2.2.1 Grunnleggende betraktninger

Transkript

1 38 C2 BJELKER eksentrisk plssering på lgrene eller skjevt innstøpte løftebøyler. Bjelken vil dermed få en sideutbøyning som kn skpe et stbilitetsproblem. Det er en prinsipiell forskjell på de to tilfellene. For en bjelke som henger i løftekroker er vippingsfren vhengig v bjelkens egenskper. For en opplgret bjelke er egenskpene til opplegget normlt vgjørende, idet bjelkene hr tilstrekkelig sidebøyestivhet til å tåle større helningsvinkler enn oppleggene. Forutsetningen om t betongbjelker kn betrktes som torsjons - stive er dokumentert i \7\. Denne forutsetningen endrer problemet fr å være et knekkingsproblem til å bli et bøye- og likevektsproblem. Dersom følgende betingelser er oppfylt, kn bjelkene nsees å h tilstrekkelig stbilitet, og noen nærmere kontroll er ikke nødvendig (begge betingelser må være oppfylt): Ved montsje: l 1 / b o < 50 og h / b o < 3,5 I endelig tilstnd: l 1 / b o < 30 og h / b o < 2,5 EC2-1-1, punkt 5.9(3), setter tilsvrende krv: Ved montsje: l 1 / b o 70 / (h / b o ) 1/3 og h / b o 3,5 I endelig tilstnd: l 1 / b o 50 / (h / b o ) 1/3 og h / b o 2,5 Her er l 1 = trykkflensens lengde mellom punkter fstholdt mot vridning. b o = trykkflensens bredde h = bjelkens høyde Normlt vil endelig tilstnd ikke være kritisk, d de konstruksjoner som bjelken skl bære som oftest gir tilstrekkelig sidevstivning v trykkflensen. Hvis så ikke er tilfelle, må det nordnes ekstr vstivning Grunnleggende betrktninger Opplgrede bjelker En bjelke opplgret på deformerbre opplegg kn ltså rotere på tvers v bjelkens lengdekse. Er bjelken opplgret på for eksempel gummilgre, vil rotsjonsksen være gjennom opplgringspunktene, men dersom bjelken ligger på en bil, vil rotsjonsksen ligge lvere, som vist i figur C Den svke initielle tippingen v bjelken fører til t en komponent v bjelkevekten virker om bjelkens svke kse. Dette forårsker en ytterligere sideutbøyning. Utbøyning v bjelken pg. bøying om den svke ksen θ θ = bjelkens helningsvinkel Figur C Opplgret bjelke i likevekts posisjon. P y Tyngde- punktet v deformert bjelke P z 1 + e i y + Rotsjons- kse θ α = oppleggets vinkeldreining α c M r = K θ (θ α) θ α Likevektsdigrm

2 C2 BJELKER 39 Følgende størrelser defineres (se figurene C 2.16 og C 2.18). P = bjelkens egenvekt (jevt fordelt egenvekt er betegnet med p) y = vstnd fr bjelkens tyngdepunkt til rotsjonsksen for opplg - rede bjelker, målt lngs bjelkens opprinnelige vertiklkse y r = vstnd fr bjelkens tyngdepunkt til rotsjonsksen for hen - gende bjelker, målt lngs bjelkens opprinnelige vertiklkse e i = initiell eksentrisitet v tyngdepunktet i forhold til rotsjons - ksen, målt vinkelrett på bjelkens opprinnelige vertiklkse (EC2-1-1, punkt 5.9(2), foreslår en geometrisk formfeil på l / 300. Betongelementboken bind F sier den største v l / 500 og 30 mm.) θ = bjelkens helningsvinkel (i rdiner) α = eventuell vinkel på oppleggsflten θ α = oppleggets vinkeldreining z 1 = tilleggsforskyvning v bjelkens tyngdepunkt på grunn v kom - ponenten v bjelkevekten som virker om bjelkens svke kse (P sin θ), målt vinkelrett på bjelkens opprinnelige vertiklkse z 0 = horisontl forskyvning v bjelkens tyngdepunkt, beregnet med bjelkens fulle vekt P virkende horisontlt, målt vinkelrett på bjelkens opprinnelige vertiklkse (se figur C 2.19) c = veltemomentrm c r = momentrm for det stbiliserende moment (for en opplgret bjelke er c r en fiktiv vstnd, vhengig v oppleggets rotsjonsstivhet, mens for en opphengt bjelke er c r vist på figur C 2.18) Med den velkjente formelen δ y = 5 p l 4 / 384 E I y kn deformsjonen om den svke ksen beregnes. Nå er δ y den mksimle deformsjonen, beregnet med bjelkens fulle vekt P virkende horisontlt, mens z 0 er vstnden til tyngdepunktet for hele den deformerte bjelken. I \7\ er det utledet t z 0 = 0,64 δ y Merk t størrelsen z 0 er fiktiv, de fleste bjelker vil få bøyebrudd dersom den fulle egenvekten ble belstning om den svke ksen. Men z 0 benyttes til å beregne den mindre størrelsen z 1 : z 1 = z 0 sin θ c = (z 1 + e i ) cos θ + y sin θ = z 0 sin θ cos θ + e i cos θ + y sin θ I de fleste tilfelle er θ svært liten (< 0,2 rdiner), så følgende tilnærmelser kn nvendes: cos θ = 1 og sin θ tn θ θ Det vil si: c = z 0 θ + e i + y θ Veltemoment = M = P c Stbiliserende moment = M r = K θ (θ α) hvor K θ er oppleggets rotsjonsstivhet, med enhet knm/rd. I form - lene er K θ summen v begge oppleggenes rotsjonsstivhet, som to gummilgre, eller bil pluss tilhenger. c r = M r / P Hengende bjelker Når en bjelke henger i myke oppheng som løftekroker kn den rotere. I forhold til en opplgret bjelke er forskjellen den t rotsjonsksen nå er over bjelkens tyngdepunkt. Rotsjonsksen psserer gjennom de punktene hvor de myke løftebøylene går inn i det stive bjelketverrsnittet vnligvis bjelkens toppflte.

3 40 C2 BJELKER Figur C Opphengt bjelke med side utbøyning. For en hengende bjelke er normlt oppleggets rotsjonsstivhet K θ tilnærmet lik null, og motvirkende moment skpes v bjelkens egenvekt. I dette tilfelle er det fordelktig å ersttte den negtive størrelsen y med en positiv størrelse y r (se figur C 2.18), smt flytte den fr veltemoment siden til motstndsmomentsiden v ligningen. c = z 0 sin θ cos θ + e i cos θ = z 0 θ + e i c r = y r sin θ = y r θ Figur C Opphengt bjelke i likevekts - posisjon. Likevektsdigrm Figur C Effekten v overheng. δ y Bjelkens tyngdepunkt Løftepunkt θ 0 z 0 Rotsjonskse l = l 1 ) Opplgringspunkt eller løftepunkt i bjelkeendene δ y Bjelkens tyngdepunkt Løftepunkt θ 0 z 0, red Rotsjonskse l 1 b) Opplgringspunkt eller løftepunkt med overheng l

4 C2 BJELKER 41 Overheng En liten økning v overhenget reduserer vippingsrisikoen betrktelig. Ikke bre reduseres deformsjonen, men vekten v de overhengende endene er på motstt side v rotsjonsksen. Ved å integrere over deformsjonskurven får mn følgende uttrykk for z 0 : z 0,red = p (l 5 1 / 10 2 l l / 5) / 12 E I y l l = bjelkens lengde = overhenget l 1 = l 2 For = 0: z 0 = p l 4 / 120 E I y Den horisontle vinkeldreiningen i oppleggspunktet: θ 0 = p (l l 1 ) / 24 E I y Digrmmet i figur C 2.20 forutsetter jevnt fordelt lst og likt overheng i begge ender v bjelken. Dette er slett ikke lltid tilfelle, de fleste bjelker hr «firkntender», og lstet på bil er ofte overhenget bk tilhengeren større enn forn opplegget på bilen, hvor det er be - grenset v vstnden til førerhuset. 1,0 0,9 l l 1 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 Forholdet / l Følgende tilnærmede metode kn benyttes for å beregne z 0,red i slike tilfeller: 1. Beregn deformsjonen δ y med bjelkens fulle egenvekt virkende horisontlt: δ y = p l 1 2 [5 l ( 2 + b 2 )] / 384 E I y Her er og b lengdene v de to forskjellige overhengene. 2. Ant den horisontle vinkeldreiningen i oppleggspunktene: θ 0 = 3,2 δ y / l 1 3. Beregn z 0 for den jevnt fordelte lsten til å være 2/3 v δ y. Figur C Smmenhengen mellom z 0 og overheng.

5 42 C2 BJELKER 4. Beregn vstnden til tyngdepunktet v overhengene, ved å nt t overhenget er rett (ikke hr noen horisontl krumning), med vinkeldreining θ Estimer plsseringen v tyngdepunktet v eventuelle ndre ekstr msser, som firkntender, forsterkninger, spesielt tunge innstøpte deler etc. 6. Kombiner disse mssene og vstndene for å finne z 0,red for den totle mssen i bjelken. I utrykket for c skl d z 0 erstttes med z 0,red Bjelkenes stivhet For bjelker i stdium 1 (urisset) kn det regnes med treghetsmomenter bsert på homogent tverrsnitt. Imidlertid er det rimelig t ved en eller nnen helningsvinkel vil bjelken risse (gå over i stdium 2), og mn vil snnsynligvis få en plutselig reduksjon i stivheten. Figur C Trykkspenninger i feltmidte for forspent bjelke. ) Vertikl bjelke b) Rotert bjelke Med refernse til figur C 2.21.b, vil opprissingen begynne i øvre venstre hjørne v bjelken. Når opprissingen begynner, vil nøytrlksen etter hvert dnne en vinkel med bjelkens kser. Dette fører til t trykk resultnten vil forskyves horisontlt i bjelken. Den eksentrisi - teten trykkresultnten dermed får i forhold til bjelkens kser er hovedårsken til t bjelken hr en motstnd mot bøying om den svke ksen (det dnnes en horisontl indre momentrm), i tillegg til t rmeringen i flensene selvfølgelig også hr en viss effekt. Bsert på prktiske forsøk og teoretiske utredninger beskrevet i \8\, kn det nbefles følgende håndregler for å bestemme bjelkens treghetsmoment om den svke ksen: 1. For helningsvinkler som er så små t de mksimle strekkspenningene i overflensen ikke blir større enn f ctk,0,05 i henhold til EC2-1-1, benytt treghetsmomentet bsert på homogent tverrsnitt = I y. Det tilltes her f ctk,0,05 i stedet for f ctk,0,05 /γ c fordi det er en midler - tidig lsttilstnd. Imidlertid er det viktig å benytte reell fsthetsklsse, som normlt ikke er 28-døgns fstheten ved trnsport og montsje. 2. For større helningsvinkler benytt I y,red = I y / (1 + 2,5 θ). 3. Mksiml helningsvinkel før brudd kn nts å være c. 0,4 rdiner.