UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Tid fr eksamen: 3 timer Vedlegg: Frmelark Tillatte hjelpemidler: Øgrim g Lian: Størrelser g enheter i fysikk g teknikk eller Angell, Lian, Øgrim: Fysiske størrelser g enheter: Navn g symbler Rttmann: Matematisk frmelsamling Elektrnisk kalkulatr av gdkjent type. I dette ppgavesettet har du mulighet til å svare med digital håndtegning (ppgave 3.1, 3., 3.3, 3.4, 3.5, 4.1, 4., 4.3, 5.1, 5. g 5.3). Du bruker skisseark du får utdelt. Det er anledning til å bruke flere ark per ppgave. Se instruksjn fr utfylling av skisseark i lenken under ppgavelinjen. Det er IKKE anledning til å bruke digital håndtegning på andre ppgaver enn ppgave 3.1, 3., 3.3, 3.4, 3.5, 4.1, 4., 4.3, 5.1, 5. g 5.3 Det blir IKKE gitt ekstratid fr å fylle ut infrmasjnsbksene på skisseark (engangskder, kand.nr..l.). Oppgave 1: Flervalgsppgaver ( peng) 1.1. En persn dytter en bil med knstant hastighet pp en bakke. Bilen har masse m, g bakken har en helningsvinkel θ. Nettkraften sm virker på bilen er: ( peng) rettet pp langs bakken null rettet ned langs bakken Bilen beveger seg med knstant hastighet. Akselerasjnen er null g derfr må gså nettkraften være null. 1.. En eske med masse m henger i t snrer sm vist i figuren. Hver snr har en 45 vinkel i frhld til vertikalretning. Massen til snrene er neglisjerbar. Hvr str er spenningen i hver snr? ( peng) mg mg mg mg mg Newtns andre lv i vertikal retning: T cs 45 mg = 0 T = mg

2 1.3. En eske med masse m 1 befinner seg på en rampe g er knyttet til en annen eske med masse m med en snr sm går ver en trinse sm vist i figuren. Vi kan anta at både snren g trinsen er masseløse. Når systemet slippes fri akselererer eske 1 pp rampen, mens eske akselererer nedver. Hvr str er snrdraget i frhld til vekten m g? ( peng) T = m g T < m g T > m g Alt er mulig, avhengig av friksjnskraften mellm esken g rampen. Newtns andre lv fr eske (med psitiv retning definert sm nedver): m g T = m a T = m (g a) < m g 1.4. En kule med masse m er knyttet til en masseløs snr av lengde L sm er festet i taket. Kulen beveger seg med knstant fart v på en hrisntal sirkelbane med radius R, g snren har en knstant vinkel β i frhld til vertikalen (knisk pendel, se figur). I frhld til kulens vekt er snrdrag T: ( peng) T > mg T = mg T < mg Alt er mulig, avhengig av farten til kulen. Newtns andre lv fr pendellddet i vertikal retning: T cs β mg = 0 T = mg cs β > mg 1.5. Er det mulig at et system har negativ ptensiell energi? ( peng) Nei, frdi en negativ ptensiell energi vil ha ingen fysisk betydning. Ja, s lenge den kinetiske energien er psitiv. Ja, siden du kan velge nullpunktet fr den ptensielle energien. Nei, frdi den kinetiske energien må være like str sm den ptensielle energien. Ja, s lenge den ttale energien er psitiv. Den kinetiske energien kan gså være null, g den ttale energien kan gdt være negativ. Du kan velge nullpunktet fr den ptensielle energien Figuren viser en knservativ kraft F x sm funksjn av x i nærheten av x = a. Hvilken påstand m den tilhørende ptensielle energien U(x) ved x = a er riktig? (peng) U(a) = 0 U(x) er maksimal ved x = a U(x) er minimal ved x = a U(x) er hverken maksimal eller minimal ved x = a, g U(a) 0 Ikke nk infrmasjn fr å avgjøre Fr en éndimensjnal kraft er F x = du. Vi har at df x = d U dx dx dx > 0, sm karakteriserer et maksimumspunkt. Du kan gså se det slik: Fr et massepunkt i x = a er kraften null. Hvis massepunktet er ved x > a virker kraften i psitiv retning g massen beveger seg lenger brt fra a. Hvis massen er ved x < a virker kraften i negativ retning, g massen beveger seg gså brt fra a. Dette er altså et ustabilt likevektspunkt, hvr ptensialfunksjnen er maksimal.

3 1.7. T legemer med frskjellige masser klliderer. Hvrdan sammenligner størrelsen på impulsen sm den tunge gjenstanden verfører til den lette med impulsen sm den lette gir til den tunge? ( peng) Den lette gjenstanden fr en større impuls. Den tunge gjenstanden får en større impuls. Begge får den samme impulsen. Det er avhengig av frhldet mellm massene. Det er avhengig av frhldet mellm hastighetene. I en krtvarende kllisjn spiller ytre krefter ingen rlle g bevegelsesmengden er bevart. Impuls er endringen i bevegelsesmengden. Bevegelsesmengde verføres fra den ene til den andre massen, g størrelsen på impulsen er den samme fr begge (med mvendt frtegn) Tre biler (bil A, bil B g bil C) beveger seg med samme hastighet når sjåførene plutselig bremser slik at hjulene blkkerer g bilene sklir langs veien. Bil A har størst masse g bil C minst, m A > m B > m C. Alle biler har identiske dekk med samme friksjnskeffisient. Hvilken bil sklir lengst før den stpper? ( peng) Bil A Bil B Bil C Alle sklir den samme strekningen. Friksjnskraften er den eneste sm virker i hrisntal retning. Newtns andre lv gir: f = μn = μmg = ma a = μg Akselerasjnen er uavhengig av massen. Fr hvilken bil gjør friksjnskraften mest arbeid fr å stanse bilen? (peng) Bil A Bil B Bil C Arbeidet sm friksjnskraften gjør er det samme fr alle tre biler. d W = fdx 0 stppe bilen. = μmgd. J større massen er, j mer arbeid må friksjnskraften gjøre fr å 1.9. En eske sm veier mg = 1000 N henger i t fjærvekter på råd sm vist i figuren. Massen til fjærvektene er neglisjerbar i frhld til massen til esken. Hva leser du av? ( peng) Begge viser 1000 N. Begge viser 500 N. Den øverste viser 1000 N g den nederste viser 0. Den nederste viser 1000 N g den øverste viser 0. Begge viser frskjellige vekter, men summen er 1000 N. Frilegemediagrammet ser likt ut fr begge fjær: En kraft på 1000 N trekker ned, g en like str kraft hlder fjæren pp, slik at nettkraften er null g fjæren i r.

4 1.10. T esker med henhldsvis masse m A g m B er knyttet sammen med en masseløs snr sm vist i figuren. En kraft F drar i eskene slik at de beveger seg med knstant hastighet på v = m/s ppver. Snrdraget mellm eskene er T. Hvilken av følgende relasjner mellm kraften F g snrdraget T er riktig? ( peng) T > F T = F T + F = 140 N F = T + 40 N F = T N Siden eskene beveger seg med knstant hastighet er nettkraften null. Frilegemediagrammet til den øvre esken er: Newtns andre lv: F T m B g = 0 Oppgave : Tekstbesvarelser (11 peng).1. Et eple faller fra et tre. Vi ser brt fra luftmtstanden. Mens eplet faller, hvilke påstander er riktig? Diskuter g begrunn svarene dine! (6 peng) 1. Bevegelsesmengden til eplet er bevart.. Mekanisk energi til eplet er bevart. 3. Kinetisk energi til eplet er bevart. (1) Feil. Mens eplet faller øker hastigheten g bevegelsesmengden på grunn av gravitasjnskraften sm virker. () Riktig. Uten luftmtstand er det bare gravitasjn sm virker. Gravitasjn er en knservativ kraft, g den mekaniske energien er bevart. Ptensiell energi fra gravitasjn gjøres m til kinetisk energi. (3) Feil. Gravitasjnskraften gjør psitiv arbeid på eplet g den kinetiske energien øker... Et eple faller fra et tre. Vi ser brt fra luftmtstanden. Mens eplet faller ned, hva skjer med bevegelsesmengden til systemet sm består av eplet g Jrdklden? Frklar! (5 peng) Mens eplet faller virker gravitasjnskraften fra jrdklden på eplet, g samme gravitasjnskraften virker fra eplet på jrdklden med mvendt frtegn, etter Newtns 3. lv. Gravitasjnskraften er en indre kraft i systemet sm består av eplet g jrdklden. Ytre krefter, sm fr eksempel gravitasjnskraften fra slen, er neglisjerbart, g bevegelsesmengden fr systemet sm består av eplet g jrdklden er bevart. Bevegelsesmengden til eplet øker i retning jrdklden, g bevegelsesmengden til jrdklden øker m det samme i retning av eplet. Siden massen til jrdklden er mye større en massen til eplet, er hastigheten sm jrdklden får ekstremt lav. Summen av bevegelsesmengden fr eplet g jrdklden er null.

5 Oppgave 3 (19 peng) T små klsser med henhldsvis masse m 1 g m er festet i lette snrer med samme lengde R. De frie endene er festet i samme punkt, slik at begge klssene kan bevege seg sm et pendel på en bane med radius R. Klss er i r i vertikal psisjn. Du slipper klss 1 fra en hrisntal psisjn, sm vist i figuren på venstre side. Du kan se brt fra luftmtstanden. Husk at du må frklare g begrunne hva du gjør i denne ppgaven. Uttrykk resultatene dine ved hjelp av følgende størrelser: m 1, m, R g tyngdeakselerasjn g. 3.1 Hva er farten v 1 til klss 1 rett før den klliderer med klss? (3 peng) Det virker gravitasjn g en snrdrag på klss 1. Gravitasjn er en knservativ kraft, g snrdraget er vinkelrett på bevegelsesretningen. Derfr er energi bevart: m 1 gr = 1 m 1v 1 v 1 = gr 3. Tegn et frilegemediagram fr klss 1 rett før den treffer på klss g navngi alle krefter. Deretter finn snrdraget T 1 i snren knyttet til klss 1 rett før den klliderer med klss. Siden klssene er små kan du anta at klss 1 er i vertikal psisjn rett før kllisjnen. (4 peng) Vi bruker Newtns andre lv: T m 1 g = m 1 a med sentripetalakselerasjnen: a = v 1 R = gr R = g Vi setter inn fr å få snrdraget: T = m 1 a + m 1 g = 3m 1 g Vi antar først at kllisjnen mellm klssene er fullstendig uelastisk, g begge klssene svinger pp sammen sm vist i figuren. 3.3 Til hvilken høyde h, målt i frhld til det laveste punkt i banen, svinger klssene pp når begge klssene har samme masse m 1 = m = m? (4 peng) Vi bestemmer først hastigheten til klssene etter kllisjnen. I den krtvarende kllisjnen virker ingen hrisntale ytre krefter på systemet sm består av de t klssene. Bevegelsesmengden er derfr bevart i kllisjnen: mv 1 = mv v = 1 v 1 = gr Etter kllisjnen virker det igjen bare gravitasjn g snrdraget. Energi er derfr bevart: 1 (m)v = (m)gh gr = gh

6 h = R 4 Vi antar nå at kllisjnen er elastisk, g massene til klssene kan være frskjellige. Vi ønsker å finne ut m klss klarer å fullføre lpingen etter kllisjnen. 3.4 Vi antar at klss fullfører lpingen. Tegn et frilegemediagram fr klss når den er i sitt høyeste punkt. Hvr str må farten til klss i det høyeste punktet minst være fr å fullføre lpingen? (3 peng) Vi bruker at snrdraget på tppen av banen må være større enn null sm betingelse fr at klssen går rundt. Farten i tppen av banen er v 3. T m g = m a = m v 3 R T = m ( v 3 R g) > 0 v 3 > gr I en elastisk kllisjn mellm en masse m A sm treffer med hastighet v A,0 på en masse m B sm er i r gjelder generelt at hastigheten til masse m B etter kllisjnen er: v B,1 = m A v m A +m A,0. B 3.5 Bruk denne generelle relasjnen fr å vise at klss akkurat fullfører lpingen når frhld mellm massene er: (5 peng) m 1 m 1 + m = 5 Vi finner først hvr str farten til klss må være rett etter kllisjnen fr å fullføre sirkelbanen. Bare gravitasjn gjør arbeid når klss svinger pp. Siden gravitasjn er en knservativ kraft er energi bevart. Med fart v rett etter kllisjnen g fart v 3 i tppen av banen finner vi fr klss : 1 m v = 1 m v 3 + m gr Vi bruker resultat fra d): v = gr + 4gR = 5gR v = 5gR Vi bruker relasjnen fr elastiske kllisjner sammen med resultatet fra a): v = m 1 m 1 + m v 1 v = ( m 1 m 1 + m ) 5gR = ( m 1 m 1 + m ) v 1 m 1 m 1 + m = 5 gr

7 Oppgave 4 (18 peng) En eske med masse m sklir langs et brd sm blir grvere g grvere j lenger esken sklir. Den dynamiske friksjnskeffisienten endrer seg med psisjnen til esken g kan beskrives ved hjelp av en lineær relasjn: μ(x) = μ 0 + cx, hvr μ 0 er friksjnskeffisienten ved psisjn x = 0, g c er en psitiv knstant med enhet m 1. Esken har initialhastighet v 0 ved x = 0 g stanser etter den har sklidd en strekning d. Husk at du må frklare g begrunne hva du gjør i denne ppgaven. Uttrykk resultatene dine ved hjelp av μ 0, c, m, d g tyngdeakselerasjnen g. 4.1 Tegn et frilegemediagram fr esken mens den sklir g navngi alle krefter. Finn et uttrykk fr friksjnskraften sm funksjn av psisjnen x. (4 peng) Gravitasjnskraft G, nrmalkraft N, dynamisk friksjnskraft f Det er ingen bevegelse i vertikal retning, derfr er summen av de vertikale kreftene null, g vi finner N = mg. f = μ(x) N = (μ 0 + cx)mg 4. Hvr mye arbeid gjør friksjnskraften mens esken sklir fra x = 0 til x = d? Er arbeidet psitiv eller negativ? (4 peng) Vi må integrere fr å beregne arbeidet: d W f = f(x)dx = mg (μ 0 + cx)dx = mg (μ 0 d + 1 cd ) 0 Friksjnskraften gjør negativ arbeid på esken. 4.3 Hvr str var initialhastigheten v 0 hvis esken stanser etter en strekning d? (4 peng) Friksjnskraften er den eneste sm gjør arbeid på esken. Vi bruker arbeid-energi teremet: W f = K 1 K 0 0 d mg (μ 0 d + 1 cd ) = 1 mv 0 v 0 = μ 0 gd + gcd 4.4 Skriv et prgram sm beregner hastighet g psisjn til esken sm funksjn av tiden, helt fram til esken stanser. Prgrammet skal innehlde definisjnen av initialbetingelsene g integrasjnsløkken fr å beregne psisjn g hastighet. Beregningen skal slutte når esken stanser. (6 peng)

8 Oppgave 5 (14 peng) En lett fjær sm følger Hks lv er festet på brdet g står vertikalt. Når du legger en tallerken med masse m på den frie enden kmprimeres fjæren m en strekning s. Husk at du må frklare g begrunne hva du gjør i denne ppgaven. 5.1 Tegn et frilegemediagram fr tallerken, navngi alle krefter, g finn fjærknstanten, uttrykt ved hjelp av massen m, tyngdeakselerasjnen g g strekningen s. (4 peng) Det er t krefter sm virker på tallerken: gravitasjnskraft G g fjærkraft F k. Platen er i r g Newtns andre lv gir: k(x x 0 ) mg = 0 ks = mg k = mg s Du slipper en klump pizzadeig sm har samme masse m sm tallerken ned fra en høyde h. Kllisjnen mellm deigen g tallerken er fullstendig uelastisk. Fjæren kmprimeres med en ytterligere strekning d, slik at den ttale kmpresjnen er s + d, før fjæren dytter deigen pp igjen. Du kan se brt fra luftmtstanden. Den ptensielle energien fr en fjær sm følger Hks lv er: U k (x) = 1 k(x 0 x). 5. Finn hastigheten sm deigen g tallerken har rett etter kllisjnen. Uttrykk resultatet ved hjelp av høyden h g tyngdeakselerasjnen g. (4 peng) Vi finner først hastigheten til deigen rett før den treffer på tallerken. Det er bare gravitasjn sm gjør arbeid, derfr er energi bevart: mgh = 1 mv 1 v 1 = gh I det krte øyeblikket sm kllisjnen varer spiller ytre krefter (sm fr eksempel gravitasjn) ingen rlle, g vi kan bruke bevaring av bevegelsesmengde: mv 1 = mv

9 v = 1 v 1 = gh 5.3 Finn strekningen d sm fjæren kmprimeres. Uttrykk resultatet ved hjelp av strekningene s g h. (6 peng) Både gravitasjn g fjærkraften er knservative, g vi kan bruke bevaring av energi. Vi legger x = 0 på det nederste punktet sm platen beveger seg til. Likevektspsisjnen til fjæren er i så fall: x 0 = d + s. Vi får: K + U G (d) + U k (d) = K 3 + U G (0) + U k (0) 1 (m)v + mgd + 1 k(d + s d) = k(d + s 0) m gh + mdg + 1 ks = 1 k(d + ds + s ) Vi setter inn fjærknstanten: 1 mgh + mgd = 1 mg s (d + ds) hs + 4ds = d + ds d ds hs = 0 d = s ± s + hs Strekningen d er definert sm psitiv, derfr velger vi d = s + s + hs