UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT"

Sidsel Rød
7 år siden
Visninger:

1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag 8. desember 204 Sensur kunngjøres: 22. desember 204 Date of exam: Monday, December 8, 204 Grades will be given: December 22, 204 Tid for eksamen: kl Time for exam: 2.30 p.m p.m. Oppgavesettet er på 5 sider, inkl. forsiden The problem set covers 5 pages (incl. cover sheet) English version on page 4 Tillatte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler, samt lommekalkulator er tillatt Resources permitted: All written and printed resources, as well as calculator, is permitted Eksamen blir vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårligste ståkarakter. F er ikke bestått. The grades given: A-F, with A as the best and E as the weakest passing grade. F is fail.

2 Universitetet i Oslo / Økonomisk institutt (Bokmål) ECON320/420 Matematikk 2 8. desember 204, Oppgavesettet er på 2 sider. Alle trykte eller skrevne hjelpemidler samt lommeregnere er tillatt. Karakterskalaen går fra A (beste karakter) til E for bestått, og F for ikke bestått. Alle svar skal begrunnes. Du kan benytte all informasjon oppgitt i et tidligere bokstavpunkt (f.eks. (a) ) til å løse et senere (f.eks. (c) ), uansett om du klarte å besvare det førstnevnte. Et senere bokstavpunkt trenger ikke bygge på svar på eller informasjon oppgitt i et tidligere. Oppgave For hvert reelt tall t, se på matrisen A t og ligningssystemet (med (x, y, z) som ukjente) gitt ved: x t A t y = t der A t = 3t 8 t 7 z t 6 3t 2t + 3 (a) Finn r 0 og s 0 slik at determinanten til A t er lik t (rt + s). (b) Unntatt for to verdier t 0 og t for t, har ligningssystemet én og bare én løsning. Finn t 0 og t. (c) Det er uendelig mange løsninger for nøyaktig én av t 0, t. Løs systemet for den t-verdien. (Ikke gjøre noe med den andre t-en.) Hint: Fra de foregående delene av oppgaven skulle det være enkelt å se hvilken t. Oppgave 2 (a) Bruk integrasjon ved substitusjon til å vise at x ln x dx = ln ln x + C. (Integrasjon ved substitusjon er obligatorisk her. Det gis ikke uttelling for å derivere høyresiden.) (b) Finn den allmenne løsningen av differensialligningen ẋ = (x ln x)( + ln t), t, x (D) (c) Finn den partikulære løsningen som går gjennom punktet (t, x) = (, ).

3 Oppgave 3 La f(x, y) = e x3 y 4. (a) i) Finn reelle tall p og q slik at funksjonen M(x, y) = f(x, y) px qy har stasjonærpunkt i (x, y) = (, 0). ii) Klassifiser (x, y) = (, 0) som stasjonærpunkt for M. (Dette kan du gjøre uten å ha funnet p og q.) Fra nå av, se på problemet V = max f(x, y) når (x, y) S, y 0 der S er gitt ved bibetingelsene 2y x x 204 (P) (b) Forklar hvorfor problemet har en løsning, og sett opp de tilhørende Kuhn Tuckerbetingelsene. (c) La (x, y) tilfredsstille Kuhn Tucker-betingelsene og bibetingelsene gitt i (P). Vis at vi må ha 2y = x. (Hint: Anta for motsigelse at 2y x.) Punktet (x, y) = (, 0) løser problemet (P) (dette skal du ikke vise). Hvis vi erstatter bibetingelsen «y 0» med «y 0.02», så øker den optimale verdien med V. (d) Approksimer V ved hjelp av Kuhn Tucker-betingelsene for (P). (Du er spurt om approksimasjonen, ikke om den eksakte verdien.) Oppgave 4 Definer en funksjon H = H(x,..., x n ) ved H(x,..., x n ) = [ ] /204 x x 204 n Uten å derivere eller elastisitere, finn (for H 0) El H(x,..., x n ) El n H(x,..., x n ) der El i H er notasjon for den partielle elastisiteten x i H H. x i (Hint: Regn ut H(tx,..., tx n ); hva vet vi om slike funksjoner?) 2

4 University of Oslo / Department of Economics (English version) ECON320/420 Mathematics 2 December 8th 204, There are 2 pages of problems to be solved. All printed and written material may be used, as well as pocket calculators. Grades given run from A (best) to E for passes, and F for fail. You are required to state reasons for all your answers. You are permitted to use any information stated in an earlier letter-enumerated item (e.g. (a) ) to solve a later one (e.g. (c) ), regardless of whether you managed to answer the former. A later item does not necessarily require answers from or information given in a previous one. Problem Consider for each real number t the matrix A t and the equation system (in the unknown (x, y, z)) given as follows: x t A t y = t where A t = 3t 8 t 7 z t 6 3t 2t + 3 (a) Find r 0 and s 0 such that the determinant of A t equals t (rt + s). (b) Except for two values t 0 and t for t, the equation system has one and only one solution. Find t 0 and t. (c) There are infinitely many solutions for precisely one of the t 0, t. Solve the system for that t. (Do not do anything about the other t-value.) Hint: From the previous parts it should be easy to spot which t. Problem 2 (a) Use integration by substitution to show that x ln x dx = ln ln x + C. (Integration by substitution is mandatory. There is no score for differentiating the right-hand side.) (b) Find the general solution of the differential equation ẋ = (x ln x)( + ln t), t, x (D) (c) Find the particular solution which passes through the point (t, x) = (, ).

5 Problem 3 Let f(x, y) = e x3 y 4. (a) i) Find real numbers p and q such that the function M(x, y) = f(x, y) px qy has a stationary point at (x, y) = (, 0). ii) Classify (x, y) = (, 0) as a stationary point for M. (You can do this without having found p and q.) Consider from now on the problem V = max f(x, y) subject to (x, y) S, y 0 where S is given by the constraints 2y x x 204 (P) (b) Explain why the problem has a solution, and state the Kuhn Tucker conditions associated with the problem. (c) Let (x, y) satisfy the Kuhn Tucker conditions and the constraints stated in (P). Show that we must have 2y = x. (Hint: Suppose for contradiction that 2y x.) The point (x, y) = (, 0) solves the problem (P) (you shall not show this). If we replace the constraint «y 0» by «y 0.02», the optimal value increases by V. (d) Approximate V from the Kuhn Tucker conditions for (P). (You are asked for the approximation, not for the exact value.) Problem 4 Define a function H = H(x,..., x n ) by H(x,..., x n ) = [ ] /204 x x 204 n Without calculating derivatives or elasticities, find (for H 0) El H(x,..., x n ) El n H(x,..., x n ) where El i H denotes the partial elasticity x i H H. x i (Hint: Calculate H(tx,..., tx n ); what is known about such functions?) 2

Like dokumenter

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON20/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON20/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Fredag 2. mai