metode Vi skl gi to metoder for å gjøre en numerisk tilnærming v et bestemt integrl og som begge er vrinter v Riemnnnsum-teknikken. Den første er trpesmetoden (tilnærminger med trpeser). Vi deler intervllet i n like store deler = < <... < n = b og setter b f(x)dx = ( f( ) + f( ) + f( 2 ) +... f( n ) + f( n) ) x + E T 2 2 der E T er et restledd somrett og slett er definert som det som skl til for t likheten gjelder. Følgende resultt gjelder Teorem 2.5. Ant t f (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [, b] og hr mksverdi K. D er feilen E T i trpesmetoden begrenset ved K(b )3 E T 2n 2

16 2.6 Trpesmetoden og Simpsons metode 5 Det er et viktig poeng ved dette restleddet, siden nevneren i uttrykket er proporsjonlt med n 2, så vil en dobling v ntll punkter i tilnærmingen gi en feil som er rundt en fjerdedel. Tredobling v ntll punkter vil gi en feil som er rundt en ni-del osv. Det betyr t vi kn øke nøyktigheten drmtisk uten t vi øker ntll delingspunkter tilsvrende mye. Eksempel 2.6. Vi skl estimere integrlet 2 + x4 dx ved trpesmetoden med fire like store delintervller. Vi hr x = 2 4 =.5 og derfor x =, x =.5, x 2 =, x 3 =.5 og x 2 = 2. Det gir 2 + x dx = ( ).5 2 = ( ) Hvis vi øker ntll delingspunkter til 8 får vi verdien 3,67 og ved 6 får vi 3,66. Tilnærmingen er ltså reltivt god. En nnen metode klles Simpsons metode. Her må n være et prtll. I denne metoden bruker vi tilnærmingen b hvor feilen vi gjør er gitt ved et restledd E S. f(x)dx (f( ) + 4f( ) + 2f( 2 ) + 4f( 3 ) + 2f( 4 ) f( n 2 ) + 4f( n ) + f( n )) x 3 Teorem 2.6. Ant t f (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [, b] og hr mksverdi K. D er feilen E S i trpesmetoden begrenset ved K(b )5 E S 8n 4 En forskjell på Simpsons metode og trpesmetoden er t restleddet i Simpsons metode hr fjerde potens v n i nevneren, mot ndrepotens for trpesmetoden. Det betyr t vi ved å øke ntll delingspunkter får end større økning i nøyktigheten ved Simpsons metode enn ved trpesmetoden. Eksempel 2.7. Vi skl finne en tilnærmet verdi for e x2 dx med n delintervller ved Simpsons metode. Først med n = 2: Med n = 4: e x2 dx ( f(x ) + 4f(x ) + f(x 2 ) ) x 3 = ( e + 4e 4 + e ) 6 = e x2 dx ( f(x ) + 4f(x ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) ) x 3 = ( e + 4e 6 + 2e 4 + 4e e ) 2 = Restleddet sier i dette tilfellet, siden e x2 for lle x E S så llerede ved 4 delingspunkter hr vi 4 rette desimler. ( ) = 468.2

17 2.7 Uekte integrler Uekte integrler Bestemte integrl er definert for begrensede funksjoner over begrensede intervller. Imidlertid er det i mnge tilfeller mulig å definere bestemte integrler selv om vi hverken hr begrenset definisjons- område eller en begrenset funksjon. Begge deler defineres gjennom grenseverdier. Vi gir først den formelle definisjonen. Definisjon 2.7. Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f(x) når x dersom for lle vlg v ɛ >, så kn vi finne en δ > slik t dersom x < δ, så er f(x) L < ɛ. Vi skriver lim f(x) = L x Figur : Grenseverdi for en funksjon. For kontinuerlige funksjoner er det veldig lett å beregne grenseverdien. D hr vi lim x f(x) = f(). Litt nnerledes definisjon når = : Definisjon 2.8. Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f(x) når x dersom for lle vlg v ɛ >, så kn vi finne en M slik t dersom x > M, så er f(x) L < ɛ. Vi skriver lim f(x) = L x Vi hr gitt en funksjon f(x) definert over et ubegrenset område, f.eks. et hlvåpent intervll [, ). Vi definerer f(x) dx = lim b b f(x) dx under forutsetning v t grensen eksisterer. F.eks. kn vi integrere funksjonen +x over intervllet (, ). 2 ved å beregne b dx +x, for deretter å l h. 2 Figur 2: Arel under en grf med ubegrenset definisjonsområde.

18 2.7 Uekte integrler 7 Eksempel 2.8. Betrkt funksjonen f(x) = x s, s >, definert på intervllet [, ). D hr vi x s dx = lim b siden b s+ når b og s + <. Eksempel 2.9. = b x s dx = lim b s + (b s+ s+ ) s + s+ e x dx = lim b b e x dx = lim b ( e b + e ) = e siden e b når b. Det ndre lterntivet for uekte integrler er i de tilfellene der definisjonsområdet er begrenset, men funksjonen er ubegrenset, slik som i eksemplet under, der vi ser på funksjonen ex c x på intervllet (, c). Figur 3: Arel under grfen til en ubegrenset funksjon. I dette tilfellet beregner vi integrlet ved først å beregne b e x c x for så å l b c i svret. Eksempel 2.. Betrkt funksjonen f(x) = x s, < s <, definert på intervllet <, ]. D hr vi x s dx = lim = s + siden s+ når og s + >. x s dx = lim s + ( s+ s+ )

19 2.7 Uekte integrler 8 Oppgver til kpittel 2 Oppgve 2.. Regn ut de bestemte integrlene. ) 3 x2 dx b) 3 3 x2 dx c) 2 4x3 dx d) 2 2 4x3 dx Oppgve 2.2. Regn ut de bestemte integrlene. ) 2 (t + ) dt b) (x + )2 dx c) x 3 dx d) π (x + sin x)dx Oppgve 2.3. Regn ut de bestemte integrlene ) e 2 e b) 4 x (ln x) dx x + x dx c) 2π sin t sin (ωt) dt d) xe3x2 dx e) xe2x dx Oppgve 2.4. Finn relet vgrenset v grfen til f, x-ksen og den rette linj (x = ). ) f(x) = 5x og x = b) f(x) = 3x 2 og x = c) f(x) = sin x og x = π 2 Oppgve 2.5. Finn relet vgrenset v grfen til f, x-ksen og de to rette linjene. ) f(x) = x og x =, x = 4 b) f(x) = x + x og x =, x = 2 c) f(x) = x og x =, x = 3 2 Oppgve 2.6. Regn ut relet mellom de grfene, vgrenset v de to rette linjene. ) f(x) = x 3, g(x) = 3x 2 6 og x =, x = 2 b) f(x) = x 4, g(x) = 2x 2 og x =, x = c) f(x) = e x, g(x) = e x og x =, x = ln 2 d) f(x) = cos x, g(x) = sin x og x =, x = π 4 e) f(x) = x 2, g(x) = x + 2 og x =, x = 2 Oppgve 2.7. Regn ut relet mellom grfene til f og g, vgrenset v de to rette linjene. ) f(x) = 9 x 2, g(x) = x 2 + og x = 2, x = 2

20 2.7 Uekte integrler 9 b) f(x) = 4 + x, g(x) = 2 + 4x og x =, x = 2 c) f(x) = 2 x, g(x) = e x og x =, x = ln 2 Oppgve 2.8. Regn ut relet v området mellom kurvene y = x 2 + x + og y = 2x 2 + 4x + 7 mellom skjæringspunktene for de to kurvene. Oppgve 2.9. Estimer integrlet ved å bruke trpesmetoden, med like store delintervller og det oppgitte ntllet delintervller. ) e x dx, og n = 4 b) 2 +x dx, og n = 6 2 c) x2 dx, og n = d) +x dx, og n = 8 2 Oppgve 2.. Finn en tilnærmet verdi for integrlet 2 x dx ved Simpsons metode, først med n = 2, deretter n = 4, og så n = 8. Smmenlikn svret med ln 2. Hvordn endrer restleddet seg? Oppgve 2.. ) Gi et estimt for integrlet 4 x4 9x x 2 7x dx ved å bruke trpesmetoden og Simpsons metode med x =. b) Beregn integrlet 4 x4 9x x 2 7x dx ekskt. Oppgve 2.2. Finn en tilnærmet verdi for integrlet +x dx ved Simpsons metode, først med n = 2, 2 deretter n = 4 Oppgve 2.3. Regn ut de uekte integrlene ) e x dx b) c) x dx x 2 dx d) 2 x 5 dx Oppgve 2.4. Regn ut de uekte integrlene ) e x dx b) x 3 dx c) d) 3 x 2 (x 3 +) 2 dx (x 2) 3 dx Oppgve 2.5. Beregn følgende uekte integrler: ) (ln x)2 dx b) 4 x dx

21 2 3 Approksimering Det er ikke lltid mulig å finne en nti-derivert til en funksjon, dvs. en nti-derivert finnes lltid, men den trenger ikke være gitt ved en enkel funksjon. En metode til å håndtere slike funksjoner er å tilnærme dem med kjente og mer nvendelige funksjoner. Det vnligste er å bruke polynomer eller hrmoniske funksjoner. Vi skl se på hvordn vi kn gjøre dette med polynomer. En første tilnærming er å pproksimere funksjonen med en lineær funksjon, men det blir litt snevert. Vi må tillte polynomer v høyere grd. 3. Tylorpolynom Hvis vi kjenner verdien v en kontinuerlig og deriverbr funksjon og dens deriverte i et punkt, så kn vi nslå verdien til funksjonen i nærliggende punkter. Eller i en mer prktisk setting: Hvis vi er ute og går, så vil posisjon og frt på ett tidspunkt si mye om hvor vi kommer til å være et pr sekunder senere, men hvis ikke bevegelsen er rettlinjet med konstnt frt, kn vi si lite om hvor vi vil være minuter senere. Posisjon og frt i ett punkt vil bestemme en lineær funksjon som beskriver en bevegelse, som i et kort tidsrom likner vår bevegelse. Tilsvrende kn vi gjøre for en funksjon y = f(x). Vi velger ut et punkt og beregner den deriverte til f i dette punktet, f (). Disse dtene gir opphv til en lineær funksjon L(x) = f() + f (x )(x ) som klles den lineære pproksimsjonen til f i. Grfen til den lineære pproksimsjonen tngerer funksjonen i punktet (, f()). Figur 4: Tngentlinj i et punkt på grfen. Eksempel 3.. L f(x) = sin x. D hr vi t f() = og f () = cos =. Den lineære pproksimsjonen v sinus i er gitt ved funksjonen y = x. Neste skritt er å prøve å finne polynomer som ikke bre hr smme verdi og derivert som sin x i x =, men også smme ndre-derivert (ltså smme krumning), tredje-derivert, osv. Definisjon 3.. L f være en n gnger deriverbr funksjon i punktet x =. Et polynom T f (x) som er slik t T f () = f() og som i tillegg oppfyller T (j) f () = f (j) () j =, 2,..., n klles Tylor-polynomet v grd n for funksjonen f. Tylor-polynom er oppklt etter sin opphvsmnn, den engelske mtemtikeren Brook Tylor (685-73). Tylor g en formel for å beregne Tylorpolynomet til en funksjon.

22 3.2 Restleddsestimter 2 Figur 5: Brook Tylor (685-73) Teorem 3.2. L f være en n gnger deriverbr funksjon i punktet x =. Tylorpolynomet til f v grd n er gitt ved T f (x) =f() + f ()(x ) + f () 2! + + f (k) () k! (x ) 2 + f (3) () (x ) 3 3! (x ) k + + f (n) () (x ) n n! Bevis. Det er lett å forvisse seg om t T f (x) og f() hr smme verdi og smme (høyere) deriverte i punktet x =. Eksempel 3.2. Vi skl finne Tylorpolynomet til f(x) = + x = ( + x) 2 hr f() = og videre v grd 3 i punktet x =. Vi f (x) = 2 ( + x) 2 f () = 2 f (x) = ( 2 ) 2 ( + x) 3 2 f () = ( 2 ) 2 = 4 f (3) (x) = ( 3 2 )( 2 ) 2 ( + x) 5 2 f (3) () = ( 3 2 )( 2 ) 2 = 3 8 Dette gir T f (x) = + 2 x 2! 4 x2 + 3! 3 8 x3 = + 2 x 8 x2 + 6 x3 3.2 Restleddsestimter Målet med Tylorpolynomene er å pproksimere en gitt funksjon ved enklere funksjoner, i vårt tilfelle med polynomer. Jo høyere grd vi går til, jo bedre tilnærming får vi. Spørsmålet er hvor stor feil vi gjør når vi ersttter funksjonen med et Tylorpolynom. Svret ligger i følgende teorem: Teorem 3.3. L f være n + gnger deriverbr i et intervll som inneholder x =. L T f (x) være Tylorpolynomet til f v grd n. D hr vi for en c mellom og x. E n = f(x) T f (x) = f (n+) (c) (x )n+ (n + )!

23 3.2 Restleddsestimter 22 Eksempel 3.3. Funksjonen i forrige eksempel, f(x) = x + hr fjerde-derivert og feilestimtet blir som for eksempel for x = 3 2 gir E 4 5. Setter vi inn for x = 3 2 i T f (x) får vi og vi slutter t, 48 f( 3 2 ), 88. f (4) (x) = ( 5 2 )( 3 2 )( 2 ) 2 ( + x) 7 2 E 4 = 5 28 ( + c) 7 2 x siden størst mulig verdi for ( + c) 7 2 når c 3 2 er T f ( 3 2 ) = (3 2 )2 + 6 (3 2 )3 = 25, Eksempel 3.4. Vi skl se på Tylorpolynomet til f(x) = e x. I dette tilfellet er f (n) (x) = e x for lle n, og vi hr f (n) () = e =. Setter vi dette inn i formelen får vi Tylorpolynom med restledd for en c x. Dette betyr T exp (x) = + x + 2 x2 + 3! x3 + + n! xn E n (x) = f n+ (c)x n+ (n + )! E n (x) = f n+ (c)x n+ = ec x n+ (n + )! (n + )! ex x n+ (n + )! når n for lle vlg v x. Det betyr t vi ved å t med mnge nok ledd i Tylorpolynomet kn få restleddet så lite vi måtte ønske. Figur 6: Grfen til Tylorpolynomet til f(x) = sin x v forskjellig grd. Eksempel 3.5. L f(x) = sin x. Vi hr lle de deriverte gitt ved f (4k+) (x) = cos x f (4k+2) (x) = sin x f (4k+3) (x) = cos x f (4k) (x) = sin x og derfor f (2k) () =, og f (2k+) () = ( ) k. Det gir Tylorpolynom T sin (x) = x 3! x3 + 5! x5 7! x7 + + ( ) k (2k + )! x2k+ I dette eksempelet hr vi E 2k+ når k.

24 3.3 Følger 23 Eksempel 3.6. Tilsvrende som for sin x får vi for cos x Tylorpolynom Vi hr også her t E 2k når k. 3.3 Følger T cos (x) = 2! x2 + 4! x4 6! x6 + + ( ) k (2k)! x2k Vi hr sett t vi kn tilnærme funksjoner med polynomer v ulik og voksende grd, og generelt vil det være slik t jo høyere grd, jo bedre tilnærming. Det betyr t vi vil h bruk for å gå til en grense, dvs. vi må kunne håndtere uendelig stor grd. Til å hjelpe oss med det skl vi bruke begrepet konvergente tllfølger. Definisjon 3.4. En tllfølge { n } er en funksjon som til et hvert nturlig tll (indeksen n) tilordner et reellt tll n. Alterntivt kn vi skrive tllfølgene:, 2, Definisjon 3.5. En tllfølge { n } sies å konvergere mot en grense L dersom for lle ɛ >, så finnes en N slik t dersom n > N så er L n < ɛ. Vi skriver En følge som ikke konvergerer divergerer. lim n = L n Eksempel 3.7. Følgen.3,.33,.333,... konvergerer mot 3, mens følgene, 2, 3, 4, 5,... og,,,,,,... begge divergerer, den første fordi den vokser over lle grenser, mens den ndre lternerer mellom to ulike verdier. For den første følgen hr vi t dersom < ɛ < p, så vil vviket mellom 3 og n være mindre enn ɛ dersom n p. 3.4 Rekker Gitt en tllfølge { n }. For hver n hr vi en delsum S n = n = Lr vi n får vi en uendelig rekke S = = i= mo. vi hr følgende definisjon v en uendelig rekke; Definisjon 3.6. L, 2,... være reelle tll. Den uendelige tllfølgen S =, S 2 = + 2, S 3 = ,..., klles en uendelig rekke. n i= i i

25 3.5 Rekker som funksjoner 24 Eksempel 3.8. Noen rekker er spesielt pene og hr fått egne nvn. Geometrisk rekke, f.eks ( 2 )2 + ( 2 ) Hrmoniske rekke Alternerende hrmonisk rekke Det er problemtisk å legge smmen uendelig mnge ledd. Hver delsum v rekk er et helt ok tll, men hele den uendelige rekk er formelt bre en rekke og ikke noe tll. Dersom vi kn tilordne en grenseverdi til følgen v delsummer, sier vi t dette er summen v de uendelig mnge leddene (men det er formelt sett ikke det!). Formliseringen v spørsmålet om rekk hr en sum eller ikke ligger i den følgende definisjonen. Definisjon 3.7. Vi sier t en uendelig rekke S = lim n S n = = konvergerer dersom følgen v delsummer {S n } går mot en grenseverdi. I motstt fll sier vi t rekk divergerer. Vi hr + k + k 2 + k 3 + = for k < k som gir konvergens v geometriske rekker for k <, mens vi hr divergens for k. Den hrmoniske rekk divergerer, mens den lternerende hrmonisk rekk konvergerer. 3.5 Rekker som funksjoner = ln 2 Vi kn betrkte en geometrisk rekke som en funksjon i fktoren vi multipliserer med + x + x 2 + x 3 + = x i= i for x < Dersom vi deriverer rekk ledd for ledd, vil den fortstt konvergere for x <. Dette gir + 2x + 3x 2 + 4x 3 + = Vi kn integrere ledd for ledd og få en nnen likhet x 2 x2 + 3 x3 4 x = = x x ( x) 2 for x < ( t + t 2 t ) dt + t dx = [ln ( + t)] x = ln ( + x) ln = ln ( + x) Innsetting v x = gir formelen for summen v den lternerende hrmoniske rekk = ln 2

26 3.6 Konvergenskriterier* 25 Eksempel 3.9. Vi kn skrive lle reelle tll som summer v rsjonle tll (og dermed gi en presis definisjon v uendelige desimltll). L x =, være desimlutviklingen til et reellt tll. Det betyr t som er grenseverdien for de vkuttede desimltllene. x = = + k k Eksempel 3.. Vi minner om rekkeutvikling for eksponensilfunksjonen og for de trigonometriske funksjonene k= e x = + x + 2! x2 + 3! x3 + 4! x sin x = x 3! x3 + 5! x5 7! x cos x = 2! x2 + 4! x4 6! x Setter vi inn den imginære størrelsen ix for x i rekkeutviklingen for e x, får vi e ix = + ix + 2! (ix)2 + 3! (ix)3 + 4! (ix)4 + 5! (ix) = + ix 2! x2 3! ix3 + 4! x4 + 5! ix = ( 2! x2 + 4! x4... ) + i(x 3! x3 + 5! x5... ) = cos x + i sin x dvs. vi hr den velkjente formelen e ix = cos x + i sin x 3.6 Konvergenskriterier* Merk t dersom en rekke n konvergerer, så vil n når n. Det mest grunnleggende resulttet om konvergens er det som klles smmenlikningskriteriet, Teorem 3.8. Dersom vi for et positivt tll c hr n cb n for lle n, så vil konvergens v b n medføre konvergens v n. Motstt, så vil divergens v n medføre divergens v b n. cos nω 2 n 2 n og den geometriske rekk 2 n konver- Eksempel 3.. Rekk cos nω 2 konvergerer siden n gerer. Eksempel 3.2. Betrkt rekk gitt ved Siden 2 n n 2 2n, så vil n= n= 2 n n 2 n n 2 Den største rekk konvergerer og d vil også den mindre rekk konvergere, men vi kn ikke regne ut grenseverdien. Rekk ser for øvrig slik ut n= Teorem 3.9. L n, b n > for lle n og nt t n= 2 n 2 n n = n lim = n b n D konvergerer n hvis og bre hvis b n konvergerer.

27 3.6 Konvergenskriterier* 26 Teorem 3.. L n være en uendelig rekke v positive ledd slik t n n+ L når n Dersom L < vil rekk konvergere, for L > vil den divergere og for L = kn denne testen ikke si noe om konvergens eller divergens. Eksempel 3.3. Betrkt rekk n 2 6n+. Siden vi hr lim n n 2 6n+ n 2 så vil de to rekkene n 2 6m+ og n 2 = lim n n 2 n 2 6n + = lim n 6 n + n 2 = enten begge konvergere eller divergere. Teorem 3.. L f(x) være en positiv, vtgende funksjon, definert for lle x. For lle n lr vi s n = n f(k) og t n = k= n f(x) dx D vil de to følgene {s n } og {t n } begge konvergere eller begge divergere. Eksempel 3.4. De to rekkene n 2 6n+ og n vil enten begge konvergere eller begge divergere. Videre 2 hr vi t n n s n = k 2 og t n = x 2 dx også begge enten konvergerer eller begge divergerer. Men integrlet kn vi regne ut, t n = n k= x 2 dx = [ x ]n = n når n, så begge rekkene konvergerer og derfor konvergerer også n 2 6n+. Eksempel 3.5. Ved å se på det bestemte integrlet som et rel er det lett å se t k+ k x dx < k Derfor vil den hrmoniske rekk divergere siden den er større enn en divergent rekke, n+ x dx = n k+ k= k x dx < (Den venstre rekk er divergent siden integrlet er lik ln (n + ) som går mot når n.) Det viktigste resulttet for ltererende rekker er Leibniz konvergenskriterium Teorem 3.2. L { n } være en følge v positive tll, slik t n > n+ og n når n. D konvergerer den lternerende rekken ( ) n n. Den lternerende hrmoniske rekk konvergerer siden k når k. Et nnet eksempel på en konvergent lternerende rekke er ( ) k 2k+. Også her vil det generelle leddet gå mot. Vi hr i dette tilfelle en vkker formel (som vi ikke skl bevise), k= n k= k ( ) k 2k + = = π 2 L n og b n være konvergente rekker og l α, β være vilkårlige reelle tll. D konvergerer også (α n + βb n ) og vi hr (αn + βb n ) = α n + β b n

28 3.6 Konvergenskriterier* 27 Merk t summen v en konvergent og en divergent rekke lltid er divergent, mens summen v to divergente rekker kn være enten konvergent eller divergent. Oppgver til kpittel 3 Oppgve 3.. Regn ut Tylorpolynomet v grd 3 til f(x) = x+ om x =. Oppgve 3.2. Regn ut Tylorpolynomet v grd 3 til f(x) = x om x =. Oppgve 3.3. Regn ut Tylorpolynomet v grd 4 til f(x) = sin 2 x om x =. Oppgve 3.4. ) Regn ut Tylorpolynomet v grd 3 til f(x) = x 3 + 2x + om x =. b) Regn ut Tylorpolynomet v grd 3 til f(x) = x 3 + 2x + om x =. Oppgve 3.5. ) Regn ut Tylorpolynomet v grd 2 til f(x) = ln (x + ) om x = og finn restleddet. Gjør et estimt på hvor stort (lite) restleddet er når x. b) Gjør oppgve ), men ersttt grd 2 med grd 3. Oppgve 3.6. Regn ut følgende Tylorpolynom ) For f(x) = x, om x = og med n = 4. b) For f(x) = +x 2, om x = og med n = 4. Oppgve 3.7. Regn ut Tylorpolynomet til g(x) = x om x = og med n ledd. Finn et uttrykk for restleddet og vgjør for hvilke x restleddet går mot når n. Oppgve 3.8. En normlfordeling er beskrevet v funksjonen f(x) = e x2. Middelverdien er µ = og stndrdvviket er σ = 2. Det er velkjent t vi i dette tilfellet hr π 2 e x 2 2 dx =.6827 Bruk Tylorpolynomet til e x v grd 4 til å godtgjøre dette resulttet. (Ersttt x med x 2, integrer ledd for ledd og beregn det bestemte integrlet.) Oppgve 3.9. Avgjør om hver følge { n } konvergerer eller divergerer. Finn grenseverdien dersom den eksisterer. ) n = 2 + ( 3 5 )n b) n = ( 3 5 )n c) n = 2 + ( ) n Oppgve 3.. De gmle bbylonerne hdde en metode for å beregne kvdrtrøtter. De vlgte en strtverdi x >, nær det de forventet t T vr og definerte x n = 2 ( xn + T x n ) Så regnet de ut x, x 2,... inntil x n x n, og dermed vr T x n. Vis t x n T når n. Oppgve 3.. Finn de fire første leddene i hver rekke n= n og regn ut delsummen S 3 = 3 n= n. ) n = 3 n

29 3.6 Konvergenskriterier* 28 b) n = n+2 n+ Oppgve 3.2. Skriv opp hver rekke ved hjelp v summetegn ) b) c) Oppgve 3.3. Finn summen v de geometriske rekkene ) b) Oppgve 3.4. I en geometrisk rekke med positive ledd er det ndre leddet lik 3 4 og det fjerde lik 3. Finn summen v rekk. Oppgve 3.5. Vi hr gitt x ved en rekke og dnner 3x: Summerer vi rekkene får vi x = x = x + 3x = = som gir x = 4. Det stemmer åpenbrt ikke. Hvor ligger feilen? Oppgve 3.6. Vis t likhetene gjelder for lle x ved å t utgngspunkt i kjente Tylorrekker: ) e 2x = 2x + 2x x x4... b) x 2 e x = x 2 x x4 3! x c) sin (2x) = 2x 23 3! x ! x5... Oppgve 3.7. Bruk rekkeutviklingen til +x til å vise t (x + ) 3 = 3x + 6x2 x Oppgve 3.8. (*) Bruk integrltesten til å vgjøre om hver rekke konvergerer eller divergerer. ) n= n n 2 + b) n= n+ n 2 c) n= n 2 + d) n= ln n n Oppgve 3.9. (*) Avgjør om de lternerende rekkene konvergerer eller divergerer. ) ( ) n+ n= n+2 b) ( ) n+ n= n 3 + c) n= ( )n n n 2 +3 d) ln n n= ( )n n Oppgve 3.2. (*)

30 3.6 Konvergenskriterier* 29 ) Vis t rekk konvergerer. n= n(n + ) b) Prøv å regne ut summen v rekk. (Hint: Bruk delbrøkoppsplting.) Oppgve 3.2. (*) Undersøk om rekk konvergerer eller divergerer

31 3 4 Løsning v differensillikninger Vi hr sett t vi kn bruke rekkeutviklinger v funksjoner til å gjøre estimter for funksjonsverdier. F.eks. gir rekkeutviklingen for cosinus og sinus oss mulighet til, med så stor nøyktighet vi måtte ønske, å beregne verdien v disse funksjonene i et vilkårlig punkt. Og det fine er t det kn vi gjøre, bre ved bruk v de fire regneopersjonene. I dette kpitlet skl vi se på en nnen bruk v rekkeutvikling, nemlig til å løse differensillikninger. Vi skl t for oss to eksempler, først en diff.likning vi kn løse ekskt, dernest en vi ikke klrer å løse ekskt med våre tilgjengelige metoder. I begge tilfeller skl vi ngripe likningene på flere forskjellige måter, bl.. ved å bruke rekkeutvikling. Løsning v likningen y + y = e x. Vi betrkter likningen y + y = e x y() = Vi setter inn i formelen for løsning v slike likninger; y = e R dx (e x )e R dx dx = e x (e x )e x dx = e x ( e x ) dx = xe x + Ce x Setter vi inn for initilbetingelsen får vi = y() = + C, dvs. C = 2, og den spesielle løsningen blir y = xe x + 2e x Nå skl vi bruke en lineær pproksimsjon v løsningen (uten t vi bruker den eksplisitte formen for løsningen) til å regne ut verdien v løsningen i nærheten v. Vi strter i et punkt (x, y ) på løsningskurven, dvs. vi ntr t y = f(x ) er en løsning v likningen. Vi skl regne ut verdien f(x) for en x i nærheten v x. Vi deler intervllet [x, x ] i m deler og beregner tilnærmede y-verdier y, y 2,..., y m = y ved lineær pproksimsjon i hvert delintervll [x n, x n+ ] ved formelen y n+ = y n + y (x n )(x n+ x n ) Dette gir en en god tilnærming når x n+ x n er liten. I vårt tilfelle gir den opprinnelige likningen t y (x n ) = e xn y n, så vi får formelen y n+ = y n + (e xn y n )(x n+ x n ) L oss si t vi er interessert i å beregne y(). Vi deler opp intervllet [, ] i små deler og bruker lineær pproksimsjon i hvert lille delintervll. Grunnen til t vi velger er t initilverdien forteller oss t y() =, så vi hr et utgngspunkt. I første forsøk lr vi ntll deler være og lle delintervllene like store. Det gir x =, x =, x 2 = 2,..., x 9 = 9, x = Bruker vi formelen y n+ = y n + (e xn y n )(x n+ x n ), n =,,..., og t (x, y ) = (, ) får vi y = + ( ) =.9 y 2 =.9 + (e 9 ).8 y 3 =...

32 3 og etter litt regning y().943. I ndre forsøk lr vi ntll deler være, fortstt like store. Det gir og x =, x =, x 2 = 2,..., x 99 = 99, x = y = + ( ) =.99 y 2 = 99 + (e 99 ).98 y 3 =... Denne gngen blir svret y().27. En end finere oppdeling, i deler, gir oss y().35, så det kn virke som om vi begynner å nærme oss en rett verdi. I dette tilfellet hr vi den ekskte verdien gitt, ved y() = e + 2 e = 3 e.36 Så lineær pproksimsjon med oppdeling i like store delintervller gir oss en feil på mindre enn,. Neste innfllsvinkel er å løse differensillikningen vi rekkeutvikling. Likningen er fortstt Vi ersttter e x = ( ) n n= n! x n og får y + y = e x y() = y ( ) n + y = ( x n ) n! n= Så lr vi y = n x n, hvor vi ikke kjenner n, men vi skl prøve å regne dem ut. Deriverer vi y ledd for ledd får vi y = n n x n og stt inn i formelen n n x n + n x n ( ) n = ( x n ) n! n= Nå kn vi smmenlikne koeffisientene forn like potenser v x i dette uttrykket. Det gir n= n= + = = = = = 6... Siden vi vet t y() = = kn vi beregne lle n. Vi får =, =, 2 =, 3 = 6, 4 = 2, 5 = 4, 6 = 8... Dette gir oss et Tylorpolynom v grd 6 for løsningen gitt ved T (x) = x + 6 x3 2 x4 + 4 x5 8 x6

33 32 Igjen kn vi regne ut verdien for x = ; som betyr en feil på mindre enn,. y() T () = = 36 = Løsning v likningen y y 2 =. Vi ser så på likningen y y 2 = y() = Her hr vi ikke noen ekskt løsning å støtte oss på. Vi skl likevel bruke en lineær pproksimsjon v løsningen til å regne ut verdien v løsningen i nærheten v. Vi strter i et punkt (x, y ) på løsningskurven, dvs. vi ntr t y = f(x ) er en løsning v likningen. Lineær pproksimsjon bserer seg fortstt på formelen y n+ = y n + y (x n )(x n+ x n ) som er en god tilnærming når x n+ x n er liten. I vårt tilfelle er y (x n ) = (y n ) 2 +, så vi får formelen y n+ = y n + ((y n ) 2 + )(x n+ x n ) Igjen er vi interessert i å beregne y(). Vi deler opp veien mellom og i små deler og bruker lineær pproksimsjon i hvert lille delintervll. Som i forrige eksempel er utgngspunktet initilverdien y() =. I første forsøk lr vi ntll deler være og lle delintervllene like store. Det gir Bruker vi formelen og t (x, y ) = (, ) får vi x =, x =, x 2 = 2,..., x 9 = 9, x = y n+ = y n + ((y n ) 2 + )(x n+ x n ) y = + ( 2 + ) =. y 2 =. + (. 2 + ) =.2 y 3 =... og etter litt regning y() I ndre forsøk lr vi ntll deler være, fortstt like store. Det gir og x =, x =, x 2 = 2,..., x 99 = 99, x = y = + ( 2 + ) =. y 2 =. + (. 2 + ).2 y 3 =... Denne gngen blir svret y().537. En end finere oppdeling, i deler, gir oss y().5553, og nok en gng kn det virke som om vi begynner å nærme oss en rett verdi.

34 33 Vi skl løse differensillikningen vi rekkeutvikling. Likningen er ltså gitt ved y y 2 = y() = Vi lr y = n x n, hvor vi ikke kjenner n, men vi skl prøve å regne dem ut. Dette gir y = n n x n og n n x n ( n x n ) ( n x n ) = n= n= n= Vi smmenlikner koeffisienter forn like grder v x og får 2 = = = =... Siden vi vet t y() = = kn vi beregne lle n. =, =, 2 =, 3 = 3, 4 =, 5 = 2 5, 6 = 7 = 7 35, 8 =, 9 = , =, = ,... Dette gir oss et Tylorpolynom v grd for løsningen gitt ved som gir T (x) = x + 3 x x x x x y() T () = Ved å smmenlikne svrene fr de to metodene ser vi t,55 er en meget god tilnærming. Oppgver til kpittel 4 Oppgve 4.. Vi hr gitt en differensillikning y = y + y() = ) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved rekkeutviklingsmetoden. Bruk n = 3 b) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved lineær interpolsjon med 5 like store delintervller. c) Finn en ekskt løsning v likningen og smmenlikn svrene. Oppgve 4.2. Vi hr gitt en differensillikning y = 2xy y() = ) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved rekkeutviklingsmetoden. Bruk n = 4 b) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved lineær interpolsjon med like store delintervller. c) Finn en ekskt løsning ved å seprere vrible og smmenlikn svrene.

35 34 Oppgve 4.3. Vi hr gitt en differensillikning y = y 2 + x y() = ) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved rekkeutviklingsmetoden. Bruk n = 4 b) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved lineær interpolsjon med like store delintervller. Oppgve 4.4. Vi hr gitt en differensillikning y y = x y() = ) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved rekkeutviklingsmetoden. Bruk n = 6 og husk t x = + x + x 2 + x for x <. b) Finn en tilnærmet løsning for y( 2 ) ved lineær interpolsjon med like store delintervller. Oppgve 4.5. Vi hr gitt en differensillikning ( x)y = 2y y y() =, y () = Finn en tilnærmet løsning for y( 3 ) ved rekkeutviklingsmetoden. Bruk n = 6.

36 35 5 Funksjoner i flere vrible Vi er ferdig med en-vribel-teorien, og vi kn begynne å jobbe med funksjoner i flere vrible. Det første vi skl gjøre er å gå gjennom de smme nlysene vi gjør for funksjoner i en vribel, og se hvordn dette ser ut når vi hr flere vrible. Hovedfokus er introduksjon v prtiell derivsjon. Det skl vi bruke til å finne mksimums- og minimumspunkter og å definere kritiske punkter. I tillegg skl vi se hvordn vi kn generlisere ndre-derivert-testen for funksjoner i en vribel til funksjoner i to vrible, gjennom det som klles Hesse-mtrisen. 5. Noen definisjoner og eksempler Definisjon 5.. En vbildning f : R n R klles en funksjon i n vrible og vi skriver y = f(x,..., x n ). Eksempel 5.. Funksjonen f(x, x 2 ) = x 3 + x x 2 2x 2 2 er en funksjon i to vrible. Eksempel 5.2. Funksjonen T (x, x 2, x 3 ) som til hvert punkt i rommet tilordner temperturen i punktet er en funksjon i tre vrible. Merk t i tilfellene hvor vi hr 2 eller 3 vrible, så bruker vi ofte x, y eller x, y, z som nvn på vriblene. Er det flere bruker vi x, x 2,..., x n. Grfen til en funksjon f i n vrible er gitt ved punktmengden {(x,..., x n, f(x,..., x n )) R n+ }. Grfen til en funksjon i to vrible vil som oftest være en flte. Funksjoner i flere vrible Grf Eksempel 5.3. Et utsnitt v grfen til funksjonen z = y 6 sin x. Figur 7: z = y 6 sin x 5.2 Nivåmengder En måte å beskrive funksjoner i flere vrible er ved å se på funksjonens nivåkurver. Nivåkurvene til en flte er kurver lngs hvilke funksjonen er konstnt.

37 5.2 Nivåmengder 36![h] Figur 8: Høydekurver Definisjon 5.2. En nivåmengde for en funksjon y = f(x,..., x n ) = f(x) for et reelt tll c er delmengden v R n gitt ved {(x) f(x) = c}. Nivåmengdene klles nivåkurver når n = 2 og nivåflter når n = 3. Eksempel 5.4. L (x, y) være et punkt på krtet og l f(x, y) måle høyden over hvet i dette punktet. Høydekurvene på krtet er nivåkurver for denne funksjonen. Eksempel 5.5. Vi skl beskrive nivåkurvene til f(x, y) = cos (2x) y 2. Vi setter f(x, y) = cos (2x) y 2 = C, dvs. cos (2x) = y 2 + C. For vrierende x vil cos (2x) lltid ligge mellom - og, og y 2 = cos (2x) C må derfor ligge mellom C og C. Siden y 2 følger det t nivåkurvene forsvinner for C <, dvs. for C >. Dersom den minste verdien, C >, ltså C <, så kn vi for lle verdier v x finne to verdier v y slik t cos (2x) y 2 = C. Dermed gjenstår intervllet c. I dette området kn vi løse cos (2x) y 2 = C mhp y for bre noen verdier v x. Dette forklrer de sirkulære nivåkurvene kontr de utstrukne. Figur 9: Nivåkurver for f(x, y) = cos (2x) y 2.

38 5.3 Prtiell derivsjon Prtiell derivsjon Vi kn generlisere begrepet derivsjon til funksjoner i flere vrible. Definisjon 5.3. L y = f(x,..., x n ) være en funksjon i n vrible. Den i-te prtiellderiverte v f er gitt ved f f(x,..., x i, x i + x, x i+,..., x n ) f(x,..., x n ) = lim x i x x dvs. t vi lr lle x j, j i opptre som konstnter og deriverer mhp x i. Eksempel 5.6. L f(x, y) = cos (2x) y 2. D hr vi Vi kn forndre litt på eksempelet f = 2 sin (2x) x f y = 2y Eksempel 5.7. L f(x, y) = cos (2x) y 2 + xy. D hr vi f = 2 sin (2x) + y x f y = 2y + x Nå kn vi l x =, og se på funksjonen g(y) = f(, y) = y 2. Den deriverte v denne funksjonen er g (y) = 2y. Dette er det smme som vi får ved å sette inn x = i f y. Tilsvrende kn vi se på h(x) = f(x, ) = cos (2x) + x. Den deriverte v denne er h (x) = 2 sin (2x) +, som er det smme som den prtiellderiverte v f med hensyn på x, innstt y =. Eksempel 5.8. L f(x, y) = cos (xy). D hr vi f f = sin (xy) y x Nå kn vi fortsette å derivere, det gir oss 4 muligheter Vi observerer t de to i midten er like. Tilfeldighet? y = sin (xy) x f = cos (xy) y2 x x f = cos (xy) xy sin (xy) y x f = cos (xy) xy sin (xy) x y f = cos (xy) x2 y y f y x = f x y Definisjon 5.4. Vi skl bruke notsjonen = cos (xy) xy sin (xy) 2 f = f x i x j x i x j og hvis x i = x j = x; 2 f x x = 2 f x 2

39 5.4 Lokle ekstremlpunkter 38 Teorem 5.5. Kryssderivsjon er uvhengig v rekkefølge: 2 f x i x j = 2 f x j x i Bevis. Følger nokså direkte ved å bruke definisjonen v de prtiellderiverte. Eksempel 5.9. L f(x, y) = x 3 + xy y 2. D hr vi Høyere ordens deriverte f x = 3x2 + y 2 f x 2 = 6x 2 f x y = f y = x 2y 2 f y 2 = Lokle ekstremlpunkter Vi strter med den lokle teorien, dvs. t vi nlyserer funksjonenes lokle egenskper. Lokle egenskper til en funksjon er egenskper som måles i punkter og små omegner om dem. Vi skl gjøre teorien for funksjoner i to vrible, men det er ikke noe forskjell å jobbe med flere vrible. Definisjon 5.6. Det er to typer lokle ekstremlpunkter: i) z = f(x, y) hr et loklt minimumspunkt i (, b) dersom f(, b) er mindre enn eller lik f(x, y) for lle (x, y) i nærheten v (, b). ii) z = f(x, y) hr et loklt mksimumspunkt i (, b) dersom f(, b) er større enn eller lik f(x, y) for lle (x, y) i nærheten v (, b). Merk t vi bruker smme notsjon for et punkt (, b) og et åpent intervll (, b). Det vil lltid frmgå v smmenhengen hvilken som gjelder. Eksempel 5.. Funksjonen f(x, y) = x 2 +y 2 hr et loklt minimum i (, ) siden f(, ) = og x 2 +y 2 > når x og y ikke begge er. Funksjonen hr ikke noen lokle mksimum siden funksjonsverdien vokser over lle grenser når vi beveger oss vekk fr origo. Eksempel 5.. Funksjonen z = g(x, y) = sin (π x 2 + y 2 ) hr et loklt minimum i (, ) og lokle mksimum i x 2 + y 2 = 4 (pluss mnge flere som vi ikke ser på figuren). Dette følger siden g(, ) = og Figur 2: z = sin (π x 2 + y 2 ) g(x, y) = sin (π x 2 + y 2 ) > i nærheten v origo. På sirkelen x 2 + y 2 = 2 hr vi t z = sin (π 4 ) = sin π 4 =, som opplgt er en mksimumsverdi for en sinus-funksjon.

40 5.5 Kritiske punkter Kritiske punkter Definisjon 5.7. Et punkt (x, y) = (, b) klles et kritisk punkt for f(x,..., x n ) dersom de prtielt deriverte i punktet ikke eksisterer eller er. Eksempel 5.2. Vi kn derivere funksjonen f(x, y) = sin (π x 2 + y 2 ) og får f x = cos (π x 2 + y 2 πx ) x2 + y 2 f y = cos (π x 2 + y 2 πy ) x2 + y 2 Det er lett å se t begge de prtiellderiverte er når x 2 + y 2 = 2, mens det ikke er fullt så enkelt å se t de blir når x = y =. Men det gjør de og vi hr kritiske punkter både for de (x, y) som oppfyller x2 + y 2 = 2 og for (x, y) = (, ). Ofte er det smmenfll mellom ekstremlpunkter og kritiske punkter, men ikke lltid. Teorem 5.8. Dersom f(x, y) hr et loklt mksimum eller loklt minimum i (, b), så er (, b) et kritisk punkt. I motsetning til en-vribel-klkulus kn vi her oppleve et blndet tilfelle: Eksempel 5.3. Vi ser på grfen til funksjonen z = f(x, y) = x 2 y 2. Punktet (, ) er et kritisk punkt. Det er et minimumspunkt dersom vi beveger oss gjennom det lngs med x-ksen, og et mksimumspunkt lngs med y-ksen. Figur 2: Et sdelpunkt Slike punkter klles sdelpunkt, oppklt etter sdelen på en hesterygg. Et sdelpunkt er et kritisk punkt på grfen til f som hverken er et loklt minimumspunkt eller et loklt mksimumspunkt. Det gir oss tre forskjellige typer kritiske punkter for en funksjon f(x, y), lokle minimum, lokle mksimum og sdelpunkter. For å finne ut hv slgs punkt vi hr med å gjøre skl vi se på de ndrederiverte til funksjonen i det ktuelle punktet. For et punkt (, b) lr vi H(, b) betegne uttrykket den såklte Hesse-determinnten. H(, b) = 2 f x 2 (, b) 2 f y 2 (, b) ( 2 f x y (, b)) 2 Teorem 5.9. L f(x, y) være en funksjon i to vrible. D hr vi Dersom H(, b) > og 2 f x 2 (, b) >, så er (, b) et loklt minimumspunkt. Dersom H(, b) > og 2 f x 2 (, b) <, så er (, b) et loklt mksimumspunkt.

41 5.6 Vrme- og bølgelikningene 4 Dersom H(, b) <, så er (, b) et sdelpunkt. Dersom H(, b) = sier ikke denne testen oss noe. Eksempel 5.4. Fr forrige eksempel hdde vi funksjonen f(x, y) = x 2 y 2, med et kritisk punkt for x = y =. I dette punktet hr vi H(, ) = 2 ( 2) 2 = 4 <, som bekrefter t det kritiske punktet er et sdelpunkt. Eksempel 5.5. Se på funksjonen f(x, y) = x 3 y 2 + xy. Vi setter de prtiellderiverte 3x 2 + y og 2y + x til å være lik, noe som gir oss kritiske punkter (, ) og ( 6, 2 ). Vi regner ut H(x, y) = 6x ( 2) 2 = 2x Dette gir H(, ) = og H( 6, 2 ) =. Smtidig hr vi 2 f x ( 2 6, 2 ) = <. Det betyr t (, ) er et sdelpunkt og ( 6, 2 ) er et loklt mksimum. 5.6 Vrme- og bølgelikningene Prtielle differensillikninger er differensillikninger der det inngår prtiellderiverte. Vi skl t med to eksempler på slike likninger, mest for å vise krften i denne teorien som grunnlg for å modellere fysiske prosesser. Eksempel 5.6. Vrmelikningen er en differensillikning som beskriver hvordn vrme (energi) forplnter seg gjennom et legeme. I det -dimensjonle tilfellet beskriver den hvordn vrme forplnter seg gjennom en tynn metllstv, når vi vrmer opp den ene enden. Vi lr stven befinne seg på x-ksen, med det ene endepunktet i origo og det ndre i x =. Så vrmer vi opp origo-enden og ser hv som skjer. Vi betegner med u(x, t) temperturen i punktet x på stven på tidspunktet t og α betegner den såklte vrmediffusiviteten D hr vi differensillikningen u t = u α( 2 x 2 ) Venstresiden uttrykker endring v temperturen på et gitt sted over tid. Høyresiden forteller noe om hvordn temperturen er fordelt over stven. Positiv dobbeltderivert betyr t hvis vi plukker ut tre punkter på stven, hvor det midterste ligger midt mellom de to ndre, så er temperturen i det midterste punktet lvere enn gjennomsnittet v de to ytterste. I denne situsjonen vil også venstresiden være positiv, og temperturen i det midterste punktet vil øke. Likningen er i prinsippet er svært vnskelig å løse, men vi kn illustrerer hv som skjer over tid: Til å begynne med er den ene enden vrm og den ndre kld. Etter hvert vil vrmen strømme fr den vrme til den klde enden slik likningen beskriver. Til slutt vil temerturen i stven være jevnt fordelt over det hele.

42 5.7 Minste kvdrters metode 4 Eksempel 5.7. Den -dimensjonle bølgelikningen er gitt ved 2 u t 2 = c2 2 u x 2 der u(x, t) betegner bølgeutslget i posisjonen x ved tiden t, og c er en konstnt. Likningen hr mnge forskjellige løsninger, vhengig v hv som er utgngspunktet. F.eks. ser vi t funksjonen u(x, t) = sin (x + ct) oppfyller 2 u t 2 = c2 sin (x + ct) 2 u = sin (x + ct) x2 og derfor er en løsning. Denne funksjonen beskriver en hrmonisk svingning som beveger seg i en retning. 5.7 Minste kvdrters metode Forventet levelder for nyfødte jentebrn i Norge hr utviklet seg slik de siste årene: ,53 8,52 8,93 82,33 82,52 82,66 82,66 82,95 Vi skl bruke det som klles minste kvdrters metode til å finne en formel som beskriver disse tllene. Vi lr x være år og y være forventet levelder. Hypotesen vår er t det er en lineær smmenheng mellom disse, dvs. y = x + b. Vi indekserer de 8 dtprene fr til 8, slik t f.eks. (x 3, y 3 ) = (23, 8.93). For hvert pr beregner vi vviket fr den nttte rette linj, gitt ved x i + b y i. Disse vvikene kvdrerer vi og summerer over =, 2,..., 8. Dernest skl vi finne de koeffisientene og b slik t denne kvdrtsummen blir minst mulig, derv nvnet minste kvdrters metode. For å gjøre regningene litt enklere bruker vi år,2,3 osv. i stedet for 2, 22, 23, osv. Kvdrtsummen blir 8 (x i + b y i ) 2 = 2 i= 8 x 2 i + 2b i= 2 8 x i + i= 8 x i y i 2b i= 8 i= 8 y i + Vi setter inn verdiene og får det kvdrtiske vviket som en funksjon i og b gitt ved i= b 2 8 i= Q(, b) = b + 8b b Vi skl finne de verdiene v og b som gir oss minimum for denne funksjonen. Vi prtiellderiverer med hensyn på og b og setter uttrykkene lik, Q = b 594 = Q = b 36 = b y 2 i som gir løsning =, 226 og b = 8, 23 og forventet levelder som en funksjon v årstll blir Smmenlikner vi med de oppgitte tllene får vi y =, 226(x 2) + 8, 23 =, 226x 37, ,53 8,52 8,93 82,33 82,52 82,66 82,66 82,95 8,46 8,68 8,9 82,3 82,36 82,59 82,8 83,4

43 5.7 Minste kvdrters metode 42 Figur 22: Utvikling v levelder Vi kn sette inn x = 866 som er Sttistisk Sentrlbyrås (SSB) første registrering. Det gir forventet levelder y = 5, 95, mens SSB oppgir 5,65 som gjennomsnitt for perioden Vår lineære tilnærming ser ltså ut til å stemme godt. I den motstte tidsretning ser vi t y = gir x = 283, så med smme utvikling som vi hr htt de siste 5 år vil jentebrn født i 283 h en forventet levelder på år. Gjør vi den smme nlysen i en generell setting, uten å sette inn verdiene fr dtmterilet, får vi løsninger for og b; som kn brukes i lle eksempler. = n n i= x iy i n i= x n i i= y i n n i= x2 i ( n i= x i) 2 n i= b = y i n i= x i n Eksempel 5.8. Gitt følgende dt for korresponderende høyde og vekt for jentebrn i lderen 5- år. Vi skl finne en best mulig lineær smmenheng. x y Vi regner ut x i = 998, y i = 97.9, x 2 i = og x i y i = Setter vi x i = 998, yi = 97.9, x 2 i = og x i y i = inn i formelen får vi og = n n i= x iy i n i= x i n i= y i = b = n n i= x2 i ( n i= x i) (998) = n i= y i n i= x i n = Det gir oss en lineær smmenheng y =.4424x 3.5 for dtene. For hver centimeter jentene i denne ldersgruppen vokser i høyden, så blir de i gjennomsnitt 442,4 grm tyngre.

44 5.7 Minste kvdrters metode 43 Oppgver til kpittel 5 Oppgve 5.. Skisser noen nivåkurver for de oppgitte funksjonene over rektngelet [ 2, 2] [ 2, 2]. Forsøk også å tegne grfen. ) f(x, y) = x + 2 b) f(x, y) = 9 x 2 y 2 c) f(x, y) = y 2 x 2 Oppgve 5.2. Skisser noen nivåkurver for de oppgitte funksjonene over rektngelet [, ] [, ]. ) f(x, y) = e xy b) f(x, y) = sin 2 (πx) + cos 2 (πy) Oppgve 5.3. Lg en skisse v nivåkurvene til Cobb-Dougls produksjonsfunksjon f(x, y) = x 3 y 2 3 Oppgve 5.4. Skisser noen nivåkurver for funksjonen f(x, y) = x y (, ]. over det hlvåpne rektngelet [, ] Oppgve 5.5. Regn ut lle prtiellderiverte for funksjonene ) f(x, y) = x 2 + y 3 b) f(x, y) = x + sin x + c) f(x, y) = x 2 y 2 + xy Oppgve 5.6. Regn ut lle prtiellderiverte for funksjonene ) f(x, y) = x sin y + y sin x b) f(x, y) = e xy c) f(x, y) = x y y Oppgve 5.7. Regn ut lle prtiellderiverte for funksjonene ) f(x, y, z) = xy + yz + zx b) f(x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 2 x2 x 3 c) f(x, x 2,..., x n ) = x 2 + x x 2 n Oppgve 5.8. Finn de dobbeltderiverte v funksjonene og regn ut H(x, y). ) f(x, y) = x 2 + y 3 b) f(x, y) = xy c) f(x, y) = x sin y + y sin x Oppgve 5.9. Finn de dobbeltderiverte v funksjonene og regn ut H(x, y). ) fx, y) = e x+y b) f(x, y) = sin (xy) Oppgve 5.. Finn de kritiske punktene til funksjonene ) f(x, y) = xy b) f(x, y) = x 3 3xy 2

45 5.7 Minste kvdrters metode 44 c) f(x, y) = x x 2 Oppgve 5.. Finn de kritiske punktene til funksjonene ) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy ) f(x, y) = e 2x+3y (8x 2 6xy + 3y 2 ) ) f(x, y) = (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2 ) Oppgve 5.2. Vis t blnt lle rektngler med et gitt rel, så hr kvdrtet den minste omkretsen. Oppgve 5.3. Gitt S >. Vis t blnt lle tll x og y slik t x + y = S, så er summen x 2 + y 2 minst når x = y. Oppgve 5.4. Dersom et firm produserer x rtikler v en bestemt vre vil de kunne selge lle til en pris p = 5, 5x, x 8. Produksjonskostnden ved å produsere x rtikler er C(x) = 5 + x. Fortjenesten blir d f(x) = (5, 5x)x (5 + x). ) Hvor stor fortjeneste kn firmet h med disse rmmene? Ant nå t to firmer produserer smme vre til smme pris og konkurerer om de smme kundene. Vi ntr t de to firmene produserer henholdsvis x og y rtikler. Fortjenesten til firm er gitt ved f (x, y) = (5, 5(x + y))x (5 + x) og for firm 2 f 2 (x, y) = (5, 5(x + y))y (5 + y) b) Ant t begge fimene mksimerer sin fortjeneste. Hvor stor er den mksimle fortjeneste for hvert firm nå? c) Dersom firmene opptrer som en enhet utd og bre deler fortjenesten, hvor mye ville de d kunne tjene? Kommenter forskjellen på svrene i b) og c). Oppgve 5.5. Et rektngel hr hjørner (, ), (, y), (x, ) og (x, y). Vis t forholdet mellom kvdrtet v omkretsen og relet tr sin største verdi når x = y. Hvor stor er denne verdien? Smmenlikn også svrene med forholdet mellom kvdrtet v omkretsen og relet v en sirkel. Oppgve 5.6. En rettvinklet treknt hr hjørner (, ), (, y) og (x, ). Vis t forholdet mellom kvdrtet v omkretsen og relet tr sin største verdi når x = y. Hvor stor er denne verdien? Smmenlikn svret med svret i forrige oppgve. Oppgve 5.7. Vi ntr t folkemengden N = N(t) i Norge vokser eksponensielt, etter formelen N(t) = Be t der og B er konstnter og t er tiden. I vårt eksempel regner vi tiden i år og t. jnur 9 er. Vi skl se på logritmen til denne funksjonen, gitt ved ln (N) = ln (B) + t Antkelsen om t veksten er eksponensiell gir t ln (N) vokser lineært med tiden. Følgende tll for befolkningsmengden er observert: t x = t N y = ln (N) der befolkningstllene er i hele millioner. ( x = 49, x 2 = 37, y = 9.9, xy = 66.2) Bruk minste kvdrters metode til å finne en lineær smmenheng mellom tllene i ndre og fjerde rd og bruk dette til å finne en formel for befolkningsstørrelsen. Når vil vi med denne modellen pssere 5 millioner?

46 5.7 Minste kvdrters metode 45 Oppgve 5.8. Et firm hr de første 9 årene etter oppstrt htt omsetning slik det er beskrevet i tbellen: t z hvor omsetningen er i hele millioner. Bruk minste kvdrters metode til å finne en lineær smmenheng mellom omsetningen og t og bruk dette til å finne en formel for omsetningen. Hv sier modellen om omsetningen i år?

47 46 6 Vektorklkulus Vektorfelt er funksjoner i flere vrible der funksjonsverdiene er vektorer. Eksempel på et vektorfelt er funksjonen som til et hvert punkt i tmosfæren tilordner vindstyrke og -retning. Retningen på vektoren er vindretningen og lengden v vektoren er vindstyrken. Et nnet eksempel på et vektorfelt er retningsdigrmmet til en differensillikning, der vi til et hvert punkt i plnet tilordner vektoren (, y ). 6. Vektorfelt Vi hr tidligere definert hv vi mener med fuksjoner i flere vrible. Vi kn generlisere denne definisjonen til det som klles vektorfelt. Definisjon 6.. En funksjon for to nturlige tll n, m klles et vektorfelt. F : R n R m Eksempel 6.. Hvis vi setter n = m = 3 er et vektorfelt en funksjon som til hvert punkt i rommet tilordner en vektor i rommet. F.eks. vil en funksjon som i hvert punkt i tmosfæren ngir vindretning (vektorens retning) og vindstyrke (lengden til vektoren) være et vektorfelt, mo et felt v vektorer. Figur 23: Vindfelt i tmosfæren Eksempel 6.2. Et mgnetfelt kn beskrives v som et vektorfelt. Til et punkt i plnet tilordner vi en vektor som ngir mgnetfeltets retning i dette punktet. Vi kn illustrere mgnetfeltet ved å bruke jernfilspon oppå en glsplte med en mgnet rett under. Sponet vil d tegne opp feltlinjene. Figur 24: Et plnt mgnetfelt

48 6.2 Grdient 47 Eksempel 6.3. L F (x, y) = (sin y, sin x) være et vektorfelt i plnet. Vi kn illustrere feltet ved å tegne et pssende utvlg v vektorer: Figur 25: F (x, y) = (sin y, sin x) Vi hr F (, ) = som svrer til den lysestedelen v digrmmet. Lngs x-ksen vil pilene peke rett opp siden F (x, ) = (, sin x), og lngs y-ksen vil pilene være horisontle. Eksempel 6.4. Vektorfeltet F (x, y) = ( y, x) i plnet kn illustreres slik: Figur 26: Et spirlformet vektorfelt Feltet blir spirlformet med økende legnde på pilene etter hvert som vi beveger oss bort fr origo. 6.2 Grdient Hvis vi hr gitt en funksjon i flere vrible kn vi deriverefunksjonen og få et vektorfelt. Denne deriverte klles grdienten til funksjonen: Definisjon 6.2. L f(x,..., x n ) være en funksjon i n vrible. Grdienten til f er gitt ved f = ( f x,..., f x n ) Eksempel 6.5. Funksjonen f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 hr grdient f = (2x, 2y, 2z), som vi kller et rdilfelt siden pilene peker rett utover eller rett innover. Teorem 6.3. L y = f(x,..., x n ) være en funksjon i n vrible. D vil f være en vektor som peker i retningen hvor f vokser mest, dvs grdienten står normlt på nivåmengdene.

49 6.3 Konservtive felt 48 Bevis. L γ : R R n være en kurve som er helt inneholdt i en nivåmengde for f, dvs. f(γ(t)) = C for lle t. L F (t) = f(γ(t)) være den smmenstte funksjonen. Generliseringen v kjerneregelen gir t F (t) = f(γ(t)) γ (t) hvor produktet er vnlig sklrprodukt mellom vektorer. Siden F (t) = C er konstnt vil dette sklrproduktet være, som er det smme som t de to vektorene står normlt på hverndre. Men γ(t) ligger helt inne i nivåmengden, og dens deriverte vil derfor være tngent til nivåmengden. Men når grdienten står normlt på lle tngenter, står den normlt på hele mengden. Så grdienten står normlt på nivåmengdene. Funksjonen er konstnt lngs nivåmengdene og den retningen som gir størst endring er den retningen som er lengst fr å ligge i nivåkurvene, nemlig normlt på. Eksempel 6.6. Grdienten til funksjonen f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 er f = (2x, 2y, 2z), mens nivåfltene er kuleskll gitt ved x 2 + y 2 + z 2 = C. Det stemmer godt med t f = 2(x, y, z) står normlt på kuleskllene. Eksempel 6.7. L f(x, y, z) = xyz. D er f = (yz, xz, xy). 6.3 Konservtive felt Vi hr til en funksjon f i flere vrible tilordnet et vektorfelt f, som vi tenker på som en generlisering v derivsjon. Et nturlig spørsmål å stille i en slik smmenheng er om vi hr noe vi kn klle nti-derivsjon. Problem 6.4. Gitt et vektorfelt F : R m R n. Kn vi finne en funksjon f : R m R slik t F = f? Definisjon 6.5. Et vektorfelt F som er slik t det finnes f slik t F = f klles et konservtivt vektorfelt, og funksjonen f klles et potensil for F. Teorem 6.6. L F (x, y) = (p(x, y), q(x, y)) være en funksjon fr R 2 inn i R 2. En nødvndig betingelse for t vektorfeltet er konservtivt er t p y = q x Bevis. Et konservtivt felt hr et potensilt slik t F = f = ( f x, f y p y q x = 2 f x y 2 f y x = ) = (p, q) og Merk. Selv om denne betingelsen er oppfyllt er det ikke sikkert t vektorfeltet hr et potensil. F.eks. er betingelsen oppfyllt for F (x, y) = ( y x x 2 +y, ( 2 x 2 +y ) (utenfor origo), men det finnnes ikke noe potensil. 2 Eksempel 6.8. Vi hr gitt et vektorfelt F(x, y) = (2xy 4, 4x 2 y 3 ) Vi skl teste om vektorfeltet kn h et potensil og gjør derivsjonstesten y (2xy4 ) = 8xy 3 x (4x2 y 3 ) = 8xy 3 Det gikk br, og det er dermed gode muligheter for t det finnes et potensil f = f(x, y). Vi må i så fll h f x = 2xy4 f x = 4x2 y 3 Integrerer vi 2xy 4 med hensyn på x får vi x 2 y 4 +g(y), der g(y) er en funksjon kun i y og som går på når vi deriverer med hensyn på x. Det enkleste er nå å derivere denne funksjonen med hensyn på y og smmenlikne med uttrykket over. y (x2 y 4 + g(y)) = 4x 2 y 3 + g (y) Siden dette skl være lik 4x 2 y 3 slutter vi t g (y) = eller t g(y) = K, en konstnt. Et generelt potensil er derfor gitt ved f(x, y) = x 2 y 4 + K

50 6.4 Integrlkurver i plne vektorfelt 49 Eksempel 6.9. Vi hr gitt et vektorfelt F(x, y) = (3x 2 6xy, 3x 2 + 3y 2 ) Vi skl prøve å finne et potensil for F. Vi gjør derivsjonstesten y (3x2 6xy) = 6x x ( 3x2 + 3y 2 ) = 6x Det gikk br, og det er dermed gode muligheter for t det finnes et potensil f(x, y) slik t F = f. Vi må i så fll h f x = f 3x2 6xy x = 3x2 + 3y 2 Integrerer vi 3x 2 6xy med hensyn på x får vi x 3 3x 2 y + g(y), der g(y) er en funksjon kun i y og som går på når vi deriverer med hensyn på x. Det enkleste er nå å derivere denne funksjonen med hensyn på y og smmenlikne med uttrykket over. y (x3 3x 2 y + g(y))) = 3x 2 + g (y) Siden dette skl være lik 3x 2 + 3y 2 slutter vi t g (y) = y 3 + K hvor K er en integrsjonskonstnt. Et generelt potensil er derfor gitt ved f(x, y) = y 3 3x 2 y + y 3 + K Eksempel 6.. Tyngdefeltet på jordoverflten er grdienten til funksjonen f(x, y, z) = C x2 + y 2 + z 2 der vi hr lgt origo i jords sentrum. Vi hr f = ( Cx Cy Cz ),, (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) Integrlkurver i plne vektorfelt I plnet ser definisjonen v et vektorfelt slik ut Definisjon 6.7. L f (x, y) og f 2 (x, y) være funksjoner i to vrible definert på et område R i xy-plnet. Et plnt vektorfelt F : R 2 R 2 er gitt ved F(x, y) = (f (x, y), f 2 (x, y)) Retningsdigrmmet til en funksjon y = f(x) er et eksempel på et vektorfelt i plnet. Vi kn uttrykke tngentene til grfen til f ved vektorene (, f (x)). Dette gir oss et vektorfelt ved å sette f (x, y) = og f 2 (x, y) = f (x)). Nå vet vi t funksjonene y = f(x) + C gir oss lle løsningskurvene til dette vektorfeltet. Dette kn vi generlisere. Vi tenker oss t vi hr gitt et vektorfelt F : R 2 R 2. Denne funksjonen tilordner til et hvert punkt i plnet en vektor. Et nturlig spørsmål vi kn stille er om det finnes en pln kurve som følger dette vektorfeltet, ltså om det finnes det vi hr klt en løsningskurve eller integrlkurve. Definisjon 6.8. L F(x, y) = (f (x, y), f 2 (x, y)) være et vektorfelt i plnet. Vi sier t en funksjon y = g(x) er en integrlkurve for vektorfeltet dersom (, g (x)) er prllell med F(x, y) i lle punkter på grfen til y = g(x). Dette betyr spesielt t i lle punkter på grfen til y = g(x) må vi h t g (x)) = f2(x,y) f (x,y). Dette er generelt vnskelig å få til, så vi må begrense problemet litt for å komme noe videre. Men først et pr eksempler:

51 6.4 Integrlkurver i plne vektorfelt 5 Eksempel 6.. Betrkt vektorfeltet F(x, y) = (y, x). D vil funksjonen y = g(x) = R 2 x 2 gi oss en integrlkurve for lle vlg v R. Det følger siden g (x) = 2x 2 R 2 x = x 2 y Kvdrerer vi begge sider i uttrykket y = R 2 x 2, får vi x 2 + y 2 = R 2, dvs. en sirkel. Eksempel 6.2. Dersom vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = ( x, y) ser vi t funksjonen y = g(x) = C x gir oss en integrlkurve for lle vlg v konstnten C. Det følger siden (, g (x)) = (, C x 2 ) = x ( x, C x ) = ( x, y) x som er prllell med F(x, y). Integrlkurvene i dette tilfellet er en hyperbel xy = C. Vi legger inn et lite mellomspill om vektorer her. Lemm 6.9. Gitt en vektor v = (v, v 2 ) i plnet. D vil vektoren v = ( v 2, v ) stå normlt på v, vi skriver. v v =. Figur 27: Vektorer som står normlt på hverndre Eksempel 6.3. Vektorene v = (, 2) og v = ( 2, ) står normlt på hverndre siden v v = (, 2) ( 2, ) = Gitt en kurve, f.eks. løsningsmengden til g(x, y) = x 2 y + y + =. Denne kurven er en nivåkurve for funksjonen g(x, y) = x 2 y + y + for g(x, y) =. Grdienten til kurven peker i hvert punkt på kurven i en retning som står vinkelrett på tngenten til kurven. I vårt tilfelle er grdienten gitt ved g(x, y) = (2xy, x 2 + ) Siden grdienten står normlt på kurven kn vi finne tngenter til kurven ved å se på vektorer som står normlt på grdientvektorene. g(x, y) = (x 2 +, 2xy) Dette vektorfeltet er et tngentfelt til kurven, dvs. i hvert punkt på kurven gir feltet oss en tngentvektor. Nå kn vi gjøre denne prosessen i motstt rekefølge. Ant t vi hr gitt et vektorfelt F og vi ønsker å finne en funksjon f(x, y) som er slik t løsningskurvene f(x, y) = følger feltet F. I følge resonnementet over vil F stå normlt på løsningskurven og spørsmålet blir om dette feltet hr et potensil. I så fll vil potensilfunksjonen løse vårt problem. Eksempel 6.4. Et vektorfelt er gitt ved F(x, y) = ( y, x) Vi skl prøve å finne en kurve som følger dette vektorfeltet, dvs. som i hvert punkt på kurven hr tngent som er prllell med vektorfeltet. I tillegg vil vi t kurven skl gå gjennom punktet (, ). Vi begynner med å konstruere et vektorfelt som står normlt på det gitte vektorfeltet, nemlig F (x, y) = (x, y) Det er lett å se t dette vektorfeltet er grdienten til funksjonen f(x, y) = 2 (x2 + y 2 ). Siden vår kurve skulle gå gjennom punktet (, ) så er det nivåkurven til f gitt ved f(x, y) = 2 (x2 + y 2 ) = 2 vi er ute etter, mo en sirkel i plnet.

52 6.5 Sirkulsjon 5 Eksempel 6.5. Et eksempel til. Nå hr vi gitt vektorfeltet F(x, y) = ( y, 2x) Vi skl prøve å finne en kurve som som i hvert punkt hr en tngent som er prllell med vektorfeltet. I tillegg vil vi t kurven skl gå gjennom punktet (, ). Vi begynner med å konstruere et vektorfelt som står normlt på det gitte vektorfeltet, nemlig F (x, y) = (2x, y ) Vi kn vise t dette vektorfeltet er grdienten til funksjonen f(x, y) = x 2 + ln (y). Siden vår kurve skulle gå gjennom punktet (, ) så er det nivåkurven til f gitt ved f(x, y) = x 2 + ln (y) = vi er ute etter, mo grfen til ln (y) = x 2 eller y = e x Sirkulsjon Vi hr tidligere sett t når vi hr gitt et vektorfelt F = (P, Q) kn vi bruke en derivert-test for å vgjøre om feltet er konservtivt, dvs. om det kn skrives som en grdient v en funksjon i flere vrible. Testen smmenlikner de prtiellderiverte Q x og og konklusjonen er t likhet er en nødvendig betingelse for t feltet er konservtivt. Det betyr t differnsen Q x P y hr en lkmus-rolle i å vgjøre om et felt er konservtivt. Uttrykket er så viktig t det hr fått et eget nvn, vi kller det sirkulsjonen til feltet Definisjon 6.. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et plnt vektorfelt. Vi definerer sirkulsjonen til F, curl(f) ved curl(f) = Q x P y Sirkulsjonen er en funksjon curl(f) : R 2 R. Vi skl etter hvert se på hvorfor vi kller dette for sirkulsjon. Vi skl først regne ut sirkulsjonen til noen vektorfelt: Eksempel 6.6. L F(x, y) = (x, y) være et rdilt vektorfelt. D er sirkulsjonen til F P y curl(f) = x y y x = så feltet er konservtivt, gitt ved F = f, der f(x, y) = x 2 + y 2 + C. Eksempel 6.7. L F(x, y) = ( y, x) være et sirkulært vektorfelt. D er sirkulsjonen til F dvs. t sirkulsjonen er konstnt i hele plnet. curl(f) = x x y ( y) = 2 Eksempel 6.8. Et konstnt vektorfelt F(x, y) = (, b) hr selvfølgelig ikke noen sirkulsjon, siden curl(f) = x y b = Feltet er grdienten til funksjonen f(x, y) = x + by + C, dvs. en lineær funksjon.

53 6.5 Sirkulsjon 52 Eksempel 6.9. Selv et vektorfelt der lle pilene peker smme vei kn h sirkulsjon. L F(x, y) = (y, ) være et vektorfelt der lle pilene peker i x-retning. Sirkulsjonen til F er gitt ved curl(f) = x y y = Grunnen til t vi får en ikke-null sirkulsjon i dette eksempelet er t størrelsen på feltet øker når vi beveger oss på tvers v x-ksen. En måte å visulisere sirkulsjon er som følger. Vi tenker oss t vi fyller hele plnet med mennesker som beveger seg med vektorfeltet. Det betyr t de i et hvert punkt beveger seg i den retningen som feltet foreskriver og med en hstighet gitt ved lengden v vektoren i punktet. For eksempel vil feltet F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) i punktet (, b) h retning (P (, b), Q(, b)) og størrelse P (, b) 2 + Q(, b) 2. For å måle sirkulsjonen i feltet i punktet (, b) plsserer vi en stolpe i punktet. Stolpen må bli værende i punktet, men skl kunne rotere fritt om sin egen kse. Når folkemssen beveger seg med feltet vil sirkulsjonen i stolpen presis beskrive sirkulsjonen i feltet. I det ene eksempelet over så vi t feltet F(x, y) = (y, ) hr sirkulsjon curl(f) = selv om hele køen går i smme retning, lngs x-ksen. Imidlertid går de fortere og fortere jo lenger ut fr x-ksen vi kommer. Det betyr t en stolpe som er pssert i folkemssen blir skubbet mer på den ene enn den ndre siden, og derfor vil rotere. Det er den smme effekten i eksemplet med det sirkulære vektorfeltet F(x, y) = ( y, x). Det er ltså ikke det t feltet er sirkulært som skper sirkulsjonen, men det er det t størrelsen på feltet øker når vi flytter oss på tvers v feltretningene. I det rdile feltet F(x, y) = (x, y) vil også størrelsen på feltet øke når vi beveger oss vekk fr origo, men feltet er konstnt i størrelse på tvers v feltretningene, og d blir sirkulsjonen borte. Eksempel 6.2. Vi skl regne ut sirkulsjonen til retningsdigrmmet til funksjonen y = g(x). Retningsdigrmmet er i hvert punkt gitt som et vektorfelt G(x, y) = (, g (x)). Sirkulsjonen blir d curl(g) = x g (x) y = g (x) Det betyr t sirkulsjonen i dette tilfellet måles v smme uttrykk som måler funksjonenes krumning. Vi kn gi en romlig versjon v begrepet sirkulsjon. I det tilfellet vil sirkulsjonen være et nytt vektorfelt. Definisjon 6.. L F(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) være et vektorfelt i rommet. Vi definerer sirkulsjonen til F, curl(f) ved curl(f) = ( R y Q z, P z R x, Q x P ) y Betrkt nå et vektorfelt i plnet, gitt ved t R(x, y, z) = og slik t P og Q er konstnte mht. z. Alle vektorene i feltet er prllelle med xy-plnet, og for gitte verdier v x og y er vektorene de smme for lle vlg v z. Dette er det nærmeste vi kommer en romlig versjon v et plnt vektorfelt, og vi hr curl(f) = (,, Q x P ) y Mo. er sirkulsjonen til et plnt vektorfelt gitt ved en retning ut v plnet og i den retningen er størrelsen på feltet lik med definisjonen v sirkulsjon for et plnt vektorfelt. De to definisjonene er dermed konsistente, men vi skl i våre eksempler holde oss til den plne versjonen. Oppgver til kpittel 6 Oppgve 6.. Regn ut grdienten til funksjonene ) f(x, y) = x 2 + y 2 sin (xy) b) f(x, y) = e x cos (y) c) f(x, y) = x 2 y 3

54 6.5 Sirkulsjon 53 Oppgve 6.2. Regn ut grdienten til funksjonene ) f(x, y, z) = x 2 + y 2 sin (xy) + xyz b) f(x, y, z, w) = e xz (cos (y) + sin (w)) c) f(x, x 2,..., x n ) = x 2 + x x 2 n Oppgve 6.3. Avgjør om vektorfeltet er konservtivt og finn i så fll et potensil. ) F(x, y) = (3x 2 y 2 +, 2x 3 y + ) b) F(x, y) = (3x 2 e y, 2x 3 e y ) c) F(x, y) = (y cos (xy), x cos (xy)) Oppgve 6.4. Avgjør om vektorfeltet hr et potensil, og finn i så fll dette. ) F(x, y) = (ye xy, xe xy ) b) F(x, y) = (sin x, cos x) Oppgve 6.5. Avgjør om vektorfeltet er konservtivt og finn i så fll et potensil. ) F(x, y) = (x, y) b) F(x, y) = (3x 2 y, x 3 ) c) F(x, y) = (2xe y + y, x 2 e y x 2y) Oppgve 6.6. Vis t et konstnt vektorfelt er konservtivt. Finn et potensil for et konstnt vektorfelt. Oppgve 6.7. Hvilke v prene v vektorer står normlt på hverndre? ) (, ) og (, ) b) (, 2) og (2, ) c) (2, 3) og ( 3, 2) Oppgve 6.8. Hvilke v prene v vektorfelt står normlt på hverndre? ) (x, y 2) og (2 y, x) b) (x, y) og (y, x) c) (x 2 x, xy) og (y, x) Oppgve 6.9. Et vektorfelt er gitt ved F(x, y) = (, ). ) Vis t vektorfeltet F hr et potensil. b) Finn et potensil for F. c) Finn en kurve som går gjennom punktet (2, 2) og slik t tngenten til kurven i hvert punkt på kurven er prllell med vektorfeltet F. Oppgve 6.. Et vektorfelt er gitt ved F(x, y) = (, 2x). ) Vis t vektorfeltet F hr et potensil. b) Finn et potensil for F. c) Finn en kurve som går gjennom punktet (, ) og slik t tngenten til kurven i hvert punkt på kurven er prllell med vektorfeltet F. Oppgve 6.. Et vektorfelt er gitt ved F(x, y) = ( x 2, 2xy + 2). ) Vis t vektorfeltet F hr et potensil.

55 6.5 Sirkulsjon 54 b) Finn et potensil for F. c) Finn en kurve som går gjennom punktet (, ) og slik t tngenten til kurven i hvert punkt på kurven er prllell med vektorfeltet F. Oppgve 6.2. Beregn sirkulsjonen for vektorfeltene. ) F(x, y) = (x 2 y, xy 3 ) b) F(x, y) = (x, x 2 ) c) F(x, y) = (y 2, x 2 ) Oppgve 6.3. ) Beregn sirkulsjonen til vektorfeltet F(x, y) = (x 2 y 3, x 3 y 2 ). b) Finn de kritiske punktene til sirkulsjonen og vgjør hvor den hr sin minste verdi. Oppgve 6.4. Beregn sirkulsjonen for vektorfeltene. ) F(x, y) = (3x 2 y 2 +, 2x 3 y + ) b) F(x, y) = (3x 2 e y, 2x 3 e y ) c) F(x, y) = (y cos (xy), x cos (xy)) Oppgve 6.5. Beregn sirkuljonen til vektrofeltene og dens største verdi. ) F(x, y) = (ye xy, xe xy ) b) F(x, y) = (sin y, cos x) Oppgve 6.6. Vi hr gitt en nivåkurve f(x, y) = C. Tngentvektorfeltet til denne kurven er gitt ved T(x, y) = ( f y, f x ). Vis t sirkulsjonen til tngentfeltet er gitt ved f xx + f yy, hvor vi bruker notsjonen f x = x, osv. Oppgve 6.7. Regn ut f xx + f yy for funksjonene ) f(x, y) = 2x + 3y b) f(x, y) = x 2 + 2y 2 c) f(x, y) = e xy

56 55 7 Kurveintegrler I dette kpitlet skl vi se på kurver i plnet og hvordn vi kn integrere funksjoner som er definert over slike. Når vi integrerer lngs x-ksen tenker vi på integrlet som en uendelig sum v relene til uendelig mnge uendelig smle rektngler med funksjonsverdien som høyde og bredde dx. Vi gjør det smme lngs en kurve, men nå ersttter vi dx med et uendelig lite segment ds lngs kurven. Integrlet blir i prinsippet det smme. Vi skl også se hvordn vi beregner verdien v et vektorfelt lngs en kurve. Et v hovedresulttene for kurveintegrler sier t integrlet v et konservtivt vektorfelt lngs en lukket kurve er null, lterntivt t kurveintegrler i et konservtivt felt kun vhenger v endepunktene. Vi skl se nærmere på dette resulttet. 7. Prmetriserte kurver Vi hr til nå beskrevet kurver på to forskjellige måter. Den ene er som grfen til en funksjon, f.eks. gitt ved y = f(x) = x 2, og den ndre er som løsningene v en likning, x 2 + y 2 =. Disse to beskrivelsene gir oss en sirkel (hlvsirkel). En tredje måte å gjøre dette er ved å prmetrisere kurven. Det innebærer t vi definerer et vektorfelt i en vribel (prmeter), i sirkeleksempelet ved eller x = cos t, y = sin t, t 2π. Definisjon 7.. Funksjonen r(t) = (cos t, sin t) r(t) = (f(t), g(t)), klles en prmetrisert kurve, med prmeter t. t I R Eksempel 7.. Prmetriseringen r(t) = (R cos t, R sin t) beskriver en sirkel med rdius R. Eksempel 7.2. En prbel kn prmetriseres ved r(t) = (t, t 2 ). Eksempel 7.3. Generelt kn vi prmetrisere grfen til en funksjon y = f(x) ved r(t) = (t, f(t)). Eksempel 7.4. Prmetriseringen r(t) = ( t 2 + t 4, t 2 t 4 ) beskriver en lemniscte. Figur 28: Niels Henriks håndtegnede lemniskte. Vi kn regne ut tngentvektoren til den prmetriserte kurven i et punkt ved å derivere de to definerende funksjonene; T(t) = r (t) = (f (t), g (t)) og normlvektoren N(t) = r (t) = ( g (t), f (t)) Eksempel 7.5. Vi hr gitt en sirkel med rdius R ved r(t) = (R cos t, R sin t). Det gir tngentvektor T(t) = ( R sin t, R cos t) og normlvektor N(t) = ( R cos t, R sin t). I dette tilfellet vil posisjonsvektoren r(t) og normlvektoren N(t) peke i smme (motstt) retning. Eksempel 7.6. Prblen kn beskrives ved r(t) = (t, t 2 ) og vi hr tngentvektor T(t) = (, 2t) og normlvektor N(t) = ( 2t, ).

57 7.2 Buelengde Buelengde Det er mulig å beregne buelengden til en prmetrisert kurve. Vi skl finne et uttrykk for buesegmentet s. Ved Pythgors teorem får vi t ( s) 2 ( x) 2 + ( y) 2. og derfor Figur 29: Et buesegment s t = ( x t )2 + ( y t )2 Når vi går til grensen t vil hypotenusen i treknten på figuren og buesegmentet gå mot hverndre og vi får s lim t t = ds dt = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 som vi kn skrive ds = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt På smme måte som vi hr tolket dx som et uendelig lite linjestykke lngs med x-ksen, kn vi tolke ds som et uendelig lite linjestykke lngs med kurven. Det betyr t vi kn regne ut lengden v kurven. Definisjon 7.2. Buelengden B til kurven r(t) = (f(t), g(t)) mellom t = og t = b er gitt ved integrlet B = b ds = b (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt Eksempel 7.7. Buelengden til kurven r(t) = (R cos t, R sin t) mellom t = og t = 2π er gitt ved integrlet B = = = 2π 2π 2π ( R sin t)2 + (R cos t) 2 dt R sin 2 t + cos 2 t dt R dt = [R t] 2π = 2πR som vi gjenkjenner som omkretsen v en sirkel med rdius R. Eksempel 7.8. Buelengden til kurven r(t) = (t, 2 3 t 3 2 ) mellom t = og t = 3 er gitt ved integrlet B = = 3 3 () 2 + ( t 2 ) 2 dt + t dt = 2 3 [( + t) 3 2 ] 3 = 2 4 (8 ) = 3 3

58 7.3 Kurveintegrler Kurveintegrler Kombinerer vi det vi hr sgt om buelende med vår viten om integrler er vi nå i stnd til å definere mer generelle kurveintegrl. Definisjon 7.3. Kurveintegrlet v funksjonen f(x, y) lngs med kurven r(t) = (x(t), y(t)) mellom t = og t = b er gitt ved b f ds = b f(x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt Eksempel 7.9. Vi skl beregne kurveintegrlet v funksjonen f(x, y) = y x lngs prbelen P, gitt ved r(t) = (t, 2 t2 ), mellom t = og t = 3. Merk t lngs denne kurven ser funksjonen ut som og integrlet blir P f ds = f(r(t)) = f(t, 2 t2 ) = t2 2t = 2 t 3 3 = f(x(t), y(t)) () 2 + (t) 2 dt u = + t 2 2 t + t 2 dt du = 2t dt = t= 3 t= u du = [ u 3 2 ] t= 3 t= = [ 6 ( + t2 ) 3 2 ] 3 = 6 (4 3 2 ) = 7 6 Eksempel 7.. Vi skl beregne kurveintegrlet v funksjonen f(x, y) = y lngs sirkelen C, gitt ved r(t) = (R cos(t), R sin t) fr t = til t = 2π. Lngs denne kurven ser funksjonen ut som Det gir integrl C f ds = f(r(t)) = f(r cos(t), R sin t) = R sin t = 2π 2π f(x(t), y(t)) ( R sin t) 2 + (R cos t) 2 dt R sin t dt = R[ cos t] 2π = Integrlet i det siste eksemplet beregnes rundt en hel sirkel slik t de to endepunktene fktisk er smme punkt i plnet, r() = r(2π). Slike integrl hr et eget (meget illustrerende) symbol, vi skriver f ds som betyr t vi integrerer lngs en lukket kurve C. 7.4 Integrere vektorfelt C I forrige vsnitt integrerte vi funksjoner lngs en kurve. Vi kn også integrere vektorfelt lngs kurver. Med det mener vi t vi beregner komponenten v vektorfeltet lngs med tngentfeltet til kurven. Denne komponenten er i hvert punkt på kurven et tll slik t vi hr skffet oss en funksjon på kurven. Denne kn vi så integrere opp. Definisjon 7.4. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)) en prmetrisering v kurven C i det smme plnet. Verdien v vektorfeltet F lngs C er en funksjon i to vrible gitt ved F T C = P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t) hvor T C er en tngentvektor til kurven C v lengde.

59 7.4 Integrere vektorfelt 58 Figur 3: En lukket kurve Eksempel 7.. L f(x, y) være en funksjon i to vrible og nt t den prmetriserte kurven C gitt ved r(t) = (x(t), y(t)) beskriver en nivåkurve for funksjonen, dvs. t f((x(t), y(t))) = c, c en konstnt. Grdienten til f dnner et vektorfelt f i plnet. D er verdien v vektorfeltet f lngs nivåkurven C lik. Vi kn se dette ved å regne ut f T r (t) = f x x (t) + f y y (t) = d dt f((x(t), y(t))) = d dt c = der overgngen fr ndre til tredje linje er kjerneregelen for derivsjon. Alterntivt kunne vi utledet dette svret direkte siden vi vet t grdienten til en funksjon står normlt på nivåkurvene til funksjonen, og dermed også normlt på tngentene til nivåkurvene, og det er kkurt sklr-produktet mellom disse to vektorene vi regner ut. Hvis vi hr to (deriverbre) funksjoner f : R R 2 og g : R 2 R, der f(t) = (x(t), y(t)), så vil komposisjonen h = g f : R R være en funksjon h(t) = g(x(t), y(t)) i en vribel. Denne funksjonen kn vi derivere ved hjelp v kjerneregelen eller direkte som en funksjon i en vribel. Svret vil lltid bli det smme: Teorem 7.5. L h = g f : R R være komposisjonen v funksjonene f : R R 2 og g : R 2 R. D hr vi h (t) = g f (t) = f x x (t) + f y y (t) Eksempel 7.2. L f(t) = (R cos t, R sin t) og g(x, y) = xy. D hr vi h(t) = g(f(t)) = R 2 cos t sin t og h (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t Bruker vi kjerneregelen på den smme funksjonen får vi h (t) = (y, x) ( R sin t, R cos t) = R sin t( R sin t) + R cos tr cos t = R 2 sin 2 t + R 2 cos t siden x = R cos t, og y = R sin t. De to uttrykkene er like slik teoremet over sier t de skl være. D hr vi smlet nok bkgrunnskunnskp til å kunne integrere et vektorfelt lngs en kurve. Definisjon 7.6. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)), t b en prmetrisering v kurven C i det smme plnet. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs C er gitt ved b F T C ds = P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t) dt C Eksempel 7.3. L F(x, y) = ( y, x) være et vektorfelt i plnet (tngentfeltet til konsentriske sirkler) og r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π, en sirkulær kurve. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs C er gitt ved 2π F T C ds = ( R sin t)( R sin t) + R cos t R cos t dt C = 2π R 2 (sin 2 t + cos 2 t) dt = 2πR 2

60 7.5 Kurveintegrler i konservtive felt 59 Eksempel 7.4. L F(x, y) = (2y, x) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (t, 2 t2 ), t. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs C er gitt ved F T C ds = (t 2 + ( t)t) dt = C Hvorfor blir dette? Kurven er prbelen y = f(x) = 2 x2. Tngentvektoren i punktet (x, y) hr stigningstll f (x) = x, dvs. tngentvektorfeltet hr retning (, x). Det oppgitte vektorfeltet hr retning (2y, x). Prikkproduktet v disse to retningene er (, x) (2y, x) = 2y x 2. Men på kurven y = 2 x2 er dette tllet lik, og vektorfeltet hr derfor ingen verdi lngs med kurven. 7.5 Kurveintegrler i konservtive felt Nå hr vi kommet frm til ett v hovedresulttene for kurveintegrler. Resulttet dreier seg om kurveintegrler i konservtive felt. Vi strter med en funksjon f(x, y) og ser på grdienten F = f. Dette er et konservtivt felt. Vi lr C være en lukket kurve i plnet, gitt ved en prmetrisering r(t) = (x(t), y(t)), t b slik t r() = r(b). Lukket betyr t kurven strter og ender i smme punkt. D hr vi b F T C ds = F(r(t)) (x (t), y (t)) dt C = = b b f x (r(t)) x (t) + f y (r(t)) y (t) dt d dt f(r(t)) dt = [f(r(t))]b = f(r()) f(r(b)) = Dermed hr vi bevist følgende teorem: Teorem 7.7. Kurveintegrlet i et konservtivt felt F, lngs en lukket kurve C er ; F T C ds = C Korollr 7.8. Kurveintegrlet i et konservtivt felt er kun vhengig v potensilets verdi i kurvens endepunkter og ikke v kurven for øvrig. Bevis. L p og p være endepunktene, og l C være en nnen, vilkårlig kurve mellom de to endepunktene. Vi setter smmen de to kurvene ved å gjennomløpe C bklengs slik t vi får en lukket kurve. Kurveintegrlet lngs denne kurven er, og de to kurveintegrlene, over C og C må være like. Eksempel 7.5. En viktig nvendelse v dette resulttet gjelder grvitsjonsfeltet rundt jord. Dette er et Figur 3: Grvitsjonsfeltet rundt jordkloden konservtivt felt der potensilet kun er vhengig v vstnden til jords sentrum, dvs. høyden over hvoverflten. Kurveintegrler i et grvitsjonsfelt måler energiforbruk lngs kurven. Resulttet sier d t energiforbruket ved å bevege seg fr et punkt til et nnet punkt kun vhenger v differnsen mellom de to punktenes høyde over hvoverflten.

61 7.5 Kurveintegrler i konservtive felt 6 Eksempel 7.6. Et eksempel på et ikke-konservtivt krftfelt er feltet som over et område beskriver vindretning og -styrke. Vi ntr t det i området befinner seg noen store steiner, fyr, trær e.l. Skl mn bevege seg Figur 32: Et fyr på et værutstt sted på Vestlndet mot vinden, og mn ønsker å bruke minst mulig krefter, prøver mn å gå mn mest mulig i le v steinene eller trærne, der motvinden er svkest. Energiforbruket lngs en kurve i dette vindfeltet er presis kurveintegrlet lngs kurven, og det er som vi lle hr erfrt, vhengig v vlg v vei, dvs. feltet er ikke konservtivt. Oppgver til kpittel 7 Oppgve 7.. Skriv kurvene på prmeterform: ) x y = b) x 2 y = 2 c) x 2 + y 2 = Oppgve 7.2. Finn en likning for de prmetriserte kurvene ) r(t) = (2t +, t 2) b) r(t) = (t 2, t 3 ) c) r(t) = (sin 2 t, t ) Oppgve 7.3. Finn skjæringspunktene mellom de to kurvene r (t) = (t 2 +, t) og r 2 (s) = (s, 2s 4). Oppgve 7.4. Finn en tngentvektor og en normlvektor de kurvene ) r(t) = (2t +, t 2) b) r(t) = (t 2, t 3 ) c) r(t) = (sin 2 t, t ) Oppgve 7.5. Regn ut buelengden v kurvene over de gitte intervllene. ) r(t) = (t +, 2t + ), t 2 b) r(t) = (t, bt), t Oppgve 7.6. Regn ut buelengden v kurvene over de gitte intervllene. ) r(t) = (t 2, t 2 ), t b) r(t) = (t 3, t 3 ), t Oppgve 7.7. Regn ut buelengden v kurvene over de gitte intervllene.

62 7.5 Kurveintegrler i konservtive felt 6 ) r(t) = (sin t, cos t), t 2π b) r(t) = (t, t 3 2 ), t 5 Oppgve 7.8. Beregn kurveintegrlet v vektorfeltet F(x, y) = (x 2 2xy, y 2 2xy) lngs prbelen y = x 2 fr x = til x =. Oppgve 7.9. Beregn kurveintegrlet v vektorfeltet F(x, y) = (2 y, x) lngs kurven gitt ved r(t) = (t sin t, cos t) fr t = til t = 2π. Oppgve 7.. Beregn kurveintegrlet v vektorfeltet F(x, y) = (x, y) lngs den rette linj fr (, ) til (2, 4). Oppgve 7.. Beregn kurveintegrlet v vektorfeltet F(x, y) = (x+y, x+y) lngs en hel runde v sirkelen x 2 + y 2 = Oppgve 7.2. Vis t vektorfeltet F(x, y) = (y, x) ikke er en grdient. Finn også en vei C slik t C f ds. Oppgve 7.3. Vis t vektorfeltet F(x, y) = (y, xy x) ikke er en grdient. Finn også en vei C slik t f ds. C Oppgve 7.4. ) Beregn grdienten f til funksjonen f(x, y) = x 2 y + xy 2. b) Beregn kurveintegrlet v vektorfeltet f lngs en rett linje mellom punktene (, ) og (2, 4). c) Beregn kurveintegrlet v det smme vektorfeltet mellom de smme pnktene, men denne gngen lngs prbelen y = x 2. Oppgve 7.5. ) Vis t vektorfeltet F(x, y) = (y sin (xy), x sin (xy)) er konservtivt. b) Finn et potensil for vektorfeltet gitt i ) c) Regn ut kurveintegrlet v vektorfeltet gitt i ) lngs en rett linje mellom punktene (, π 2 ) og (, π 2 ). Oppgve 7.6. ) Vis t vektorfeltet F(x, y) = (e y, xe y ) er konservtivt. b) Finn et potensil for vektorfeltet gitt i ) c) Regn ut kurveintegrlet v vektorfeltet gitt i ) lngs en rett linje mellom punktene (, ) og (, ). Oppgve 7.7. ) Vis t vektorfeltet F(x, y) = (, ) er konservtivt. b) Finn et potensil for vektorfeltet gitt i ) c) Regn ut kurveintegrlet v vektorfeltet gitt i ) rundt en hel sirkel, gitt ved x 2 + y 2 = 4

63 62 8 Multippel integrsjon Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. I de foregående kpitlene hr vi sett ulike måter å derivere funksjoner i flere vrible. Neste skritt er å integrere funksjoner i flere vrible. 8. Multippel integrsjon over rektngler Vi skl begynne med å integrere funksjoner i to vrible over rektngler i plnet. Ved prtiell derivsjon deriverte vi mhp en vribel og betrktet lle ndre vrible som konstnter. Multippel integrsjon bserer seg på nøyktig smme prinsipp, bre motstt vei. Vi integrerer mhp. vriblene io tur og orden og ved hver integrsjon betrkter vi de ndre vriblene som konstnter. Vi illustrerer dette med eksempler. Eksempel 8.. Vi skl regne ut integrlet v funksjonen f(x, y) = xy + over rektngelet Q : [, ] [, ] i (x, y)-plnet. Når vi skriver xy + dx dy så mener vi Q xy + dx dy = = = Q ( xy + dx) dy [ 2 x2 y + x] dy 2 y + dy = [ 4 y2 + y] = ( ) = 2 Eksempel 8.2. Vi kn regne ut det smme integrlet, men i motstt rekkefølge: xy + dx dy = ( xy + dy) dx Q = = [ 2 xy2 + y] dx ( 2 x + x + ) dx 2 = [2x] = 2 = 2 Det er ikke noen tilfeldighet t disse to integrlene er like. Det er et generelt fktum. Teorem 8.. En funksjon f(x, y) er definert over et rektngel Q : [, b] [c, d] i plnet. D hr vi d b b d f da = ( f(x, y) dx) dy = ( f(x, y) dy) dx Q c Eksempel 8.3. Funksjonen f(x, y) = x sin y ye x er definert over rektngelet [, ] [, π 2 ]. Vi skl beregne integrlet Q f da. π 2 ( x sin y ye x dy) dx = = [ x cos y 2 y2 e x ] π 2 dx ( π2 8 ex + x) dx c = [ π2 8 ex + 2 x2 ] = π2 8 e π2 8 e 2 = π2 8 ( e e)

64 8.2 Multippel integrsjon over mer generelle områder 63 På smme måte som t integrlet v en positiv funksjon i en vribel uttrykker relet mellom x-ksen og grfen, vil integrlet v en positiv funksjon i to vrible uttrykke volumet mellom xy-plnet og grfen. Eksempel 8.4. Vi skl regne ut volumet under grfen til f(x, y) = x 2 + y 2 over rektngelet [, ] [, ]. ( x 2 + y 2 dy) dx = = [x 2 y + 3 y3 ] dx (x ( x2 ) ( )) dx 3 = [ 2 3 x x] = ( ) = Multippel integrsjon over mer generelle områder Vi skl se på dobbeltintegrlet over mer generelle områder enn rektngler, nemlig områder som ligger mellom to grfer. Vi begynner med de områdene vi kller type I. Dette er områder gitt ved D = {(x, y) x b, g(x) y h(x)} Prosedyren for å regne ut slike integrl er den smme som over rektngler, bortsett fr t rekkefølgen nå er Figur 33: Område v type vesentlig. I områder v type I er vgrensingen gitt ved t y ligger mellom to funksjoner i x. Det betyr t vi først må integrere mhp y, og deretter mhp x. Hvis vi integrerer mhp x først vil integrsjon mhp y etterpå gi oss et svr som er en funksjon i x, noe vi ikke skl h. Svret skl være et tll. Definisjon 8.2. Vi definerer integrlet v funksjonen f(x, y) over området D, gitt over, til å være D f da = b h(x) ( g(x) f(x, y) dy)dx Eksempel 8.5. L D være området gitt ved ulikhetene x 2 og y x 2. Vi skl beregne dobbeltintegrlet xy dx dy D

65 8.3 Arel og tyngdepunkt 64 I dette eksemplet er g(x) = og h(x) = x 2. Det gir D xy dx dy = = = 2 x ( xy dy)dx [ 2 xy2 ] x2 )dx 2 x5 dx = [ 2 x6 ] 2 = 63 2 Områder (integrler) v type II er vgrenset v kurver på formen x = g(y), ltså grfer der x-ksen og y-ksen hr byttet roller i forhold til type I. D = {(x, y) c y d, g(y) x h(y)} Formelen for dobbeltintegrlet v en funksjon f(x, y) over et slikt område er gitt ved D f(x, y) dx dy = d h(y) c ( g(y) f(x, y) dx)dy Det er viktig å merke seg t i disse tilfellene er det ikke nødvendigvis mulig å bytte om på integrsjonsrekkefølgen, det kn vi kun gjøre dersom området både er v type I og v type II. Eksempel 8.6. Vi skl beregne dobbeltintegrlet D y2 sin xy dx dy der D er området mellom x = y og x = og der y [, ]. Vi regner ut y f(x, y) dx dy = ( y 2 sin xy dx)dy D = = 8.3 Arel og tyngdepunkt [y 2 y cos xy]y dy y cos y 2 y dy = [ 2 sin y2 2 y2 ] = 2 sin 2 Vi kn bruke dobbeltintegrsjon til å finne relet til et område i xy-plnet. Det gjør vi ved å betrkte konstntfunksjonen f(x, y) = over det området vi skl finne relet v. Det legemet vi d beregner volumet til vil være en sylindrisk boks med grunnflte lik området i xy-plnet og høyde, og relet får nøyktig smme verdi som volumet. Vi kn se på et eksempel. Eksempel 8.7. Vi skl finne relet v området i xy-plnet som ligger inni prbelen y = x 2, under y = og mellom x = og x =. Vi beregner dobbeltintegrlet A = x 2 dy dx = [y] x dx = x 2 dx 2 = [x 3 x3 ] = ( 3 ) ( 3 ( )3 )2 2 3 = 4 3 Vi kn bruke en tilsvrende teknikk for å finne tyngdepunktet v et rel i plnet. Tyngdepunktet v et område D i plnet er det punktet som ligger mest midt i området. Det betyr t dersom vi kutter ut området på en ppplte og setter plten på toppen v en psserspiss, så vil plten blnsere dersom vi hr stt psserspissen i tyngdepunktet. Mn kn vise t vi finner koordintene til dette punktet, som vi kller (x, y) ved formelene xa = x dx dy ya = y dx dy der A er relet v området D. D D 2

66 8.4 Greens teorem 65 Eksempel 8.8. Vi kn bruke disse formelene til å finne tyngdepunktet til en treknt med grunnlinje og høyde h. Vi legger de tre hjørnene i punktene ( 2, ), ( 2, ) og (, h). Siden treknten stikker like mye ut på hver side v y-ksen vil et enkelt symmetrirgument gi t x =. For å finne y-koordinten deler vi treknten i to og betrkter den delen som ligger i første kvdrnt. Vi ser t y-koordinten til tyngdepunktet er den smme for denne hlve treknten som for hele treknten. Det betyr t området vi skl integrere over er gitt ved t x 2 og y h 2h x. Den siste ulikheten får vi fr uttrykket som gir likningen til hypotenusen i den hlve treknten, nemlig y = h 2h x. Arelet v denne treknten vet vi er A = h 2 og formelen over gir oss y h 2 = 2 = 2 h 2h x y dy dx = 2 [ y2 2h 2 ]h x dx h 2 4h2 x + 4h2 2 x2 dx = [h 2 x 2h2 x2 + 4h2 3 2 x3 ] 2 = h 2 2 2h2 ( 2 )2 + 4h2 3 2 ( 2 )3 = h 2 ( ) = h2 6 Deler vi ut får vi t y = 3h som er y-koordinten til tyngdepunktet i treknten. 8.4 Greens teorem Dette dreier seg om et v mtemtikkens mest berømte resultter, nemlig det som klles Stokes teorem. Stokes teorem ble først formulert v vitenskpsmnnen Willim Thompson (824-97), eller Lord Kelvin, i 85, men hr fått nvn etter Sir George Gbriel Stoke (89-93). Begge disse to stt dype spor etter seg innen mtemtikk og nturvitenskp. Figur 34: Stokes og Lord Kelvin Imidlertid heter den 2-dimensjonle versjonen v Stokes teorem som vi skl se på Greens teorem, oppklt etter George Green (793-84). Green formulerte dette resulttet i det oppsiktsvekkende essyet An Essy on the Appliction of Mthemticl Anlysis to the Theories of Electricity nd Mgnetism fr 828. Essyet er oppsiktsvekkende v to grunner. For det første fordi det inneholder nye og bnebrytende resultter, for det ndre fordi det er skrevet v en legmnn. Green hdde fktisk bre ett års skolegng! Her er hns resultt: Teorem 8.3. L C være en positivt orientert, lukket kurve i plnet gitt ved prmetriseringen r(t) = (x(t), y(t)) og l D være det området som kurven C omslutter. L f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et

67 8.4 Greens teorem 66 Figur 35: Forsiden til Greens vhndling vektorfelt. D hr vi C (P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt = D ( Q x P ) dx dy y Mo. den totle sirkulsjonen til feltet over et område er lik med kurveintegrlet til feltet lngs rnd til området. Dersom feltet er konservtivt vil begge sider i likheten være, venstresiden fordi lukkede kurveintegrl i et konservtivt felt er, høyresiden fordi integrnden er for et konservtivt felt. Eksempel 8.9. Betrkt det sirkulære vektorfeltet f(x, y) = ( y, x) og sirkelen r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π. Vi hr tidligere sett t venstresiden er lik 2πR 2. Høyresiden kn vi også regne ut, ( D x x ( y)) dx dy = ( + ) dx dy y D = 2 rel(d) = 2πR 2 Eksempel 8.. Vi skl beregne integrlet y 2 dx + 3xy dy = C C y 2 x (t) + 3xyy (t) dt rundt øvre hlvprt v enhetssirkelen med sentrum i origo. Vi hr y 2 dx + 3xy dy = ( C D x 3xy y y2 ) dx dy = (3y 2y) dx dy = = = D x 2 [ 2 y2 ] x 2 y dy dx dx = 2 = 2 [x 3 x3 ] = 2 3 D y dx dy ( x 2 ) dx