Eksamen i TTK4135 Optimalisering og regulering

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Eksamen i TTK4135 Optimalisering og regulering"

Transkript

1 Norwegian university of science and technology Department of engineering cybernetics Kontaktperson under eksamen: Navn: Professor Bjarne Foss Tlf: Norsk/nynorsk utgave/utgåve Eksamen i TTK4135 Optimalisering og regulering Optimization and Control Tirsdag 27. mai 2008 Kl: Tillatte hjelpemidler / Tilletne hjelpemiddel: D - Ingen trykte eller skrevne hjelpemidler / Inga trykte eller skrevne hjelpemiddel. Godkjent kalkulator med tomt minne / Godkjend kalkulator med tomt minne Nyttig informasjon nnes i vedlegg / Nyttig informasjon nns i vedlegg (Denne informasjonen er gitt på engelsk for å samsvare med pensumlitteraturen som den er hentet ifra). Sensur faller 17.6 / Sensur fell

2 1 QP (35%) Gitt følgende QP-problem min f(x) = 1 x2r n 2 xt Gx + x T d s:t: a T i x = b i; i 2 E a T i x b i; i 2 I hvor G = G T : Alternativt kan likhetsbetingelsene skrives som Ax = b; A 2 R mn : a Formuler Kuhn-Tucker betinglsene for QP-problemet over.. b Anta E = ;, I = ; (ingen bibetinglser) og G 0, dvs. positive de nit. Vis at Newton retningen er gitt av p N k = G 1 (Gx + d) Vis at p N k er en avtagende retning (descent direction). Vis at algoritmen x k+1 = x k + p N k iterasjon. alltid konvergerer til optimum på en c Anta G 0 og at G er en dårlig kondisjonert matrise (ill-conditioned matrix). Foreslå en metode for å modi sere G slik at den blir godt kondisjonert (well conditioned matrix). Svar gjerne ved å skrive en kort pseudo-kode. Hva slags problem gir en dårlig kondisjonert G-matrise (ill-conditioned G-matrix) opphav til? d Formuler følgende investeringsproblem som et QP-problem (du skal ikke beregne løsningen). Et selskap trenger 60 millioner kroner for å nansiere en ny produksjonsprosess, og tre ulike banker har kommet med tilbud om å låne ut hele eller deler av dette beløpet. Alle bankene forlanger at lånet med renter skal tilbakebetales over 6 år. Tilbakebetalingsplanen er imidlertid forskjellig fra bank til bank, som vist i tabellen. (Tabellen skal tolkes slik at prosentandelene som er oppgitt gjelder lånebeløpet pluss renter, f.eks. for Bank 1 skal det betales totalt 175% ( ) av lånebeløpet). Prosent (%) av totalbeløp som skal tilbakebetales hvert år År 1 År 2 År 3 År 4 År 5 År 6 Bank Bank Bank Selskapet ser det som en fordel om de låner på en slik måte at de totale årlige betalingene på lånet er så like som mulig. Likevel ønsker de ikke å betale mer enn totalt 40 millioner kroner i renter. Formuler et QP-problem som skal nne hvor mye penger som skal lånes fra hver bank, slik at selskapets mål er tilfredsstilt. 2

3 2 MPC (35%) a Forklar kort prinsippet for MPC. Bruk en skisse i forklaringen. b Hva er de viktigste grunnene til suksessen for MPC i industrien. forklaringen til 2 årsaker. Begrens c Alle praktiske systemer er ulineære. Hvorfor er majoriteten av MPC-applikasjoner basert på lineære modeller? Gitt et optimaliseringsproblem (3), (4), (5), (6), (7) for å regulere et dynamisk system med MPC. ((3) - (7) er gitt i Appendix) d Anta at prediksjonshorisonten n = 10 for en MPC applikasjon. Anta videre at u i 2 < m hvor m = 2. (Indeks i refererer til tiid). Antallet frie reguleringsvariable er da 102 = 20 på prediksjonshorisonten. I en gitt applikasjon er det nødvendig å begrense antall frihetsgrader (frie reguleringsvariable) til 6 selv om prediksjonshorisonten er n = 10: Forklar hvordan dette kan gjøres. Bruk en skisse i forklaringen. e Anta nå i tillegg at antallet regulerte variable y i 2 < j er j = 2. Det betyr at dimensjonen på pådraget u i er lik dimensjonen til y i. Integralvirkning kan oppnås ved å reformulere MPC problemet. Foreslå en reformulering. Anta at alle tilstander måles. (Hint: Du kan utvide antall tilstander). Problemet over har to pådrag og to regulerte variable. Kan integralvirkning oppnås dersom en eller to pådrag er i metning, dvs. en eller to ulikheter (6) er aktive? Begrunn svaret. f Ugyldig løsning (Infeasibility handling): I ere tilfeller kan forstyrrelser skyve tilstandene utenfor det tillatte området (feasible region), dvs. at MPC QP problemet ikke har noen gyldig (feasible) løsning. Det er viktig at en praktisk implementasjon håndterer dette, Foreslår en metode for å håndtere dette problemet. 3

4 3 Konveksitet og ulineær programming (30%) Gitt et generelt optimaliseringsproblem (1). a La x 0 være en lokal løsning av (1), og anta at (1) er et konvekst problem. Vis at x 0 er en global løsning av (1). (A preses verbal forklaring vil gi noen poeng, men et bevis er nødvendig for full score). b Anta at alle bibetingelser er lineære, dvs. at alle c i er lineære funksjoner. Det betyr at den gyldige mengden (feasible set) er konveks. Hvilke egenskaper må f ha dersom optimaliseringsproblemet (1) skal være et konvekst problem? La n = 2 og f = x x 2 2. Er (1) et konvekst problem i dette tilfellet? La n = 1 og f = x 3 1. Er (1) et konvekst problem i dette tilfellet? c Reformuler problemet (1) til et maksimeringsproblem. d Anta at I =?, dvs. at det er ingen ulikhetsbetingelser. De ner en passende Merit-funksjon som kan benyttes i en SQP-algoritme for dette tilfellet. e Anta at I =?, E = f1g ; n = 2; c 1 (x) = x x 2 2 1; f(x) = x 1 + x 2. Anta at en SQP-algoritme i iterasjon nr.5 gir følgende verdier: x = (1:0; 0:5) T og Lagrangian variabel = 0:7. Formuler det lokale QPproblem i iterasjon nr.5. Er dette lokale QP-problemet konvekst? Hva er null-rommet (null-space) til begrensningene for det lokale QP-problemet? 4

5 Appendix Part 1 E and I given below are two nite sets of indices. General optimization problem. f and c i are di erentiable functions: min f(x) (1) x2rn c i (x) = 0; c i (x) 0; i 2 E i 2 I The Lagrangian function is given by L(x; ) = f(x) X i2e[i T i c i (x) The KKT-conditions for (1) are given by: r x L(x ; ) = 0 (2) c i (x ) = 0; i 2 E c i (x ) 0; i 2 I i 0; i 2 I i c i (x ) = 0; i 2 E [ I 2nd order (su cient) conditions for (1) are given by: 8 < rc i (x ) T w = 0 for all i 2 E w 2 F 2 ( ), rc i (x ) T w = 0 : rc i (x ) T w 0 for all i 2 A(x ) \ I with i > 0 for all i 2 A(x ) \ I with i = 0 Theorem (Second-Order Su cient Conditions) Suppose that for some feasible point x 2 R n there is a Lagrange multiplier vector such that the KKT conditions (2) are satis ed. Suppose also that w T r xx L(x ; )w > 0; for all w 2 F 2 ( ); w 6= 0: Then x is a strict local solution for (1). 5

6 LP-problem on standard form: s:t: min f(x) = x2r ct x n Ax = b x 0 where A 2 R mn and rank(a) = m: QP-problem on standard form: min f(x) = 1 x2r n 2 xt Gx + x T d s:t: a T i x = b i; i 2 E a T i x b i; i 2 I where G = G T : Alternatively, the equalities can be written Ax = b; A 2 R mn : Iterative method: x k+1 = x k + k p k x 0 given x k ; p k 2 R n ; k 2 R p k is the search direction and k is the line search parameter. Part 2 Linear quadratic control of discrete dynamic systems A typical optimal control problem on the time horizon 0 to n might take the form min f 0 (z) = 1 nx 1 f(y i y ref;i ) T Q i (y i y ref;i ) (3) z 2 i=0 + (u i u i 1 ) T P i (u i u i 1 )g (y n y ref;n ) T S(y n y ref;n ) subject to equality and inequality constraints x i+1 = A i x i + B i u i ; 0 i n 1 (4) y i = Hx i x 0 = given ( xed) (5) U L u i U U ; 0 i n 1 (6) Y L y i Y U ; 1 i n (7) 6

7 where system dimensions are given by u i 2 < m x i 2 < l y i 2 < j z T = (u T 0 ; ::; u T n 1; x T 1 ; ::; x T n ) 2 < mn+ln The subscript i refers to the sampling instants. That is, subscript i + 1 refers to the sample instant one sample interval after sample i. Note that the sampling time between each successive sampling instant is constant. Further, we assume that the control input u i is constant between each sample. 7

Exam in TTK4135 Optimization and Control

Exam in TTK4135 Optimization and Control Department of Engineering Cybernetics Faculty of Information Technology, Mathematics and Electrical Engineering Norwegian University of Science and Technology (NTNU) Contact for questions during exam:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON420 Matematikk 2: Matematisk analyse og lineær algebra Postponed exam: ECON420 Mathematics 2: Calculus and Linear Algebra Eksamensdag: Mandag

Detaljer

Oppgave 1a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet.

Oppgave 1a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet. TDT445 Øving 4 Oppgave a Definer følgende begreper: Nøkkel, supernøkkel og funksjonell avhengighet. Nøkkel: Supernøkkel: Funksjonell avhengighet: Data i en database som kan unikt identifisere (et sett

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I SØK3004 VIDEREGÅENDE MATEMATISK ANALYSE ADVANCED MATHEMATICS

EKSAMENSOPPGAVE I SØK3004 VIDEREGÅENDE MATEMATISK ANALYSE ADVANCED MATHEMATICS NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK3004 VIDEREGÅENDE MATEMATISK ANALYSE ADVANCED MATHEMATICS Faglig kontakt under eksamen: Snorre Lindset,

Detaljer

Exam in Quantum Mechanics (phys201), 2010, Allowed: Calculator, standard formula book and up to 5 pages of own handwritten notes.

Exam in Quantum Mechanics (phys201), 2010, Allowed: Calculator, standard formula book and up to 5 pages of own handwritten notes. Exam in Quantum Mechanics (phys01), 010, There are 3 problems, 1 3. Each problem has several sub problems. The number of points for each subproblem is marked. Allowed: Calculator, standard formula book

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON1410 - Internasjonal økonomi Exam: ECON1410 - International economics Eksamensdag: 18.06.2013 Date of exam: 18.06.2013 Tid for eksamen: kl.

Detaljer

EKSAMEN I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK Tirsdag 4. desember 2012 Tid: kl. 1500 1900 (Bokmål)

EKSAMEN I TIØ4120 OPERASJONSANALYSE, GK Tirsdag 4. desember 2012 Tid: kl. 1500 1900 (Bokmål) Fag TIØ 4120 Operasjonsanalyse, grunnkurs 4. desember 2012 Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR INDUSTRIELL ØKONOMI OG TEKNOLOGILEDELSE Faglig kontakt under eksamen:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Bokmål Eksamen i: ECON1210 Forbruker, bedrift og marked Exam: ECON1210 Consumer Behaviour, Firm behaviour and Markets Eksamensdag: 12.12.2014 Sensur kunngjøres:

Detaljer

LISTE OVER TILLATTE HJELPEMIDLER EKSAMEN I NOVEMBER OG DESEMBER 2014

LISTE OVER TILLATTE HJELPEMIDLER EKSAMEN I NOVEMBER OG DESEMBER 2014 1 LISTE OVER TILLATTE HJELPEMIDLER EKSAMEN I NOVEMBER OG DESEMBER 2014 REGLEMENT FOR BRUK AV KALKULATOR OG ORDBOK SE SISTE SIDE 1. STUDIEÅR (ØKAD/REV): Finansregnskap m/ikt (ØABED1000) Markedsføring og

Detaljer

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk Eirik Refsdal 2. august 2005 En mangel ved dagens autorative kompendium i matematikk 4, er at numerikkbiten i matematikk 4D er fullstendig utelatt. Dette er

Detaljer

EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL)

EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) EKSAME SOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 21. februar 2012. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, B154. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1220 Velferd og økonomisk politikk Exam: ECON1220 Welfare and politics Eksamensdag: 29.11.2010 Sensur kunngjøres: 21.12.2010 Date of exam: 29.11.2010

Detaljer

Systemidentifikasjon Oppgaver

Systemidentifikasjon Oppgaver Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Systemidentifikasjon Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.03.16 Faculty of Technology, Postboks

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 13. AUGUST 2008 KL. 09.00 13.00

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 13. AUGUST 2008 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap KONTINUASJONSEKSAMEN

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer

Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1001 Matematikk for økonomer Faglig kontakt under eksamen: Anne Borge Johannesen Tlf.: 7 59 05 9 Eksamensdato: 1.1.014 Eksamenstid (fra-til): 4 timer

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING ESAMENSOPPGAVE Emne: Gruppe(r): Eksamensoppgav en består av: ybernetikk I 2E Antall sider (inkl. forsiden): 5 Emnekode: SO 38E Dato: 5. juni 2004 Antall oppgaver: 6 Faglig

Detaljer

UNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences

UNIVERSITY OF OSLO. Faculty of Mathematics and Natural Sciences Page 1 UNIVERSITY OF OSLO Faculty of Mathematics and Natural Sciences Exam in BIO4210/9210 Classification and Phylogeny Day of exam: 13. December 2011 Exam hours: 9.00-12.00 (3 hours) This examination

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK3006 Valuta, olje og makroøkonomisk politikk

Eksamensoppgave i SØK3006 Valuta, olje og makroøkonomisk politikk Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK3006 Valuta, olje og makroøkonomisk politikk Faglig kontakt under eksamen: Ragnar Torvik Tlf.: 73 59 14 20 Eksamensdato: 8. desember 2015 Eksamenstid

Detaljer

STE 6219 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen

STE 6219 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side av 4 STE 629 Digital signalbehandling Løsning til kontinuasjonseksamen Tid: Fredag 03.08.2007, kl: 09:00-2:00

Detaljer

EKSAMEN I FAG TMA4255 ANVENDT STATISTIKK

EKSAMEN I FAG TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist Tlf. 975 89 418 BOKMÅL EKSAMEN I FAG TMA4255 ANVENDT STATISTIKK Onsdag

Detaljer

EXAM TTM4128 SERVICE AND RESOURCE MANAGEMENT EKSAM I TTM4128 TJENESTE- OG RESSURSADMINISTRASJON

EXAM TTM4128 SERVICE AND RESOURCE MANAGEMENT EKSAM I TTM4128 TJENESTE- OG RESSURSADMINISTRASJON Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for telematikk EXAM TTM4128 SERVICE AND RESOURCE MANAGEMENT EKSAM I TTM4128 TJENESTE- OG RESSURSADMINISTRASJON Contact person /

Detaljer

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Geografisk institutt

NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Geografisk institutt NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Geografisk institutt BOKMÅL EKSAMEN i GEOG 2007 Effekter av klimaendringer Eksamensdato : 07.12.11 Sidetall bokmål: 2 Eksamenstid : 4 t Sidetall nynorsk:

Detaljer

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger

ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL)

EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 6. desember 2011. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, Aud. max. eller B154. Tillatte hjelpemidler : Alle

Detaljer

Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M

Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 Løsningsførslag i Matematikk 4D, 4N, 4M Oppgave (Kun før 4D Vi har f(x, y x + y x y, for x y. Dette gir For (x, y

Detaljer

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2

Løsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2 Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Eksamensoppgave i ST3001

Eksamensoppgave i ST3001 Det medisinske fakultet Institutt for kreftforskning og molekylær medisin Eksamensoppgave i ST3001 fredag 25. mai 2012, kl. 9.00 13:00 Antall studiepoeng: 7.5 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator og alle

Detaljer

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt.

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt. Eksamen i: MET00 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 8. november 2007 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 9530

Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 9530 Spesialisering i økonomistyring og investeringsanalyse DST 950 Disposisjon Bruk av LP i økonomiske problemer Et LP-problem Begreper og noen grunnleggende sammenhenger Lineær programmering og bedriftsøkonomiske

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

EKSAMEN I EMNE SIE4015 BØLGEFORPLANTNING EKSAMEN I FAG 44061 BØLGEFORPLANTNING LØRDAG/LAURDAG 19. MAI 2001 TID: KL 0900-1400

EKSAMEN I EMNE SIE4015 BØLGEFORPLANTNING EKSAMEN I FAG 44061 BØLGEFORPLANTNING LØRDAG/LAURDAG 19. MAI 2001 TID: KL 0900-1400 Side 1 av 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKALSK ELEKTRONIKK Faglig/fagleg kontakt under eksamen: Navn: Helge E. Engan Tlf.: 9440 EKSAMEN I EMNE SIE4015 BØLGEFORPLANTNING

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

TDT4225 Lagring og behandling av store datamengder

TDT4225 Lagring og behandling av store datamengder Eksamensoppgave i TDT4225 Lagring og behandling av store datamengder Fredag 2. desember 2011, kl. 0900-1300 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Kjell Bratbergsengen og kvalitetssikrer Svein-Olaf Hvasshovd

Detaljer

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519

Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1... (4%) = 5 4 3 2 1 = 10 = 520 519 Eksamen 2. desember 2014 Eksamenstid 4 timar IR201712 Diskret Matematikk Ingen hjelpemiddel er tillatne. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve 1.......................................................................................

Detaljer

Eirik Benum Reksten Hans Olav Norheim. (ja, det kommer nok litt matte nå ja)

Eirik Benum Reksten Hans Olav Norheim. (ja, det kommer nok litt matte nå ja) Eirik Benum Reksten Hans Olav Norheim (ja, det kommer nok litt matte nå ja) Hva er lineærprogrammering? Vi har et problem hvor vi... 1. ønsker å minimere eller å maksimere et mål 2. kan spesifisere målet

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

KROPPEN LEDER STRØM. Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal.

KROPPEN LEDER STRØM. Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal. KROPPEN LEDER STRØM Sett en finger på hvert av kontaktpunktene på modellen. Da får du et lydsignal. Hva forteller dette signalet? Gå flere sammen. Ta hverandre i hendene, og la de to ytterste personene

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag Oppgave 1 Et skjæringspunkt f(x) = x e x g(x) = 1 arctan x. a) Vi kan lage plottet slik i kommando-vinduet:

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 00 Kalkulus. Eksamensdag: Mandag,. desember 006. Tid for eksamen:.30 8.30. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

EKSAMEN. Algoritmer og datastrukturer. Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 11 sider inklusiv vedlegg og denne forsiden.

EKSAMEN. Algoritmer og datastrukturer. Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av 11 sider inklusiv vedlegg og denne forsiden. EKSAMEN Emnekode: ITF20006 Emne: Algoritmer og datastrukturer Dato: Eksamenstid: 20. mai 2008 kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: 4 A4-sider (2 ark) med valgfritt innhold Kalkulator Faglærer: Mari-Ann

Detaljer

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Fredag 19. desember 2008 Tid: kl. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Fredag 19. desember 2008 Tid: kl. 09.00 13.00 Side 1 av 6 Faglig kontakt under eksamen: Tore Amble (94451) En engelsk versjon av oppgaven er vedlagt. Oppgaven kan besvares på engelsk eller norsk. BOKMÅL EKSAMEN I EMNE TDT4136 Logikk og resonnerende

Detaljer

Arbeid mot friksjon 1 (lærerveiledning)

Arbeid mot friksjon 1 (lærerveiledning) Arbeid mot friksjon 1 (lærerveiledning) Vanskelighetsgrad: Liten, middels Short English summary In this exercise we shall measure the work (W) done when a constant force (F) pulls a block some distance

Detaljer

Moderne optimering mer enn å derivere!!

Moderne optimering mer enn å derivere!! Faglig pedagogisk dag 2000, 4. januar Moderne optimering mer enn å derivere!! Geir Dahl, Prof. matematikk, Matematisk inst. og Inst. for informatikk aksjer - eksempel på LP (lineær programmering) noen

Detaljer

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014

TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Øving 6 1 Teori a) Hva er 2-komplement? b) Hva er en sample innen digital

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON1410 - Internasjonal økonomi Exam: ECON1410 - International economics Eksamensdag: 24.05.2013 Sensur kunngjøres: 13.06.2012 Date of exam: 24.05.2013

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I SØK2002 SYSSELSETTING OG KONJUNKTURANALYSE EMPLOYMENT AND BUSINESS CYCLE ANALYSIS

EKSAMENSOPPGAVE I SØK2002 SYSSELSETTING OG KONJUNKTURANALYSE EMPLOYMENT AND BUSINESS CYCLE ANALYSIS Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi EKSAMENSOPPGAVE I SØK2002 SYSSELSETTING OG KONJUNKTURANALYSE EMPLOYMENT AND BUSINESS CYCLE ANALYSIS Faglig kontakt under eksamen:

Detaljer

TDT4102 - Prosedyre- og objektorientert programmering

TDT4102 - Prosedyre- og objektorientert programmering Konteringseksamen i TDT4102 - Prosedyre- og objektorientert programmering Lørdag 8. august 2009 Kontaktperson under eksamen: Hallvard Trætteberg Eksamensoppgaven er utarbeidet av Trond Aalberg Språkform:

Detaljer

Tilstandsestimering Løsninger

Tilstandsestimering Løsninger Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Løsninger HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks

Detaljer

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Torsdag 10. desember 2009, kl. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Torsdag 10. desember 2009, kl. 09.00 13.00 Side 1 av 5 EKSAMEN I EMNE TDT4136 Logikk og resonnerende systemer Torsdag 10. desember 2009, kl. 09.00 13.00 Oppgaven er utarbeidet av Tore Amble, og kvalitetssikret av Lester Solbakken. Kontaktperson

Detaljer

GAMLE EKSAMENSOPPGAVER I SVSØ 354 / SØK 3509 INTERNASJONAL HANDEL OG ØKONOMISK GEOGRAFI

GAMLE EKSAMENSOPPGAVER I SVSØ 354 / SØK 3509 INTERNASJONAL HANDEL OG ØKONOMISK GEOGRAFI Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for samfunnsøkonomi GAMLE EKSAMENSOPPGAVER I SVSØ 354 / SØK 3509 INTERNASJONAL HANDEL OG ØKONOMISK GEOGRAFI Vekttall: 5 (1998): Matematisk formelsamling

Detaljer

Fakultet for informasjonsteknologi, Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE EKSAMEN I. TDT42378 Programvaresikkerhet

Fakultet for informasjonsteknologi, Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE EKSAMEN I. TDT42378 Programvaresikkerhet Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE EKSAMEN

Detaljer

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Tirsdag 4. desember 2007 Tid: kl. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Tirsdag 4. desember 2007 Tid: kl. 09.00 13.00 Side 1 av 6 Faglig kontakt under eksamen: Tore Amble (94451) En engelsk versjon av oppgaven er vedlagt. Oppgaven kan besvares på engelsk eller norsk. BOKMÅL EKSAMEN I EMNE TDT4136 Logikk og resonnerende

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3230/4230 Formell modellering og analyse av kommuniserende systemer Eksamensdag: 7. juni 2007 Tid for eksamen: 9.00 12.00

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

Diverse eksamensgaver

Diverse eksamensgaver Diverse eksamensgaver Noen har fått den idé å lage et språk hvor klasser kan ha noe tilsvarende byvalue-result -parametere. Klasser har ingen konstruktører, og by-value-result parametere spesifiseres som

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4145 Datamodellering og databasesystemer

Eksamensoppgave i TDT4145 Datamodellering og databasesystemer Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT4145 Datamodellering og databasesystemer Faglig kontakt under eksamen: Svein Erik Bratsberg: 99539963 Roger Midtstraum: 99572420

Detaljer

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics

Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24. Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Observer HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.02.24 Faculty of Technology, Postboks 203, Kjølnes ring 56,

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

Kontinuasjonseksamen i tdt4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs

Kontinuasjonseksamen i tdt4125 Algoritmekonstruksjon, videregående kurs Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 7 Eksamenforfattere: Ole Edsberg Kvalitetskontroll: Magnus Lie Hetland Kontakter under eksamen:

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK1011 Markeder og markedssvikt

Eksamensoppgave i SØK1011 Markeder og markedssvikt Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK1011 Markeder og markedssvikt Faglig kontakt under eksamen: Torgeir Kråkenes Tlf.: 73 59 67 60 Eksamensdato: 2. juni 2014 Eksamenstid (fra-til): 5 timer

Detaljer

Eksamensoppgave i SØK2008 Offentlig økonomi

Eksamensoppgave i SØK2008 Offentlig økonomi Institutt for samfunnsøkonomi Eksamensoppgave i SØK2008 Offentlig økonomi Faglig kontakt under eksamen: Fredrik Carlsen Tlf.: 73 59 19 31 Eksamensdato: 9. desember 2015 Eksamenstid (fra-til): 4 timer (09.00-13.00)

Detaljer

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Side 1 av 5 EKSAMEN I EMNE TDT4195 BILDETEKNIKK ONSDAG 3. JUNI 2009 KL. 09.00 13.00 Oppgavestillere: Kvalitetskontroll: Richard Blake Jo Skjermo Torbjørn Hallgren Kontakt under eksamen: Richard Blake tlf.

Detaljer

LUFTDYKTIGHETSP ABUD

LUFTDYKTIGHETSP ABUD MERK! For at angjeldende flymateriell skal være luftdyktig må påbudet være utført til rett tid og notat om utførelsen ført inn i vedkommende iournal med henvisniniz til denne LDPs nummer. Luftartstilsynet

Detaljer

Eksamen 29.11.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 29.11.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 9.11.011 REA308 Matematikk S Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn

Detaljer

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerande system. Torsdag 10. desember 2009, kl. 09.00 13.00

EKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerande system. Torsdag 10. desember 2009, kl. 09.00 13.00 Side 1 av 5 EKSAMEN I EMNE TDT4136 Logikk og resonnerande system Torsdag 10. desember 2009, kl. 09.00 13.00 Oppgåva er laga av Tore Amble, og kvalitetssikra av Lester Solbakken. Kontaktperson under eksamen:

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

OPTIMAL MODEL BASED CONTROL: System Analysis and Design

OPTIMAL MODEL BASED CONTROL: System Analysis and Design OPTIMAL MODEL BASED CONTROL: System Analysis and Design Lecture notes Dr. ing. David Di Ruscio Institutt for prosessregulering Avdeling for teknologiske fag Høgskolene i Telemark January 1995, February

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØONOIS INSTITUTT Eksamensdag: 01.06.2015 Sensur kunngjøres: 22.06.2015 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Mangelen på Internett adresser.

Mangelen på Internett adresser. 1. Av 2 Introduksjon og forord Internett er som kjent bygd opp i adresser, akkurat som husstander, byer og land, dette er fordi Internett er bygd opp mye likt post systemet, du kan sammenligne en maskin

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Interaction between GPs and hospitals: The effect of cooperation initiatives on GPs satisfaction

Interaction between GPs and hospitals: The effect of cooperation initiatives on GPs satisfaction Interaction between GPs and hospitals: The effect of cooperation initiatives on GPs satisfaction Ass Professor Lars Erik Kjekshus and Post doc Trond Tjerbo Department of Health Management and Health Economics

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE HØST 2011 SOS1000 INNFØRING I SOSIOLOGI

EKSAMENSOPPGAVE HØST 2011 SOS1000 INNFØRING I SOSIOLOGI NTNU, TRONDHEIM Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for sosiologi og statsvitenskap EKSAMENSOPPGAVE HØST 2011 SOS1000 INNFØRING I SOSIOLOGI Faglig kontakt under eksamen: Per Morten

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerande system. Onsdag 10. august 2011, kl. 09.00 13.00

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerande system. Onsdag 10. august 2011, kl. 09.00 13.00 Side 1 av 5 KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4136 Logikk og resonnerande system Onsdag 10. august 2011, kl. 09.00 13.00 Oppgåva er laga av Tore Amble, og kvalitetssikra av Lester Solbakken. Kontaktperson

Detaljer

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt.

Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Ved sensuren teller alle delspørsmål likt. Eksamen i: MET040 Statistikk for økonomer Eksamensdag: 4 november 2008 Tid for eksamen: 09.00-13.00 Oppgavesettet er på 4 sider. Tillatte hjelpemidler: Alle trykte eller egenskrevne hjelpemidler og kalkulator.

Detaljer

Administrasjon av postnummersystemet i Norge Post code administration in Norway. Frode Wold, Norway Post Nordic Address Forum, Iceland 5-6.

Administrasjon av postnummersystemet i Norge Post code administration in Norway. Frode Wold, Norway Post Nordic Address Forum, Iceland 5-6. Administrasjon av postnummersystemet i Norge Frode Wold, Norway Post Nordic Address Forum, Iceland 5-6. may 2015 Postnumrene i Norge ble opprettet 18.3.1968 The postal codes in Norway was established in

Detaljer

Fakultet for informasjonsteknologi,

Fakultet for informasjonsteknologi, Side 1 av 5 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Kontaktperson under eksamen:

Detaljer

TDT4160 15. AUGUST, 2011, 09:00 13:00

TDT4160 15. AUGUST, 2011, 09:00 13:00 Norwegian University of Science and Technology Faculty of Information Technology, Mathematics and Electrical Engineering The Department of Computer and Information Science TDT4160 DATAMASKINER GRUNNKURS

Detaljer

SKOLEEKSAMEN 29. september 2006 (4 timer)

SKOLEEKSAMEN 29. september 2006 (4 timer) EKSAMEN I SOS400 KVANTITATIV METODE SKOLEEKSAMEN 9. september 006 (4 timer) Ikke-programmerbar kalkulator er tillatt under eksamen. Ingen andre hjelpemidler er tillatt. Sensuren faller fredag 0. oktober

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

TDT4160 OG IT2201 DATAMASKINER GRUNNKURS EKSAMEN

TDT4160 OG IT2201 DATAMASKINER GRUNNKURS EKSAMEN Norwegian University of Science and Technology Faculty of Information Technology, Mathematics and Electrical Engineering The Department of Computer and Information Science TDT4160 OG IT2201 DATAMASKINER

Detaljer

UNIVERSITETET I AGDER

UNIVERSITETET I AGDER UNIVERSITETET I AGDER INSTITUTT FOR MATEMATISKE FAG EKSAMEN MA-100 Kalkulus 1. Fredag. desember 011, kl. 09-14 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu og uten minne for tekst. Inntil fire

Detaljer

Emnekode: sa 318E. Pensumlitteratur ( se liste nedenfor), fysiske tabeller, skrivesaker og kalkulator

Emnekode: sa 318E. Pensumlitteratur ( se liste nedenfor), fysiske tabeller, skrivesaker og kalkulator I I ~ høgskolen i oslo Emne: Gruppe(r): Eksamensoppgav en består av: Kybernetikk 2EY Antall sider (inkl. forsiden): 5 Emnekode: sa 318E Dato: 15. iuni 2004 Antall OPfgaver: Faglig veileder: Vesle møy Tyssø

Detaljer

Appendix 1: All 26 cases with statistics

Appendix 1: All 26 cases with statistics Appendix 1: All 26 cases with statistics *Cases with significant differences between the two groups. The participants were given 6 treatment options to each case to choose from in the questionnaire: 1)

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 1 6. februar, MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Oppgave I denne oppgaven skal vi sammenligne effektiviteten av FFT-algoritmen med en mer rett frem algoritme for DFT. Deloppgave a Lag en funksjon y=dftimpl(x)

Detaljer

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S

Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Aksjekupong DNB/Hydro/Yara. Norse Securities

Aksjekupong DNB/Hydro/Yara. Norse Securities Aksjekupong DNB/Hydro/Yara Norse Securities 1 Aksjekupong DNB/Hydro/Yara Hva er en aksjekupong? En aksjekupong er et produkt som tilbyr en kupongutbetaling gitt at forhåndsbestemte kriterier inntreffer

Detaljer

Medisinsk statistikk, KLH3004 Dmf, NTNU 2009. Styrke- og utvalgsberegning

Medisinsk statistikk, KLH3004 Dmf, NTNU 2009. Styrke- og utvalgsberegning Styrke- og utvalgsberegning Geir Jacobsen, ISM Sample size and Power calculations The essential question in any trial/analysis: How many patients/persons/observations do I need? Sample size (an example)

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Onsdag 10. august 2011, kl. 09.00 13.00

KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE. TDT4136 Logikk og resonnerende systemer. Onsdag 10. august 2011, kl. 09.00 13.00 Side 1 av 5 KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4136 Logikk og resonnerende systemer Onsdag 10. august 2011, kl. 09.00 13.00 Oppgaven er utarbeidet av Tore Amble, og kvalitetssikret av Lester Solbakken. Kontaktperson

Detaljer

TDT4225 Lagring og behandling av store datamengder

TDT4225 Lagring og behandling av store datamengder Eksamensoppgave i TDT4225 Lagring og behandling av store datamengder Kontinuasjonseksamen. Fredag 17. august 2012, kl. 0900-1300 Oppgaven er utarbeidet av faglærer Kjell Bratbergsengen. Kontaktperson under

Detaljer

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning Eksamen i SOD 165 Grafiske metoder Klasse : 3D Dato : 15. august 2000 Antall oppgaver : 4 Antall sider : 4 Vedlegg : Utdrag fra OpenGL Reference Manual

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO929A Matematikk Prøve-eksamen Dato 13. desember 2007 Tidspunkt 09.00-1.00 Antall oppgaver Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 a) Likningen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF3140/4140 Modeller for parallellitet

Detaljer

Arbeid mot friksjon 2 (lærerveiledning)

Arbeid mot friksjon 2 (lærerveiledning) Arbeid mot friksjon 2 (lærerveiledning) Vanskelighetsgrad: Noe vanskelig Short English summary In this exercise we shall measure the work (W) done when a constant force (F) pulls a block some distance

Detaljer