UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT"

Kristine Dalen
7 år siden
Visninger:

1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON320/420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON320/420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. januar 207 Date of exam: Tuesday, January 0, 207 Tid for eksamen: kl. 09:00 2:00 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon Oppgavesettet er på 5 sider (inkl. forsiden) The problem set covers X pages (incl. cover sheet) English version on page 4 Tillatte hjelpemidler: Åpen bok eksamen, der alle trykte og skrevne hjelpemidler, samt kalkulator, er tillatt Resources allowed: Open book exam, where all written and printed resources, as well as calculator, is allowed Eksamen blir vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårligste ståkarakter. F er ikke bestått. The grades given: A-F, with A as the best and E as the weakest passing grade. F is fail.

2 Universitetet i Oslo / Økonomisk institutt Bokmål (English version included) ECON320/420 Matematikk 2 Utsatt prøve, 0. januar 207, Oppgavesettet er på 2 sider. Alle trykte eller skrevne hjelpemidler samt lommeregnere er tillatt. Karakterskalaen går fra A (beste karakter) til E for bestått, og F for ikke bestått. Alle svar skal begrunnes. Du kan benytte all informasjon oppgitt i et tidligere bokstavpunkt (f.eks. (a) ) til å løse et senere (f.eks. (c) ), uansett om du klarte å besvare det førstnevnte. Et senere bokstavpunkt trenger ikke bygge på svar på eller informasjon oppgitt i et tidligere. Oppgave Definer for alle reelle t matrisene A t og B ved A t = , B = t (a) Regn ut L t = A t B. Regn ut C = B B, der primtegnet betyr transponering. Du skal få at matrisen C er symmetrisk. Er dette et sammentreff som skyldes de tallene som er elementer i B, eller kunne man vite uten å regne ut? (b) Kan L 206 fra del (a) fortelle deg noe om hvor mange løsninger ligningssystemet A 206 x = 0 har? (Her er den ukjente x en vektor.) (c) Regn ut determinanten A t. (Hint: kofaktorutvikling er antakelig ikke den raskeste metoden!) Oppgave 2 La N være et positivt heltall. Finn grensene (eller vis at de ikke eksisterer): (42 + x + Nx) x ( ln( + y 3N ) ) N y y z 0 2Ne z ln( + e Nz ) z 2N

3 Oppgave 3 La a, p og w være positive konstanter, og la F (K, L) = 2aK /3 L /2 + 6K /2 + 3L /3 (a) Er F homogen? I så fall: av hvilken grad? (b) Det er et faktum (og du skal ikke vise) at en sum av konkave funksjoner er konkav. Vis at F er konkav. (c) Se på problemet maksimer F (K, L) pk wl når { K 3 L 9 ( ) Sett opp Kuhn Tucker-betingelsene som hører til problemet ). Anta at et gitt punkt (K, L ) tilfredsstiller bibetingelsene og Kuhn Tuckerbetingelsene. Ville du da vite at dette punktet løser maksimeringsproblemet ( ), eller kunne det være slik at F (K, L) > F (K, L ) for et annet punkt (K, L) som tilfredsstiller bibetingelsene? I så fall, hva måtte du sjekke for å avgjøre? La G(K, L) = F F (K, L) og la H(K, L) = (K, L). Ta for gitt at ligningssystemet K L G(K, L) = p H(K, L) = w definerer K = K(p, w) og L = L(p, w) som kontinuerlig deriverbare funksjoner av (p, w). (d) Differensier systemet (S) (dvs., regn ut differensialer). Det kreves at du skriver ut det differensierte systemet (det skal ikke være noen bokstaver G eller H i svaret ditt). (e) Bruk det differensierte systemet til å finne et uttrykk for K w. (Det er ingen score for å bruke andre metoder.) (S) Oppgave 4 (a) La r > 0 være en konstant. Vis at det finnes (konstanter) a og b slik at (rt 3)t 2 e rt dx = C + (at bt 3 )e rt Regn ut e r(ln y) 3 3(ln y) 2 dy. y r+ (b) Finn den allmenne løsningen av differensialligningen ẋ = (t )t 2 e 3(x t) 2

4 University of Oslo / Department of Economics English version ECON320/420 Mathematics 2 Postponed exam, 0. January 207, There are 2 pages of problems to be solved. All printed and written material may be used, as well as pocket calculators. Grades given run from A (best) to E for passes, and F for fail. You are required to state reasons for all your answers. You are permitted to use any information stated in an earlier letter-enumerated item (e.g. (a) ) to solve a later one (e.g. (c) ), regardless of whether you managed to answer the former. A later item does not necessarily require answers from or information given in a previous one. Problem Define for all real t the matrices A t and B by A t = , B = t (a) Calculate L t = A t B. Calculate C = B B, where the prime denotes transpose. You shall get that the matrix C is symmetric. Is that a coincidence due to the numbers which are elements of B, or could one know without calculating? (b) Does L 206 from part (a) tell you anything about how many solutions the equation system A 206 x = 0 has? (Here, the unknown x is a vector.) (c) Calculate the determinant A t. (Hint: cofactor expansion is likely not the fastest method!) Problem 2 Let N be a positive integer. Find the limits (or show that they do not exist): (42 + x + Nx) x ( ln( + y 3N ) ) N y y z 0 2Ne z ln( + e Nz ) z 2N

5 Problem 3 Let a, p and w be positive constants, and let F (K, L) = 2aK /3 L /2 + 6K /2 + 3L /3 (a) Is F homogeneous? If so: of what degree? (b) It is a fact (and you shall not prove) that the sum of concave functions is concave. Show that F is concave. (c) Consider the problem max F (K, L) pk wl subject to { K 3 L 9 State the Kuhn Tucker conditions associated with problem ). Suppose that a given a point (K, L ) satisfies the constraints and the Kuhn Tucker conditions. Would you then know that this point solves the maximization problem ( ), or could it be that F (K, L) > F (K, L ) for some other point (K, L) which satisfies the constraints? If so, what would you have to check to decide? Let G(K, L) = F F (K, L) and let H(K, L) = (K, L). Take for granted that the equation K L system G(K, L) = p H(K, L) = w defines K = K(p, w) and L = L(p, w) as continuously differentiable functions of (p, w). (d) Differentiate the system (S) (i.e., calculate differentials). You are required to write out the differentiated system (there should be no G nor H letters in your answer). (e) Use the differentiated system to find an expression for K w. (There is no score for finding it by other methods.) ( ) (S) Problem 4 (a) Let r > 0 be a constant. Show that there exist a and b (constants) such that (rt 3)t 2 e rt dx = C + (at bt 3 )e rt Calculate e r(ln y) 3 3(ln y) 2 dy. y r+ (b) Find the general solution of the differential equation ẋ = (t )t 2 e 3(x t) 2

Like dokumenter

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember