SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren)

Transkript

1 Høgskolen i Telemark Avdeling for teknologiske fag SLUTTPRØVE (Teller 60% av sluttkarakteren) EMNE: EE4209 Modellbasert regulering LÆRERE Kjell - Erik Wolden og Hans - Petter Halvorsen KLASSE(R): 2IA DATO: PRØVETID, fra-til (kl.): Oppgavesettet består av følgende: Antall si (inkl. vedlegg): 6 Antall oppgaver: 4 Antall vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Kalkulator KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Vennligst bruk kulepenn (som oppgaven ikke er PC-basert). Dette er viktig for at sensor skal kunne levere og vure besvarelsen. Viktig! Hvis du mener at det mangler forutsetninger for å løse en oppgave, skal du selv definere forutsetningene slik at du allikevel kan løse oppgaven. Formler: Noen formler er oppgitt i forbindelse med selve oppgaveteksten, og noen tilleggsformler formler er oppgitt i på et eget formelark, se vedlegg. Se nøye etter om det er formler du trenger for å løse de aktuelle oppgavene. Avdeling for teknologiske fag, Postboks 203, Kjølnes ring 56, 390 Porsgrunn Telefon: Telefaks:

2 2 Oppgave (20 %) Systemidentifikasjon a) Hva legger vi i begrepet systemidentifikasjon?. b) Hva kan systemidentifikasjon brukes til? c) Nevn kort minst to meto for systemidentifikasjon og hva som kjennetegner disse. d) Hvordan kan en avgjøre om en modell er god (riktig)? e) Gitt Y : 0, Y 0 Finn θ vha Minste kvadraters metode. Oppgave 2 (30 %) Blandingsoppgaver a) Hva mener vi med at et system er stokastisk? b) Forklar hva vi mener med farget og hvit støy. c) Gitt følgende sekvens med måleverdier: x ( k) x(0), x(), x(2) 0.73,.23, 0.89 i) Beregn middelverdien, m x. 2 ii) Beregn variansen, x. iii) Beregn standardavviket, x.

3 3 Oppgave 2 (fortsettelse) d) Parametrene a og b i differenslikningen h ( k) a h( k ) h( k ) bu( k ) Skal estimeres ved hjelp av minste kvadraters metode. k er tidsindeksen. Anta at det foreligger følgende samplede verdier av variablene h og u: og {h(0), h(), h(2), h(3), h(4)} {u(0), u(), u(2), u(3), u(4)} i) Skriv modellen på standard regresjonsform: y ii) Skriv opp den totale regresjonsmodellen: Y = Φθ som danner utgangspunktet for bruk av minste kvadraters metode på dette estimeringsproblemet. (Du skal ikke beregne estimatet i denne oppgaven, men kun angi vektoren Y, matrisen Φ og vektoren θ.) Oppgave 3 (20 %) Tilstandsestimering Observer Gitt en 2. ordens tidskontinuerlige modell med følgende systemmatriser: 0 0 A, 0 0 B, C 0, D 0 Tilstandsvariablen x 2 skal estimeres med en observer. x = y er målt. Estimatorens responstid er spesifisert til 0,4 sek. a) Beregn ved håndregning observerforsterkningene K og K 2 b) Et alternativ til Observer er Kalmanfilteret. Nevn de viktigste likhetene og forskjellene mellom disse, samt fordeler og ulemper.

4 4 Oppgave 4 (30 %) Tilstandsestimering Kalmanfilter I denne oppgaven skal vi estimere tilstandene i en elektrisk likestrømsmotor vha et Kalmanfilter. Motoren kan beskrives ved følgende tilstandsrommodell: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] er posisjonen (til akslingen) og er hastigheten til motoren. Vi ønsker å implementere et Kalmanfilter for dette systemet. Vi måler kun posisjonen og med ønsker vi å estimere motorens hastighet. Merk! Den iverte av posisjonen er lik hastigheten. a) Hva er et Kalmanfilter? Gi en overordnet beskrivelse. Tegn og forklar. b) Finn observerbarhetsmatrisen for systemet og sjekk om systemet er observerbart. Observerbarhetsmatrisen er definert som følger: [ ] er antall tilstan. c) Anta er hastigheten til motoren. Finn observerbarhetsmatrisen og sjekk om systemet er observerbart nå? Forklar resultatet.

5 5 Oppgave 4 (fortsettelse) d) Lag en diskret versjon av det kontinuerlige systemet på formen: Bruk Euler forovermetoden når du diskretiserer: er samplingstiden. e) Vi ønsker å bruke den stasjonære Kalmanfilter forsterkningen i vår estimator. Hva menes med den stasjonære Kalmanfilter forsterkningen? Hva slags informasjon er nødvendig for å finne/beregne den stasjonære Kalmanfilter forsterkningen? LYKKE TIL!

6 6 Determinant: Vedlegg Slik finner vi determinanten for et 2x2 system: [ ] Statistikk: Karakteristisk ligning: Butterworth polynom: 0 det si(a KC) T en parameter og ikke en tidskonstant, T r er responstiden og n er modellens orden.