Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller

Transkript

1 NORSK TEKST Side av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf , eller EKSAMEN I TFY4250 ATOM- OG MOLEKYLFYSIKK og FY2045 KVANTEFYSIKK Lørdag 9. desember 2006 kl Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Rottmann: Matematisk formelsamling Øgrim & Lian: Størrelser og enheter i fysikk og teknikk, eller Lian og Angell: Fysiske størrelser og enheter Et ark med uttrykk og formler er vedlagt. Sensuren faller i januar Oppgave En partikkel med masse m befinner seg i et éndimensjonalt, asymmetrisk brønnpotensial 2V 0 for x < 0, V x = 0 for 0 < x < L, 4V 0 for x > L. I beregningene nedenfor antar vi at V 0 = h 2 /2ma 2 0. Brønnvidden L er valgt slik at første eksiterte tilstand, ψ 2 x, har en energi som er akkurat lik halvparten av brønndybden 2V 0, dvs slik at E 2 = V 0. a. Av opplysningene ovenfor skjønner en at dette systemet har minst to bundne energiegentilstander én for hver energiegenverdi. Angi uten bevis hvor mange nullpunkter grunntilstanden ψ x og. eksiterte tilstand ψ 2 x har. Hvilke kontinuitetsegenskaper har disse energiegenfunksjonene når potensialet er endelig som her? I brønnområdet må energiegenfunksjonen ψ 2 x være sinusformet og kan skrives på formen ψ 2 x = A sin[k 2 x a] 0 < x < L. Finn bølgetallet k 2 uttrykt ved a 0. Husk at E 2 = V 0.

2 Side 2 av 4 b. Vis at ψ 2 x må ha formen ψ 2 x = Ce κx for x < 0, og formen ψ 2 x = C e κ x for x > L, og finn κ og κ. Skissér ψ 2 x, og forklar hvorfor a må ligge i intervallet 0 < a < L. c. Bruk kontinuitetsbetingelsene for x = 0 til å vise at fasebeløpet k 2 a er lik 3π/4. Finn videre brønnvidden L uttrykt ved a 0. Oppgitt: tan3π/4 = tan π/4 = ; tan5π/6 = tan π/6 = / 3. d. For E > 2V 0 kan en energiegenfunksjon for potensialet V x skrives på formen ψ E = e ikx + re ikx for x < 0, med k = h Vis at denne svarer til en sannsynlighetsstrømtetthet jx = hk m r 2 for x < 0. 2mE 2V 0. Forklar hvorfor alle partikler som kommer inn fra venstre mot brønnpotensialet V x med energi 2V 0 < E < 4V 0 vil bli reflektert. [Hint: Finn formen til energiegenfunksjonen for x > L, og beregn strømtettheten i dette området.] e. For E > 4V 0 kan vi velge en energiegenfunksjon slik at den har formen { e ψ E x = + re ikx for x < 0, te ik x for x > L. Det kan vises at t = 4e ik L [ + q k + k q e iql + q ] k k q eiql, der k = h 2mE 2V 0, q = h 2mE, k = h 2mE 4V 0. Hva er sannsynligheten for at partikler som kommer inn fra venstre transmitteres når energien går mot grensen 4V 0 ovenfra? Oppgave 2 Figuren viser to tredimensjonale bokser, den ene kuleformet, den andre i form av en halvkule, begge med radius a. V = 0 inne i boksene, V = utenfor.

3 Side 3 av 4 For den kuleformede boksen til venstre opplyses det at en partikkel med masse µ har energiegenfunksjoner på formen ψ nlm = R nl ry lm θ, φ; De tilhørende energiegenverdiene er den sfæriske Bessel-funksjonen R nl r = A nl j l Π l n r/a; l = 0,, ; n =, 2,. E nl = hπ l n 2 /2µa 2. j l z = z l l d sin z z dz z. Noen av disse nullpunktene framgår av følgende oversikt: Her er Π l n j 0 j j 2 j 3 n = Π 0 = π Π = Π 2 = Π 3 n = 2 Π 0 2 = π 2 Π 2 = Π 2 2 = Π 3 n = 3 Π 0 3 = π 3 Π 3 = Π 2 3 = Π 3 a. For l = 0 forenkler formlene ovenfor seg til sinπnr/a R n0 r = A n0 ; E n0 = hπn2 πnr/a 2µa. 2 = = = nullpunktene i Verifiser disse resultatene direkte, ved hjelp av radialligningen for funksjonen u nl r rr nl r se formelarket. b. Hva er, ifølge opplysningene ovenfor, energiene til første og andre eksiterte nivå for den kuleformede boksen? Skriv ned kvantetallene n, l, m, degenerasjonsgraden g og de tilhørende egenfunksjonene ψ nlm for. eksiterte nivå. Bry deg ikke om normeringskonstanter, og uttrykk ψ nlm ved de relevante Bessel-funksjonene og sfæriske harmoniske. Hvor mange nullpunkter n r i intervallet 0 < r < a har radialfunksjonene for grunntilstanden og. og 2. eksiterte nivå? c. Finn energien og bølgefunksjonen for grunntilstanden i den halvkuleformede boksen. [Hint: Ta utgangspunkt i energiegenfunksjonene ψ nlm for den kulesymmetriske boksen. Det kan være greit å velge et aksekors som gjør z-aksen til symmetriakse.] Finn også energien og tilhørende bølgefunksjoner for. eksiterte nivå for den halvkuleformede boksen. Oppgave 3 For en partikkel med spinn 2 der σ x = 0 0 kan en bruke spinnoperatoren S = 2 hσ = 2 hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z,, σ y = 0 i i 0, σ z = 0 0

4 Side 4 av 4 er de såkalte Pauli-matrisene. Pauli-spinorene χ + = 0 og χ = 0 er da egentilstander til S z = 2 hσ z kan karakteriseres ved spinnretningen, med egenverdiene ± 2 h. En normert spinntilstand χ = a b σ = χ σχ = ê x Re2a b + ê y Im2a b + ê z a 2 b 2. Matrisene S x = 2 hσ x osv oppfyller dreieimpulsalgebraen, [S x, S y ] = i hs z, [S y, S z ] = i hs x, [S z, S x ] = i hs y. I denne oppgaven antar vi at partikkelen er et proton. Protonets indre magnetiske moment representeres da av operatoren µ = ge S, der g = a. Anta at protonet befinner seg i et homogent magnetfelt som peker i negativ z-retning, B = Bê z. Oppførselen til spinnet bestemmes da av Hamilton-operatoren der vi har innført betegnelsene Ĥ = µ B ω S = ωs z, ω = geb og ω = ωê z = geb ê z. Vis at de to Pauli-spinorene χ + og χ da er energiegentilstander, og finn de to energiene, E + og E, uttrykt ved de oppgitte størrelsene. Finn også E + og E i elektronvolt ev, når B = 4 Tesla. Det oppgis at µ N = e h = kjernemagneton ev/tesla. Finn også bølgelengden til fotonene som er inne i bildet ved overganger mellom de to tilstandene χ + og χ. b. Ved t = 0 foretas det en måling av komponenten S x av spinnet til protonet. Hva er måleresultatet dersom spinnet umiddelbart etter målingen befinner seg i tilstanden / 2 χ0 = /? 2 Hva er spinnretningen σ 0 og forventningsverdien S 0 = 2 h σ 0 av spinnet ved t = 0, dvs umiddelbart etter målingen? Bruk den generelle formelen for tidsutviklingen av forventningsverdier, d dt F = ī [ Ĥ, h ˆF ], til å finne forventningsverdien S z t for t > 0. c. Finn også forventningsverdiene av S x og S y for t > 0.

5 Vedlegg: Formler og uttrykk Noe av dette kan du få bruk for. Sannsynlighets-strømtetthet [ j x x, t = Re Ψ x, t h ] Ψx, t. im x Radialligning for kulesymmetrisk potensial V r ψr, θ, φ = RrY lm θ, φ ur Y lm θ, φ; r h2 d 2 [ ] u 2µ dr + V r + h2 ll + u = Eu; u0 = µr 2 Laplace-operatoren og dreieimpulsoperatorer i kulekoordinater ˆL x = h i 2 = 2 r r sin φ θ r ˆL 2 h 2 r, ˆL2 = h θ + cot θ 2 θ + sin 2 θ 2, φ 2 cot θ cos φ, ˆLy = h cos φ cot θ sin φ, ˆLz = h φ i θ φ i [ˆL 2, ˆL i ] = 0 i = x, y, z, [ˆL x, ˆL y ] = i hˆl z, etc. φ, Sfæriske harmoniske { ˆL2 ˆL z } { h 2 ll + Y lm = hm } Y lm ; Y l m Y lmdω = δ l lδ m m; ˆLz = h i φ ; Y 20 = Y 00 = 5 6π 3 cos2 θ, Noen fysiske konstanter 3 4π, Y 0 = 4π cos θ, 3 Y,± = 8π sin θ e±iφ. 5 Y 2,± = 8π sin θ cos θ e±iφ, Y 2,±2 = 5 32π sin2 θ e ±2iφ. a 0 4πɛ 0 h 2 m e e 2 = α h m e c = m; α e2 4πɛ 0 hc = ; c = m/s; h = evs; m e = 0.50 MeV/c 2.