Examination paper for TFY4220 Solid State Physics

Transkript

1 Pge 1 of 16 Deprtment of physics Exmintion pper for TFY4220 Solid Stte Physics Acdemic contct during exm: Rndi Holmestd Phone: Exmintion dte: 29. My 2015 Exmintion time (from-to): to Permitted exmintion support mteril: C (simple clcultor, English dictionry, Rottmnn formuls book). Other informtion: Lnguge: English (pge 2-6) / Bokmål (pge 7-11) / Nynorsk (pge 12-16) Number of pges: 16 (including front pge) Number of pges enclosed: 0 Checked by: Dte Signture

2 Pge 2 of 16 Problem 1 (15%) Introductory questions Keep your nswers to this problem brief! ) In the lb you did n X-ry diffrction experiment. Explin why it is dvntgeous to use powder mteril for these mesurements rther thn single crystl. b) List nd compre the properties of mterils with metllic, covlent nd ionic bonding. Give t lest one exmple of mterils hving ech type of bonding. c) Assume n n-type doped semiconductor (e.g. Si or Ge). Sketch nd explin briefly how the mobile electron concentrtion depends on temperture. d) Describe the free electron model. Which properties re well explined by this model? Give exmples. Which properties cnnot be well described by this model? Give exmples of mterils we cn pply this model to. Problem 2 (15%) Multiple choices Only one nswer should be chosen for ech question. Wrong or severl nswers give zero points. No explntion or resoning should be given. You cn circle the right nswer nd hnd this in with the rest of your exm nswers. 1. Wht structures hve the highest pcking frction? ) fcc nd hcp b) bcc nd hcp c) fcc nd bcc d) ll (fcc, bcc, hcp) A B 2. Which of the cells in the figure to the right is Wigner-Seitz cell? ) A nd D b) A c) A, B nd C d) All 3. Wht do we men by the first Brillouin zone? ) A volume in the rel spce with the lest lttice points b) The Wigner Seitz cell c) The Brvis lttice in the reciprocl spce d) The Wigner Seitz cell in the reciprocl spce C E D Question 2 bout Wigner-Seitz cell 4. Wht determines the intensity in n llowed diffrcted spot? ) The bsis in the lttice structure b) The orienttion of the smple nd the Brvis Question lttice of the structure c) The orienttion of the smple nd the bsis removed! in the lttice structure d) All three bove orienttion, Brvis lttice nd bsis

3 Pge 3 of Wht determines the number of dispersion curves for phonons? ) the mss of the toms b) number of different toms in the bsis c) the number of toms in the bsis d) the spce group of the crystl 6. Pure silicon doped with phosphorus is ) morphous b) p-type conductor c) n n-type conductor d) n insultor 7. Wht experiments is best to find the phonon dispersion curves? ) coustic wve scttering b) electron diffrction c) X-ry diffrction d) inelstic neutron scttering 8. Wht is Bloch wve? ) n exponentil function centered round ech lttice points b) plne wve multiplied by periodic function c) n ordinry plne wve d) liner wve with phse periodic with the lttice 9. Wht is the Fermi sphere? ) A sphere in rel spce for ll electrons with the Fermi energy t T=0 b) Electrons with the Fermi energy mking sphere in k-spce c) A sphere of electrons in the crystl moving with speed vf d) A sphere of electrons with constnt speed nd temperture 10. A typicl size of Fermi energy in metls is ) < 1 ev b) 2-10 ev c) given by Plnck s constnt d) lwys >10 ev

4 Pge 4 of 16 Problem 3 (25%) Structure nd diffrction ) C Ag Ti O I- Silver II Perovskite III Titnium luminide The figures bove show the structure of three different mterils. I is silver metl, II shows perovskite structure nd III is the intermetllic compound titnium luminide. Specify the Brvis lttice nd the bsis in ech cse (you cn drw the figure nd indicte the toms belonging to the bsis or write down the coordintes). For ech cse, how mny toms does the bsis contin? b) Determine the structure fctor nd find the extinction rules for silver (structure I bove). The structure fctor is given by SG Fhkl f j exp ig hkl r j. j Write down the three lowest reflections for Ag, nd sort them ccording to the intensity in the reflections. Explin your nswer. c) The figure to the right shows simulted TEM zone xis pttern from mteril with similr structure s silver (structure I bove). The zone xis is [001]. Index the reflections in the pttern, nd indicte where (if ny) you would hve found the systemticlly extinct reflections. Simulted TEM diffrction pttern d) Structure II shows the unit cell of minerl perovskite. Wht is the chemicl formul for this mteril? Explin. Discuss extinction rules for this structure (You do not need to derive them).

5 Pge 5 of 16 Problem 4 (25%) Phonons One dimensionl chin of toms ) Derive the wve dispersion reltion for the lttice in liner one-dimensionl chin of equidistnt identicl toms with mss m tht vibrte long the chin s shown in the figure bove. Assume tht the interction tkes plce only between the nerest neighbors, tht the distnce between neighbor toms is nd tht the hrmonic spring stiffness (spring constnt) is C. (Tips; Set up Newton s lw for one tom, ssume Hooke s lw is vlid, set in hrmonic wve solutions.) b) Sketch the phonon dispersion reltion. Show tht ll possible wves cn be described by the wve vectors in 2π/ long intervl. Show tht nd explin why the group velocity is zero for k = π/. c) Assume tht the chin is 1 cm long, = 3 Å nd the mximum phonon frequency rd/s. Derive how mny longitudinl wves hve their frequency in the rnge mx between rd/s nd 10 rd/s? Explin. d) Explin qulittively, through simple digrm, how the dispersion reltion would chnge if every second tom in the chin ws replced by toms with higher mss. e) Below is the phonon dispersion reltion in different directions in the Brillouin zone for GAs. Explin qulittively wht you see in the grph. Answer short. Phonon dispersion reltions in GAs

6 Pge 6 of 16 Problem 5 (20%) Free-electron model ) We will now study N free electrons in cube with side edge L. Assume periodic boundry conditions nd tht the temperture is T = 0. Determine the density of the k-vlues in k- spce. Define the Fermi energy EF nd show tht the expression for the Fermi wve N vector cn be written s kf with volume V= L 3. V Find the density of sttes (the number of sttes per energy unit) D(E) in three dimensions. b) Sketch figure tht shows D(E) for T=0 s found bove. Now suppose tht the temperture is T>0. Sketch in the sme figure the number of occupied sttes s function of E. Explin why the two curves re different, nd estimte the typicl extend of the region where the differences re most pronounced. c) The figure under shows clculted bnd structures for Si nd GAs. Explin wht these curves show, point out the similrities nd the differences for the two mterils. Point out nd comment on the eventul bnd gps. Keep it brief! Clculted bnd structures for Si nd GAs Given: 2 2 The energy-wve vector dispersion reltion for free electrons is E k. 2m The probbility tht n orbitl t energy E is occupied in n idel Fermi gs in therml 1 equilibrium t temperture T is given by the Fermi-Dirc distribution fe( E) ( E )/ kbt e 1.

7 Pge 7 of 16 BOKMÅL: Oppgve 1 (15%) Introduksjonsspørsmål Svr kort på disse spørsmålene! ) I lben gjorde du / fikk dt fr et røntgendiffrksjonseksperiment. Forklr hvorfor det vr fordelktig å bruke et pulver som mterile for disse målinger istedenfor en enkrystll. b) Oppgi og smmenlign egenskpene til mteriler med metllisk, kovlent og ionisk binding. Gi minst ett eksempel på mteriler som hr denne typen bindinger. c) Ant t vi hr en n-type dopet hlvleder (f.eks Si eller Ge). Skisser og forklr kort hvordn elektronkonsentrsjonen vhenger v tempertur. d) Beskriv fri-elektron modellen. Hvilke egenskper kn vi beskrive med denne modellen? Gi eksempler. Hvilke egenskper kn ikke godt beskrives v denne modellen? Gi eksempler på mteriler vi kn bruke denne modellen på. Oppgve 2 (15%) Flervlgsoppgve Velg kun et svr for hvert spørsmål. Feil eller flere svr gir null poeng. Det skl ikke gis noen forklring eller resonnement. Du kn sirkle det rette svret, og levere dette inn med resten v besvrelsen. 1. Hvilke strukturer hr høyest pkkefrksjon? ) fcc og hcp b) bcc og hcp c) fcc og bcc d) lle (fcc, bcc, hcp) 2. Hvilke v cellene i figuren til høyre er en Wigner-Seitz celle? ) A og D b) A c) A, B og C d) Alle 3. Hv mener vi med første Brillouin sone? ) Volumet i det reelle rommet med minst gitterpunkter b) Wigner-Seitz cell c) Brvisgitteret i det resiproke rommet d) Wigner-Seitz cell i resiproke rommet A B C E D Spørsmål 2 om Wigner-Seitz celle 4. Hv bestemmer intensiteten i en tilltt diffrksjonsspot? ) Bsisen i gitterstrukturen b) Orientering v prøven og Brvis-gitter v strukturen c) Orienteringen v prøven og bsis i gitterstrukturen d) Alle de tre ovenfor - orientering, Brvisgitter og bsis

8 Pge 8 of Hv bestemmer ntll grener i dispersjonsrelsjonen for fononer? ) mssen v tomene b) ntll forskjellige tomer i bsis c) ntll tomer i bsis d) romgruppen v krystllen 6. Rent silisium dopet med fosfor er ) morft b) p-type leder c) n-type leder d) en isoltor 7. Hv slgs eksperimenter er best for å finne fonon dispersjonskurver? ) lydbølgespredning b) elektrondiffrksjon c) Røntgendiffrksjon d) uelstisk nøytronspredning 8. Hv er en Bloch-bølge? ) en eksponentilfunksjon sentrert rundt gitterpunkter b) en plnbølge multiplisert med en periodisk funksjon c) en vnlig plnbølge d) en lineær bølge med fse som er periodisk med gitteret 9. Hv er Fermikul? ) Ei kule i det reelle rommet for lle elektroner med Fermienergi ved T = 0 b) Elektroner med Fermienergien som lger ei kule i k-rommet c) Ei kule v elektroner i krystllen som beveger seg med hstighet vf d) Ei kule v elektroner med konstnt hstighet og tempertur 10. En typisk størrelse på en Fermienergien i metller er ) <1 ev b) 2-10 ev c) gitt v Plnck s konstnt d) lltid > 10 ev

9 Pge 9 of 16 Oppgve 3 (25%) Struktur og diffrksjon ) C Ag Ti O I- Sølv II Perovskitt III Titnluminid Figurene ovenfor viser strukturen v tre forskjellige mteriler. I er sølv, II viser en perovskittstruktur og III er titnluminid. Spesifiser Brvisgitteret og bsisen i hvert enkelt tilfelle (du kn tegne figuren og vise tomene som tilhører bsis eller skrive ned koordinter i enhetscell). For hvert tilfelle, hvor mnge tomer er det i bsis? b) Bestem strukturfktoren og finn utslokningsregler for sølv (struktur I ovenfor). Strukturfktoren er gitt ved SG Fhkl f j exp ig hkl r j j Skriv opp de tre lveste refleksene for Ag, og sorter dem i henhold til intensiteten. Begrunn svret. c) Figuren til høyre viser et simulert TEM sonekse diffrksjonsmønster v et mterile med smme struktur som sølv (figur I over). Soneksen er [001]. Indiser dette diffrksjons-bildet, og indiker hvor (hvis noen) du ville sett de forbudte refleksene. Simulert TEM diffrksjonsmønster d) Struktur II over viser enhetscellen for minerlet perovskitt. Hv er den kjemiske formelen for dette mterilet? Forklr. Diskuter utslokningsreglene for denne strukturen (Du trenger ikke å utlede dem).

10 Pge 10 of 16 Oppgve 4 (25%) Fononer Endimensjonl kjede v tomer ) Utled dispersjonsrelsjonen for gitteret i en lineær endimensjonl kjede v ekvidistnte identiske tomer med msse m som vibrerer lngs kjeden, som vist i figuren ovenfor. Ant t interksjonen skjer bre mellom nærmeste nboer, t vstnden mellom nbo-tomer er, og t den hrmoniske fjærstivheten (fjærkonstnten) er C. (Tips; Sett opp Newtons lov for ett tom, nt t Hooke s lov gjelder, sett inn hrmoniske bølgeløsninger.) b) Skisser fonon dispersjonsrelsjonen. Vis t lle mulige bølger kn beskrives ved bølge vektorer i et 2π / lngt intervll. Vis t og forklr hvorfor gruppehstigheten er null for k = π /. 13 c) Ant t kjeden er 1 cm lng, = 3 Å, og den mksimle fononfrekvensen 10 rd/s. 11 Utled ntllet longitudinle bølger som hr frekvens i området mellom 10 rd/s og rd/s. Forklr. mx d) Forklr kvlittivt, gjennom en enkel figur, hvordn dispersjonsrelsjonen vil endre seg dersom nnethvert tom i kjeden erstttes med tomer med større msse. e) Nedenfor er fonon dispersjonsrelsjonen i ulike retninger i første Brillouinsone for GAs. Forklr kvlittivt hv du ser i grfen. Svr kort. Dispersjonsrelsjon for fononer i GAs

11 Pge 11 of 16 Oppgve 5 (20%) Frielektronmodell ) Vi vil nå undersøke N frie elektroner i en terning med sideknt L. Ant periodiske grensebetingelser, og t temperturen er T = 0. Bestem tetthet v k-verdier i k-rommet. Definer Fermienergien EF og vis t uttrykket for Fermi-bølgevektoren kn skrives som N 3 kf med volum V = L 3. V Finn tetthet v tilstnder (ntll tilstnder pr energienhet) D(E) i tre dimensjoner. b) Tegn en figur som viser D(E) for T = 0 som funnet over. Ant nå t temperturen er T>0. Skisser i smme figur ntll okkuperte tilstnder som funksjon v E. Forklr hvorfor de to kurvene er forskjellige, og estimer typisk utstrekning på området hvor forskjellene er størst. c) Figuren under viser beregnet båndstruktur for Si og GAs. Forklr hv disse kurvene viser og påpek likheter og forskjeller for de to mterilene. Pek på og kommenter eventuelle båndgp. Skriv kort!. Beregnede båndstrukturer for Si og GAs Oppgitt: 2 2 Energi-bølgevektor dispersjonsrelsjon for frie elektroner er E k. 2m Snnsynligheten for t en orbitl med energi E er okkupert i en ideell Fermi-gss i termisk 1 likevekt ved tempertur T er gitt ved Fermi-Dirc fordeling fe( E) ( E )/ kbt e 1

12 Pge 12 of 16 NYNORSK: Oppgåve 1 (15%) Introduksjonsspørsmål Svr kort på disse spørsmål! ) I lben gjorde du / fikk dt frå eit røntgen diffrksjonseksperiment. Forklr kvifor det vr smrt å bruke eit pulver som mterile for desse målingne istdenfor ein einkrystll. b) Oppgje og smnlikn eigenskpne til mteriler med metllisk, kovlent og ionisk binding. Gje minst eit eksempel på mterilr som hr denne typen bindingr. c) Ant t vi hr en n-type dop hlvleder (f.eks Si eller Ge). Skisser og forklr kort korleis elektronkonsentrsjonen vhenger v tempertur. d) Fortel om fri-elektron modellen. Kv slgs eigenskper kn vi forklre med den modellen? Gje høve. Kv slgs eigenskper kn ein ikkje godt beskrive med denne modellen? Gje høve på mterile vi kn bruke denne modellen på. Oppgåve 2 (15%) Fleirvlsoppgåve Vel berre eit svr på kvrt spørsmål. Feil eller fleire svr vil gje null poeng. Du skl ikkje gje nokon forklring eller resonnement. Du kn sirkle inn det riktige svret, og levere dette inn med resten v svret. 1. Kv slgs strukturr hr høgst pkkefrksjon? ) fcc og hcp b) bcc og hcp c) fcc og bcc d) lle (fcc, bcc, hcp) 2. Kven v cellene i figuren til høyre er ei Wigner-Seitz celle? ) A og D b) A c) A, B og C d) Alle 3. Kv meiner vi med første Brillouin sone? ) Volumet i det reelle rommet med minst gitterpunkter b) Wigner-Seitz cell c) Brvisgitteret i det resiproke rommet d) Wigner-Seitz cell i resiproke rommet A B C E D Spørsmål 2 om Wigner-Seitz celle 4. Kv bestemmer intensiteten i ein tilleten diffrksjonsspot? ) Bsisen i gitterstrukturen b) Orientering v prøv og Brvisgitter v strukturen c) Orientering v prøv og bsis i gitterstrukturen d) Alle de tre ovnfor - orientering, Brvisgitter og bsis

13 Pge 13 of Kv bestemmer tlet på greiner i dispersjonsrelsjonen for fononer? ) mssen v tom b) tlet på forskjellige tomer i bsis c) tlet for tom i bsis d) romgrupp v krystllen 6. Reint silisium dop med fosfor er ) morft b) p-type leder c) n-type leder d) en isoltor 7. Kv slgs eksperimenter er best for å finne fonon dispersjonskurver? ) lydbølgjespreiing b) elektrondiffrksjon c) Røntgendiffrksjon d) uelstisk nøytronspreiing 8. Kv er ei Bloch-bølgje? ) ein eksponentilfunksjon sentrert rundt gitterpunkter b) ei plnbølgje multiplisert med en periodisk funksjon c) ei vnlig plnbølgje d) ei lineær bølgje med fse som er periodisk med gitteret 9. Kv er Fermikul? ) Ei kule i det reelle rommet for lle elektron med Fermienergi ved T = 0 b) Elektron med Fermienergien som lger ei kule i k-rommet c) Ei kule v elektron i krystllen som beveger seg med hstighet vf d) Ei kule v elektron med konstnt hstighet og tempertur 10. Ein typisk størrelse på en Fermienergien i metller er ) <1 ev b) 2-10 ev c) gitt v Plnck s konstnt d) lltid > 10 ev

14 Pge 14 of 16 Oppgåve 3 (25%) Struktur og diffrksjon ) C Ag Ti O I- Sølv II Perovskitt III Titnluminid Figurne ovnfor viser strukturen v tre forskjellige mterilr. I er sølv, II viser en perovskittstruktur og III er titnluminid. Spesifiser Brvisgitteret og bsisen i kvrt enkelt tilfelle (du kn tegne figuren og vise tom som høyrer til bsis eller skrive ned koordintne i enhetscell). For kvrt tilfelle, kor mnge tom er det i bsis? b) Bestem strukturfktoren og finn utslokningsreglr for sølv (struktur I ovnfor). Strukturfktoren er gitt ved SG Fhkl f j exp ig hkl r j j Skriv opp de tre lågste refleksne for Ag, og sorter dei i forhold til intensiteten. Grunngje svret. c) Figuren til høyre viser et simulert TEM sonekse diffrksjonsmønster v et mterile med sme struktur som sølv (figur I over). Soneksen er [001]. Indiser dette diffrksjons-bildet, og indiker hvor (hvis noen) du ville sett de ulovlege refleksne. Simulert TEM diffrksjonsmønster d) Struktur II over viser einhetscell for minerlet perovskitt. Hv er den kjemiske formelen for dette mterilet? Forklr. Diskuter utslokningsreglne for denne strukturen (Du trenger ikkje å utlede dem).

15 Pge 15 of 16 Oppgåve 4 (25%) Fononer Endimensjonl kjede v tomer ) Utled dispersjonsrelsjonen for gitteret i en lineær eindimensjonl kjede v ekvidistnte identiske tom med msse m som vibrerer lngs kjeden, som vist i figuren ovenfor. Ant t interksjonen skjer bre mellom de nærmeste nboer, t vstnden mellom nbo-tom er, og t den hrmoniske fjærstivheten (fjærkonstnt) er C. (Tips; Sett opp Newtons lov for eit tom, nt t Hooke s lov gjelder, sett inn hrmoniske bølgjeløysninger.) b) Skisser fonon dispersjonsrelsjonen. Vis t lle mulige bølgjer kn beskrives ved bølgje vektorer i et 2π / lngt intervll. Vis t og forklr kvifor gruppehstigheten er null for k = π /. 13 c) Ant t kjeden er 1 cm lng, = 3 Å, og den mksimle fononfrekvensen 10 rd/s. 11 Utled tlet v longitudinle bølgjer som hr frekvens i området mellom 10 rd/s og rd/s. Forklr. mx d) Forklr kvlittivt, gjennom en enkel figur, korleis dispersjonsrelsjonen vil endre seg dersom nnethvert tom i kjeden erstttes med tom med større msse. e) Nednfor er fonon dispersjonsrelsjonen i ulike retningr i første Brillouinsone for GAs. Forklr kvlittivt kv du ser i grfen. Svr kort. Dispersjonsrelsjon for fononer i GAs

16 Pge 16 of 16 Oppgåve 5 (20%) Frielektronmodell ) Vi vil nå undersøke N frie elektron i en terning med sideknt L. Ant periodiske grensebetingelser, og t temperturen er T = 0. Bestem tetthet v k-verdier i k-rommet. Definer Fermienergien EF og vis t uttrykket for Fermi-bølgevektoren kn skrives som N 3 kf med volum V = L 3. V Finn tetthet v tilstnder (tlet på tilstnder pr energienhet) D(E) i tre dimensjoner. b) Teikn ein figur som viser D(E) for T = 0 som funnet over. Ant nå t temperturen er T>0. Skisser i sme figur tlet okkuperte tilstnder som funksjon v E. Forklr kvifor de to kurvene er forskjellige, og estimer typisk utstrekning på området kor forskjellne er størst. c) Figuren under viser beregnet bndstruktur for Si og GAs. Forklr kv disse kurvene viser og påpek likheter og forskjeller for de to mterilene. Pek på og kommenter eventuelle bndgp. Skriv kort!. Bereikn båndstrukturer for Si og GAs Oppgitt: 2 2 Energi-bølgjevektor dispersjonsrelsjon for frie elektron er E k. 2m Snnsynligheten for t en orbitl med energi E er okkupert i en ideell Fermi-gss i termisk 1 likevekt ved tempertur T er gitt ved Fermi-Dirc fordeling fe( E) ( E )/ kbt e 1