UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: STK1110 Sttistiske metoder og dtnlyse 1 Eksmensdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksmen: Oppgvesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tilltte hjelpemidler: Tell over normlfordelingen Formelsmling for STK1100/STK1110. Godkjent klkultor. Kontroller t oppgvesettet er komplett før du egynner å esvre spørsmålene. Oppgve 1 L X være inomisk fordelt med prmetre n som ntll forsøk og p som suksessnsynlighet, X B(n, p). En estimtor for p er d gitt ved ˆp = X n. Vis t ˆp er forventningsrett. Utled et uttrykk for vrinsen til ˆp. Forklr hv en likelihoodfunksjon er og vis t L(p) = ( n X) p X (1 p) n X er likelihooden for p i dette tilfellet. Vis t ˆp = X n er mksimum likelihood estimtor for p. Benytt likelihoodteori for å finne et (tilnærmet) uttrykk for vrinsen til ˆp. Smmenlign med vrinsuttrykket fr punkt. c Tilnærmet hs t Z(p) = ˆp p p(1 p) n er godt stndrdnormlfordelt når np > 10 og n(1 p) > 10. Bruk dette til å konstruere en hypotesetest med tilnærmet 5% nivå for H 0 : p = p 0 mot H : p p 0. Utfør testen når X = 15, n = 50 og p 0 = 0.5. Finn også tilnærmet P-verdi for testen. (Fortsettes på side 2.)

2 Eksmen i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 2 d Forklr hvorfor mengden {p : Z(p) < 1.96} lir et tilnærmet 95% konfidensintervll for p. Vis hvordn dette intervllet kn vleses grfisk ved å plotte Z(p) mot p. Vis også t intervllet kn finnes nlytisk ved å løse en 2.grdsulikhet (men du skl ikke utlede de fktiske løsningene, de er oppgitt under). e Løsningen på 2.grdsulikheten kn uttrykkes som (dette skl du ikke vise!) ˆp /2n /n ± 1.96 ˆp(1 ˆp) /4n n /n Når n er stor kn ledd v typen /n ignoreres. Finn forenklingen v intervllet etter denne tilnærmingen. Smmenlign dette intervllet med det tilnærmede 95% konfidensintervllet du får sert på t ˆp p ˆp(1 ˆp) n er tilnærmet stndrdnormlfordelt. Vis utledningen v konfidensintervllet sert på denne tilnærmingen. Oppgve 2 Dtene i denne oppgven kommer fr et eksperiment vedrørende reduksjon i isoleringsevne for en elektrisk isoltor som hr litt utstt for ulike nivåer v tempertur over vrierende lengde v tid. Responsvrielen er isoleringsevne i kilo-volt og forklringsvrilene er tid i uker og tempertur målt i Celciusgrder. Totlt ntll oservsjoner er n = 128 og det er fire målinger v isoleringsevne for hver kominsjon v tempertur (med nivåer 180, 225, 250 og 275 grder i Celcius) og tid (med 8 nivåer 1, 2, 4, 8, 16, 32, 48 og 64 uker). Vi hr således et lnsert design. Vi vil enytte forklringsvrilene kodet numeriske som x 1i = grder Celcius og x 2i = log(tid) og respons vrilen Y i = isoleringsevne i KVolt for oservsjon nr. i. I en første modell etrktes en enkel lineær regresjonsmodell Y i = β 0 + β 1 x 1i + ε i for i = 1,..., n der ε i -ene nts uvhengige og normlfordelte med forventning null og ukjent vrins σ 2. Bestem og fortolk minste kvdrters estimtene for β 0, β 1 smt estimtet for σ fr R-output øverst på neste side. Forklr hvordn minste kvdrters estimter estemmes (det spørres ikke om en detljert utledning v formler for estimtene). (Fortsettes på side 3.)

3 Eksmen i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 3 Forklr hvordn P-verdien for vrilen Tempertur eregnes. Spesifiser null hypotesen og den lterntive hypotesen som testes. Benytt utskriften til å finne empiriske korrelsjon mellom x 1i -ene og Y i -ene. > summry(lm(strength~temperture)) Coefficients: Estimte Std. Error t vlue Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 Temperture <2e Residul stndrd error: on 126 degrees of freedom Multiple R-squred: ,Adjusted R-squred: F-sttistic: on 1 nd 126 DF, p-vlue: < 2.2e-16 Under ser du utskrift fr tilpsning v en modell Y i = β 0 +β 1 x 1i +β 2 x 2i +ε i, ltså med forklringsvriel x 2i lgt til i modellen og ellers de smme ntgelsen for ε i -ene som i punkt ). Forklr hvorfor estimtet for β 1 er det smme som i punkt ). Gi en diskusjon v hv som hr skjedd med estimtet for σ og for den multiple R-squred verdien. Forklr også effekten på stndrdfeilen til ˆβ1. Gi en forklring for disse endringene. Bestem korrelsjonen mellom Y i -ene og x 2i -ene. > summry(lm(strength~temperture+log(time))) Coefficients: Estimte Std. Error t vlue Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 Temperture <2e-16 log(time) <2e Residul stndrd error: on 125 degrees of freedom Multiple R-squred: ,Adjusted R-squred: F-sttistic: on 2 nd 125 DF, p-vlue: < 2.2e-16 c Benytt residulplottene på neste side, som er fr modellen i punkt ), til å vurdere gyldigheten v modellntgelsene. Forklr spesielt hvilke størrelser som plottes og hvordn vvik fr modellen kn påvises. Foreslå mulige foredringer v modellen. (Fortsettes på side 4.)

4 Eksmen i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 4 Residuls vs Fitted Norml Q-Q Scle-Loction Residuls Stndrdized residuls Stndrdized residuls Fitted vlues Theoreticl Quntiles Fitted vlues Oppgve 3 Ant en multippel lineær regresjonsmodell Y i = β 0 + β 1 x 1i + + β k x ki + ε i, i = 1,..., n der Y i er respons, x ji, j = 1,..., k forklringsvrile og ε i feilledd for enhet i og β j, j = 0,..., k regresjonskoeffisienter. Vi ntr t ε i er uvhengige og normlfordelte med forventning 0 og vrins σ 2. L ˆβ j, j = 0,..., k være minste kvdrters estimtorene for β j -ene, Ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i1 + + ˆβ k x ik og SSE = n i=1 (Y i Ŷi) 2 residul kvdrtsum. D hs t SSE/σ 2 χ 2 n k 1, dvs. er kji-kvdrtfordelt med n k 1 frihetsgrder. (Dette skl du ikke vise). Forklr hvorfor forventningen til s 2 = SSE/(n k 1) er lik σ 2. Vis t V (s 2 ) går mot 0 når n k går mot uendelig og rgumenter for t dette etyr t s 2 er konsistent for σ 2, dvs. konvergerer i snnsynlighet mot σ 2. Ant så t β 1 = β 2 = = β k = 0. Forklr hvorfor nå også SST/(n 1), der SST = n i=1 (Y i Ȳ )2, er konsistent for σ 2. Forklrt ndel v vrins er definert som R 2 = 1 SSE/SST. Ant t åde n og k går mot uendelig på en slik måte t k/n ρ der 0 < ρ < 1. Ant videre β 1 = β 2 = = β k = 0. (Fortsettes på side 5.)

5 Eksmen i STK1110, Tirsdg 18. desemer 2018 Side 5 Vis t d vil R 2 ρ (som er en verdi større enn 0). Hint: Du kn ruke t hvis åde U n u og V n v i snnsynlighet der V n og U n er (sekvenser v) stokstiske vrile og u og v er sklre verdier så vil V n /U n v/u når u 0. Finn tilsvrende grense for justert R 2 definert som R 2 jd = 1 SSE/(n k 1) SST/(n 1) (under smme forutsetninger). SLUTT