Eksamen i fag TFY4205 Kvantemekanikk II Mandag 13. august 2012 Tid:

Transkript

1 Side 1 v 6 Norges teknisk-nturvitenskpelige universitet Institutt for fysikk Fglig kontkt under eksmen: Nvn: Jn Myrheim Telefon: , mobil Eksmen i fg TFY4205 Kvntemeknikk II Mndg 13. ugust 2012 Tid: Sensurfrist: Mndg 27. ugust 2012 Tilltte hjelpemidler: Klkultor, mtemtiske og fysiske tbeller. En tbell over fysiske konstnter finnes sist i dette oppgvesettet. Alle deloppgver teller likt ved sensuren. Oppgve 1: En prtikkel med msse m beveger seg i et endimensjonlt kssepotensil som vist i figur 1. Potensilet er periodisk med periode L = + b, det vil si t V (x) = V (x + L). Vi innfører en konstnt γ > 0 slik t V 0 = h2 γ 2 2m. V (x) V 0 b + b x Figur 1: Et endimensjonlt periodisk kssepotensil med periode L = + b. ) Vi ønsker å løse den tidsuvhengige Schrödingerligningen h2 2m ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). For de verdiene v x der potensilet V (x) er diskontinuerlig, må vi forlnge t både bølgefunksjonen ψ(x) og dens deriverte ψ (x) er kontinuerlige. Hvorfor?

2 Eksmen i fg TFY4205 Side 2 v 6 b) Vi prøver å finne en løsning på formen A 1 cos(αx) + B 1 sin(αx) for x 0, ψ(x) = A 2 cos(βx) + B 2 sin(βx) for 0 x b, A 3 cos(α(x b)) + B 3 sin(α(x b)) for b x + b, der α > 0,β > 0,A 1,B 1,A 2,B 2,A 3,B 3 er konstnter. Hv blir smmenhengen mellom energien E og konstntene α og β? Hvorfor må E > V 0 for t dette skl være en løsning? Hvordn vil en tilsvrende løsning se ut for 0 < E < V 0? c) Vis følgende smmenheng mellom koeffisientene A 1,B 1 og A 3,B 3 : ( ) ( ) ( ) A3 T11 T = 12 A1 B 3 T 21 T 22 der B 1 T 11 = cos(α)cos(βb) β α sin(α)sin(βb), T 12 = sin(α)cos(βb) + α β cos(α)sin(βb), T 21 = sin(α)cos(βb) β α cos(α)sin(βb), T 22 = cos(α)cos(βb) α β sin(α)sin(βb). Merk t mtrisen ( ) T11 T T = 12 T 21 T 22 hr determinnt 1 (du behøver ikke gjennomføre utregningen her): dett = T 11 T 22 T 12 T 21 = 1. L λ 1 og λ 2 være egenverdiene til mtrisen T. Det krkteristiske polynomet er T 11 λ T 12 T 21 T 22 λ = λ2 (T 11 + T 22 )λ + 1 = (λ λ 1 )(λ λ 2 ). Dette viser t λ 1 λ 2 = 1 og t λ 1 + λ 2 = T 11 + T 22 = 2cos(α)cos(βb) ( β α + α ) sin(α) sin(βb). β Hvis enten λ 1 > 1 eller λ 2 > 1, så vil ψ(x) vokse eksponensielt i en eller begge v grensene x ±, og det gir ingen mening. Derfor må vi forlnge t λ 1 = λ 2 = 1, og det betyr t det må finnes en k > 0 slik t λ 1 = e ikl, λ 2 = e ikl.

3 Eksmen i fg TFY4205 Side 3 v 6 D blir λ 1 + λ 2 = 2cos(kL) og følgelig cos(kl) = cos(α) cos(βb) ( β 2α + α ) sin(α) sin(βb). (1) 2β Vi kn se på dette som en ligning som skl løses for k. Høyresiden i ligningen er en funksjon v energiegenverdien E. Husk t vi utledet ligning (1) under forutsetning v t E V 0. Den tilsvrende ligningen for 0 E V 0 ser slik ut: ( β cos(kl) = cos(α) cosh(βb) + 2α α ) sin(α) sinh(βb). (2) 2β Figur 2: Høyre side v ligningene (1) og (2) som funksjon v E/V 0. d) Figur 2 viser høyre side v ligning (1) som funksjon v E/V 0, for E V 0, og høyre side v ligning (2) som funksjon v E/V 0, for 0 E V 0. Figuren er tegnet med = 3 0 og b = 2,4 0 der 0 er den nturlige lengdeenheten til potensilet, 0 = h 2mV0. Figur 3 viser to utsnitt v figur 2 med sterkt forstørret vertiklkse. Figurene viser t energispektret hr en båndstruktur, med tilltte og forbudte energiintervll. Forklr hvordn vi ser dette v figurene. Les ut v figurene hvilke bånd v tilltte energiegenverdier som finnes mellom E = 0 og E 15V 0. Les ut omtrentlige numeriske verdier for nedre og øvre grense til hvert energibånd.

4 Eksmen i fg TFY4205 Side 4 v 6 Figur 3: Høyre side v ligningene (1) og (2) som funksjon v E/V 0. e) Energispektret i et periodisk tredimensjonlt potensil viser tilsvrende båndstruktur. Forklr kort (men noenlunde fullstendig) hvordn båndstrukturen kn forklre t noen stoffer blir elektriske ledere, mens ndre blir hlvledere eller isoltorer. Oppgve 2: Vi ser på to prtikler i en endimensjonl boks med bredde, der potensilet er { 0 når V (x) = 2 x 2 ellers.

5 Eksmen i fg TFY4205 Side 5 v 6 Vi ntr t en v prtiklene er i grunntilstnden, beskrevet ved bølgefunksjonen 2 ψ 1 (x) = cos( ) πx når 2 x 2 0 ellers og egenenergien ( ) E 1 = h2 π 2. 2m Den ndre prtikkelen er i den første eksiterte tilstnden, beskrevet ved bølgefunksjonen ( ) 2 ψ 2 (x) = sin 2πx når 2 x 2 0 ellers og egenenergien E 2 = h2 2m ( ) 2π 2. I denne oppgven kn du få bruk for følgende integrl: π/2 π/2 π/2 π/2 π π du u 2 cos 2 u = π3 24 π 4, du u 2 sin 2 u = π3 3 π 2, du ucos usin(2u) = 8 9. ) Vi ser først på tilfellet der prtiklene er spinnløse. Bestem midlere vstnd mellom prtiklene, definert som (x 1 x 2 ) 2, der x 1 er posisjonen til prtikkel 1 og x 2 er posisjonen til prtikkel 2, når 1. Prtiklene er ulike. 2. Prtiklene er identiske fermioner. 3. Prtiklene er identiske bosoner. Kommenter resulttet. b) Vi ntr nå t de to prtiklene begge er elektroner. Vi ntr t spinnegenfunksjonene til det første og det ndre elektronet er gitt ved henholdsvis χ ± (1) og χ ± (2), der + betyr spinn opp og betyr spinn ned lngs z-ksen. De fire mulige spinnkombinsjonene er ltså ++, +, + og. Hvilke egenverdier for totlt spinn, S, og totlt spinn lngs z-ksen, S z, er mulige? Hv er toprtikkel spinnegenfunksjonene med disse forskjellige egenverdiene v S og S z? c) Hvordn vhenger den midlere vstnden mellom de to elektronene v spinntilstnden?

6 Eksmen i fg TFY4205 Side 6 v 6 Oppgve 3: ) Hv er en stsjonær tilstnd? Hvis A er en vilkårlig observbel, og H er Hmilton-opertoren, så er forventningsverdien v kommuttoren [A,H] lik null i en stsjonær tilstnd. Hvorfor? b) L H være Hmilton-opertoren for elektronet i et hydrogentom, H = T + V = p 2 e2 2m e 4πǫ 0 r. Her er T = p 2 /(2m e ) kinetisk energi, og V = e 2 /(4πǫ 0 r) er potensiell energi. Beregn kommuttoren [ r p + p r, H]. Bruk resulttet til å bevise virilteoremet for forventningsverdiene til T og V i en stsjonær tilstnd til hydrogentomet: 2 T + V = 0. Hvis den stsjonære tilstnden hr energi E, hv er d T og V? Noen fysiske konstnter og formler Lyshstigheten i vkuum: c = m/s Permebiliteten i vkuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 Permittiviteten i vkuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = 8, F/m Den reduserte Plncks konstnt: h = h/(2π) = 1, J s Elementærldningen: e = 1, C Finstrukturkonstnten: α = e 2 /(4πǫ 0 hc) = 1/137,036 Elektronmssen: m e = 9, kg = 0,511MeV/c 2 Protonmssen: m p = 1, kg = 938,28MeV/c 2 Knoniske kommutsjonsrelsjoner: [x,p x ] = [y,p y ] = [z,p z ] = i h, [x,p y ] = [x,p z ] = = [z,p y ] = 0.

7 Pge 1 of 6 The Norwegin University of Science nd Technology Deprtment of Physics Contct person: Nme: Jn Myrheim Telephone: , mobile Exmintion, course TFY4205 Quntum Mechnics II Mondy August 13, 2012 Time: Grdes mde public: Mondy August 27, 2012 Allowed to use: Clcultor, mthemticl nd physicl tbles. A tble of physicl constnts cn be found t the end of this problem set. All subproblems re given the sme weight in the grding. Problem 1: A prticle of mss m moves in one dimensionl box potentil s shown in Figure 1. The potentil is periodic with period L = +b, tht is, V (x) = V (x+l). We introduce constnt γ > 0 such tht V 0 = h2 γ 2 2m. V (x) V 0 b + b x Figure 1: A one dimensionl periodic box potentil of period L = + b. ) We wnt to solve the time independent Schrödinger eqution h2 2m ψ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x). For those vlues of x where the potentil V (x) is discontinuous we hve to require tht both the wve function ψ(x) nd its derivtive ψ (x) re continuous. Why?

8 Exmintion, course TFY4205 Pge 2 of 6 b) We try to find solution of the form A 1 cos(αx) + B 1 sin(αx) for x 0, ψ(x) = A 2 cos(βx) + B 2 sin(βx) for 0 x b, A 3 cos(α(x b)) + B 3 sin(α(x b)) for b x + b, where α > 0,β > 0,A 1,B 1,A 2,B 2,A 3,B 3 re constnts. Wht is the reltion between the energy E nd the constnts α nd β? Why must E > V 0 for this to be solution? Wht will similr solution look like for 0 < E < V 0? c) Show the following reltion between the coefficients A 1,B 1 nd A 3,B 3 : ( ) ( ) ( ) A3 T11 T = 12 A1 B 3 T 21 T 22 where B 1 T 11 = cos(α)cos(βb) β α sin(α)sin(βb), T 12 = sin(α)cos(βb) + α β cos(α)sin(βb), T 21 = sin(α)cos(βb) β α cos(α)sin(βb), T 22 = cos(α)cos(βb) α β sin(α)sin(βb). Note tht the mtrix ( ) T11 T T = 12 T 21 T 22 hs determinnt 1 (you need not crry out the computtion here): dett = T 11 T 22 T 12 T 21 = 1. Let λ 1 nd λ 2 be the eigenvlues of the mtrix T. The chrcteristic polynomil is T 11 λ T 12 T 21 T 22 λ = λ2 (T 11 + T 22 )λ + 1 = (λ λ 1 )(λ λ 2 ). This shows tht λ 1 λ 2 = 1 nd tht λ 1 + λ 2 = T 11 + T 22 = 2cos(α)cos(βb) ( β α + α β ) sin(α) sin(βb). If either λ 1 > 1 or λ 2 > 1, then ψ(x) will grow exponentilly in one or both of the limits x ±, which gives no mening. Therefore we hve to require tht λ 1 = λ 2 = 1, nd this mens tht there must exist k > 0 such tht λ 1 = e ikl, λ 2 = e ikl.

9 Exmintion, course TFY4205 Pge 3 of 6 Then we hve λ 1 + λ 2 = 2cos(kL) nd hence ( β cos(kl) = cos(α) cos(βb) 2α + α ) sin(α) sin(βb). (1) 2β We my regrd this s n eqution to be solved for k. The right hnd side of the eqution is function of the energy eigenvlue E. Remember tht we derived eqution (1) under the ssumption tht E V 0. The corresponding eqution for 0 E V 0 looks like this: ( β cos(kl) = cos(α) cosh(βb) + 2α α ) sin(α) sinh(βb). (2) 2β Figure 2: The right hnd side of the equtions (1) nd (2) s function of E/V 0. d) Figure 2 shows the right hnd side of eqution (1) s function of E/V 0, for E V 0, nd the right hnd side of eqution (2) s function of E/V 0, for 0 E V 0. The figure is plotted with = 3 0 nd b = 2,4 0 where 0 is the nturl length unit of the potentil, 0 = h 2mV0. Figure 3 shows two prts of Figure 2 with much enlrged verticl xis. The figures show tht the energy spectrum hs bnd structure, with llowed nd forbidden energy intervls. Explin how we cn see this from the figures. Red out from the figures which bnds of llowed energy eigenvlues exist between E = 0 nd E 15V 0. Red out pproximte numericl vlues for the lower nd upper limit of ech energy bnd.

10 Exmintion, course TFY4205 Pge 4 of 6 Figure 3: The right hnd side of the equtions (1) nd (2) s function of E/V 0. e) The energy spectrum in periodic three dimensionl potentil shows similr bnd structure. Explin briefly (but in resonble completeness) how the bnd structure cn explin tht some mterils become electricl conductors, while other mterils become semiconductors or isoltors.

11 Exmintion, course TFY4205 Pge 5 of 6 Problem 2: We consider two prticles in one dimensionl box of width, where the potentil is { 0 when V (x) = 2 x 2 otherwise. We ssume tht one of the prticles is in the ground stte, described by the wve function 2 ψ 1 (x) = cos( ) πx when 2 x 2 0 otherwise nd the eigenenergy ( ) E 1 = h2 π 2. 2m The second prticle is in the first excited stte, described by the wve function ( ) 2 ψ 2 (x) = sin 2πx when 2 x 2 0 otherwise nd the eigenenergy ( ) E 2 = h2 2π 2. 2m In this problem you my need the following integrls: π/2 π/2 π/2 π/2 π π du u 2 cos 2 u = π3 24 π 4, du u 2 sin 2 u = π3 3 π 2, du ucos usin(2u) = 8 9. ) We first consider the cse when the prticles re spinless. Find the men distnce between the prticles, defined s (x 1 x 2 ) 2, where x 1 is the position of prticle 1 nd x 2 is the position of prticle 2, when 1. The prticles re different. 2. The prticles re identicl fermions. 3. The prticles re identicl bosons. Comment on the result.

12 Exmintion, course TFY4205 Pge 6 of 6 b) We now ssume tht the two prticles re both electrons. We ssume tht the spin eigenfunctions of the first nd the second electron re given respectively by χ ± (1) nd χ ± (2), where + mens spin up nd mens spin down long the z xis. Thus the four possible spin combintions re ++, +, +, nd. Wht re the possible eigenvlues for the totl spin, S, nd the totl spin long the z xis, S z? Wht re the twoprticle spin eigenfunctions with these different eigenvlues of S nd S z? c) How does the men distnce between the two electrons depend on the spin stte? Problem 3: ) Wht is sttionry stte? If A is n rbitrry observble, nd H is the Hmiltonin opertor, then the expecttion vlue of the commuttor [A,H] vnishes in sttionry stte. Why? b) Let H be the Hmiltonin of the electron in hydrogen tom, H = T + V = p 2 e2 2m e 4πǫ 0 r. Here T = p 2 /(2m e ) is kinetic energy, nd V = e 2 /(4πǫ 0 r) is potentil energy. Compute the commuttor [ r p + p r, H]. Use the result to prove the viril theorem for the expecttion vlues of T nd V in sttionry stte of the hydrogen tom: 2 T + V = 0. If the sttionry stte hs energy E, wht re then T nd V? Some physicl constnts nd formuls The speed of light in vcuum: c = m/s The permebility of vcuum: µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 The permittivity of vcuum: ǫ 0 = 1/(µ 0 c 2 ) = F/m The reduced Plnck s constnt: h = h/(2π) = J s The elementry chrge: e = C The fine structure constnt: α = e 2 /(4πǫ 0 hc) = 1/ The electron mss: m e = kg = 0.511MeV/c 2 The proton mss: m p = kg = MeV/c 2 Cnonicl commuttion reltions: [x,p x ] = [y,p y ] = [z,p z ] = i h, [x,p y ] = [x,p z ] = = [z,p y ] = 0.