UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Exam: ECON3120/4120 Mathematics 2: Calculus an linear algebra Eksamensag: Tirsag 3. juni 2008 Sensur kunngjøres: Manag 16. juni Date of exam: Tuesay, June 3, 2008 Graes will be given: Monay, June 16 Ti for eksamen: kl. 09:00 12:00 Time for exam: 09:00 a.m. 12:00 noon Oppgavesettet er på 5 sier (inkl. forsien) The problem set covers 5 pages (incl. cover sheet) English version on page 4 Tillatte hjelpemiler: Alle trykte og skrevne hjelpemiler, samt lommekalkulator Resources allowe: All written an printe resources, as well as calculator is allowe Eksamen blir vurert etter ECTS-skalaen. A-F, er A er beste karakter og E er årligste ståkarakter. F er ikke bestått. The graes given: A-F, with A as the best an E as the weakest passing grae. F is fail. 1

2 Universitetet i Oslo / Økonomisk institutt Bokmål ECON3120/ECON4120 Matematikk 2 Tirsag 3. juni 2008, 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 2 sier. Alle trykte eller skrevne hjelpemiler samt lommeregnere er tillatt. Alle svar skal begrunnes. Karakterskalaen går fra A til F, me A som en beste karakteren og E som en årligste ståkarakteren. Oppgave 1 La for hver matrisen A være gitt som A = (a) Beregn A og vis at n-tepotensen A n har en invers hvis og bare hvis 0. (b) Betrakt ligningssystemet A 2008 x = er x er en vektor (x 1,..., x 5 ) av fem ukjente og A 2008 A. er totusenogåttene potens av (i) For hvilke verier av har ligningssystemet en entyig løsning? (ii) Vis at et allti finnes en løsning. Du kan bruke resultatet gitt i el (a) uansett om u klarte å vise et eller ikke. Oppgave 2 Ligningssystemet x ln u + v ln y = 0 e y + uv + e ux = 0 efinerer (u, v) som kontinuerlig eriverbare funksjoner av (x, y) nær punktet (x, y, u, v) = (a, a, 1, 0), for en passene positiv konstant a. Differensier systemet (regn ut ifferensialer), og finn uttrykk for v x(a, a) og v y(a, a).

3 Oppgave 3 La b > 0 være en konstant. Betrakt ifferensialligningen Hvis z = ẏ, så tilfresstiller altså z ifferensialligningen (a) Finn en generelle løsningen av (**). ÿ = ẏ + e bt (*) ż = z + e bt (**) (b) Bruk en generelle løsningen z av (**) til å finne en spesielle løsningen y av (*) me egenskapen lim t y(t) = 1. Oppgave 4 La er A 0 er en konstant. Betrakt problemet max (x,y) f(x, y) = e xy2 Ax 2 y 1, f(x, y) når x 0 y 0 (P) x + y A 2 (a) Sett opp Kuhn-Tucker-betingelsene for problemet (P), og vis at e er tilfresstilt i origo. (b) Du kan ta for gitt at problemet (P) ikke har noen løsning på aksene. Bruk ette til å vise at i løsningspunktet er én og bare én Lagrange-multiplikator 0. Hint: Vis først at f ikke har noe stasjonærpunkt utenfor aksene.

4 University of Oslo / Department of Economics Problem 1 ECON3120/ECON4120 Mathematics 2 Tuesay June , 09:00 12:00 There are 2 pages of problems to be solve. All printe an written material may be use, as well as pocket calculators. Give reasons for all your answers. Graes given run from A (best) to E for passes, an F for fail. Let for each the matrix A be given by A = (a) Calculate A an show that the nth power A n English has an inverse if an only if 0. (b) Consier the equation system A 2008 x = where x is a vector (x 1,..., x 5 ) of five unknowns an A 2008 A. is the 2008th power of (i) For what values of will the equation system have a unique solution? (ii) Show that there always is a solution. You may use the result given in part (a) no matter whether you manage to show it or not. Problem 2 The equation system x ln u + v ln y = 0 e y + uv + e ux = 0 efines (u, v) as continuously ifferentiable functions of (x, y) near the point (x, y, u, v) = (a, a, 1, 0), for a suitable positive constant a. Differentiate the system (i.e. calculate ifferentials), an fin expressions for v x(a, a) an v y(a, a).

5 Problem 3 Let b > 0 be a constant. Consier the ifferential equation Thus, if z = ẏ, then z satisfies the ifferential equation (a) Fin the general solution of (**). ÿ = ẏ + e bt (*) ż = z + e bt (**) (b) Use the general solution z of (**) to fin the particular solution y of (*) with the property that lim t y(t) = 1. Problem 4 Let f(x, y) = e xy2 Ax 2 y 1, where A 0 is a constant. Consier the problem max (x,y) f(x, y) subject to x 0 y 0 (P) x + y A 2 (a) State the Kuhn-Tucker conitions associate with the problem (P), an show that they are satisfie at the origin. (b) You can take for grante that problem (P) oes not have a solution on the axes. Use this to show that at the solution point, one an only one of the Lagrange multipliers is 0. Hint: Show first that f has no stationary point outsie the axes.