TMA4100 Matematikk 1 Høst 2006

Transkript

1 TMA4 Mtemtikk Høst 26 Norges tekisk turviteskpelige uiversitet Istitutt for mtemtiske fg Løsigsforslg, vsluttede eksme De første greseverdie er e uestemt form v type "/", og L Hopitls regel gir l x lim x x 2 /x x 2x x 2x 2 = 2. De dre greseverdie er v form " ". Vi ifører derfor e y vriel [ ) /x 2] y = l x2 = x ) 2 2 l x2 = l x2 /2) 2 x 2. Dee er v form "/" år x, og L Hopitls regel gir lim y x 2 /2 x) x x 2x x 2 x 2 /2) = 2, og derfor er de opprielige greseverdie gitt ved lim e y = e /2 = x e /2. 2 Vi fktoriserer ever og skriver på delrøk: Gger vi så med xx + ), får vi x 2 x 2 + x = x 2 xx + ) = A x + B x +. x 2 = Ax + ) + Bx. Ved å sette x = får vi 2 = A, og x = gir 3 = B, dvs. B = 3. Altså er x 2 x 2 + x dx = 3 x + 2 ) dx = 3l x + 2l x +C = l x + 3 ) lx 2 ) +C. x 3 De første rekke skriver vi ), der = +. Me side = lim + ) =, ser vi t leddee ) i rekke ikke kovergerer mot ull. Fr -te leddsteste kokluderer vi derfor t ) + divergerer. = 9. desemer 26 Side v 5

2 Løsigsforslg, vsluttede eksme De dre rekke skriver vi, der = = 2. Vi ser t år er stor, så er leddet + i evere til eglisjerrt smmeliget med leddet 2, så vi forveter t rekke oppfører seg på smme måte som rekke med ledd = 2 =. For å evise dee formodige ruker vi gresesmmeligigsteste. Side lim / 2 =, kokluderer vi fr gresesmmeligigsteste t rekkee og ete egge kovergerer eller egge divergerer. Me er ikke et e de hrmoiske rekke, som vi vet divergerer. Svret er ltså t = 2 + divergerer. 4 Både T og sylidere som ores ut er rotsjoslegemer om y-kse, og det smme er derfor tilfellet for de gjeværede dele v T, som vi kller S. Vi ser t S fremkommer ved å rotere området x 2, y 4 x 2 om y-kse. Syliderskllmetode gir d volumet V v S som itegrlet V = 2 [ 2πx4 x 2 )dx = 2π 2x 2 ] 2 [ 4 x4 = 2π 8 4) 2 )] = 2π = 9π 2. Altertivt k vi ruke skivemetode med tverrsitt vikelrett på y-kse. D må vi først merke oss t de øvre itegrsjosgrese for y er 4 2 = 3. Tverrsittet er d e sirkulær rig med idre rdius lik og med ytre rdius lik x = 4 y, som vi får ved å løse y = 4 x 2 for x, med x. Vi får d V = 3 [ 4 ) 2 π y 2] d y = 3 π [ 4 y) ] [ d y = π 3y ] 3 2 y2 = π 9 9 ) = 9π 2 2. Ekelte vil kskje tolke dee oppgve slik t det ku er e sylider med pl toppflte som ores ut. I så fll må vi legge til volumet v klotte som er igje på toppe, som ved syliderskllmetode er V = og totlvolumet lir d V +V = 9π 2 + π 2 = 5π. 2πx [ 4 x 2 ) 3 ] dx = π 2, 9. desemer 26 Side 2 v 5

3 Løsigsforslg, vsluttede eksme Ved å sette x = t 2 i i de oppgitte rekke for si x, får vi sit 2 ) = t 2 t 6 3! + t t ) k t 4k+2 5! 7! 2k + )! + = ) k t 4k+2 2k + )!. k= Ved å dividere hvert ledd med t 2 får vi rekke sit 2 ) t 2 = t 4 3! + t 8 5! t ) k t 4k 7! 2k + )! + = ) k t 4k 2k + )!. k= At dee rekke kovergerer for lle t k vi slutte direkte fr det fktum t rekke for si x kovergerer for lle x. Evt. k m ruke forholdstest for å se dette.) Leddvis itegrsjo er derfor gyldig, og gir følgede represetsjo v fuksjoe f : x sit 2 ) f x) = t 2 dt = = x ) k k= t 4k 2k + )! dt ) k x 4k+ 4k + ) 2k + )! k= = x x5 5 3! + x9 9 5! x3 3 7! + + )k x 4k+ 4k + ) 2k + )! +. For å esvre det siste spørsmålet, setter vi x =, som gir sit 2 ) t 2 dt = 5 3! + 9 5! 3 7! + 7 9! + + )k 4k + ) 2k + )! +. Dette er e ltererede rekke hvis ledd i soluttverdi er mootot vtgede og kovergerer mot ull. Vi k derfor vede resteleddsestimtet for slike ltererede rekker, som sier t restledd este ledd. Vi må derfor fie det første leddet i rekke med soluttverdi midre e 6. Utregig gir 5 3! = 3, 9 5! = 8, 3 7! = 6552 og 7 9! = > 6. Vi hr derfor sit 2 ) t 2 dt 5 3! + 9 5! 3 7! = , med vvik grtert midre e 6 i soluttverdi. 6 Fr figure ser vi t tθ = x, og derivsjo mhp. tide t gir, side d dθ tθ) = + t2 θ, + t 2 θ ) dθ dt = dx dt. 9. desemer 26 Side 3 v 5

4 Løsigsforslg, vsluttede eksme Me dx/dt = 5, og i det øyelikk x = 2, hr vi tθ = 2/ = 2, så ) dθ dt = 5 Svret er derfor dθ dt = rd/s. 7 ) Vi seprerer de vrile: og itegrerer: dx x = dt, dx x = ) l x = dt = t +C. Side x = år ehdlige strter, ser vi t x må være positiv, så vi k fjere soluttverdie. Det gir l x) = t +C 2, og videre x = e l x) = e t+c 2 = Ce t C = e C 2 ). Løser vi dette for x, får vi xt) = Ce t ). Su foruft sier t x = ved strte v ehdlige, så hvis m setter t = ved strte v ehdlige, må det godts å ruke x) = som e iitiletigelse. I så fll lir svret xt) = e t ).) Vi ser d t der vi rukte t lim t e t =, side >. lim xt) = t C ) lim t e t =, ) Vi setter t = i det klokke er 3.. De gitte etigelsee sier d: ) 2) 3) Betigelse ) gir: Derfor er x) = C xt) = x) =, x) =, x2) = 5. = = C =. e t ). Betigelsee 2) og 3) gir d 4) 5) e ) =, e 2) = 5, 9. desemer 26 Side 4 v 5

5 Løsigsforslg, vsluttede eksme og dette ligigssystemet må løses for og. Kepet er å å se t e 2) = e ) + e ), fr 3. kvdrtsetig. Deler vi ligig 5) på ligig 4), får vi derfor + e = 5 = e = 2 = = l2. Istt i 4) gir dette Vi kokluderer t l2 = = = 2l2. 2 xt) = 2 e t l2) = 2 2 t ). Vi løser til slutt ligige xt) = 9, dvs., 2 e t l2) = 9 e t l2 = 2 t = l2 l2 4,32, som omreget til klokkeslett lir 3+4 = 7 timer og,32 6 = 9,2 miutter. Vi igorerer sekuder, og svret lir derfor itte miutter over fem om ettermiddge: kosetrsjoe år 9 mg/l klokke desemer 26 Side 5 v 5