Løsningsforslag Kollokvium 6

Transkript

1 Løsningsforslg Kollokvium februr 25

2 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 6. Oppgve Diskusjonsoppgve Diskuter følgende spørsmål med hverndre og prøv å bli enige om noen svr: Hv betyr det t en tilstnd er en egentilstnd for en opertor? Svr: En egentilstnd Ψ til en opertor ˆQ er en funksjon som oppfyller ligningen ˆQΨ qψ, hvor q er et tll muligens komplekst. q klles den tilhørende til Ψ egenverdien. b Kn en tilstnd være en egentilstnd for både opertoren ˆx og opertoren ˆp smtidig? Svr: Nei. Grunnen er t de to opertorene ikke kommuterer. Vi hr sett på forelesning t ˆx, ˆp ˆxˆp ˆpˆx i h. L oss nt t Ψ er en egentilstnd til ˆp, ltså t det finnes ett tll q slik t ˆpΨ qψ, 2 og Ψ smtidig er en egentilstnd til ˆx med egenverdi, ˆxΨ Ψ. 3 D er men smtidig må ˆxˆpΨ ˆxqΨ qˆxψ qψ, 4 ˆxˆpΨ ˆpˆx+i hψ ˆpˆxΨ+i hψ ˆpΨ+i hψ qψ+i hψ. 5 Dette er en selvmotsigelse, ltså må ntgelsen om smtidig egenfunksjon være feil. c Hv kn vi vite om målinger på tilstnder som ikke er egentilstnder til en bestemt hermitisk opertor som tilhører en observbel? Svr: Dersom Ψ ikke er en egentilstnd til opertoren ˆQ som tilhører observbelen Q så vet vi fortstt t vi får egenverdiene til ˆQ når vi måler Q med forskjellige snnsynligheter. Siden dette ikke er bre en verdi vet vi t spredningen på målingene er forskjellig fr null. Altså er ikke Q skrpt bestemt for tilstnden.

3 Oppgve 2 Gøy med lineærlgebr I lineærlgebr definerer mn et indreprodukt mellom to vektorer u og v som en generlisering v det velkjente sklrproduktet u v. For å unngå smmenblnding med notsjonen til det gmle sklrproduktet kn vi begynne å skrive indreproduktet som u v, hvor vi hr droppet å skrive vektorpilen for enkelhets skyld. Et indreprodukt må oppfylle følgende egenskper hvor k og k 2 er to, muligens komplekse, tll: i u v v u, 6 ii u k v +k 2 w k u v +k 2 u w, 7 iii u u, og u u hvis og bre hvis u. 8 Bruk dette til å vise t den følgende definisjonen oppfyller lle krvene til et indreprodukt for to funksjoner fx og gx: f g f xgxdx, 9 dersom de involverte integrlene finnes ikke er uendelige. Svr: Vi begynner med å vise egenskp i: f g f xgxdx fxg xdx g xfxdx f g. Egenskp ii kn vises som ved hjelp v en tredje funksjon hx: f k g +k 2 h f xk gx+k 2 hxdx k f xgxdx +k 2 f xhxdx k f g +k 2 f h. 2 Det er viktig her t lle integrlene som er involvert fktisk er endelig. Hvis ikke hr jeg ikke uten videre lov til å dele de opp på den måten jeg gjør. Vi nevner t det er tilstrekkelig for t integrlet i indreproduktet 9 skl finnes t fx 2 dx < og gx 2 dx <. Vi sier d t funksjonene f og g er kvdrtisk integrerbre.

4 For den siste egenskpen så kn vi legge merke til t f f f xfxdx fx 2 dx. 3 Siden fx 2 for lle verdier v x så må dette integrlet være positivt eller null. Altså må f f. Det er bre ekskt null dersom fx. 2 Vi må derfor tolke funksjonenfx som en nullvektor i dette vektorrommet. Oppgve 3 Mer gøy med lineærlgebr Hr du tenkt over t både vektorer og mtriser godt kn bestå v komplekse tll? For vektorer er det nok å utvide definisjonen v det euklidske sklrproduktet mellom to n-dimensjonle vektorer v og w til å være w v w v +w 2 v w n v n. 4 I lineærlgebr hr vi sett symmetriske mtriser hvor den trnsponerte v mtrisen er den smme, ltså t gitt en mtrise A så er A T A. Dette begrepet kn utvides til såklte hermitiske mtriser. Vi definerer den hermitisk konjugerte mtrisen A som den mtrisen du får når du både trnsponerer og komplekskonjugerer tllene i mtrisen, ltså er A A T. En hermitisk mtrise A hr d A A. Vis t de såklte spinn-mtrisene Ŝ h 2, Ŝ 2 h 2, Ŝ 3 h 2, 5 er hermitiske, finn Ŝ2 Ŝ2 +Ŝ2 2 +Ŝ2 3 og vis t den også er hermitisk. Svr: Vi begynner med å vise t mtrisene er hermitiske ved å finne den hermitisk konjugerte, Ŝ h 2 Ŝ 2 h 2 Ŝ 3 h 2 h 2 h i 2 h 2 T h 2 Ŝ, 6 T h 2 7 T h OK d, så bløffer jeg litt her. For de mtemtisk interesserte så må jeg inrømme t det ikke er helt snt. fx kn nemlig være forskjellig fr null i enkeltpunkter, og integrlet vil fortstt være null. Fktisk så kn den være forskjellig fr null i uendelig mnge punkter så lenge det er et tellbrt ntll. Vi sier t lle funksjoner som er like bortsett fr i et tellbrt uendelig ntll punkter er i smme ekvivlensklsse, og disse regnes med i smme vektor.

5 Så finner vi Ŝ2 : Ŝ 2 Ŝ2 +Ŝ2 2 +Ŝ2 3 h2 + h h2 4 h h2 4 3 h2 Î, 9 4 hvor Î er identitetsmtrisen. Dette betyr t Ŝ2 også er hermitisk fordi Ŝ2 3 h2 4 Î 3 h2 4 Î Ŝ2. 2 Du klrer sikkert også å vise t summen v hermitiske mtriser med reelle koeffisienter, og produktet v hermitiske mtriser lltid er hermitiske? Fortsett med å vise t χ +, χ, 2 er egenvektorer til både Ŝ3 og Ŝ2, og finn egenverdiene. Dersom spinnmtrisene er de hermitiske opertorene til observble størrelser, hv betyr dette for målinger v disse observblene? Svr: Ŝ 3 χ + h 2 h 2 h 2 χ +, 22 og Ŝ 3 χ h 2 h 2 h 2 χ, 23 ltså er χ + og χ egenvektorer til Ŝ3 med egenverdier h/2 og h/2. Videre er Ŝ 2 χ + 3 h2 3 h2 3 h χ +, 24 og Ŝ 2 χ 3 h2 4 3 h2 4 3 h2 4 χ, 25

6 ltså er χ + og χ egenvektorer til Ŝ2, begge med egenverdi 3 h 2 /4. Dersom spinn-mtrisene er de hermitiske opertorene til observble størrelser og det vil det vise seg t de er, så betyr det t egenverdiene over er de eneste verdiene vi kn måle for disse observblene. En 2 2-mtrise hr mksimlt to lineært uvhengige egentilstnder og to egenverdier. Som en skikkelig utfordring til de som hr lyst lr vi de følgende tre utsgnene stå ubevist til slutt:. Egenverdiene til en hermitisk mtrise er lltid reelle. 2. Egenvektorene til en hermitisk mtrise som tilhører forskjellige egenverdier er lltid ortogonle. 3. For en hermitisk mtrise A og to vektorer v og w er sklrproduktet w A v A w v. Fortvil ikke om du ikke får til å bevise dette, men let gjerne opp et bevis i en lærebok eller på nettet. Ser du smmenhengen mellom de tre punktene over, og det du vet om hermitiske opertorer?