ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008
|
|
- Grethe Christensen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall gis sannsynligheten /6. treer ) = /6 B: Ikke sekser. Dersom vi får vite at B har inntruffet, hva da med treer )?? (Vi kan åpenbart ikke lenger bruke uniform modell på {,, 3, 4, 5, 6}! ) Betinget sannsynlighet - innledning Opplysningen om at B har inntruffet, vil kunne føre til at treer ) endres fra det opprinnelige. Den nye sannsynligheten skriver vi: treer B ) Den betingede sannsynligheten for å få treer, gitt at B har inntruffet. 3
2 Betinget sannsynlighet Def. For to begivenheter A og B definerer vi den betingede sannsynligheten for A gitt B (at B har inntruffet) ved: A B) A B) = B) (Sannsynlighetene på høyre side er vanlige, ubetingede.) 4 Betinget sannsynlighet Eks.: Hva bør treer B ) være??... Ved bruk av definisjonen: A={3}, B={,,3,4,5}, AB={3}; AB) = /6, B) = 5/6. Derfor: 5 Betinget sannsynlighet Eks.: Hva bør treer B ) være??... Ved bruk av definisjonen: A={3}, B={,,3,4,5}, AB={3}; AB) = /6, B) = 5/6. Derfor: A B) {3}) A B) = = = 6 = B) {,,3,4,5})
3 Betinget sannsynlighet Motivering for definisjon Vi er interessert i A og A). A 7 Betinget sannsynlighet Motivering for definisjon Vi er interessert i A og A). A Når det forutsettes at B har inntruffet (skal inntreffe), er kun utfall i snittet AB av interesse derfor AB). A AB B 8 Betinget sannsynlighet Motivering for definisjon Vi er interessert i A og A). A Når det forutsettes at B har inntruffet (skal inntreffe), er kun utfall i snittet AB av interesse derfor AB). Vi ordner det slik at B B) =. Derfor: A B) A B) = B) A AB B 9 3
4 Betinget sannsynlighet C D C D ) =? E F E F ) =? F E ) =?? 0 Betinget sannsynlighet Eks.: Anta at sannsynligheten for regn i dag og imorgen er 0.3 og at sannsynligheten for regn i dag er 0.4. Dersom det regner i dag, hva er sannsynligheten for at det regner imorgen? Betinget sannsynlighet Eks.: Anta at sannsynligheten for regn i dag og imorgen er 0.3 og at sannsynligheten for regn i dag er 0.4. Dersom det regner i dag, hva er sannsynligheten for at det regner imorgen? Løsning: La R = det regner i dag, og la R = det regner imorgen. Da vet vi: R ) = 0.4 og R R ) = 0.3 Sannsynligheten for regn imorgen når det regner i dag er: R R ) = R R ) / R ) = 0.3/0.4 =
5 Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): AB ) = A B ) B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av definisjon av betinget sannsynlighet.) Obs.: Generelt er det ikke slik at: AB) = A) B) (Dette gjelder dersom A og B er uavhengige begivenheter som vi skal lære om siden.) 3 Betinget sannsynlighet Eks.: To tilfeldige kort fra en kortstokk; 4 Statistisk uavhengighet (Kp..6) Definisjonen av statistisk uavhengighet er en sannsynlighetsteoretisk formulering av at begivenheter ikke har noe med hverandre å gjøre i statistisk forstand. 5 5
6 Statistisk uavhengighet, definisjon Sannsynlighetsteoretisk formulering av at begivenheter ikke har noe med hverandre å gjøre i statistisk forstand. Def.: To begivenheter A og B sies å være statistisk uavhengige dersom A B ) = A ) 6 Statistisk uavhengighet, definisjon A B ) = A ), utrykker at sannsynligheten for at A skal inntreffe ikke påvirkes av informasjonen om at B har inntruffet (skal inntreffe). Dvs.: informasjonen om B endrer ikke sannsynligheten for at A skal inntreffe. (Dvs.: en rimelig måte å definere uavhengighet på.) 7 Statistisk uavhengighet, definisjon I læreboken s. 73 defineres statistisk uavhengighet ved: AB ) = A ) B ) Det er enkelt å vise at dette er ekvivalente definisjoner. (Den første er enklest å motivere for.) Den siste definisjonen er viktig for å finne sannsynligheten for snittet mellom A og B når begivenhetene er uavhengige! Eks.: To kast med terning; Sanns. for ikke sekser på første og sekser på andre. 8 6
7 Statistisk uavhengighet, definisjon AB ) = A ) B ) Eks.: To kast med terning; Sanns. for ikke sekser på første og sekser på andre. Løsning: A= ikke sekser på første B= sekser på andre. Vi vil finne: AB ) = A ) B ), siden A og B opplagt er uavh. = (5/6) (/6) = 5/36. 9 Statistisk uavhengighet, flere begivenheter Setning Dersom de k begivenhetene A, A,...,A k er uavhengige, så er: A A... A k ) = A ) A )... A k ) (Sannsynligheten for snittet av A, A,...,A k er lik produktet av sannsynligheten for hver enkelt.) 0 Statistisk uavhengighet, flere begivenheter Setning Dersom de k begivenhetene A, A,...,A k er uavhengige, så er: A A... A k ) = A ) A )... A k ) Eks.: Vi skal gjøre ti kast med et pengestykke. Hva er sannsynligheten for å mynt på alle ti kastene? 7
8 Statistisk uavhengighet Eks.: For to begivenheter C og D får vi oppgitt at C ) = 0.4, D ) = 0.6 og CD ) = Er begivenhetene C og D (statistisk) uavhengige? Statistisk uavhengighet Eks.: For to begivenheter C og D får vi oppgitt at C ) = 0.4, D ) = 0.6 og CD ) = Er begivenhetene C og D (statistisk) uavhengige? Løsning, : C og D er uavhengige dersom C D ) = C ); C D ) = CD ) / D ) = 0.35/0.6 = 0.583, som ikke er lik C ). Derfor er C og D avhengige. 3 Statistisk uavhengighet Eks.: For to begivenheter C og D får vi oppgitt at C ) = 0.4, D ) = 0.6 og CD ) = Er begivenhetene C og D (statistisk) uavhengige? Løsning, : C og D er uavhengige dersom CD ) = C ) D ) ; C ) D ) = = 0.4, som ikke er lik CD ). Derfor er C og D avhengige. 4 8
9 Lov om total sannsynlighet (Kp..5) S. 7 i boken; vi tar en forenklet versjon Def.: To begivenheter B og B kalles en oppdeling av utfallsrommet dersom.. B B B B = φ, og = Ω : begivenhetene er disjunkte : begivenhetene tilsammen inneholder alle utfall 5 Lov om total sannsynlighet B og B er en oppdeling av utfallsrommet: B B Da gjelder for en hvilken som helst begivenhet A: A ) = A B ) + A B ) = A B )B ) + A B )B ) 6 Lov om total sannsynlighet I boken er situasjonen at vi har generelt r > begivenheter B, B,..., B r B B Vi avgrenser oss til r =. Når B og B er en oppdeling av utfallsrommet, er det klart at den ene av disse begivenhetene er komplementet til den andre. 7 9
10 Bevis: B B Lov om total sannsynlighet Det er klart at : A = AB AB Derfor : A) = AB AB ) A Det er også klart at AB AB ) = AB ) + AB ) AB og AB er disjunkte, derfor : Resten følger av multiplika sjonsloven for sannsynligheter. 8 Lov om total sannsynlighet Eks.: Ved produksjon av en bestemt enhet er to maskiner i bruk, A og B. Maskin A står for 30% av produksjonen og B for 70%. Ved A blir % defekte, ved B 5%. Hvor stor prosent av enhetene ut fra fabrikken er defekte? 30% 70% A B % defekte 5% defekte ut 9 Lov om total sannsynlighet Vi tenker oss at det velges en tilfeldig blant enhetene som kommer ut fra fabrikken. La D = enheten er defekt. Vi er interessert i D ) Hvor stor prosent av enhetene ut fra fabrikken er defekte? 30% 70% A B % defekte 5% defekte ut 30 0
11 Lov om total sannsynlighet Eks.: Vi har en blandet kortstokk; det øverste kortet tas vekk og legges tilside uten at vi ser på det. Det neste kortet trekkes. Hva er sannsynligheten for at det er en konge? 3 3 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 33
12 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig variabel... Kontinuerlig tilfeldig variabel... Først: enkle diskrete tilfeldige variable 34 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 35 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } Vi vil kvantifisere bestemte egenskaper ved utfallene. (numeriske beskrivelser og behandling av resultatene) 36
13 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } Vi vil kvantifisere bestemte egenskaper ved utfallene. (numeriske beskrivelser og behandling av resultatene) F.eks.: vi ser på antall mynt (i tre kast) Definer: X = antall mynt i tre kast med pengestykke 37 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 Vi sier at X er en tilfeldig variabel 38 Diskrete tilfeldige variable, innledning {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 Matematisk: En tilfeldig variabel er en reell funksjon på utfallsrommet : X(u) tallinjen 39 3
14 Diskrete tilfeldige variable, innledning {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 Sannsynlighetene knyttet til utfallene gir bestemte sannsynligheter for de ulike verdiene X kan anta. Dette er sannsynlighetsfordelingen til X F.eks.: X=) = {KMM, MKM, MMK}) = 3/8 40 Diskrete tilfeldige variable, innledning {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } 0 3 X = antall mynt i tre kast med pengestykke Mulige verdier for X: 0,, eller 3 En diskret sannsynlighetsfordeling gis ofte i tabell. Fordeling til X: x 0 3 X=x) /8 3/8 3/8 /8 (Obs: sannsynlighetene i en fordeling må summere seg til!) 4 Diskrete tilfeldige variable, innledning Eks.: Y = resultatet i et terningkast y 3 4 Y=y) /6 /6 /6 /6 5 /6 6 /6 En tilfeldig variabel er en abstrakt størrelse som kan bli ulike verdier. Resultat/data kan vi oppfatte som utfall av tilfeldige variable. (Mer om dette seinere i kurset.) 4 4
15 Diskrete tilfeldige variable, innledning x 0 3 X=x) /8 3/8 3/8 /8 3 minst to mynt) = X ) = X = ) + X = 3) = + = 8 8 y Y=y) /6 /6 /6 /6 /6 /6 høyest 4) = Y 4) 4 = Y = ) + Y = ) + Y = 3) + Y = 4) = L = = Diskrete tilfeldige variable, innledning To viktige størrelser i forbindelse med tilfeldige variable / sannsynlighetsfordelinger: Forventning Varians 44 Diskrete tilfeldige variable, forventning Def.: For en diskret tilfeldig variabel Y som kan anta verdiene y, y, y 3,..., defineres forventingen til Y ved: E(Y) = y Y= y ) + y Y= y ) + y 3 Y= y 3 ) +... ( sum av ledd på formen: verdi*sannsynlighet ) Eks.: E(X) = 0(/8)+(3/8)+(3/8)+3(/8) =
16 Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: E(X) = 0(/8)+(3/8)+(3/8)+3(/8) =.5 Obs. : forventningsverdien er gjennomsnittsverdien i det lange løp Obs. : forventningsverdien viser sentrum i sannsynlighetsfordelingen. 0,4 0,3 0, 0, Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: E(X) = 0(/8)+(3/8)+(3/8)+3(/8) =.5 Obs. 3: forventingsverdien behøver ikke være et av utfallene til den tilfeldige variable! Obs. 4: forventingsverdien er ikke det samme som modalverdien (mest sannsynlig verdi) eller medianen (median i sannsynlighetsfordelingen). 47 Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: Spill; vinner mill. med sanns. / ; ellers vinnes ingenting. Forventet gevinst? 48 6
17 Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: Spill; vinner mill. med sanns. / ; ellers vinnes ingenting. Forventet gevinst? X = gevinst (0 eller mill.) Fordeling til X: x X=x) 0 -/ / E(X) = (/ ) = 0.4 Dvs.: ved (mange) gjentatte slike spill, vil gjennomsnittsgevinsten være Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning Vi får ofte behov for å finne forventning til uttrykk der tilfeldige variable inngår. Det er derfor viktig å vite hvordan vi skal håndtere dette. 50 Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning E: E(aX+b) = ae(x) + b, (X: tilf.var., a,b:konstanter) E3: E(X +X ) = E(X ) + E(X ), (X og X :tilf.var.) 5 7
18 Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning E: E(aX+b) = ae(x) + b, (X: tilf.var., a,b:konstanter) E3: E(X +X ) = E(X ) + E(X ), (X og X :tilf.var.) E5 (generelt): E(a X a n X n ) = a E(X ) a n E(X n ), (X,..., X n :tilf.var., og a,..., a n : konstanter) 5 Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning Def.: Dersom X en diskret tilfeldig variabel som kan anta verdiene x, x, x 3,..., og g er en funksjon, defineres forventingen til g(x) ved: E[g(X)] = g(x ) X=x ) + g(x ) X=x ) +... Eks.: Forventingen til X : g(x) = X ; E[X ] = x X=x ) + x X=x ) Diskrete tilfeldige variable, regneregler for forventning Eks.: Fordeling til X: x 0 3 X=x) /8 3/8 3/8 /8 E[X ] = x X=x ) + x X=x ) +... E(X ) = 0 (/8)+ (3/8)+ (3/8)+3 (/8) = (3/8)+4(3/8)+9(/8) = 4/8 =
19 Diskrete tilfeldige variable, forventning Eks.: Firma selger el.artikler; innkjøp fra grossist i parti på 50 stk. To tilbud. Grossist A: 3500,- grossist B: 3570,-. Noen defekte; omkostninger: 35,- pr defekt enhet. X=antall defekte fra A, Y=antall defekte fra B; Har at: x Y 0 X=x) Y=y) Hvilken grossist bør velges? 55 9
Betinget sannsynlighet
Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;
Detaljerstatistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall
ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerKapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.
Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012
Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Ny rammeplan for ingeniørfag Sannsynlighetsregning
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller (k. 3.6 Hyergeometrisk modell (k. 3.7 Geometrisk
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
Detaljer3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
TMA4240 Statistikk H2010 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 4.1: Matematisk forventing (univariat del) Mette Langaas Foreleses mandag 6. september 2010 2 3.1 Stokastisk variabel (repetisjon)
DetaljerRegneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA0 Sannsnlighetsregning med statistikk, våren 007 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsnlighetsmodeller Noen viktige sannsnlighetsmodeller Binomisk modell (kp. 3.6) (kp. 3.7) (notater)
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Noen viktige sannsynlighetsmodeller
ÅMA0 Sannsnlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsnlighetsmodeller Noen viktige sannsnlighetsmodeller Binomisk modell (kp. 3.6) Hpergeometrisk modell
DetaljerSannsynlighetsregning og Statistikk
Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Hypergeometrisk modell
ÅMA Sannsnlighetsregning med statistikk, våren 6 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsnlighetsmodeller Noen viktige sannsnlighetsmodeller Binomisk modell (kp. 3.6) Hpergeometrisk modell
DetaljerSannsynlighetsbegrepet
Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis
DetaljerTerningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6
Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...
DetaljerLitt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.
H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel
DetaljerMotivasjon for kurset. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008. Oppsummering. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 2008
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Oppsummering ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 008 Pensum: Pensumbok: Per Chr. Hagen: "Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk",
DetaljerFormelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall
ÅM110 Sannynlighetregning med tatitikk, våren 2010 Kp. 2 Sannynlighetregning (annynlighetteori) 1 Grunnbegrep Stokatik forøk: forøk med uforutigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallene av et
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerMULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016
MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.
DetaljerSTK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner
STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i
DetaljerKapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet
Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse
DetaljerFASIT TIL NOEN OPPGAVER I SANNSYNLIGHET OG KOMBINATORIKK. Oppgave 9 a) 8 utfall: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK b)
FASIT TIL NOEN OPPGAVER I SANNSYNLIGHET OG KOMBINATORIKK Oppgave 9 utfall: MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK b) d) Oppgave 0 40.4 % b) 4. % Oppgave 9 4 b) d) 7 Oppgave 5 0. % b) 9. % 50.5 % Oppgave
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
DetaljerSTK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka
STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel
DetaljerKapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.
Kapittel 5: Tilfeldige variable, forvetig og varias. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. Defiisjo: E tilfeldig variabel er e variabel som får si umeriske verdi bestemt
DetaljerSTK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka
STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge
DetaljerSTK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk
STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang
DetaljerKapittel 4: Matematisk forventning
Kapittel 4: Matematisk forventning TMA4240 Statistikk (F2 og E7) Multivariate tilfeller foreleses mandag 6.september, 2004 Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/16 Forventing til funksjon av flere stokastiske
DetaljerTogforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at
Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være
DetaljerStatistikk 1 kapittel 4
Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerDeterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig
Detaljerµ = E(X) = Ʃ P(X = x) x
Redigerte høydepunkt fra forrige episode 3.2: Punktsannsynlighet og kumulativ sannsynlighet punktsannsynlighet: sanns. for at en stok. var. X har en viss verdi x; P(X = x) kumulativ sannsynlighet: sanns.
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Løsninger Innhold 3. Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 2 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.8: Bayes regel 3.1: Stokastisk variabel 3.2: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 1. september 2010
DetaljerEn kort innføring i sannsynlighetsregning
En kort innføring i sannsynlighetsregning Harald Goldstein Sosialøkonomisk institutt Januar 2000 Innhold 1 Innledning 1 2 Begivenheter og sannsynlighet 4 2.1 Matematiskbeskrivelseavbegivenheter... 4 2.2
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 4: Stokastiske variable, fordelinger Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Betinget sannsynlighet 2. Stokastiske variable 3. Forventning og varians 4. Regneregler
DetaljerStokastisk variabel. Eksempel augefarge
Dagens tekst Kap 3: Stokastiske variable og sannsynsfordelingar Stokastisk variabel: Diskret sannsynsfordeling: Kontinuerleg sannsynsfordeling: Kummulativ sannsynsfordeling: Diskret simultanfordeling Kontinuerleg
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.5-5.6: Negativ binomisk, geometrisk, Poisson Mette Langaas Foreleses mandag 20. september 2010 2 Kabel En kabel består av mange
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA0 Statistikk 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan ha
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
Detaljer3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.1,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen)
TMA4240 Statistikk H200 3.4: Simultanfordelinger (siste rest) 4.,4.2,4.3: Multivariat del (ferdig med kapittel 3 og 4 etter denne forelesningen) Mette Langaas Foreleses mandag 3. september 200 2 f (x,
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Forventning (gjennomsnitt) (X=antall mynt i tre kast)
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(X), populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 5: Noen diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.4 Geometrisk og negativ binomisk fordeling 5.5 Poisson-prosess og -fordeling Mette Langaas Institutt for matematiske fag,
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variable (5.2) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel.
DetaljerTilfeldige variable (5.2)
Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
DetaljerForelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.
Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten
DetaljerKapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger
Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4245 Statistikk (B, K1, I) 3.1, 3.2, 3.3 foreleses torsdag 15.januar 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 160 170 180 190 hoyde i cm Mette.Langaas@math.ntnu.no
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerUtfordring. TMA4240 Statistikk H2010. Mette Langaas. Foreleses uke 40, 2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må
DetaljerTyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4
3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
DetaljerKapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable
Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
Detaljer6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen
DetaljerBetinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11
Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel
DetaljerHypergeometrisk modell
Hpergeometrisk modell Tilnærming til binomisk fordeling - enklere å beregne binomiske sannsnligheter Dersom n er liten i forhold til N, er det tilnærmet uavhengighet mellom resultatene i ulike trekninger/
DetaljerBetinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5
Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerKapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
DetaljerFølgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null,
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir
ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,
DetaljerPrøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004
Prøvemidtveiseksamen TMA4240 Statistikk H2004 Lagt ut 21.09.2004, løsningsforslag tilgjengelig 04.10.2004. Tilatte hjelpemiddel: Bestemt enkel kalkulator, dvs. HP30S. Tabeller og formler i statistikk (Tapir).
DetaljerSTK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk
STK1100 våren 2016 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Geir Storvik Basert på presentasjon av Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske
DetaljerSTK1100 våren Forventningsverdi. Forventning, varians og standardavvik
STK00 våren 0 Forventning, varians og standardavvik Svarer til avsnitt 3.3 i læreboka Geir Storvik (Ørnulf Borgan) Matematisk institutt Universitetet i Oslo Forventningsverdi Punktsannsynligheten px (
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerOppgavesett nr. 5. MAT110 Statistikk 1, Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur 1.
Innleveringsfrist: mandag 19. mars kl. 16:00 (version 01) Oppgavesett nr. 5 MAT110 Statistikk 1, 2018 Oppgave 1: ( logistikk ) Et transportfirma har et varemottak for lastebiler med spesialgods, se figur
DetaljerTema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19
Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel 2.1-2.7 ST1101 (Gunnar Taraldsen) 2019-01-12 17:19 Sentrale definisjoner og regneregler Definisjoner: Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser (snitt,
DetaljerSannsynlighetsregning og kombinatorikk
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerDiskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen
Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen
DetaljerForeleses onsdag 8. september 2010
TMA4240 Statistikk H200 4.2: Varians (univariat del) 4.4: Chebyshevs teorem 3.4: Simultanfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 8. september 200 Mette.Langaas@math.ntnu.no, TMA4240H200 2 4.2 Varians
DetaljerForelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.
Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle
DetaljerBlokk1: Sannsynsteori
Blokk1: Sannsynsteori Statistikk er vitskapen om læring frå data, og måling, kontroll og kommunikasjon av usikkerheit (Davians Louis, Science, 2012). Vi lærer frå data ved å spesifisere ein statistisk
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Løsninger Innhold Modul. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 7 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 3 Modul 4. Beregne sannsynligheter
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har
Detaljer