EKSAMEN I FAG FASTE STOFFERS FYSIKK 2 Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk 15 august 2000 Tid:

Transkript

1 Side v 6 Nrges teknisk-nturvitenskpelige universitet Institutt fr fysikk Fglig kntkt under eksmen: Nvn: Ol Hunderi Tlf.: 94 EKSMEN I FG FSTE STOFFERS FYSIKK Fkultet fr fysikk, infrmtikk g mtemtikk 5 ugust 000 Tid: Tilltte hjelpemidler: - Typegdkjent klkultr, med tmt minne O.Jhren g K.J. Knutsen: Frmelsmling i mtemtikk K. Rttmnn: Mtemtische Frmelsmmlung/Mtemtisk frmelsmling S. rrett g T.M. rnin: Mthemticl Frmule Oppgve ) Det flte sentrerte kubiske gitteret hr resiprke gittervektrer gitt sm G G G π = (,, ) π = (,, ) π = (,, ) Figur viser den første rilluin snen. Vis t en kule innskrevet i første rilluin sne vil berøre en v de hexgnle fltene først. Vis t rdius v denne kul vil være ki = π. eregn frhldet mellm k i g rdius v den fri-elektrn Fermikul fr ett elektrn per tm.

2 Side v 6 Figur b) ølgevektren k kn nts å være vinkelrett på et speilpln. Det innebærer t energien E(k) er symmetrisk m dette plnet. Videre er E(k) en peridisk funksjn v de resiprke gittervektrer. Disse t betingelsene kn skrives sm E(k) = E(-k) E(k) = E(k+G) ruk disse t betingelsene til å vise t E k = c) De primitive gittervektrene fr fcc gitteret er R R R = (, 0, ) = (, 0, ) = ( 0,, ) 0 på en snegrense. ruk dette til å vise t det lveste energibndet i Tight binding pprximsjnen er gitt v et uttrykk v frmen k k k k k x y x z y k z Ek ( ) = E α 4γ cs cs + cs cs + cs cs Vis t dette energibåndet ppfyller betingelsen m t energibåndet er vinkelrett på snegrensen. T den hexgnle sne-flten eller punktet X sm eksempel.

3 Side v 6 Oppgve ) T utgngspunkt i Mxwells ligninger g vis t følgende smmenheng eksisterer mellm iσ dielektrisitetsknstnten g knduktiviteten σ: = + b) etrkt et uendelig supergitter sm består v t mteriler g slik sm vist i figur. d d d d d d Figur Tykkelsen v de individuelle lgene er d g d g de tilsvrende dielektrisitetsknstntene er g. Tykkelsen v de individuelle lgene er mye mindre enn lysets bølgelengde slik t feltet er tilnærmet knstnt ver tykkelsen v et lg. Vi kn d definere en såklt effektiv dielektrisk knstnt fr det smmenstte mterilet. Denne effektive dielektrisitetsknstnten vil være frskjellig fr lys plrisert med E-feltet henhldsvis prllelt med, g vinkelrett på lgene. Vis t den effektive dielektrisitetsknstnten fr lys plrisert prllelt med lgene er gitt v = d d + d + d d + d g fr lys plrisert vinkelrett på lgene er Hint: d d = + d + d d + d Den enkleste måten å utlede ligningene venfr er å beregne den tilsyneltende effektive dielektrisitetsknstnt når det smmenstte mterilet er plssert i det knstnte feltet mellm t kndenstrplter slik sm vist i figur. Det er ikke nødvendig å nt et strt ntll lg, det er tilstrekkelig å betrkte t lg.

4 Side 4 v 6 Figur p c) nt t supergitteret består v metlliske lg med en Drude-lik = g islerende lg med > 0. nt t d = d. Vis t er Drude lik med p eff p =. + Vis gså t ppfører seg sm en dielektrisk isltr g finn ( ), L nd T. nt igjen d = d. Skisser frekvensvhengigheten v. Oppgve Kvntemeknisk er imginærdelen v dielektrisitetsknstnten, (), gitt v πe d k = M δ ( Ef Ei h) m ( π) der E f er en energien i slutt-tilstnden g E i er energien i begynnelses-tilstnden fr en ptisk vergng i f. ) Figur 4

5 Side 5 v 6 nt t vi hr en hlvleder med et direkte gp E c = slik sm vist på figur 4. Vlensbåndet hr en prblsk E(k) med en hull-msse m h. Ledningsbåndet er gså v prblsk frm med msse m c. nt t mtriseelementet M fr en ptisk vergng nær k=0 er knstnt. Vis t "jint density f sttes" fr systemet er ~ h E g t dermed er v frmen ~ h E fr h > E = 0 fr h < E b) nt så t vergngen ved k=0 er en såklt frbudt vergng slik t mtriseelementet er null fr k=0. I et slikt tilfelle kn vi rekkeutvikle mtriseelementet g skrive M = M( 0) + αk = α k. Vis t i dette tilfelle blir v frmen ~ ( h E) / fr h > E = 0 fr h < E c) eregn excitn bindingsenergien i Gs der =., m = m g m = 0. 5 m * e e n e Oppgitt: Energinivåene i hydrgentmet er gitt v E n 4 µ e R = = π h n n med R =.6 ev g µ er den reduserte msse. Hint: Ptensilet rundt en ldning Q plssert i et mterile med diektrisitetsknstnt er Q U = 4π r Oppgve 4 ) Vi skl i denne ppgven beregne den såklte rienterings-plriserbrheten. nt t vi hr et system der permnente elektriske dipler kn rtere fritt slik sm i en gss eller væske. Systemet plsseres i et hmgent elektrisk felt med retning lngs x-ksen. Den ptensielle energi til en dipl i et elektrisk felt er

6 Side 6 v 6 V = p E = pecsθ Her er θ vinkelen mellm diplens retning g x-ksen. Snnsynligheten fr å finne en dipl rientert i retning θ er gitt v ltzmnn-fktren e -pecsθ/kt. ruk dette til å vise t middelverdien v p x, x-kmpnenten v diplmmentet, er gitt v den såklte Lngevin funksjnen der u pe =. kt < > = = p x p L( n) p tgh( u) u b) I de fleste tilfeller er pe/kt <<. Vis t i dette tilfelle gjelder t p < px > = = kt E αd E ruk lusius Msttis ligning til å beregne dielektrisitetsknstnten til et system med elektrnisk plriserbrhet α el, jnisk plriserbrhet α j g diplr plriserbrhet gitt v ligningen venfr. nt N dipler per vlumenhet.