EKSAMENSOPPGAVE. Alle trykte og skrevne Kalkulator. Rute. Ola Løvsletten

Transkript

1 Fkultet for nturvitenskp og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksmen i: Brukerkurs i sttistikk STA-0001 Dto: Klokkeslett: Sted: TEO H1, PLAN 3 Tilltte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne Klkultor Type innføringsrk (rute/linje): Antll sider inkl. forside: Kontktperson under eksmen: Rute 4 Ol Løvsletten Telefon/moil: NB! Det er ikke tilltt å levere inn klddeppir som del v eksmensesvrelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil klddeppiret li holdt tilke og ikke li sendt til sensur. Postoks 6050 Lngnes, N-9037 Tromsø / / postmottk@uit.no / uit.no

2 Oppgve 1 Storfiskvnnet ligger i Børgefjell og estår kun v ørret. Ørretpopulsjonen i Storfiskvnnet hr en gjennomsnittsvekt på 1.1 kg. Stndrdvviket til fiskevektene i dette vnnet er 0.2 kg. L X være vekt, i kg, på neste fisk Mrit fnger i Storfiskvnnet. Ant t X er normlfordelt. Dvs X N (1.1, 0.2). Finn følgende snnsynligheter og vis utregninger: P (X < 0.8) P (X > 1.2) P (0.8 X 1.2) Mrit estemmer seg å fiske på Storfiskvnnet til hun får 10 ørreter. Finn snnsynligheten for t gjennomsnittsvekt v disse 10 ørretene er i) mindre enn 1.2 kg ii) større enn 1 kg iii) mellom 1 og 1.2 kg Oppgve 2 Et prøvefiske i Litle Kjukkelvtn er utført med følgende fiskevekter, i kg, som resultt: Det oppgis t 5 i=1 (x i x) 2 = Finn medinen, vis hvordn du kommer frm til svret. Regn ut utvlgets gjennomsnittvekt og vrins, vis mellomregninger. Er det evis for t gjennomsnittsvekt til ørret-populsjonen i Litle Kjukkelvtn er større enn 1 kg? Ant normlfordelte dt, og utfør en pssende hypotese-test med signifiknsnivå α = c Mn er også interessert i spredningen v fiskevekter i Litle Kjukkelvtn, og som et mål på spredning ruker vi her stndrd-vviket σ. Skriv ned et estimt for stndrd-vviket σ. Finn et 95 % konfidensintervll for σ. 2

3 Oppgve 3 Ol skl på fiske i sommer. Hn estemmer seg for å fiske i 10 dger. L X være ntll dger Ol får fisk. Vi ntr t snnsynligheten for å få fisk en gitt dg er p = 0.3. Hvilke etingelser må være oppfylt for t X skl være inomisk fordelt? Svret skl formuleres utifr oppgveteksten der du kn legge til evt ntgelse(r) som mngler. Ant i det følgende t X er inomisk fordelt. Hv er forventet ntll dger Ol får fisk? Finn følgende snnsynligheter, vis hvordn du kommer frm til svret. P (X = 3) Beskriv med ord hv P (X > 5) etyr. P (X > 5) Oppgve 4 Mn er interessert i om efolkningen i Troms og Finnmrk er for eller imot å slå smmen Troms og Finnmrk til ett fylke. Vi ser i første omgng på de som or i Finmrk. Fr et tilfeldig utvlg v Finmrks efolkning svrer 450 t de er imot smmenslåing, mens 130 svrer t de er for smmenslåing. L p være ndelen v efolkningen i Finmrk som er imot smmenslåingen. Skriv ned den este gjetningen på p, og finn et 95 % konfidensintervll for p. Ved å ruke konfidensintervllet, kn mn forkste nullhypotesen om t p = 0.5? Skriv ned lterntivhypotese, signifiknsnivå og egrunn kort konklusjonen. Et tilfeldig utvlg v efolkningen i Troms lir også spurt om de er for eller imot smmenslåing til ett fylke. Her svrer 400 t de er imot smmenslåing, mens 200 er for smmenslåing. Undersøk om det å være imot smmenslåing vhenger v fylke mn or i. Utfør en kji-kvdrttest med signifiknsnivå α = Imot fylkes-smmenslåing For fylkes-smmenslåing Totlt Finnmrk Troms Totlt

4 Oppgve 5 I Gåsey er 10 % ønder og 15% fiskere. Noen v disse joer åde som fisker og onde. Det oppgis t 5% er åde fisker og onde. Vi hilser på en tilfeldig person ifr Gåsey. Hv er snnsynligheten for t vedkommende er onde eller fisker? Gitt t personen vi hilser på er en fisker, hv er snnsynligheten for t vedkommende er onde? Vi kommer i prt med personen vi treffer, og vedkommende opplyser t hn ikke er onde. Hv er snnsynligheten for t hn er fisker? Presisering: Opplysningen om t personen ikke er onde skl kun rukes i oppgve. Oppgve 6 L X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 være tilfeldige vrile, hver med forventning µ og vrins σ 2. To estimtorer for vrinsen er ˆσ 2 = 1 5 (X k 5 X) 2 S 2 = 1 4 Du får oppgitt følgende resultt k=1 5 (X k X) 2 k=1 E [ˆσ 2] = 4 5 σ2 (1) Er ˆσ 2 en forventningsrett estimtor for σ 2? Begrunn svret. Vis t S 2 er forventningsrett estimtor for σ 2. Hint: Bruk t S 2 = 5 4 ˆσ2 og (1). 4

5 Fkultet for nturvitenskp og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksmen i: Brukerkurs i sttistikk STA-0001 Dto: Klokkeslett: Std: TEO H1, PLAN 3 Lovlege hjelpemiddel: Alle trykte og skrevne Klkultor Type innføringsrk (rute/linje): Antll sider inkl. forside: Kontktperson under eksmen: Telefon/moil: Rute 4 Ol Løvsletten NB! Det er ikkje lov å levere inn kldd smn med svret. Om det likevel leverst inn, vil kldden li heldt tilke og ikkje sendt til sensur. Postoks 6050 Lngnes, N-9037 Tromsø / / postmottk@uit.no / uit.no

6 Oppgåve 1 Storfiskvtnet ligg i Børgefjell og estår kun v ure. Aurepopulsjonen i Storfiskvtnet hr ei gjennomsnittsvekt på 1.1 kg. Stndrdvviket til fiskevektene i dette vtnet er 0.2 kg. L X vere vekt, i kg, på neste fisk Mrit fngr i Storfiskvtnet. Ant t X er normlfordelt. Dvs X N (1.1, 0.2). Finn fylgjnde snnsyn og vis utrekning: P (X < 0.8) P (X > 1.2) P (0.8 X 1.2) Mrit estemmer seg for å fiske på Storfiskvtnet til ho får 10 urr. Finn snnsynet for t gjennomsnittsvekt v desse 10 urne er i) mindre enn 1.2 kg ii) større enn 1 kg iii) mellom 1 og 1.2 kg Oppgåve 2 Eit prøvefiske i Litle Kjukkelvtn er utførte med fylgjnde fiskevekter, i kg, som resultt: Ein oppgir t 5 i=1 (x i x) 2 = Finn medinen, vis korleis du kjem frm til svret. Rekn ut gjennomsnittvekt og vrins for utvlet, vis mellomrekningr. Er det prov for t gjennomsnittsvekt til ure-populsjonen i Litle Kjukkelvtn er større enn 1 kg? Ant normlfordelte dt, og utfør ein pssende hypotese-test med signifiknsnivå α = c Ein er også interessert i spreiing v fiskevekter i Litle Kjukkelvtn, og som eit mål på spreiing ruker vi her stndrd-vviket σ. Skriv ned eit estimt for stndrd-vviket σ. Finn eit 95 % konfidensintervll for σ. 2

7 Oppgåve 3 Ol skl på fiske i sommr. Hn estemmer seg for å fiske i 10 dgr. L X vere ntll dger Ol får fisk. Vi går ut frå t snnsynet for å få fisk ein gitt dg er p = 0.3. Kv føresetnder må hlde for t X skl vere inomisk fordelt? Svret skl formulerst utifrå oppgåveteksten der du kn leggje til evt føresetnd(r) som mnglr. Gå i det fylgjnde utifrå t X er inomisk fordelt. Kv er forvent tl på dgr Ol får fisk? Finn fylgjnde snnsyn, vis korleis du kjem frm til svret. Uttrykk med ord kv P (X > 5) etyr. Oppgåve 4 P (X = 3) P (X > 5) Ein er interessert i om efolkning i Troms og Finnmrk er for eller imot å slå smn Troms og Finnmrk til eitt fylke. Vi ser i fyrste omgng på dei som ur i Finmrk. Frå eit tilfeldig utvl v Finmrk si efolkning svrte 450 t dei er imot smnslåing, medn 130 svrte t dei er for smnslåing. L p vere ndelen v efolkning i Finmrk som er imot smnslåing. Skriv ned den este gjetting på p, og finn eit 95 % konfidensintervll for p. Ved å ruke konfidensintervllet, kn ein forkst nullhypotesen om t p = 0.5? Skriv ned lterntivhypotese, signifiknsnivå og grunngje kort konklusjonen. Eit tilfeldig utvl v efolkning i Troms lir også spurde om dei er for eller imot smnslåing til eitt fylke. Her svrte 400 t dei er imot smnslåing, medn 200 er for smnslåing. Undersøk om det å være imot smnslåing vheng v fylke mn ur i. Utfør ein kji-kvdrttest med signifiknsnivå α = 0.01 Imot fylkes-smnslåing For fylkes-smnslåing Totlt Finnmrk Troms Totlt

8 Oppgåve 5 I Gåsey er 10 % ønder og 15% fiskrr. Nokon v desse jor åe som fiskr og onde. Det lir oppgitt t 5% er åe fiskr og onde. Vi helsr på ein tilfeldig person ifrå Gåsey. Kv er snnsynet for t vedkomnde er onde eller fiskr? Gitt t personen vi helsr på er ein fiskr, kv er snnsynet for t vedkomnde er onde? Vi kjem i prt med personen vi treffer, og vedkomnde opplyser t hn ikkje er onde. Kv er snnsynet for t hn er fiskr? Presisering: Opplysningen om t personen ikkje er onde skl kun rukst i oppgåve. Oppgåve 6 L X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 vere tilfeldige vrilr, kvr med forventing µ og vrins σ 2. To estimtorr for vrinsen er ˆσ 2 = 1 5 (X k 5 X) 2 S 2 = 1 4 Du får oppgitt fylgjnde resultt k=1 5 (X k X) 2 k=1 E [ˆσ 2] = 4 5 σ2 (1) Er ˆσ 2 ein forventingsrett estimtor for σ 2? Grunngje svret. Vis t S 2 er forventingsrett estimtor for σ 2. Hint: Bruk t S 2 = 5 4 ˆσ2 og (1). 4