Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe

Transkript

1 Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2 < < x n b klles for kvdrtur noder w 1, w 2,..., w n klles for kvdrtur vekter eller koeffisienter Bck

2 2/18 y=f(x) x 1 x i xn b åpen formel =x xi 1 b = xn y=f(x) lukket formel Bck

3 Q n (f) = w i f(x i ) METODE v UDETERMINERTE KOEFFISIENTER: 3/18 Fiks nodene: x 1, x 2,... x n n vekter som skl determineres, integrer de bsis funksjonene ekskt, 1, x, x 2,..., x n 1 w w w n 1 = w 1 x 1 + w 2 x w n x n = w 1 x n w 2 x n w n x n 1 n =. 1dx = b xdx = 1 2 (b2 2 ) x n 1 dx = 1 n (bn n ) Bck

4 Vi omskriver de forrige likninger i en likningssytem form: w 1 x 1 x 2 x n w = x n 1 1 x n 1 2 x n 1 n w n b (b 2 2 )/2. (b n 1 n 1 )/n 4/18 Vndermonde mtriser er ikkesingulære om x i er distinkter, derfor ved å løse den likningssystem finner vi koeffisientene w i. Bck

5 Kvdrtur kn deriveres ved hjelp v interpolsjon: Bytter om f med interpolering polynom over nodene: f(x) p n 1 (x) Integrerer p n 1 (x) istedet (polynomer kn integreres ekskt nlytisk) 5/18 Metoden v udeterminerte koeffisienter korresponderer til interpolsjon med monomer. BEVIS: Fordeler med å bruke udeterminerte koeffisienter er t vi trenger ikke å regne ut interpolering polynomet eksplisitt en gng de er regnet ut, vektene w i er uvhenging v f og kn gjenbrukes for ndre funksjoner Bck

6 L oss bruke Lngrnge s interpolering polynomet: f(x) p n 1 (x) = l i (x)f(x i ), l i (x) = j i x x j x i x j, og pproksimerer Vi får: f(x)dx p n 1 (x)dx = = = p n 1 (x)dx l i (x)f(x i )dx ( l i (x)f(x i )dx Derfor, ved å smmenligge med vår generelt kvdrtur formel kn vi konkludere t w i = Q n (f) = w i f(x i ), ) l i (x)dx f(x i ) l i (x)dx, i = 1, 2, 3,..., n. 6/18 Bck

7 Grd v en kvdrtur regel Q n (f) = w i f(x i ) Vi sier t kvdrtur formelen Q n (f) er v grd d om Q n integrerer ekskt lle polynomer v grd opp til d og det finnes minst et polynom q d+1 v grd d + 1 slik t Q n (q d+1 ) q d+1(x)dx. En kvdrtur regel som er bsert på interpolsjon i n punkter hr lltid grd d = n 1 minst. 7/18 EKS: Den 2-punkt regel Q 2 (f) = b f( + 1 b (b )) + f( + 2 (b )) b 3 er ekskt for 1, x men ikke for x 2 og derfor hr grd 1. b Bck

8 Midpunkt reglen: Q 1 (f) = (b )f( + b 2 ) er ekskt for 1, x men ikke for x 2 og derfor hr grd 1 Simpsons reglen: Q 3 (f) = b 6 2(b ) f() + f( + b 3 2 ) + b 6 f(b) er ekskt for 1, x, x 2, x 3 men ikke for x 4 og derfor hr grd 3. 8/18 Ut fr interpolsjonsteorien, vi vil h forventet t de siste to formler hdde grd 0 og 2. Det vises seg t de er tilfelle v spesiel kvdrtur, bsert på ortogonle polynomer (og også oddnoder Newton-Cotes). Midpunkt: tilhører til Guss klssen, Simpson: tilhører til Guss-Lobtto klssen, n punkter grd 2n 1 n punkter grd 2n 3. Det som skjer er t hvis nodene er fikset, forventer mn smme grden som interpolering polynom Om mn hr frihet v å velge kvdrtur nodene, kn mn bruke det ekstr frihet (de n posisjonene v nodene) til å h høyere grd d 2n 1. Guss kvdrtur er den som hr høyst grd, 2n 1. Bck

9 Kvdrtur feil Vi konsiderer en kvdrtur formel Q n som er bsert på n noder: I(f) Q n (f) = f(x)dx p n 1 (x)dx = (f(x) p n 1 (x))dx Hvis h = mx{x i+1 x i }, d dermed f(x) p n 1 (x) dx f p n 1 dx = (b ) f p n 1 w(x) (b ) w(x) f (n) n! h n 4(n 1)! I(f) Q n (f) (b ) hn 4n f (n) hn+1 4 f (n) 9/18 Bck

10 Vi kn konkludere t: Jo flere punkter, mindre feil Om vi er ikke fornøyd med pproksimsjonen, vi kn t flere punkter. D er de lurt å kunne gjenbruke det vi hr fr før, w i, f(x i ). Derfor bør mn velge en progrssiv regel, og det vil si t de nye punkter includere de gmble. feilen er vhenging v høyere deriverte v f 10/18 Bck

11 Stbilitet v numerisk kvdrtur Vi hr sett t kvdrtur er et gnske stbil problem. Hv om numeriske kvdrtur? L oss nt t vi kvdrere ˆf istede v f: 11/18 Husk t: Q n ( ˆf) Q n (f) = Q n ( ˆf f) = w i ( ˆf(x i ) f(x i )) w i ˆf(x i ) f(x i ) ( ) w i ˆf f Q n integrerer kostntene ekskt w i = b Bck

12 ( ) Q n ( ˆf) Q n (f) w i ˆf f Derfor vi kn konkludere t: Hvis vektene w i er positive, d n w i = n w i = b og den numeriske kvdrtur formel er like stbil som den teoretisk kvdrtur Hvis noen v de vektene w i er negtive, d kn n w i > b og den numerisk kvdrtur kn være ustbil. 12/18 Mn burde ikke bruke ustbile metoder! Bck

13 Newton-Cotes kvdrtur Det letteste måte å plssere nodene er å h ekvidistnte noder i [, b]: 13/18 For en n-noder åpen formel x i = + i b, i = 1, 2,..., n, n + 1 n-noder lukket formel x i = + (i 1) b n 1, i = 1, 2,..., n Kvdrtur formler bsert på disse noder klles for Newton-Cotes kvdrtur. Bck

14 De mest kjente N-C formler er: 14/18 Midpunktreglen, M(f) = (b )f( b+ 2 ), Trpesreglen, T (f) = b (f() + f(b)), 2 Bck

15 15/18 Simpsonsreglen, S(f) = b 6 (f()+4f(+b 2 )+f(b)), Bck

16 Integrsjonsfeil for M(f), T (f), S(f) Derivsjon v feilen: se tvl 16/18 Midpunktregel er to gnger mer presis en Trpes selv om det er bsert på 1 node (trpes bruker 2 noder) Deres vektet summe kn brukes til å regne ut feilen Ved å hlvere intervllet, reduserer vi feilen v en fktor 1/8 Ved å kombinere midpunkt og trpes finner vi Simpsons regel og feilen: I(f) = 2 3 M(f) T (f) 2 3 F (f) + = S(f) 2 3 F (f) + Bck

17 Oppsummering for N-C kvdrtur De er lette å implementere, 17/18 mn kn vise t N-C formler med n odd hr grd n istedet v bre n 1. MEN: de kn gi seriose problemer: husk diskusjonen om interpolsjonsfeil ved ekvidistnte punkter... Alle N-C formler hr minst en negtiv vekt for n 11. Fktisk, mn kn vise t w i n I prksis: og derfor N-C kvdrtur blir veldig dårlig kondisjonert og ustbilt og mn risikere knsellering v signifiknte siffre. Om vi vil h høyre presisjon med mnge punkter, vi kunne h vlgt Chebyshev punkter (Clenshw-Curtis kvdrtur), men disse formler er ikke optimlt siden n punkter gir grd n 1 bre. mn deler [, b] i mnge små intervller v størrelse h Bck

18 mn bruker lv grds formler i de sm intervller NESTE GANG: Komposisjonsregle Numerisk derivsjon 18/18 Bck