EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk 0 EMNENUMMER: REA04 EKSAMENSDATO:. desember 008 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og sider formelrk) TILLATTE HJELPEMIDLER: John Hugn: Formler og tbeller. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblynt som gir gjennomslg. Ved innlevering skilles hvit og gul besvrelse og legges i hvert sitt omslg. Oppgvetekst, kldd og blå kopi beholder kndidten. Husk kndidtnummer på lle rk.

2 Eksmen i Mtemtikk 0. desember 008 Oppgve Finn grensen Oppgve lim x x ln(x). L funksjonen f være definert for lle reelle tll x ved ) Regn ut f (x). f(x) = x x +5 b ) c ) Avgjør for hvilke x funksjonen f er voksende. Finn likningen for tngenten til kurven gitt ved y = e (x )/(x +5) for punktet med koordinter (x, y) =(, ). Likningen skl omformes til formen y = x + b. Oppgve 3 En sirkelsektor (se figuren) hr omkrets og rel A. Hv er det største relet som kn oppnås for en slik sektor? Hint: Arelet v en sirkelsektor kn for eksempel finnes ved t det er så storndel v relet til hele sirkelen som ndelen sirkelbuen er v hele omkretsen. Oppgve 4 Regn ut gjennomsnittsverdien for funksjonen f gitt ved f(x) = cos(x) +sin (x), 0 x π/. Minner om t gjennomsnittet for en funksjon y = y(x) på intervllet x b er y = b b ydx.

3 Eksmen i Mtemtikk 0. desember 008 Oppgve 5 ) Vis ved integrsjon t 6xe x dx =3e x + C. b ) Vis ved integrsjon betyr t det ikke er godkjent løsning å derivere høyresiden og sjekke t denne er integrnden. Det er heller godkjent å henvise til en formel i Hugns formelsmling. Integrsjonsformler fr det vedlgte formelrket kn du derimot bruke uten å si hvor de kommer fr. Finn llmenn løsning y = y(x) v differensillikningen y +xy =6x. c ) En entydig kontinuerlig funksjon y = y(t), definert for lle t R, oppfyller følgende differensillikning med initilverdibetingelse: (y )() ẏ =, y(0) =. Finn et eksplisitt funksjonsuttrykk for y(t). Lykke til.

4 Eksmen i Mtemtikk 0. desember Formelrk. Derivsjon og integrsjon (to sider). Derivsjonsregler f, g, u og v er deriverbre funksjoner., b og r er konstnter. Generelle derivsjonsregler f f f + bg f + bg Lineritet u v u v + u v Produktregelen 3 u v u v u v v Kvotienttregelen 4 f(u(x)) f (u) u (x) Kjerneregelen Den deriverte v spesielle funksjoner f(x) f (x) 5 x + b Spesielt f(x) =0x + b: b =0 6 x r rx r Også omr er negtiv eller en brøk 7 sin(x) cos(x) 8 cos(x) sin(x) 9 tn(x) +tn (x) Alterntiv: tn(x) =/ cos (x) 0 e x e x ln(x) rcsin(x) x x Mer generelt: ln( x ) =/x 3 rctn(x) +x

5 Eksmen i Mtemtikk 0. desember Integrsjonsregler Generelle integrsjonsregler f + bg dx = fdx+ b gdx u v dx = uv u vdx 4 f(u(x)) u (x) dx = f(u) du Lineritet Delvis integrsjon Substitusjon Integrlet v spesielle funksjoner dx = x + C Integrsjon v konstnt x r dx = r+ xr+ + C r (Se for r = ) cos(x) dx = sin(x) +C sin(x) dx = cos(x) +C e x dx = e x + C x dx = ln( x )+C dx = rcsin(x)+c x dx = rctn(x)+c +x Bestemte integrler 4) Hvis f(x) er kontinuerlig og F (x) =f(x)er A d b b f(x) dx =[F (x)] b = F (b) F (). 5) Integrsjon over smmenstt område, A er disjunkt union v intervllene [, c] og [d, b]: c b b c b f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx. Spesielt f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx. c 6) Ombytting v grenser: 7) Substitusjon: b f(x) dx = f(u(x))u (x) dx = b f(x) dx. u(b) u() f(u) du. Helt slutt!

6 Løsning, eksmen i Mtemtikk 0. desember 008 Oppgve Siden =0ogln()=0erdetteet ( 0 0) uttrykk, og L Hopitls regel gjelder: x ( ) 0 lim x ln(x) = L Hopitl x = lim 0 x /x = / =. Oppgve ) Kvotientregelen: f (x) = (x +5) (x ) x (x +5) = x +4x +5 (x +5). b ) Funksjonen er voksende der f (x) > 0, som er der x +4x +5> 0 siden nevneren lltid er positiv. x +4x +5=0 x = 4 ± 4 4 ( ) 5 = 4 ± = 4 ± 6 Dette er for x = ogx = 5, og her skifter telleren fortegn. For x = 0 er telleren > 0, som betyr t den er større enn 0 mellom nullpunktne, og mindre enn 0 ellers. Det vil si t f(x) er voksende for <x<5. c) y() = e 0 = siden eksponenten er 0 for x =. Dette er forøvrig indirekte oppgitt i oppgveteksten, siden du skl finne tngenten i punktet x = ogy =, som ville vært meningsløst om ikke dette punktet lå pågrfen. Du finner y ved kjerneregelen, der den deriverte v kjernen (som er eksponenten) er funnet i ) oppgven: y (x) =e (x )/(x +5) x +4x +5 (x +5) Dermed er y () = e ( +5) = 9 9 = 9 Innstt i tngentlikningen y = y()+y ()(x ) får du d y =+ 9 (x ) y = 9 x y = 9 x Oppgve 3 Hvis du kller rdien for x, blir lengden v sirkelbuen x (siden x er går med til de to rette kntenene). Iså fll er relet v hele sirkelen πx,ogomkretsenπx. Andelen v sirkelen vi hr er dermed x πx, slik t relet A = A(x) er A = πx x πx = x( x) =6x x

7 Løsning, eksmen i Mtemtikk 0. desember 008 Domenet er 0 x 6, siden hele omkretsen går med til de to rdiene hvis x =6.Siden domenet er et lukket intervll vet du fr ekstremlverdisetningne t mksimum må finnes. D må du derivere A: A (x) =6 x Siden A eksisterer for lle x i domenet, og rndpunktene x =0ogx = 6 gir rel 0 som ikke kn være mks, er den eneste kndidten der A (x) =0: 6 x =0 6=x x =3 Mksimlt rel er dermed A mks = A(3) = =9 Arelformelen er forøvrig den smme som for rektngelet med omkrets. Mksimlt rel 9 får vi d for et kvdrt med sider 3. Kn dette klles en tilfeldighet, eller finnes det et nturlig rgument for t disse relene blir like? Noen som hr forslg til svr (jeg hr det ikke)? Oppgve 4 Du må bruket /( + u ) du =rctn(u)+c. Forå omforme integrnden til denne formen må du substituere med u =sin(x), siden u d er sin (x). D er du dx =cos(x) du =cos(x) dx som står ferdig i integrnden (telleren multiplisert med dx). Nedre grense er u =sin(0)=0ogøvregrenseu =sin(π/) = : π/ cos(x) 0 +sin (x) dx = 0 +u du = [rctn(u)] 0 =rctn() rctn(0) = π 4 0=π 4. Dermed er gjennomsnittet y = π/ 0 π 4 = π π 4 = Oppgve 5 ) Du må substituere med eksponenten, u = x.der du dx =x du =xdx. Dette står ferdig i integrnden ved åskrive6xdx=3 xdx=3du: 6xe x dx = 3e u du =3e u + C =3e x + C b) Difflikningen y +xy =6x er lineær, dvs. på formeny + P (x)y = Q(x). Den integrerende fktoren er ρ(x) =e P (x) dx = e xdx = e x, som multipliseres inn i likningen: ( ) e x y + e x xy =6xe x e x y =6xe x Begge sider integreres, og integrlet på høyresiden er løst (evt. oppgitt om du ikke klrte den oppgven) i oppgven: e x y = 6xe x dx e x y =3e x + C

8 Løsning, eksmen i Mtemtikk 0. desember Nå divideres begge sider v likhetstegnet med e x, og dette er det smme som å multiplisere med e x : ( ) y = 3e x + C e x y =3e x e x + Ce x y =3+Ce x c ) Denne difflikningen er seprbel, og omformes ved dy (y )() dt = dy = dt (y )() Integrlet på vensstresiden løses ved delbrøksoppsplting: 4 (y )() dy = (y )() = A y + B 4 A() + B(y ) = (y )() (y )() der vi i siste omforming hr ordnet summen på felles brøkstrek. De to brøkene er like for det vlget v A og B som gjør tellerne like for lle y, spesieltfor y =ogy =3: y = : =A( 3) + B( ) A = A = y =3 : =A(3 3) + B(3 ) B = B = Det vil si t (y )() dy = y + dy = ln y +ln Vi behøver ikke konstnten C på dette integrlet, men tr den med på høyresiden: dt = t + C Implisitt form på den lmenne løsningen er dermed ln ln y = t + C Venstresiden kn smles ved omformingsregelen ln() l(b) = ln(/b): ln y = t + C Tr eksponentilfunksjonen på begge sider: y = et+c y = ±ec e t. D ±e C er en vilkårlig konstnt ersttter vi dette med C, og bestemmer nå denne: y = Cet t=0,y= 3 = Ce0 =C Løser så likningen med hensyn på y: y = et = ye t + e t y + ye t =3+e t y( + e t )=3+e t y = 3+et +e t Vi ser t denne er definert og kontinuerlig for lle t R, og oppfyller dermed lle krvene til y. dt