UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT"

Bent Lindberg
8 år siden
Visninger:

1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag 23. juni 204 Date of exam: Monday, June 23, 204 Tid for eksamen: kl. 09:00 2:00 Time for exam: 09:00 a.m. 2:00 noon Oppgavesettet er på 5 sider (indk. forsiden) The problem set covers 5 pages (incl. cover sheet) English version on page 4 Tillatte hjelpemidler: Åpen-bok eksamen, der alle trykte og skrevne hjelpemidler, i tillegg til kalkulator er tillatt Resources allowed: Open book exam, where all written and printed resources, as well as calculator is allowed Eksamen blir vurdert etter ECTS-skalaen. A-F, der A er beste karakter og E er dårligste ståkarakter. F er ikke bestått. The grades given: A-F, with A as the best and E as the weakest passing grade. F is fail.

forsiden) The problem set covers 5 pages (incl.

2 Universitetet i Oslo / Økonomisk institutt Bokmål (English version included) ECON420 Matematikk juni 204, Oppgavesettet er på 2 sider. Alle trykte eller skrevne hjelpemidler samt lommeregnere er tillatt. Karakterskalaen går fra A (beste karakter) til E for bestått, og F for ikke bestått. Alle svar skal begrunnes. Du kan benytte all informasjon oppgitt i et tidligere bokstavpunkt (f.eks. (a) ) til å løse et senere (f.eks. (c) ), uansett om du klarte å besvare det førstnevnte. Et senere bokstavpunkt trenger ikke bygge på svar på eller informasjon oppgitt i et tidligere. Oppgave Definer matrisen U og for hvert reelle tall k matrisen A k ved k + k + 2 k + 3 k + 4 U =, A k = k + 2 k + 22 k + 23 k + 24 k + 3 k + 32 k + 33 k + 34 k + 4 k + 42 k + 43 k + 44 (a) Ligningssystemet A 204 x = (2, 0,, 4) har ingen løsninger (du skal ikke vise dette). Hva kan vi da si uten å løse om ligningssystemet A 204 x = 0? (A 204 betyr A k for k = 204, og symbolet er notasjon for den transponerte.) (b) Vis at determinanten A k = D, en konstant som ikke avhenger av k. (Hint: Det finnes raskere metoder enn kofaktorutvikling.) (c) Bruk Gauss-eliminasjon til å finne alle løsninger eventuelt, vis at ingen løsninger finnes av ligningssystemet A 0 x = (0,, 2, 3).

Du kan benytte all informasjon oppgitt i et tidligere bokstavpunkt (f.eks. (a) ) til å løse et senere (f.eks. (c) ), uansett om du klarte å besvare det førstnevnte.

3 Oppgave 2 (I denne oppgaven er det muligens praktisk å bruke at a b = e b ln a.) (a) Differensier ligningssystemet x y + 2y x + 3u + 4v = 5 x x + y y + 6u + 7v = 8. (S) (b) Ligningssystemet definerer u og v som kontinuerlig deriverbare funksjoner av (x, y) rundt et punkt P der hvor x = y = 2. Bruk det differensierte systemet fra del (a) til å finne en tilnærmet verdi for differensen u(2.25,.75) u(2, 2). (Det er et krav at du bruker det differensierte systemet du vil ikke bli belønnet for å løse ut (S) og regne derfra.) Oppgave 3 (a) Finn F (t) = t 0 4s 5 s 2 + ds (b) Finn den allmenne løsningen av differensialligningen ẋ = 4ex2 t 5 (t 2 + )x (gyldig for x > 0) () Du kan uttrykke svaret ved hjelp av F fra del (a), enten du klarte å løse den delen eller ikke. (c) En av de partikulære løsningene, kall den x (t), går gjennom punktet (t, x) = (0, ). Vis at den kvadratiske approksimasjonen til x omkring t = 0, er q(t) =. Oppgave 4 La r > 0 være en konstant, og definer G(x) = x r for x > 0. + e rx (a) For hvilke r > 0 eksisterer grensen lim x 0 + G(x) x? (b) Vis at hvis r så er G konveks. (c) Vis at det finnes en eller annen r slik at x = ln 2 er stasjonærpunkt for G for r = r. (Du er ikke spurt om å finne r.) (d) Omtrent hvor mye vil miniumumsverdien for G endre seg når r øker fra r til r + 0.? 2

Bruk det differensierte systemet fra del (a) til å finne en tilnærmet verdi for differensen u(2.25,.75) u(2, 2).

4 University of Oslo / Department of Economics English version ECON420 Mathematics 2 June 23rd 204, There are 2 pages of problems to be solved. All printed and written material may be used, as well as pocket calculators. Grades given run from A (best) to E for passes, and F for fail. You are required to state reasons for all your answers. You are permitted to use any information stated in an earlier letter-enumerated item (e.g. (a) ) to solve a later one (e.g. (c) ), regardless of whether you managed to answer the former. A later item does not necessarily require answers from or information given in a previous one. Problem Define the matrix U and for each real number k the matrix A k by k + k + 2 k + 3 k + 4 U =, A k = k + 2 k + 22 k + 23 k + 24 k + 3 k + 32 k + 33 k + 34 k + 4 k + 42 k + 43 k + 44 (a) It is a fact (and you are not supposed to prove) that the equation system A 204 x = (2, 0,, 4) has no solutions. What can we then say without actually solving about the number of solutions of the equation system A 204 x = 0? (Here, A 204 means A k for k = 204, and the symbol denotes transpose.) (b) Show that the determinant A k = D, a constant that does not depend on k. (Hint: There are quicker ways than cofactor expansion.) (c) Use Gaussian elimination to find all solutions or if applicable show that none exists of the equation system A 0 x = (0,, 2, 3).

You are permitted to use any information stated in an earlier letter-enumerated item (e.g. (a) ) to solve a later one (e.g. (c) ), regardless of whether you managed to answer the former.

5 Problem 2 (In this problem, it may be handy to write a b = e b ln a.) (a) Differentiate the equation system x y + 2y x + 3u + 4v = 5 x x + y y + 6u + 7v = 8. (S) (b) The equation system defines u and v as continuously differentiable functions of (x, y) near a point P where x = y = 2. Use the differentiated system from part (a) to find an approximation for the difference u(2.25,.75) u(2, 2). (You are required to use the differentated system you will not get credit for solving out (S) and calculating from there.) Problem 3 (a) Find F (t) = t 0 4s 5 s 2 + ds (b) Find the general solution of the differential equation ẋ = 4ex2 t 5 (t 2 + )x (valid for x > 0) () You can express the answer in terms of F from part (a), whether or not you solved that part. (c) One of the particular solutions, call it x (t), passes through the point (t, x) = (0, ). Show that the quadratic approximation of x around t = 0, is q(t) =. Problem 4 Let r > 0 be a constant, and define G(x) = x r for x > 0. + e rx (a) For what r > 0 does the limit lim x 0 + G(x) x (b) Show that if r then G is convex. exist? (c) Show that there exists some r such that x = ln 2 is a stationary point for G when r = r. (You are not asked to find this r.) (d) How much, approximately, does the minimum value of G change when r increases from r to r + 0.? 2

Use the differentiated system from part (a) to find an approximation for the difference u(2.25,.75) u(2, 2).

Like dokumenter

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30/40 Matematikk : Matematisk analyse og lineær algebra Exam: ECON30/40 Mathematics : Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Tirsdag 0. desember