Løsningsforslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013

Transkript

1 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Oppgave 1 a) Løs andregradslikningen med fullstendige kvadraters metde. En gutt står på en brygge. Han hlder hånden fram (utenfr kanten) g kaster en liten stein rett ppver slik at den går pp i lufta g etter hvert faller rett ned i vannet. Funksjnen gir ss høyden ver vannverflaten i meter etter sekunder. Funksjnen er gitt ved fr der er tidspunktet når steinen når vannverflaten. b) Skisser grafen til. c) Finn høyden ver vannflaten fr steinen 2 sekunder etter at den ble kastet. d) Hvr lang tid går det før steinen når vannverflaten? Finn løsningen på t ulike måter, algebraisk g grafisk. Sensrveiledning Oppgave 1 a) Løs andregradslikningen med fullstendige kvadraters metde Ser på ( ) (( ) ( ) ) (( ) ) (( ) ) 1

2 b) Grafen til fr er Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 (( ) ) (( ) ( ) ) ( ) ( ) Grafen skjærer x-aksen fr eller, får dette fra ( ) ( ). Dermed får vi fra (( ) ( ) ) at funksjnen har sin største verdi fr. Har ( ). Alternativt,. Dermed vil ha løsning g ( ). Videre vil. Dermed vil funksjnen ha en største verdi ( ) fr. c) Høyden ver vannet når er. Steinen er 10,4 meter ver vannverflaten når det er gått 2 sekunder. 2

3 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 d) e) Algebraiske løsning: Tid før steinen treffer vannverflaten er ( ) ( ) ( ) Steinen treffer vannverflaten når det er gått.. Grafisk løsning sekund 3

4 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Oppgave 2 Gitt en vilkårlig trekant. a) Frklar at midtnrmalene i en vilkårlig trekant skjærer hverandre i nøyaktig ett punkt. Gi en begrunnelse fr at dette punktet er sentrum fr sirkelen sm mskriver trekanten. Ta utgangspunkt i trekant. La være midtpunkt på linjestykket, på linjestykket g A på. b) Vis at, g. c) Vis at g at frhldet. Knstruer nå midtnrmalene på linjestykkene, g. d) Fra det du har vist tidligere i ppgaven, skal du vise at høydene til trekant skjærer hverandre i nøyaktig ett punkt. 4

5 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Sensrveiledning Oppgave 2 a) Bevis fr påstanden at midtnrmalene i en trekant skjærer hverandre i nøyaktig ett punkt. Midtnrmalene på sidene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt, trekantens msenter. Bevis.. Sentrum i en sirkel sm skal gå gjennm A g B, må ligge like langt fra A g B g derfr på midtnrmalen på AB. Det må gså like langt fra B g C g derfr på midtnrmalen på BC. Skjæringspunktet mellm disse nrmalene ligger da like langt fra A, B g C g derfr spesielt like langt fra A g C, dvs. på midtnrmalen på AC. (henta fra b) Her kan man vise til transversalsetningen, Transversalsetningen. T linjer l g m skjærer ver en vinkel A. Det ene vinkelbeinet skjærer l i B g m i B, det andre vinkelbeinet skjærer l i C g m i C Da gjelder følgende: (henta fra Vi har at g vi kan dermed kan vi slutte at. Tilsvarende ide fr g. 5

6 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 c) Bruker resultatet fra b) fr å vise at trekantene. Fr å vise at frhldet kan man bruke at g. Dermed kan man slutte at. Det er gså mulig å bruke at, g fr å begrunne at, g. Ved nå å vise til felles sidekanter, så vil g alle vil være frmlik med. De fire kngruente trekantene vil utfylle nøyaktig trekant. Dermed er arealet av hver av de fire små trekantene være nøyaktig ¼ av arealet av trekant. Dermed vil. Da vil d) Her kan man bruke at midtnrmalen til linjestykket vil være danne høyden i trekant fra hjørnet ned på grunnlinja, tilsvarende fr de t andre høydene i trekant. Bruker da resultatet fra a). Oppgave 3 Studer vedskjulfigurene g tegn de t neste figurene i rekken. Lag deretter en eksplisitt g en rekursiv frmel fr vedskjultallene. 6

7 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Sensrveiledning Oppgave 3 De t neste vedskjultallene: 7

8 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Har sv. T ulike mønster i vedskjultallene, finner igjen rektangeltall g trekanttall eller kvadrattall g trekanttall. Bruker dette fr å finne eksplisitt frmel g rekursiv frmel. Eksplisitt frmel: Rekursiv frmel: fr fr Alternativ, kan bruke man bruke første g andre differens fr å finne eksplisitt g rekursiv frmel: n Første differanse Andre differanse

9 Sensrveiledning, ppgave 4 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 En ungdmsskleklasse er i ferd med å undersøke egenskaper ved partall g ddetall. De har tidligere arbeidet med generalisering av figurtall. På gruppen til Eli g Trgeir er de kmmet til en ppgave der de skal vise at prduktet av t ddetall er et ddetall. I det læreren kmmer får vi følgende dialg: Lærer: Trgeir: Lærer: Har dere funnet ut ne? Ja.. det må bli et ddetall, trr jeg. Hvrfr det? Trgeir: 3x5=15 g 5x5=25 Eli: Trgeir: Trgeir Lærer: Men 25 er j et kvadrattall! J.. g ddetall samtidig da. 3x7=21.. 5x7=35.. ddetall det gså. Er det slik bestandig? Eli: (bruker kalkulatr) 11x17=187 Trgeir: Lærer: Eli: Ja, bra. Det stemmer.. det blir alltid et ddetall. Sikker? (bruker kalkulatr) 1111x3333= Ja, helt sikker! Tallet slutter på 3 her a) Balacheff (1988) pererer med fire bevisnivå. På hvilket nivå vil du plassere Eli g Trgeir, g hvrdan ville du hjulpet de videre? Gi eksempler på knkrete spørsmål du kan stille elevene fr å hjelpe de videre. Frslagene dine skal frankres i teri tilknyttet kmmunikasjn. b) Prduktet av t ddetall er et ddetall. Gi et generisk eksempel i frm av en figur g en krt frklaring fr påstanden. Gi så et gyldig algebraisk bevis av påstanden. Kmmentarer I første del av denne ppgaven ser vi t elever sm pererer på Balacheffs laveste nivå, naiv empirisme. Eli utfører et frsøk med større tall fr å sjekke hyptesen, g dette kjennetegner nivå t, avgjørende eksperiment. Begge disse nivåene er pragmatiske, men ikke gyldige bevis. I generaliseringsaktiviteter er det sentralt å stille åpne spørsmål sm retter elevenes ppmerksmhet 9

10 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 mt sammenhenger g strukturer gjennm å rettferdiggjøre, frklare g verbevise. Eksempler på metaprsesspørsmål fra pensum kan være «Hvrdan kan vi være sikre på at det er slik bestandig?», «Frklar hvrfr», «Hva er likt g hva er frskjellig i disse ppgavene?», «Hva skjer m det ene tallet er et partall?», «Kan du vise dette på en annen måte?». I valg av spørsmål g videre aktiviteter er det relevant å trekke inn IRE-mdellen g begreper sm refleksiv diskurs, metakgnitivt skift, traktkmmunikasjn g Tpaze-effekten. Det frventes refleksjner sm vektlegger aktiv deltagelse g «matematisering», utfrskning g hyptesetesting. Pragmatiske bevis tar utgangspunkt i knkrete figurer g handlinger. På Balacheffs nivå 3, generisk eksempel, skal det gis et gyldig bevis gjennm å argumentere fr egenskapene til et eksempel. Oddetall kan uttrykkes på frmen 2n±1 g illustreres ved hjelp av f eks prikker eller kvadrater: Et generisk eksempel i frm av en figur kan i denne sammenhengen være å sette pp et dde antall ddetall ved siden av hverandre. Vi ser at et dde antall partall må være et partall g videre at et dde antall enere legges til dette. Det ttale antall prikker må da være summen av et partall g ddetall sm er et ddetall. En annen krt frklaring til dette kan være at man adderer t g t ddetall til et partall. Siden det er et dde antall ddetall må det bli et ddetall til vers, g vi sitter igjen med summen av et partall g et ddetall. 10

11 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Gjennm en arealmdell kan vi argumentere fr at prduktet av t ddetall blir summen av tre partall g 1. Det skal ikke argumenteres med knkrete tall, men egenskapene til generelle ddetall g partall. Et gyldig algebraisk bevis kan ta utgangspunkt i at et ddetall kan skrives på frmen 2n±1 der n er et naturlig tall (2n 1) 4n 4n 1 2(2n 2n) 1 sm er på frmen 2 (naturlig tall)+1 Vi kan gså bruke at 2 2 (2n 1)(2n 1) 4n 1 2(2n ) 1 er på samme frm 11