Logaritmen til et tall er det vi må opphøye 10 i for å få tallet. Logaritmen til et tall a kan vi indirekte definere slik:

Transkript

1 Logritme til et tll er det vi må opphøye 10 i for å få tllet = 100 Logritme til 100 er 2. log 100 = = 1000 Logritme til 1000 er 3. log 1000 = 3 Logritme til et tll k vi idirekte defiere slik: log 10 = Klkultore k fortelle oss t log = 5, log , Det er korrekt,

2 Logritmer Når vi bruker 10 som grutll, kller vi logritmee for briggske logritmer etter Hery Briggs ( årstllee vrierer litt i forskjellige kilder). Hery Briggs ble begeistret år h leste bok Logrithmorum cois descriptio v Joh Npier ( ), og publiserte logritmee til heltll med 14 desimler og 10 som grutll. I dette kpitlet skl vi bruke briggske logritmer, me ever t det irrsjole tllet e = 2, også er mye brukt som grutll. Når vi bruker grutllet e, kller vi logritmee turlige logritmer.

3 Tidligere ble logritmer mye brukt år e skulle multiplisere og dividere store tll. m = + m m = m b = 10 log 10 log b = 10 log + log b b 10 = 10 log log b = 10 log log b 1. logritmesetig: log( b) = log + log b 2. logritmesetig: log( ) = log log b b =? log , log , log log , , = 8, I e tilogtbell kue e fie t det tllet som hdde logritme 8, , vr tllet =

4 Ekspoetilligiger = (10 log ) = 10 log = 10 log 3. logritmesetig: log ( ) = log x = b x log ( x log = ) = log b De 3. logritesetige log ( ) = log x forteller oss t log ( ) = x log log b x = log b log

5 Ligige 7 x = løser vi slik: 7 x = x log (7 ) = log16807 x log 7 = log16807 x = log16807 log 7 x = 5

6 P N Formele A N = A0 (1 + ) k fortelle oss verdie etter N år 100 ( A N ) år strtverdie er A 0 og de årlige vekste er på P % i N år. DersomA N, A 0 og P er kjet og N ukjet, får vi e ekspoetilligig. Vi k for eksempel fie hvor mge år et bkiskudd må stå urørt for å fordoble seg år rete er 5 %, slik (størrelse på iskuddet er ute betydig her vi lr det være 1 kroe): 2 = 1 (1 + 5 N ) = 1 1,05 N 1,05 N = 2 log (1,05 N ) = log 2 N log1,05 = log 2 N = log 2 log1,05 N 14,2 Et bkiskudd må stå urørt i 15 år for å bli dobbelt så stort år rete er 5 % p..

7 Dterig og ekspoetilligiger C-14 er et rdioktivt krbotom. Hlverigstide til C-14 er 5730 år. C-14-metode, som reges som sikker opp til år (oe sier år), får du vite mer om i turfg. Dersom 10 % v de opprielige C-14-tomee er igje i et fu, fier vi ldere ved å løse ekspoetilligige 0,5 x = 0, 1. Løsige forteller oss hvor mge gger C-14-megde er hlvert (0,5) år bre 10 %, dvs. år 10 = 0, 1 er igje ,5 x = 0,1 x log (0,5 ) = log 0,1 x log 0,5 = log 0,1 x = log 0,1 log 0,5 x 3,3219 Løsige er troverdig. 1 hlverig reduserer C-14-megde til 50 %, 2 hlveriger reduserer de til 25 %, 3 hlveriger reduserer de til 12,5 % osv. C-14-megde er hlvert 3,3219 gger. Hver hlverig tok 5730 år. Prøve (fuet) vi udersøker er rudt 5730 år 3, år gmmel.

8 KONTROLLOPPGAVE K3 Et leksiko k fortelle følgede om ppyrus: Cyperus ppyrus, sumpplte i strrfm. Itil 5 m høy. Av mrge på de trektete steglee ble det i oldtide, særlig i Egypt, lget meget holdbrt ppir, som også klles ppyrus. Arkee ble oftest føyd smme til lge ruller, brukt til å skrive på. E C-14-udersøkelse v e bit v e ppyrusrull viser t 65 % v de C-14-megde som vr i de eller de pltee som bite stmmer, er igje. C. hvor gmmel er ppyrusrulle? {3560}

9 Vi er logritmiske Skisse over forteller oe om hvord vi er skpt. Dersom vi spiller A-ee fr vestre mot høyre, syes vi t sprgee i toehøyde er like. Me de blir større og større. Dette forholdet forklrer vi ofte ved å si t vi oppftter toehøyde logritmisk.

10 Vi er logritmiske Dersom vi teker oss t vi kue høre e toe på 1 Hz, ville vi også høre like toesprg år vi spilte toee 1 Hz, 2Hz, 4Hz, 8 Hz, 16 Hz osv. x-verdiee er logritmee til toehøydee dersom vi lr logritmesystemet h grutllet 2. Logritme til et tll blir d det vi må opphøye 2 i for å få tllet. Logritme til for eksempel 16 blir 4 fordi 2 4 = 16. Vi syes toesprgee er like, me det er logritmee som øker med like mye (her med 1) i hvert toesprg. Derfor sier vi t vi oppftter toesprgee logritmisk.

11 Vi er logritmiske I bok Elemets of Psychophysics som kom ut i 1860, påsto forfttere G. T. Fecher t smmehege mellom stimuli og persepsjo er logritmisk. Med det mete h t vi ikke bre sser lyd, me også lys, vrme, smk, lukt, tid osv. logritmisk. Påstde reges som s og klles ofte Fechers lov. FORSLAG Forbered et foredrg du forklrer hv det vil si å måle lydstyrke i db og styrke på jordskjelv på Richter s skl og t vi oppftter edrig i lydstyrke og jordskjelvstyrke logritmisk.