Del 5 Måleusikkerhet 5.2 Type A og type B usikkerhetsbidrag
|
|
- Linda Dahl
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Del 5 Måleusikkerhet 5. Type A og type B usikkerhetsbidrg Utdrg fr VIM:.8 Type A evlution of mesurement uncertinty Evlution of component of mesurement uncertinty by sttisticl nlysis of mesured quntity vlues obtined under defined mesurement conditions.9 Type B evlution of mesurement uncertinty Evlution of component of mesurement uncertinty determined by mens other thn type A evlution of mesurement uncertinty
2 Eksempel på målefunksjon Tenk t vi klibrerer et håndholdt multimeter mot en klibrtor. I EA-4/0 S9 ( er det viset et eksempel på et usikkerhetsbudsjett for denne klibreringen ved 100 V DC. Dette tr utgngspunkt i følgende målefunksjon for feilvisningen E x : E x =V ix -V s +dv ix -dv s hvor V ix : V s : dv ix : dv s : Avlest spenning (middel v i observsjoner) Spenning generert v klibrtoren Korreksjon for visningen i multimeter som følge v begrenset oppløsning Korreksjon for feil i klibrtorens genererte spenning som følge v: drift fr sist klibrering vvik i tempertur endring i forsyningsspenning belstningseffekt
3 Definisjoner, begreper i NA Dok 5 X: teoretisk inngngsstørrelse Y: teoretisk utgngsstørrelse (teoretisk resultt ved ideelle betingelser) x: estimert inngngsstørrelse y: estimert utgngsstørrelse (resultt) q i : måleverdi q: middelverdi s (q): eksperimentell vrins (stndrdvvik = kvdrtrot v vrins) s(q): eksperimentelt (estimert) stndrdvvik s(q): eksperimentelt (estimert) stndrdvvik for middelverdi u(x i ): stndrd usikkerhet for inngngsstørrelse x i c i : Følsomhetsfktor (y er følsomhet for vrisjon i inngngsstørrelse x i ) u i (y): Bidrg til kombinert måleusikkerhet fr inngngsstørrelse x i u i (y) = c i u(x i ) k: dekningsfktor i : frihetsgrder for inngngsstørrelse x i u c (y): kombinert stndrd måleusikkerhet eff : effektive frihetsgrder for resulttet (utgngsstørrelse y) U: utvidet måleusikkerhet
4 Type A, type B, tilfeldige og systemtiske effekter Type A og Type B er ikke det smme som tilfeldige og systemtiske Type A og Type B er to ulike måter å evluere usikkerhetsbidrg på Det er ingen grunn til å lge egne nvn eller skille de på noen måte Type B evluering kn være like god som en Type A evluering
5 Feil og vrisjon i målingene gir måleusikkerhet Målefeil Avvik mellom estimert verdi og snn verdi Systemtiske feil Tilfeldige feil Kjent systemtisk feil Ukjent systemtisk feil Avvik Rest usikkerhet Måleverdi Måleusikkerhet
6 Type A evluering v usikkerhet Beskrivelse v type A evluering: Den estimerte vrinsen u (x i ) (eller stndrd usikkerheten u(x i )) til estimtet x i v en inngngsstørrelse X i, som er bestemt ved en sttistisk nlyse v en serie observsjoner gjort under identiske forhold
7 Tempertur/C Sttistisk nlyse Temperturmåling Måling nr.
8 Antll observsjoner Histogrm (stolpedigrm) Tempertur (C)
9 Normlfordeling (Gussfordeling) 68% - + = Middelverdi = Stndrdvvik
10 Normlfordelingens egenskper 0,5 0,45 0,4 0,35 x s 95,45% x 3s 99,73% 0,3 0,5 0, x 1s 68,7% 0,15 0,1 0, s s s s x s s s s
11 Tempertur/C Sttistisk nlyse Temperturmåling Måling nr.
12 Beregne (estimere) middelverdien Middelverdien er estimert ved hjelp v: q 1 n n i1 q i 1 n ( q 1 q... q n )
13 Beregne (estimere) vrins og stndrdvvik Vrinsen i en serie (k=1 til n) observsjoner q k skrives s (q), stndrdvviket er kvdrtroten v vrinsen og skrives s(q): s ( q) 1 n 1 n k1 ( q k q) s(q) = eksperimentelt stndrd vvik til enkeltverdi Eksempel på regnerkfunksjoner (Excel 007, norsk) Vrinsen til tllene i cellene A1 til A0: VARIANS(A1:A0) Stndrdvviket til tllene i cellene A1 til A0: STDAV(A1:A0)
14 Tempertur/C Sttistisk nlyse v repeterte målinger Temperturmåling q q s( q) s( q) q Måling nr.
15 Tempertur /C Sttistisk nlyse v repeterte målinger (forts.) Temperturmåling q q s( q) s( q) q Måling nr.
16 Tempertur /C Sttistisk nlyse v repeterte målinger (forts.) Temperturmåling q q s( q) q q s( q) s( q) q s( q) Måling nr.
17 Repeterbrhet Når vi gjør repeterte målinger for å finne et gjennomsnitt, ønsker vi minst mulig vrisjon. Mnge observsjoner gir et bedre mål for beliggenheten til gjennomsnittet dvs senteret til fordelingen. Når n øker, konvergerer s mot en bestemt verdi dvs bredden til fordelingen blir bedre kjent. Avvik Bidrg til måleusikkerheten Vi benytter gjennomsnittet v mnge målinger som beste estimt for måleresulttet, derfor er usikkerheten i målingen gitt v stndrdvviket til gjennomsnittet. u repeterbrhet s n Ref s: observert stndrdvvik til fordelingen n: ntll observsjoner x
18 Estimt for vrinsen til middelverdien s ( q) = eksperimentelt stndrdvvik til enkeltverdi s ( q) = eksperimentelt stndrdvvik til middelverdien Denne er gitt som: s ( q) s ( q) n
19 Stndrd usikkerhet Estimtet v inngngsstørrelsen, x i, er gitt på grunnlg v observsjonene q i. x i Estimtet v stndrd usikkerhet er gitt ved stndrdvviket til middelverdien q u( x ) s( q) i
20 Frihetsgrder Antll frihetsgrder er et mål på kunnskpen om en sttistisk fordeling. Dersom n uvhengige observsjoner skl brukes til å bestemme m målestørrelser, så er frihetsgrden ν i til én enkelt målestørrelse: n m i Dersom n uvhengige observsjoner skl brukes til å bestemme en middelverdi til en målestørrelse, så er frihetsgrden ν i n 1 Dersom fordelingen er kjent/definert, er det et uendelig ntll frihetsgrder.
21 Reproduserbrhet Når vi gjør reproduserte målinger ønsker vi å krtlegge hele vrisjonsbredden. Reproduserbrheten gir kunnskp om den smlede betydningen v t mnge effekter bidrr til vrisjon. Bidrg til måleusikkerheten Reproduserbrheten fnger opp mnge (lle?) tilfeldige og systemtiske effekter. Nye målinger vil dermed gi nye bidrg til den totle spredningen. Dersom vi ikke korrigerer for de systemtiske effektene, vil hele vrisjonsbredden bidr til måleusikkerhet. Dersom vi gjør korreksjoner for systemtiske effekter blir reproduserbrheten mindre, men de bidrr likevel til måleusikkerhet, fordi det gjenstår en usikkerhet i korreksjonene. u s reproduser brhet s: observert stndrdvvik Ref
22 Type B evluering v usikkerhet Definisjon, type B-evluering: Den estimerte vrinsen u (x i )(eller stndrd usikkerheten u (x i )) til estimtet x i v en inngngsstørrelse X i, som ikke er bestemt ved gjenttte målinger, kn bestemmes ved vitenskpelig vurdering bsert på ll mulig tilgjengelig informsjon om vrisjonen v X i.
23 Type B usikkerhet u(x i ) fremkommer ved vitenskpelig vurdering bsert på ll mulig tilgjengelig informsjon om hvordn målestørrelsen kn vriere. - Fordelingsfunksjonen nts som kjent. Vi definerer dermed en fordelingsfunksjon med en kontinuerlig snnsynlighetsfordeling med kjent middelverdi og stndrdvvik. Den teoretiske tilpsningen må være rgumentert og konservtiv. - Ofte er det mnge usikkerhetskomponenter v type B - Ofte er det korreksjoner med forventningsverdi lik null, men med vrins forskjellig fr null
24 Antll Eksempel på en (eller flere) fordeling Histogrm over høyde til vernepliktige. Hvordn vil populsjonen være fordelt? Høydefordeling vernepliktige Høyde
25 Normlfordelingen (Guss-fordeling, klokkefordeling) Normlfordelingen påtreffes ofte i nturen og når vi ser på tilfeldige vrisjoner. Når vi summerer 3 eller flere vrible (som kn h vilkårlige fordelinger) sier Sentrlgrenseteoremet t summen er tilnærmet normlfordelt. 95 %,5 %,5 % Dekningsnivå/ Konfidensnivå ( %) 68, , ,7 Dekningsfktor/ Konfidensintervll ( k ) 1 1,65 1,96,58 3
26 Normlfordelingen (forts.) I klibreringsbevis er ofte resulttet rpportert å være normlfordelt, og usikkerheten er ngitt med en dekningssnnsynlighet på c. 95 %. Det er d benyttet en dekningsfktor k= for å gå fr et dekningsintervll på 1 stndrdvvik til stndrdvvik. Y = y ± U For å finne stndrd usikkerhet for dette normlfordelte type B usikkerhetsbidrget, må U divideres på (k=). u( x i ) U
27 Usikkerhet fr klibreringsbevis Fr klibreringsbeviset finner vi usikkerheten til det estimerte vviket for et instrumentet.
28 Firkntfordeling Vi ser på fordelingsfunksjonen til et terningkst. Terningen kn vise 6 forskjellige tll, og det er like stor snnsynlighet for lle verdier fr 1 til 6. 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
29 Firkntfordeling (forts.) u ( xi ) u( xi ) 3 3
30 Stndrd usikkerhet til en firkntfordeling Vrinsen for en vilkårlig fordelingsfunksjon er gitt som: ( x ) ( x ) p( x) dx Firkntfordeling hr 100 % sjnse (1) for t verdien ligger innenfor grenseverdiene - og +, 0 utenfor. Vrinsen finner vi d ved å sette inn for p(x) = 0 utenfor - og +, og p(x) =1/ * innenfor. ( x) ( x ) 1 dx r x r 1 dr
31 Stndrd usikkerhet til en firkntfordeling (forts.) ) ) ( ( r 3 ) ( x
32 Kilde til usikkerhet: Begrenset oppløsning Avlesning 1,0 1,1 1, 1,3 1,4 1,15 1,5 Oppløsningen er 0,1 mm Yttergrenser for firkntfordelingen er Estimtet v stndrd usikkerhet er 0, 05mm u 3 0, 09 mm
33 Eksempel på firkntfordelt type B usikkerhet I et lbortorium vrierer temperturen ± C. I lbortoriet benyttes et voltmeter. I spesifiksjonen fr leverndøren oppgis det t temperturmålingen vrierer med temperturen med ppm/k. Vi får dermed følgende effekt v temperturvrisjon i spenningsmålingen: ± ppm/k * K = ± 4 ppm 4 ppm u( x vrisjon) 3 tempertur, 3 ppm
34 Eksempel på firkntfordelt type B usikkerhet En måleverdi leses v et instrument med et digitlt disply. Avrundingsfeilen i det digitle displyet er på opptil et hlvt siffer. m/s Sett t vi leser v en vindmåler som med 3 siffer viser vind i m/s. Det minst signifiknte siffer hr en oppløsning på 1 m/s. Verdien instrumentet prøver å vise kn dermed ligge et sted mellom 6,5 m/s og 7,5 m/s. Alle verdier i dette intervllet er like snnsynlige. Verdien er dermed firkntfordelt. 0,5 m / s u( x visning ) 0,9m / 3 s
35 Volt Drift til en spenningsnorml 1, , , , , , , , , , , Dger
36 Volt Drift til en spenningsnorml (forts.) 1, , , , , , , , , , , Brukes her! Dger Mn kn nt noen grenseverdier for drift fr siste klibrering. Usikkerhetskomponenten knyttet til drift kn for eksempel nts firkntfordelt (konservtiv vurdering).
37 Volt Drift til en spenningsnorml (forts.) 1, , , , , , , , , , , Dger
38 Trekntfordeling Vi ser på summen v to terninger. Den kn h diskrete verdier fr til 1. Hvis vi ser på ntll forskjellige måter vi kn få de ulike verdiene, vil det gi en trekntfordeling: /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 Kvlitetsstyrt måleteknikk og sttistiske nlysemetoder Universitetsstudiene på Kjeller #
39 Trekntfordeling (forts.) x - u( xi ) 6
40 Trpesfordeling p(x) x u ( x ) i ( 1 ) 6
41 Ant. punkt U-fordeling u Intervll u( xi )
42 Eksempel på u-fordelt type B usikkerhet Svært mnge vrisjoner i nturen er sykliske. De følger en pendelbevegelse, dvs oscillerer frm og tilbke. Slike vrisjoner kn beskrives mtemtisk vh en sinus eller en cosinusfunksjon. Sett t en posisjon på en borerigg leses v med en GPS-mottker. Sett t riggen svinger frm og tilbke i nkerkjettingene med et gitt mksimlt utslg på 15 meter. Når posisjonen leses v på GPS-mottkeren er det ikke mulig å si noe om hvor i svingningen riggen er. Dermed blir det en u-fordelt vlesningsusikkerhet med følgende verdi: 15m u( x vlesning ) 10, 6m
43 Eksempel på type B-evluering multipler v stndrdvvik konfidensnivå 90%, 95%, 99% gitt en fordeling innenfor et intervll, firkntfordeling innenfor et intervll, trekntfordeling innenfor et intervll, trpesfordeling innenfor et intervll, u-fordeling
44 Hvordn finne et stndrdvvik? Dersom: 1. U= ±0. ml, k= (k=3) => divider med (3). U= ±0. ml, 95% (99%) => divider med 1.96 (.58) 3. U= ±0. ml, ikke noe mer. Antr rektngulær fordeling innenfor dette intervllet: => divider med 3
45 Informsjon som gir grunnlg for vurdering v type B usikkerhet Følgende kilder til type B usikkerhet er ofte ktuelle resulttet i et klibreringsbevis miljøpåvirkning eller nnen påvirkning som kn gi en begrenset effekt på måleresulttet Historiske dt som viser hvordn instrumentet kn forventes å endre seg over tid. instrumentets spesifiksjoner instrumentets oppløsning erfring eller nnen kunnskp om målemetoden og måleprosedyren
46 Vnlige måter å ngi type B usikkerhet usikkerhet oppgis som multipler (k) v stndrd vvik smt med informsjon om fordeling. Ofte benyttes k= og normlfordeling usikkerhet oppgis som grenseverdier for et intervll. Alle verdier innenfor intervllet er like snnsynlige mens verdier utenfor intervllet er usnnsynlige. usikkerhet oppgis som et stndrdvvik uten informsjon om fordelingens fsong usikkerhet oppgis som en vrins uten informsjon om fordelingens fsong
47 Hvordn finne en stndrd usikkerhet? Under følger det 3 ulike usikkerhetsbidrg ved volummåling. Hv blir stndrd måleusikkerhet, u(x), for de ulike usikkerhetsbidrgene? Fr et klibreringsbevis følger det t U = ± 0. ml, k = og normlfordeling. u(x) =? Oppløsning på 0.4 ml gir mulige verdier i intervllet ± 0. ml. u(x) =? Temperturvrisjon på mks ± 5 C gir volumvrisjon på ± 0. ml. u(x) =?
48 Oppsummering på 1,, 3: 1) Målefunksjonen Skriv opp en mtemtisk modell for smmenhengen mellom inngngsstørrelser og utgngsstørrelse. x 1 f (x1, x,. xn,) y x x n Til estimtet v smtlige inngngsstørrelser knytter det seg en usikkerhet. y f ( x, x,..., x ) 1 n u c (y) u(x 1 ) u(x ) u(x n ) u(x i ) = stndrd usikkerhet i x i u c (y) = kombinert stndrd usikkerhet
49 ) Beregning v stndrd usikkerhet Beregn usikkerhet til komponentene med metode A eller B. A Repeterte observsjoner s ( q) 1 n 1 n k1 ( q k q) u s( q) s( q) n Normlfordeling (95 % konfidensintervll) u U B Firkntfordeling u 3 Trekntfordeling u 6 U-fordeling u Trpesfordeling u (1 ) 6 Type A usikkerhet (diskret snnsynlighetsfordeling) Type B usikkerhet (velrgumentert fordelingsfunksjon)
50 3) Kombinering v usikkerheter Alle inngngsstørrelsenes usikkerhetskomponenter kombineres for å gi måleusikkerheten i resulttet, u c (y). Drift i normlen x Måleverdiene q i q 1 q q 3 x q Miljøpåvirkning og ndre influensprmetere x 3 x 4 x 5 x 6 Begrenset oppløsning x 1 Verdi fr klibreringsbevis for norml 30,05 y ± U Estimert utgngsstørrelse y med ngivelse v usikkerhet
UNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: STK1110 Sttistiske metoder og dtnlyse 1 Eksmensdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksmen: 09.00 13.00 Oppgvesettet er på 5 sider.
DetaljerBioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode
Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom
DetaljerS2 kapittel 6 Sannsynlighet
S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll
DetaljerTema 2: Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3 ST :44 (Gunnar Taraldsen)
Tem 2: Stokstiske vribler og snnsynlighetsfordelinger Kpittel 3 ST1101 2019-01-13 12:44 (Gunnr Trldsen) Det nts i nottet t S er et utfllsrom utstyrt med en snnsynlighet P (A) for enhver hendelse A F. F
DetaljerNumerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater
Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Alle trykte og skrevne Kalkulator. Rute. Ola Løvsletten
Fkultet for nturvitenskp og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksmen i: Brukerkurs i sttistikk STA-0001 Dto: 28.05.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: TEO H1, PLAN 3 Tilltte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver
Detaljer1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerSem 1 ECON 1410 Halvor Teslo
Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerNumerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres.
Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/15 I(f) = hvor f : R R kn Riemnn-integreres. b f(x)dx. Newton-Cotes kvdrtur Newton-Cotes kvdrtur erbsert på ekvidistnte noder i [, b]: For en n-noder åpen
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 6
Løsningsforslg Kollokvium 6 25. februr 25 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 6. Oppgve Diskusjonsoppgve Diskuter følgende spørsmål med hverndre og prøv å bli
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerSensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)
Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst
DetaljerTemahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
DetaljerDel 5 Måleusikkerhet 5.1 Generell innledning
Del 5 Måleusikkerhet 5.1 Generell innledning Gitt en målesituasjon: Hva skal du måle? Hvilket måleinstrument vil du bruke? Hvordan skal jeg måle? Er målemetode anerkjenet/standardisert eller er instrumentet
Detaljer9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler
96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 10 1 ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve
DetaljerHva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak
Tvng og mkt Omfng v tvng og mkt, og kommunl kompetnse Hv er tvng og mkt? Tiltk som tjenestemottkeren motsetter seg eller tiltk som er så inngripende t de unsett motstnd må regnes som ruk v tvng eller mkt.
DetaljerMED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO
Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
DetaljerFakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007
Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 1
Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som
DetaljerEksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
DetaljerÅrsprøve 2014 10. trinn Del 2
2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere
Detaljer... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
DetaljerFY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk
DetaljerSnarveien til. MySQL og. Dreamweaver CS5. Oppgaver
Snrveien til MySQL og Dremwever CS5 Oppgver Kpittel 1 Innledning Oppgve 1 Forklr kort hv som menes med følgende egreper: disksert weområde serversert weområde Oppgve 2 Hv er viktig å tenke gjennom når
DetaljerDel 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
Detaljer1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,
TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen
DetaljerAngivelse av usikkerhet i måleinstrumenter og beregning av total usikkerhet ved målinger.
Vedlegg A Usikkerhet ved målinger. Stikkord: Målefeil, absolutt usikkerhet, relativ usikkerhet, følsomhet og total usikkerhet. Angivelse av usikkerhet i måleinstrumenter og beregning av total usikkerhet
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål
Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =
DetaljerINNKJØPSFUNKSJONEN I HELSE NORD
INNKJØPSFUNKSJONEN I HELSE NORD Foto: Mistfjorden og Steigtind, 5.pril 2010, Tor-Arne Hug Vurdering og nbefling til fornyelse v innkjøpsfunksjonen i Helse Nord. Rpport fr prosjektgruppen Postdresse: Helse
DetaljerLøsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d)
Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE ) ) Når følgen er ritmetisk, er 3 d 8 = + d 8 = d 6 d 8 d 8 0 ) Når følgen er geometrisk, er k 3 8 = k k = 8 = 9 k = 3 eller k = 3
Detaljer1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske
DetaljerNORSK SCHNAUZER BOUVIER KLUBB S HELSE- OG GEMYTTUNDERSØKELSE 2004
NORSK SCHNAUZER BOUVIER KLUBB S HELSE- OG GEMYTTUNDERSØKELSE 2004 Utført v vlsrådet 2003/2004 INNLEDNING NSBK s Gemytt og Helseundersøkelse ble sendt ut i jnur 2004, med svrfrist i februr 2004. Lister
DetaljerRapport nr. 309/45 ENSILASJEKONSENTRAT I TØRRFÔR TIL OPPDRETTSFISK Fôringsforsøk
Rpport nr. 309/45 ENSILASJEKONSENTRAT I TØRRFÔR TIL OPPDRETTSFISK Fôringsforsøk RAPPORT-TITTEL ENSILASJEKONSENTRAT I TØRRFÔR TIL OPPDRETTSFISK Fôringsforsøk RAPPORTNUMMER 309/45 PROSJEKTNUMMER 309 UTGIVER
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerIntegrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr
DetaljerOppdatere malene for driftavtalene for alle ledernivåer med tanke på Ferdig
5/2016 srbeid etter revisjoner utført v konsernrevisjonen Ansvrlig /t nr Problemstilling Sttus Ansvrlig Tidsfrist Inngår oppfølging v revisjoner og tilsyn i HF-ets etblerte system for intern styring Problemstilling
DetaljerRAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 2015
RAMMER FOR SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIKK 1P-Y OG 1T-Y ELEVER 015 Utdnningsrogrm: Yrkesfg Fgkoder: MAT1, MAT6 Årstrinn: Vg1 Ogveroduksjon: En lokl ogvenemnd lger ogver til ordinær eleveksmen og sommerskolen.
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Fysikk 2 Torsdag 2. desember 2004
NTNU Side 1 v 7 Institutt for fysikk Fkultet for nturvitenskp og teknologi Dette løsningsforslget er på 7 sider. Løsningsforslg til eksmen i TFY417 Fysikk Fysikk Torsdg. desember 4 Oppgve 1. Kvntemeknikk
Detaljera 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.
MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler
DetaljerEksamen høsten 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+
DetaljerImplementering av miljøinformasjon i en BIM modell Forprosjektrapport
Implementering v miljøinformsjon i en BIM modell Forprosjektrpport 02.04.2009 Høgskolen i Østfold H09B12 Chrlotte Dngstorp Ove-Eirik Krogstd Ain Josefine Stene Lrs-Christin Thowsen HØGSKOLEN I ØSTFOLD
DetaljerVurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 2007
Vurderingsrettleiing Vurderingsveiledning Desember 007 Mtemtikk sentrlt gitt eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Vurderingsveiledning til sentrlt gitt eksmen i Kunnsksløftet
DetaljerKapittel 8 TUTORIALS-CASES
Kpittel 8 Tutorils nd cses (exmple problems) re collected in this chpter. The tutorils re exmples ( in detil) of how to solve problems with MATLAB nd FEMLAB. The CASES re smples of problems to be solved
DetaljerNumerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe
Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2
DetaljerR1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn
DetaljerDagens program. 7.6 Numerisk integrasjon (fortsatt) 7.7 Uegentlige integraler
Dgens progrm 7.6 Numerisk integrsjon (fortstt) 7.7 Uegentlige integrler Forelesningen onsdg 28. oktober flyttes til ud. R7. Trpesmetoden Merknd side 479 Den tilnærmede verdien til integrlet f (x)dx beregnet
DetaljerEn økonometrisk analyse an påstanden um at subsidierte rutebiloelokader
IO 70/18 Oslo, 30. novemberi970 KOSTNADSEFFEKTER AV SUBSIDIERING I NORSK RUTEBILNÆRING En økonometrisk nlyse n påstnden um t subsidierte rutebiloelokder er mindre kostndsbevisste enn ikke-subsidierte.
DetaljerJuleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1
Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
DetaljerTerminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
DetaljerSynspunkter på arbeidsforhold før og etter innføring av fastlønn med per capita avlønning
V ITENSKAPELIG ARTIKKEL Nor Tnnlegeforen Tid. 2012; 122: 866 71 Dorthe Holst, Jostein Grytten, Irene Sku, Knut Berge Synspunkter på rbeidsforhold før og etter innføring v fstlønn med per cpit vlønning
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz
DetaljerALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL
Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
DetaljerKosmologisk perturbasjonsteori: Einsteintensoren vender tilbake
Kosmologisk perturbsjonsteori: Einsteintensoren vender tilbke Vi hr funnet Boltzmnnligninger for fotoner, bryoner og mørk mterie. Om vi hdde ønsket det, kunne vi også stt opp ligningene for msseløse nøytrinoer.
DetaljerKAP. 5 Kopling, rekombinasjon og kartlegging av gener på kromosomenen. Kobling: To gener på samme kromosom segregerer sammen
KP. 5 Kopling, rekominsjon og krtlegging v gener på kromosomenen OVERSIKT Koling og meiotisk rekominsjon Gener som er kolet på smme kromosom skilles vnligvis ut smmen. Kolede gener kn li seprert gjennom
DetaljerNumerisk Integrasjon
Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, 018 1 Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske
DetaljerMer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
DetaljerEneboerspillet. Håvard Johnsbråten
Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte
DetaljerLøsningsforslag SIE4010 Elektromagnetisme 5. mai 2003
Oppgve 1 Løsningsforslg SIE4010 Elektromgnetisme 5. mi 2003 ) Av symmetrigrunner må det elektriske feltet være rdielt rettet og uvhengig v φ, E = E(r)u r.vilrs være overflten til en sylinder med rdius
Detaljer1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA4 Mtemtikk Høst 8 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 6 5..5 Gjennomsnittet v f(x) = x på intervllet [, ] er lik relet A under grfen dividert
DetaljerLøsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.
Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.
DetaljerBIP200 Bore- og brønnvæsker
EKSAMEN I: BIP00 Bore- og brønnvæsker TID FOR EKSAMEN: 5. juni 007 KL. 09:00-3:00 TILLATTE HJELPEMIDLER: Klkultor OPPGAVESETTET BESTÅR AV: 3 OPPGAVER PÅ 3 SIDER + VEDLEGG å 3 r. Generell inormsjon: Alle
DetaljerMAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).
MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense
DetaljerNytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!
Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en
DetaljerTillegg om integralsatser
Kpittel 7 Tillegg om integrlstser 7.1 Integrlstser, fundmentlstser Fr et mtemtiske snspunkt er integrlstser beslektet med b f) d = fb) f) b β dr = βr b ) βr ) der den første klles nlsens fundmentlteorem,
DetaljerSammenhengen mellom ugrasfrøbank og framspiring
3 H. Sjursen / Grønn kunnskp 9 (2) Grønn kunnskp 25 Smmenhengen mellom ugrsfrønk og frmspiring Helge Sjursen / helge.sjursen@plnteforsk.no Plnteforsk Plntevernet Smmendrg Foreløpige resultter fr et kløverunderkulturforsøk
DetaljerUlike typer redundans. Lempel-Ziv-koding. Universell koding. INF 2310 Digital bildebehandling
Ulike typer redundns INF 30 Digitl bildebehndling Kompresjon og koding Del II LZW-koding Aritmetisk koding JPEG-kompresjon v gråtonebilder JPEG-kompresjon v frgebilder Rekonstruksjonsfeil i bilder Efford:
Detaljer1 Mandag 18. januar 2010
Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte
DetaljerProblemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?
Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr
DetaljerJuleprøve trinn Del 1 Navn:
Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du
Detaljer1 Mandag 8. mars 2010
1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs
DetaljerÅrsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1
Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere
Detaljerom vurdering av eksamensbesvarelser 2015
Eksmensveiledning om vurdering v eksmensbesvrelser 015 Mtemtikk. Sentrlt gitt skriftlig eksmen Studieforberedende og yrkesfglige utdnningsrogrm Kunnsksløftet LK06 Ny eksmensordning fr og med våren 015
Detaljer3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
DetaljerSensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave høsten 2011
Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligtorisk øvelsesoppgve høsten 2 Ved sensuren tillegges oppgve vekt,3, oppgve 2 vekt,4, og oppgve 3 vekt,3. For å bestå eksmen, må besvrelsen
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerKvadratur. I(f) = f(x)dx.
Kvdrtur Når mn snkker om numerisk kvdrtur er mn interessert i pproksimere integrler v funksjoner (som representerer reler, volumer, densiteter, o.s.v.) I(f) = f(x)dx. Det klles for kvdrtur fordi i gmle
Detaljer