Løsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130

Transkript

1 Løsningsforslag ATEATIKK 1, X130 UTSATT EKSAEN 8. januar 2010 Oppgave 1 a) Alle flisene forutsettes å være like store. Vi tenker oss at sidekantene på flisene er 1 enhet lang og at arealet av hver flis er 1 kvadratenhet. Noen forslag til ulike figurer en kan lage: Figur Omkrets Areal 26 enheter 16 enheter 14 enheter 16 enheter 12 enheter 2 18 enheter 24 enheter 26 enheter

2 b) Vi starter med et parallellogram ABCD der AB er parallell med CD og AD er parallell med BC. Fra ett av hjørnene i parallellogrammet kan vi felle ned en normal på motstående sidekant. Her har vi felt ned en normal fra D på AB. La E være skjæringen mellom linjestykket AB og normalen fra D. Det dannes en trekant AED. Trekanten AED kan tenkes flyttet slik at A sammenfaller med B. I og med at AD er parallell med og like lang som BC dannes et rektangel. erk at rektangelet vi nå har fått dannet har samme areal som det opprinnelige parallellogrammet. Rektangelets areal kan regnes ut som produktet av lengdene EG og ED. erk at EG er like lang som AB i det opprinnelige parallellogrammet. Lengden av ED er avstanden mellom de to parallellene AB og CD i det opprinnelige parallellogrammet. Hvis vi kaller en av sidekantene i parallellogrammet for grunnlinje og avstanden mellom denne grunnlinja og den sidekanten den er parallell med for høyde, kan arealet av parallellogrammet beregnes som grunnlinje høyde.

3 c) i) Her er EF = HD og de to parallellogrammene ligger mellom de samme parallellene. De to parallellogrammene har derfor like store arelaer. Omkretsen er forskjellig. ii) Her er AB = EF og AD = EJ. Omkretsen av de to parallellogrammene er like. Arealet er forskjellig. d) Gitt trekanten ABC Vi speiler ABC om midtpunktet D på BC Resultatet er parallellogrammet ABA C. Arealet av trekant ABC er halvparten av arealet av parallellogram ABFC.

4 e) Trekant 1 Trekant 2 Trekant 3 Arealet av en trekant er bestemt av lengden av grunnlinja og den tilhørende høyden. Her er grunnlinjene i de tre trekantene like lange. Tilhørende høyder er også like. Arealet av de tre trekantene er derfor like. Omkretsene av de tre trekantene er ikke like. Ved å måle med en tråd eller en linjal ser en at omkrets av trekant 2 er større enn omkretsen av trekant 1 og at omkretsen av trekant 3 er større enn omkretsen av trekant 2. Amarinda har med andre ord rett. Oppgave 2 a) XX X XXX X XXXX X F 1 F 2 F 3 F 4 Antall kryss i figurene: F 1 =8, F 2 =12, F 3 =16, F 4 =20 Carl: Det er 30 kryss for det er bare 4-gangen F 4 Legger til 4 kryss for hver ny figur, så økningen er 4. Første figurtall F 1 =8. Får da tallfølgen 8, 12, 16, 20,, altså tallene i 4- gangen. Ulf: Det er 20 kryss, men det er 2-gangen for du har Du må legge sammen. F 4 I første og siste rad er det 6 kryss. Da står det igjen 4 kryss i første og siste kolonne. Får da antall kryss til å bli Alternativ, fire sidekanter der to sidekanter (øvre og nedre) består av 6 kryss, mens de to vertikale kantene består av 4 kryss.

5 Ellen: Det er 20 kryss for det er F 4 Arealbetraktning: Arealet av det merkete området er = b) Carl: Det er F n = 4n. Jeg bare satte inn n. Først figurtall er 8, neste 12 osv. Carl sitt forslag gir første figurtall lik 4 så Carl må legge til 4 på hvert figurtall. Da blir formelen F n = 4n + 4. Ulf: Det er F n = 2(n + 2) + 2n. I hver rad er det 2 kryss mer enn indekstallet n viser. Da blir det 2 (n + 2) for de to radene. I hver kolonne er antall kryss lik indekstallet n. Da blir det 2n for de to kolonnene. Summen blir derfor F n = 2(n + 2) + 2n = 4(n + 1). 2 2 Ellen: Det er F = (n + 2) n. n 2 2 Dette kan forenkles til Fn = (n + 2) n = 4(n + 1). Det største kvadratet har side lik to mer enn indekstallet n og det minste kvadratet har side lik indekstallet n. Ulf og Ellen har rett. Carls resonnement om 4-gangen er korrekt, men han må legge til 4. c) XXXX X XXX X XX X X X X X X X XX Ser ut fra antall kryss i figurene at tallfølgen blir 14, 20, 26, 30,. Dermed er økningen konstant lik 6. Vi får den rekursive formelen n + 1 = n + 6 Siden økningen er konstant lik 6, er det naturlig å se på 6-gangen. Vi har 1 = 14 = = 20 = = 24 = = 30 = n = n Den eksplisitt formelen blir derfor n = 6n + 8.

6 Oppgave 3 a) Additive strukturer. Her henviser vi til side 52 i Alseth. i. Endring (Sammenslåing, Separering) ii. iii. iv. Kombiner (Kombinering, Separering) Sammenligne Gjøre likt b) Ulike aspekter ved brøkbegrepet. Se kapittel 6.5 i Alseth. i. Del av enhet ii. Størrelse, tall på talllinjen iii. Et forhold iv. Et regnestykke v. Resultat av divisjon c) Dividere en brøk på en anna brøk multiplisere med omvendt brøk 2 3 i. Det er ikke likegyldig hvilken brøk man snur. La oss for eksempel se på : Om vi snur den første bruken, får vi : = =. Snur vi den andre brøken, får vi : = =. Svarene blir altså ulike, så begge kan ikke være rett svar. Det er altså ikke likegyldig hvilken av brøkene som snus. ii. Vi kan se på deletegnet som en brøkstrek og sette opp som brudden brøk: a a a d a d d b a c b b b b a d a d : = = = = = =. En annen måte kan være å b d c c c c b b c b c d d d a c a d c b (a d) : (c b) a d a d bruke fellesnevner: : = : = = =. b d b d d b 1 b c b c For å utvikle en relasjonell forståelse kan det være en mulighet å starte med å se på 1 heltall delt på brøk, f eks 2 :. Her kan man knytte dette til arbeid med tallinje 5 eller bruk av konkrete måleenheter. Så kan man se på brøk delt på et helt tall, f eks 2 2 : 2, og deretter f eks : 4. Her bør man også se på konkrete situasjoner. 5 5 Spesielt bør det være aktuelt å koble inn situasjoner som defineres som målingsdivisjon. Gjennom dette arbeidet forbereder man elevene på situasjoner med brøk delt på brøk, der man fortsatt bør trekke inn arbeid med tallinje og med konkrete måleenheter. Situasjonene som beskrives må her falle innenfor målingsdivisjon.

7 Oppgave 4 a) Her kan vi sette inn en variabel, kall den for eksempel a. Da får vi: 5 a 9 5+a 9+a 26 Når vi setter inn a i den tomme ruta i øverste rad, vet vi at i raden under skal det stå henholdsvis 5 + a og 9 + a. Dermed får vi (5 + a) + (9 + a) = 26, dvs a + a = a = 26. Fra dette følger at 2 a = 12, så da blir a = b 14 9+b 26 I den neste figuren kan vi for eksempel kalle den ukjente i den tomme ruta i øverste linje b. Her er da b = 26, så 9 + b = = 12. Dermed blir b = 3. Denne oppgaven oppfattes av enkelte elever som enklere fordi du kan ta ett og ett steg. Den ukjente (ruta) inngår i bare en rute. En behøver ikke å bruke ukjent. Vi kan starte nedenfra: Hva må vi legge til 14 for å få 26? Svaret er 12, og dermed har vi fylt ut ei rute. I neste omgang må vi ta stilling til hva vi må legge til 9 for å få 12. Svaret på det er 3, og dermed har vi fylt ut alle de tomme rutene. b) og c): Se boken Algebra för alla, side