HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdelig for tekologi Målform: Bokmål Eksmesdto: 3. mrs 04 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsser: Studiepoeg: Bygg, Elektro, Mski, Kjemi, Logistikk, Mteriltekologi 5 stp Fglærer: Ror Berge (tel ) Kotktperso(dm.) Hjelpemidler: Oppgvesettet består v: Vedlegg består v: Klkultor, type 8 oppgver, 3 sider, ikludert dee forside Formelsmlig, 5 sider Merkd: Oppgvetekste k beholdes v studeter som sitter eksmestide ut. NB! Les gjeom hele oppgvesettet før du begyer rbeidet, og dispoer tide. Dersom oe virker uklrt i oppgvsettet, skl du gjøre die ege tgelser og forklre dette i besvrelse. Alle svr skl begrues. Det må ts med så mye mellomregig t frmggsmåte går tydelig frm v besvrelse. Oppgvesettet består v 0 delpukter, som lle teller likt. Lykke til!

2 Oppgve E prtikkel med msse m beveger seg lgs be rt () der Fi rt () 3 r ' ( t) v( t) t,3 t, 4t., og fi deretter et uttrykk for krfte som skl til for å holde msse i be. Oppgve Beytt Grees setig til å berege der er sirkele y 4 3 (3 ) (7 ) y d y dy Oppgve 3 Lg e figur som viser vektorfeltet F(,y) y, Figure skl h mist 8 vektorer fordelt på lle 4 kvdrtee.. Bereg Fdr der kurve er lgs ehetssirkele fr P0(,0) til P (0,). Oppgve Gitt vektorfeltet Fyz (,, ) yz, yz, 3yz er de rette lij mellom puktee P0 og P. ) Vis t vektorfeltet er koservtivt, fi feltets potesilfuksjo og bereg Fdr., puktee P0(,0,0) og P (,,) og kurve som b) Bereg Fdr på ytt, å ved å prmetrisere kurve. Oppgve 5 Et volum er vgreset v fltee y z z y z 4og, 0. Bereg volumet ved hjelp v kulekoorditer. Teg figur.

3 Oppgve 6 Gitt et legeme vgreset v rotsjosprboloide homoget, hr mssetetthet og volum 8. F(, y, z), y, z. Gitt er også vektorfeltet z f y y z (, ) 4 og plet 0. Legemet er ) Beytt divergessetige og fi totl fluks ut fr legemet. Teg figur. b) Fi legemets tygdepukt (msseseter). Oppgve 7 Gitt vektorfeltet F(, y, z), y, z og et pl S er gitt ved y5z 0 i første oktt. Teg figur v flte og bereg flukse opp fr plet. Oppgve 8 Bereg relet v de dele v plet z y Teg figur v D. som ligger over. D, y 0,, y,

4 Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 03-4 Poteser og rotstørrelser m m m+ m m m,, ( b) b, ( ),, b b, m, b b ( ) Trigoometri m m 0 si( ± y) si cos y ± cos si y, cos( ± y) cos cos y si si y, cos + si si ( cos( )), cos ( + cos( )), cos cos si, si si cos Logritmer og regeregler for logritmer y l Nturlig logritme: y l e der e, 7888 er Eulers tll. Altså er e. t Regeregler: l( b) l + l b, l ( ) l l b, l t l b Derivsjo dy f ( + ) f ( ) Defiisjo: y ' f '( ) lim d 0 Geerelle derivsjosregler der u u( ), v v( ): ( u ± v) ' u ' + v ', ( k u)' k u ' der k kostt, ( u v) ' u ' v + u v ', u ' u ' v u v ' dy du, ( f ( g( ))) ' f '( u) u ' der u g( ) v v du d De deriverte v oe elemetære fuksjoer k ' 0 der k kostt r ( )' r (l )' ( e ) ' e r ( )' l (si ) ' cos (cos )' si (t )' + t cos (rcsi )' (rct ) ' + Det ubestemte itegrl f d F + F f [ ± ] ± Defiisjo: ( ) ( ) der '( ) ( ) og er e vilkårlig kostt. Egeskper: k f ( ) d k f ( ) d der k kostt, f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d

5 Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 03-4 Det ubestemte itegrl til oe fuksjoer k d k + r + +, d l + r r+ d r e d e + si d si + 4 cos d + si + 4 d rcsi + d rct + + d + l si d cos + cos d si + cos ( t ) t d + d + Itegrsjosmetoder Substitusjosmetode: f ( g( )) g '( ) d f ( u) du der u g( ) og du g '( ) d b g ( b) f ( g( )) g '( ) d f ( u) du g ( ) Delvis itegrsjo: u v ' d u v u ' v d der u u ( ), v v ( ) Vektorer Notsjo: [,, 3 ] i + j + 3k e + ey + 3ez Legde: Sklrprodukt: b b + b + 3b3 b cosθ e ey ez Kryssprodukt: b 3 ( b3 3b ) e ( b3 3 b ) ey + ( b b ) e z b b b3 Legde v b : b bsiθ Vektor fr P(, y, z ) til Q(, y, z ) : PQ, y y, z z [ ] Prmeterfrmstillig v kurver Rett lije: r( t) r0 + t v Rett lije fr r til r : r( t) t r + t r, t 0, 0 0 ( ) [ ] [ ] [ Ehetssirkele med setrum i origo: r( t) cos t,si t, t 0, π >

6 Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 03-4 Pl Et pl gjeom P(, y, z ) med ormlvektor, b, c : ( ) + b( y y ) + c( z z ) 0 [ ] Vektorfuksjoer d r Romkurve: r( t) [ f ( t), g( t), h( t) ] Derivsjo: r '( t) [ f '( t), g '( t), h '( t) ] dt r '( t) Itegrsjo: r( t) dt f ( t) dt, g( t) dt, h( t) dt Ehetstgetvektor: T ( t) r '( t) t t T '( t) Ehetsormlvektor: ( t) Legde v kurve : ds v( t) dt r '( t) dt T '( t) t t0 t t0 Fuksjoer v to eller flere vrible: Kjereregele: At z f (, y), g( t) og y h( t). dz df d df dy D er + f r '( t) dt d dt dy dt Trippelitegrl: Volum dv Msse til E : dm ρ(, y, z) dv E E E Tygdepuktets koordit (, y, z ): dm ρ(, y, z) dv, m m y y dm y (, y, z) dv, z z dm z (, y, z) dv m ρ ρ m m m E E E E E E Koorditsystemer: Polrkoorditer ( r, θ ) : r cos θ, y r si θ, da rdrdθ Syliderkoorditer ( r, θ, z) : r cos θ, y r si θ, z z, dv rdrdθdz Kulekoorditer ( ρ, ϕ, θ ) : ρ cosθ si ϕ, ρ siθ si ϕ, ρ cos ϕ, ρ siϕ ρ θ ϕ y z dv d d d 3

7 Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 03-4 Vektorlyse: Sklrfelt: f f (, y, z) Vektorfelt: F F(, y, z) P(, y, z), Q(, y, z), R(, y, z) [ ] f f f P Q R,,, grd f f,,, div F F y z y z + + y z e ey ez R Q R P Q P curl F F, ( ), y z y z z y P Q R Koservtivt vektorfelt F: F f, f er feltets potesilfuksjo Fudmetlteoremet: F dr f dr f ( r( t )) f ( r( t )) 0 Sirkulsjoe til F rudt e kurve : F dr, dr d, dy, dz v dt Flteitegrl til g over e flte S : g ds Fluks til F over e flte S : Φ F ds S S [ ] Q P Grees setig: F dr ( Pd + Qdy) ( ) da ( F) ez da y D D Arel med Grees setig: A dy y d ( dy y d) Stokes setig: F dr ( F) ds, er rdkurve til S. S Divergessetige: F ds div F dv, S er rdflte til E. S Fluks til F over kurvestykket : F ds ( Qd + Pdy) E P Q Fluks til F over lukket kurve : F ds ( Qd + Pdy) + da F da y R R Prmeterfrmstillig v flte: Defiisjo: r( u, v) [ ( u, v), y( u, v), z( u, v) ] r r Tgetvektorer til flte: ru ( u, v), rv ( u, v) u v Normlvektor til flte: N ru rv Arelelemet: ds ds NdA, der daer projeksjoe i i uv-plet. 4

8 Progrm for llmefg Mtemtikk 4 Avdelig for tekologi Emeummer ALM304V Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 03-4 Uttrykk for ds og ds ved beregig v flteitegrl: Projeksjo i i y - pl: z f (, y), da ddy, ds + ( ) + ( ) da, ds ±,, da Projeksjo i i z - pl: y f (, z), da ddz, ds + ( ) + ( ) da, ds ±,, da Projeksjo i i yz - pl: f f f f y y f f f f z z f f f f f ( y, z), da dydz, ds + ( ) + ( ) da, ds ±,, da y z y z. ordes homogee, lieære differesillikiger y y, y y( ), kostt Løsig: y e y f ( ) y, f ( ) er e vilkårlig fuksjo Løsig: y e f ( ) d. ordes homogee, lieære differesillikiger med kostte koeffisieter y + by + cy 0 hr geerell løsig y c y + c y, Krkteristisk likig: r br c 0 der y og y er to lieært uvhegige løsiger. + + ) b 4 c 0 gir to forskjellige reelle løsiger v krkteristisk lik > Løsig v differesillikige : y c e + c e ) 4 0 gir to like reelle løsiger v krkteristisk likig : 3) b r r r ig, r og r. b b c r r r α r Løsig v differesillikige : y c e + c e 4 c < 0 gir to forskjellige komplekse (kojugerte) b 4c b løsiger v krkteristisk likig: r α ± iβ ± i α Løsig v differesillikige : y c e cos β + c e si β α 5