DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE. Forfatter: Atle Gjengedal (signatur forfatter)

Transkript

1 DET TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET MASTEROPPGAVE Studieprogram/spesialisering: Kybernetikk/signalbehandling Vårsemesteret, 2009 Åpen / Konfidensiell Forfatter: Atle Gjengedal (signatur forfatter) Faglig ansvarlig: Tormod Drengstig Veileder(e): Tormod Drengstig Tittel på masteroppgaven: Sammenligning av EKF- og UKF- kalmanfilter anvendt på totankprosess Engelsk tittel: Comparison of EKF- and UKF- Kalman filter on two tank process Studiepoeng: 30 Emneord: Unscented Kalmanfilter, UKF Utvidet Kalmanfilter, EKF Simulering Tilstandsestimering Lekkasjeestimering Sidetall: 74 + vedlegg/annet: 27 Stavanger, dato/år

2 .

3 Sammenligning av EKF- og UKF- kalmanlter anvendt på totankprosess Atle Gjengedal 9. juni 2009

4

5 Forord Denne hovedoppgaven markerer slutten på min mastergradsutdanning innen kybernetikk ved Universitetet i Stavanger. Jeg har tatt mastergraden ved siden av jobben min som ingeniør i Aibel AS, og det har vært svært utfordrende og krevende til tider. I tillegg til det faglige har jeg også lært mye om meg selv. Gjennom arbeidet har jeg fått god erfaring med å jobbe strukturert for å nå mine mål. Takket være min kjære kone, Camilla B. Østebrød som har støttet meg gjennom disse årene har jeg kommet meg gjennom masterutdanningen med gode resultater. Det er ikke få helger som har gått med på lesesalen før eksamener, hvor vi nok heller skulle ønske at vi kunne brukt tiden sammen. Tusen takk for at du har vært så tålmodig, Camilla! Når det kommer til denne oppgaven må jeg si at Tormod Drengstig har vært en god veileder å ha. Vi har hatt faste ukemøter, og jeg har fått gode tips og tilbakemeldinger underveis både til arbeidet og utforming av rapporten. Til slutt vil jeg også takke søsteren min, Silje L. Gjengedal, og hunden Balder for mange ne lufteturer på stranden etter lange dager på skolen. Atle Gjengedal Tjelta, Juni 2009 i

6

7 Sammendrag Denne masteroppgaven er todelt. Del I går ut på å sammenligne ytelsen til et utvidet Kalmanlter (EKF) og et unscented Kalmanlter (UKF) på et prosessanlegg bestående av to tanker, ved Universitetet i Stavanger (UIS). I del II benyttes et utvidet Kalmanlter for å estimere lekkasje fra den ene tanken i anlegget. I begge delene baseres Kalmanltrenes estimat på måling av nivået i den ene tanken og kjennskap til prosessen. I del I har EKF og UKF blitt sammenlignet under forskjellige forhold i anlegget. Det er sett på hvordan ltrene presterer i forhold til hverandre ved forskjellige tuningparametre og evnen til å kompensere for ekstern påvirkning/forstyrrelser i systemet. Som forstyrrelse har tilsats av vann vært benyttet. UKF er i følge teorien overlegent EKF på systemer der man ikke kan anta linearitet rundt arbeidspunkt bestemt av tilstandsestimat. UKF unngår lineariseringen i EKF ved å plukke ut punkter rundt arbeidspunktene og sende disse gjennom den ulineare modellen. På denne måten unngår man feil som følge av lineariseringen. Resultatene fra forsøkene i del I viser at EKF og UKF har tilnærmet lik prestasjon på totankanlegget og at årsaken til dette er at systemet ikke er så ulineart at lineariseringen i EKF skaper problemer. I del II blir modellen og EKF fra del I utvidet for å kunne estimere lekkasje fra den ene tanken i systemet. Denne typen lter kan for eksempel benyttes til å gi alarmer i et prosesskontrollsystem. Ved å teste dette Kalmanlteret ved forskjellige driftsituasjoner har man vist lterets styrker og svakheter. Det har vist seg at modellfeil fører til at lteret ikke kan brukes for å oppdage lekkasje i driftsituasjoner hvor ventil- og pumpepådragene varierer ofte og brått. I situasjoner hvor pådrag variere lite og/eller sjelden gir lteret tydelig indikasjon på lekkasje og kan anvendes for å gi alarm om lekkasje.

8 iv

9 Innhold Forord Sammendrag i iii Innledning. Bakgrunn for oppgaven Kalmanlter Kort historie Teori I UKF og EKF for nivåestimering 5 2 Modellering og modellverisering 7 2. Dierensialligninger Dierensialligning for nivå i tank Dierensialligning for nivå i tank Implementering av totankmodell i Simulink Modellverisering Implementering av Utvidet Kalman-lter (EKF) 5 3. Teori og historie Ligningene for EKF Linearisering Implementering av EKF i Simulink v

10 vi INNHOLD 4 Implementering av Unscented Kalmanlter (UKF) 2 4. Teori og historie Ligningene for UKF Implementering av UKF i Simulink Testing og tuning Normal drift P-matrise Kalmanlterforsterkning Prosessforstyrrelse tank P-matrise Kalmanlterforsterkning Prosessforstyrrelse tank P-matrise og Kalmanlterforsterkning Mer om valg av tuning-parametre Sigmapunkter II Kalmanlter for estimering av lekkasje i ventil og/eller tank 43 6 Modellering Utvide modell fra del I Dierensialligninger Dierensialligning for nivå i tank Dierensialligning for nivå i tank Dierensialligning for lekkasje Observerbarhet Kontroll av observerbarhet Implementering, testing og tuning 5 7. Implementering Sammenligning av ltre uten lekkasje Motvikring av estimeringsfeil p.g.a. dødtid Testing ved lekkasje fra tank

11 INNHOLD vii 8 Konklusjon Del I Del II Bibliogra 6 A UKF og EKF for nivåestimering 63 A. Modellverisering A.2 Matlab-kode for å nne transisjonsmatrisen A.3 Implementering av EKF A.4 Implementering av UKF A.5 Oine kjøring A.6 Modelldata B EKF for estimering av lekkasje i ventil 83 B. Transisjonsmatrise B.2 Observerbarhetsmatrise B.3 Implementering av EKF

12 viii INNHOLD

13 Kapittel Innledning. Bakgrunn for oppgaven Faggruppa i kybernetikk ved Institutt for data og elektroteknikk på Universitetet i Stavanger har utviklet et lite prosessanlegg til bruk i undervisningen, se gur. og.2. Dette anlegget brukes for å la studentene teste ut teorien de lærer i praksis. Anlegget benyttes særlig av prosessrettede kybernetikkfag innen reguleringsteknikk og systemidentikasjon. Flere kandidatoppgaver og hovedoppgaver har tidligere blitt utført på dette anlegget, blant annet [2, 7]. Figur.: Bilde av prosessanlegg

14 2 KAPITTEL. INNLEDNING Våren 2007 ble det skrevet en hovedoppgave [7] om bruk av utvidet Kalman- lter (EKF) for å estimere nivå i den øverste tanken i anlegget, tank. I denne oppgaven ble signalet fra nivå-transmitter LT 002 i tank 2 benyttet som måling, og som pådrag ble signal ut til nivåkontrollventilene LV 00 og LV 002 i tillegg til pådragssignal til pumpen P A00 brukt, se prinsippskisse i gur.2. Figur.2: Prosesskisse av totankoppsett I den siste tiden har det blitt mer og mer oppmerksomhet rundt en relativt ny variant av Kalmanlteret, nemlig Unscented Kalmanlter (UKF) [5, 8, 0, 2]. Dette lteret har vist seg å ha bedre egenskaper på en del ulineære systemer enn det utvidede Kalmanlteret [0]. I del I av denne oppgaven er det implementert både et utvidet Kalmanlter og et Unscented Kalmanlter som blir sammenlignet m.h.t. ytelse. I del II av oppgaven benyttes et Kalmanlter for å estimere lekkasje i tank. Denne lekkasjen skjer gjennom å åpne ventilen F V 00 som fører vannet rett ned i returkaret..2 Kalmanlter.2. Kort historie Kalmanlteret er oppkalt etter Rudolf E. Kalman som har fått æren for utvikling av denne algoritmen, selv om ere andre har jobbet med lignende algoritmer

15 .2. KALMANFILTER 3 tidligere. De første artiklene skrevet av R. E. Kalman om denne algoritmen kom ut i 960 [3]. Under ett besøk ved NASA Ames Research Center så han muligheten til å benytte den nye algoritmen ved baneestimering for Apolloprogrammet. Dette ledet til at Kalmanlter ble implementert i NASA sitt navigasjonssystem. I dag er Kalmanlter i utstrakt bruk innenfor blant annet reguleringssystemer, maskinsyn og radarsystemer. [0] Senere har ere varianter og forbedringer av det opprinnelige lteret blitt utviklet. To av de meste kjente er utvidet Kalmanlter (EKF) [] og Unscented Kalmanlter (UKF)[5] som er benyttet i denne oppgaven. Mer om historien og teorien bak disse variantene er nevnt i kap. 3. og Teori Kalmanlter er en rekursiv algoritme for å estimere tilstander og/eller parametre i dynamiske systemer med støy. Tanken er at man ved å ha god kjennskap om egenskapene til systemet man jobber med skal kunne ha en optimal estimator for de tilstandene/parametrene man ikke kan måle direkte. Filteret består av to deler; en foroverprediktor og en korreksjonsdel. Foroverprediktoren predikterer neste tilstand, x (k) ut fra forrige tilstandsestimat, ˆx (k ) og oppdaterte parametre. I korreksjonsdelen, se ligning (.), blir estimatet korrigert ved at man sammenligner estimatet fra foroverprediktoren med ny måling[0]. ˆx (k) = x (k) + K (k) e (k) (.) Ligning (.) viser korreksjonen fra estimatet fra foroverprediktoren som gjentas for hvert tidssteg. x (k) blir korrigert til ˆx (k) ved at man legger til K (k) e (k) der K (k) er en forsterkningsfaktor og e (k) er dieransen mellom målingen, y (k), og forventet måling, ȳ (k), ved tidssteg k. Faktoren K kalles ofte for Kalmanlterforsterkning og avgjør hvor raskt lteret skal korrigere for avvik mellom estimat og måling. Størrelsen på K varierer mens lteret kjører, men bestemmes i stor grad av Kalmanlterets tuning-parametre. Med tuning-parametre menes parametrene Q og R, der Q beskriver varians i prosesstøy og R beskriver varians i målestøy. Disse antas ofte konstante, men det er ingenting i veien for å la disse variere med tiden. For at Kalmanlteret skal kunne fungere er det også et krav at systemet er observerbart. Observerbarhet blir beskrevet mer inngående i kap. 6.3.

16 4 KAPITTEL. INNLEDNING

17 Del I UKF og EKF for nivåestimering 5

18 6

19 Kapittel 2 Modellering og modellverisering I dette kapittelet er den matematiske modellen for totankprosessen beskrevet og forklart. Først er dierensialligningene for systemet satt opp, så er implementeringen av modellen i Simulink vist. Figur 2.: Prosesskisse av totankoppsett del I Tabell 2. forklarer symbolene som benyttes videre i dette kapittelet 7

20 8 KAPITTEL 2. MODELLERING OG MODELLVERIFISERING Tabell 2.: Forklaring til symboler i dierensialligningene Variabel Enhet Beskrivelse h (t) m Vannivå i tank målt fra bunnen i tanken h 2 (t) m Vannivå i tank 2 målt fra bunnen i tanken h LV 00 m Høyde fra ventil LV 00 opp til bunn i tank h LV 002 m Høyde fra ventil LV 002 opp til bunn i tank 2 Strømning av vann gjennom pumpe P A00 m q LV 00 (t) 3 s Strømning av vann gjennom ventil LV 00 q P A00 (t) m 3 s m q LV 002 (t) 3 s Strømning av vann gjennom ventil LV 002 A m 2 Areal av vannspeilet i tank A 2 (t) m 2 Areal av vannspeilet i tank 2 Kv LV 00 m 3 h bar Kv LV 002 m 3 h bar Ventilkonstant for ventil LV 00 Ventilkonstant for ventil LV 002 u P A00 (t) - Pådrag på pumpe P A00 u LV 00 (t) - Pådrag på ventil LV 00 u LV 002 (t) - Pådrag på ventil LV 002 f (u LV 00 (t)) Tabelloppslag av ventilkarakteristikk f 2 (u LV 002 (t)) Tabelloppslag av ventilkarakteristikk m f 3 (u P A00 (t)) 3 s Tabelloppslag av pumpekarakteristikk kg ρ Tettheten til vann 3 m g s Tyngdeakselerasjon 2 c Samling av konstanter i dierensialligning (2.2) c 2 Samling av konstanter i dierensialligning (2.5) 2. Dierensialligninger Dierensialligningene (2.3) og (2.7) beskriver systemet representert med de to tilstandene h (t) og h 2 (t) som er vannivå i de to tankene som funksjon av tiden. Disse er hentet fra [2]. Funksjonene f ( ), f 2 ( ) og f 3 ( ) er henholdsvis ventilkarakteristikk for LV 00, ventilkarakteristikk for LV 002 og pumpekarakteristikk for P A00. I [2] er det lagt mye arbeid i å lage og verisere disse funksjonene, derfor er disse hentet direkte fra den masteroppgaven. 2.. Dierensialligning for nivå i tank dh (t) dt = A (q P A00 (t) q LV 00 (t)) = (f 3 (u P A00 (t)) A Kv ) LV 00 f (u LV 00 (t)) ρ g (h (t) + h LV 00 ) (2.)

21 2.2. IMPLEMENTERING AV TOTANKMODELL I SIMULINK 9 Ved å bruke c = Kv LV 00 ρ g blir dierensialligningen for høyden i tank : (2.2) dh (t) dt = A (f 3 (u P A00 (t)) c f (u LV 00 (t)) h (t) + h LV 00 ) (2.3) 2..2 Dierensialligning for nivå i tank 2 dh 2 (t) dt = = A 2 (t) (q LV 00 (t) q LV 002 (t)) ( Kv LV 00 f (u LV 00 (t)) ρ g (h (t) + h LV 00 ) A 2 (t) Kv ) LV 002 f 2 (u LV 002 (t)) ρ g (h2 (t) + h LV 002 ) (2.4) Ved å bruke og c 2 = Kv LV 002 ρ g (2.5) blir dierensialligningen for høyden i tank 2: A 2 (t) = h 2 (t) (2.6) dh 2 (t) dt = ( c f (u LV 00 (t)) h (t) + h LV 00 A 2 (t) ) c 2 f 2 (u LV 002 (t)) h 2 (t) + h LV 002 (2.7) 2.2 Implementering av totankmodell i Simulink Ved å implementere dierensialligningene fra kap. 2. i Simulink fås følgende systemblokker for tank og tank 2:

22 0 KAPITTEL 2. MODELLERING OG MODELLVERIFISERING u_pa00 Pumpekarakteristikk /A Areal tank s h_ h_lv00 0 Constant 2 q_lv00 Switch 2 u_lv00 Kv_LV00 /3600 sqrt rho*g/00000 Ventilkarakteristikk (a) Tank, ligning (2.3) q_lv00 s h_2 h_ h_lv Constant Switch 2 u_lv002 Kv_LV002 /3600 sqrt rho*g/00000 Ventilkarakteristikk (b) Tank 2, ligning (2.7) Figur 2.2: Implementering i Simulink Som det går frem av gur 2.2 har systemblokkene for begge tankene blitt utstyrt med en Switch. Denne switch-blokken måler inngangen i midten, og ut fra denne inngangens verdi og instillinger som er lagt inn i switch-blokken, se gur 2.3, velges det hvilken inngang som skal slippe gjennom bryteren. Figur 2.3: Switch-blokk

23 2.2. IMPLEMENTERING AV TOTANKMODELL I SIMULINK Som det går frem av innstillingene i switch-blokken vil første inngang slippes gjennom når målingen fra inngangen i midten er større enn eller lik terskelen h2_min. Ved å legge inn dette i modellen hindrer man at modellen tillater at vann renner ut fra tanken når nivået er lavere enn h2_min. Figur 2.3 viser innstillingene i switch-blokken for tank 2. Switch-blokken for tank er satt opp på samme måte. De to systemblokkene over blir koblet sammen til totalsystemet som vist i gur 2.4. Det er strømingen fra tank til tank 2 gjennom LV 00 som kobler de to tankene/delsystemene sammen. u_pa00 u_pa00 h_ h_ [m] h_ 2 u_lv00 u_lv00 q_lv00 q_lv00 q_lv00 Tank h_2 h_2 [m] 2 h_2 3 u_lv002 u_lv002 Tank 2 Figur 2.4: Totankmodell i Simulink

24 2 KAPITTEL 2. MODELLERING OG MODELLVERIFISERING 2.3 Modellverisering For å verisere modellen i kap. 2.2 har totankanlegget blitt kjørt ere ganger mens pådrag og nivåmålinger har blitt logget. Deretter kjøres modellen mot de loggede pådragene, og modellutgangene sammenlignes med de loggede nivåmålingene. Figur 2.5 viser Simulink-implementering som benyttes til modellverisering: Nivåmåling u_pa00 _data u_pa00 hoyde h logget Logget pådrag h_ h_ h_ [m]. Gul: prosess Rød : Modell Logget pådrag u_lv00 _data u_lv00 Nivåmåling hoyde 2 h_2_logget Logget pådrag h_2 h_2 h_2 [m]. Gul: prosess Rød : Modell u_lv002 _data u_lv002 Modell Scope Figur 2.5: Modellverisering Simulink Etter mange kjøringer har det vist seg at dagsformen på totankanlegget har en del å si for resultatet. Noen ganger stemmer modellen veldig bra med prosessen, mens andre ganger er det større avvik. Selv om dagsformen varierer, har en ganske god modell for vannivåene blitt funnet. Figur 2.6 viser modellen verisert mot prosessen.

25 2.3. MODELLVERIFISERING 3 u PA Nivå i tank u LV Tank 2 BLÅ: målt, GRØNN: modell u LV Måling Modell Figur 2.6: Modellverisering Som det går frem av gur 2.6, stemmer modellen godt med virkeligheten i dette forsøket. Se også gur A. i vedlegg A. som viser at den samme modellen også gir gode resultater ved et annet forsøk.

26 4 KAPITTEL 2. MODELLERING OG MODELLVERIFISERING

27 Kapittel 3 Implementering av Utvidet Kalman-lter (EKF) 3. Teori og historie Utvidet Kalmanlter ble utviklet av Stanley Schmidth i 967 [0] for å kunne bruke Kalmanlter på ulineære navigasjonssystem for romfartøy. Motivasjonen for å utvikle dette lteret var at det vanlige Kalmanlteret bare virket godt på lineære prosesser eller prosesser som var tilnærmet lineære rundt et fast arbeidspunkt. Måten det utvidede Kalmanlteret løser dette på er ved å linearisere modellen rundt et arbeidspunkt for hvert tidssteg. Dette var en stor forbedring i forhold til det opprinnelige Kalmanlteret, men et symbolsk uttrykk for den lineære transisjonsmatrisen, Φ, må nnes. Dette kan være svært krevende for en komplisert prosess. 3.. Ligningene for EKF Det utvidede Kalmanlteret er basert på et sett ligninger som gjentas for hvert tidssteg. Se algoritme 3.. For hvert tidssteg benyttes informasjon fra forrige tidssteg, som gjør at algoritmen klassiseres som rekursiv. Algoritmen tar utgangspunkt i den den ulineære modellen: x (k + ) = x (k) + f ( x (k), u (k) ) (3.) y (k) = g ( x (k) ) (3.2) der x (k + ) er systemets diskrete dierensligninger og y (k) er den diskrete måleligningen. 5

28 6KAPITTEL 3. IMPLEMENTERING AV UTVIDET KALMAN-FILTER (EKF) Algoritme 3. Ligningene for EKF f ( ) Φ (k) = x ( ) x (k) = f ˆx (k ), u (k ) ˆx(k ),u(k ) (3.3) (3.4) P (k) = Φ (k) ˆP (k ) Φ T (k) + Q (k) (3.5) D (k) = g ( ) x x(k) ( (3.6) K (k) = P (k) D T (k) D (k) P (k) D T (k) + R) (3.7) ( ) ȳ (k) = g x (k) (3.8) ( ) ˆx (k) = x (k) + K (k) y (k) ȳ (k) (3.9) ˆP (k) ( ) = I K (k) D (k) P (k) (3.0) Forklaring til ligningene i EKF- algoritmen: Ligning (3.3) lineariserer modellen i arbeidspunkt gitt av aposteriori tilstandsestimat og pådrag i forrige tidssteg. Dette blir utfyllende beskrevet i kap Ligning (3.4) beregner apriori tilstandsestimat. Ligning (3.5) beregner apriori kovariansmatrise. Ligning (3.6) beregner målematrisen. For totankprosessen blir denne konstant lik [0 ] siden nivå i tank 2 måles direkte. Ligning (3.7) beregner Kalmanlterforsterkningen. Ligning (3.8) beregner prediktert måling. Ligning (3.9) beregner aposteriori tilstandsestimat, som blir utgangen fra Kalmanlteret. Dette tilstandsestimatet skal også brukes i ligning (3.3) og (3.4) ved neste tidssteg. Ligning (3.0) oppdaterer kovariansmatrisen som skal brukes i ligning (3.5) ved neste tidssteg Linearisering Ligning (3.3) beregner som sagt den lineariserte transisjonsmatrisen for systemet. For å få til dette i implementeringen av EKF må man ha et symbolsk uttrykk for den diskrete transisjonsmatrisen på formen. Φ (k) = g ( ) x g ( ) x 2 g 2( ) x g 2( ) x 2 (3.)

29 3.. TEORI OG HISTORIE 7 der g ( ) og g 2 ( ) er systemets diskrete dierensligninger. For å nne et symbolsk uttrykk for transisjonsmatrisen, må dierensialligningene fra kap. 2. først diskretiseres. Dierensialligningene (2.3) og (2.7) diskretiseres ved hjelp av Eulers forovermetode x (k + ) = x (k) + T ẋ (k) (3.2) der T er sample-tiden. Denerer: x (k) = h (k) (3.3) og får: x (k + ) = x (k) + T x (k) = x (k) + T A (f 3 (u P A00 (k)) c f (u LV 00 (k)) x (k) + h LV 00 ) = g ( ) (3.4) Denerer og får: x 2 (k) = h 2 (k) (3.5) x 2 (k + ) = x 2 (k) + T x 2 (k) = x 2 (k) + T ( c f (u LV 00 (k)) x (k) + h LV 00 A 2 (k) ) c 2 f 2 (u LV 002 (k)) x 2 (k) + h LV 002 = g 2 ( ) (3.6) Ved å benytte symbolsk derivasjon i Maple (og Matlab), se len transisjonsmatrise.m i vedlegg A.2 nnes Φ (k) til: Φ (k) = φ (k) φ 2 (k) φ 2 (k) (3.7) φ 22 (k)

30 8KAPITTEL 3. IMPLEMENTERING AV UTVIDET KALMAN-FILTER (EKF) Der φ (k), φ 2 (k), φ 2 (k) og φ 22 (k) er gitt som: φ (k) = T c f (k) 2 A x (k) + h LV 00 (3.8) φ 2 (k) = 0 (3.9) φ 2 (k) = T c f (k) 2 A 2 (k) x (k) + h LV 00 (3.20) φ 22 (k) = 0.07 T A 2 2 (k) Ved å velge (c f (k) x (k) + h LV 00 c 2 f 2 (k) x 2 (k) + h LV 002 ) T c 2 f 2 (k) (3.2) 2 A 2 (k) x 2 (k) + h LV 002 q LV 00 (k) = c f (k) x (k) + h LV 00 (3.22) q LV 002 (k) = c 2 f 2 (k) x 2 (k) + h LV 002 (3.23) der q LV 00 (k) og q LV 002 (k) er strømningen gjennom henholdsvis LV 00 og LV 002, og la disse bli beregnet før Φ (k) for hvert tidssteg blir elementene i transisjonsmatrisen ytterligere forenklet til: φ (k) = T q LV 00 (k) 2 A (x (k) + h LV 00 ) (3.24) φ 2 (k) = 0 (3.25) T q LV 00 (k) φ 2 (k) = (3.26) 2 A 2 (k) (x (k) + h LV 00 ) φ 22 (k) = 0.07 T ( ) A2 2 (k) q LV 002 (k) q LV 00 (k) q LV 002 (k) 2 A 2 (k) (x 2 (k) + h LV 002 ) Siden tranisjonsmatrisen skal beregnes ved hvert tidssteg er det viktig at beregningene i algoritmen ikke er mer ressurskrevende enn det som er nødvendig. Forenklingen ved å regne ut q LV 00 (k) og q LV 002 (k) før transisjonsmatrisen beregnes, gjør at Simulink også klarer å kjøre EKF lteret i sanntid mot prosessen. Innføringen av q LV 00 (k) og q LV 002 (k) gjør også uttrykket lettere å lese og forstå. (3.27) 3.2 Implementering av EKF i Simulink Det utvidede Kalmanlteret er implementert som en funksjonsblokk av typen Embedded MATLAB Function i Simulink. Funksjonsblokken inneholder Matlabkode for EKF-ligningene (3.3) til (3.0). Se vedlegg A.3 for utskrift av kode i funksjonsblokken.

31 3.2. IMPLEMENTERING AV EKF I SIMULINK 9 Figur 3. viser funksjonsblokken med innganger og utganger som beskrevet i tabell 3.. y 2 y2 hest <hest> <u_pa00 > f <u_lv00 > Pumpekarakteristikk f2 h2est <h2est> Ventilkarakteristikk LV00 <u_lv002 > f3 fcnekf Ventilkarakteristikk LV002 C TotankData KogP <KogP > Konstanter 6 Q_inn 7 R_inn KF_tilstand _inn KF_tilstand _ut z Unit Delay Embedded MATLAB Function, Utvidet Kalman filter KF_tilstand Figur 3.: EKF Simulink Tabell 3.: Innganger og utganger EKF Inn-/utgang Forklaring y Måling av nivå i tank. Benyttes kun ved initialisering y2 Måling av nivå i tank 2 f Tabelloppslag for pumpekarakteristikk for pumpe P A00 f2 Tabelloppslag for ventilkarakteristikk for ventil LV 00 f3 Tabelloppslag for ventilkarakteristikk for ventil LV 002 TotankData Henter inn konstanter fra en l som inneholder alle konstante parametre i totank-systemet Q_inn Tuning-matrise Q som brukes i ligning (3.5) R_inn Tuning-matrise R som brukes i ligning (3.7) KF_tilstand_inn Verdier (apriori) fra forrige tilstand som brukes i ligning (3.3), (3.4) og (3.5) hest Estimat av høyde i tank h2est Estimat av høyde i tank 2 KogP Kalmanlterforsterkningsmatrise og P-matrise KF_tilstand_ut Verdier (aposteriori) som skal brukes ved neste tilstand i ligning (3.3), (3.4) og (3.5)

32 20KAPITTEL 3. IMPLEMENTERING AV UTVIDET KALMAN-FILTER (EKF)

33 Kapittel 4 Implementering av Unscented Kalmanlter (UKF) 4. Teori og historie I 997 ble den første artikkelen om Unscented Kalmanlter (UKF) utgitt av Simon J. Julier og Jerey K. Uhlmann [5]. Her peker de på to viktige begrensninger ved bruk av EKF:. Lineariseringen kan gi svært ustabile lter i systemer der den antatte betingelsen om linearitet rundt arbeidspunktet ikke er oppfylt. 2. Derivasjonene som må gjøres for å nne et uttrykk for den lineære transisjonsmatrisen (kap. 3..2) kan være veldig vanskelige/ ressurskrevende å nne. Uttrykkene man kommer fram til kan bli veldig store og komplekse, og siden disse må beregnes for hvert tidssteg kan anvendelsen av lteret blir svært ressurskrevende. Det at UKF- algoritmen løser disse to problemene er den store fordelen til UKF fremfor EKF. Ved å benytte EKF, lineariseres modellen i et arbeidspunkt bestemt av tilstandsestimat og pådrag i forrige tidssteg. Hvis man antar at estimatet er slik at like mange estimat er for høye som for lave kan man allikevel få uriktige estimater. Ved stor ulinearitet kan et avvik på den ene siden av sann tilstand gi et mye større utslag enn et avvik på den andre siden. Dette kan medføre estimater som ikke er forventningsrette ved bruk at EKF på svært ulineære prosesser. Dette problemet løses i UKF ved å plukke ut noen punkter rundt estimert tilstand, såkalte sigmapunkter, og propagere dem gjennom den ulineære funksjonen. De propagerte sigmapunktene vektes og benyttes til å nne et apriori tilstandsestimat som tar hensyn til ulineariteten. Siden disse sigmapunktene propageres 2

34 22KAPITTEL 4. IMPLEMENTERING AV UNSCENTED KALMANFILTER (UKF) gjennom den ulineære modellen unngår man lineariseringen som må gjøres i EKF. Figur 4.: Sammenligning av EKF og UKF fra [6] Figur 4. illustrerer problemet med EKF ved store ulineariteter og hvordan dette kan forbedres ved å bruke UKF. Figuren øverst til venstre,, viser sann middelverdi og kovarians i et tidssteg. 2 viser hvordan middelverdien og formen på kovariansen endrer seg når punktene rundt middelverdien blir propagert gjennom ulineariteten. For EKF lineariseres modellen i arbeidspunkt gitt av tilstandsestimat, 3, og pådrag i forrige tidssteg (ligning (3.3)): f ( ) Φ (k) = x ˆx(k ),u(k ) 4 viser hva som skjer når apriori tilstandsestimat beregnes (ligning (3.4)): ( ) x (k) = f ˆx (k ), u (k ) Siden bare ett punkt, altså det overnevnet arbeidspunktet behandles, blir ikke informasjon om den propagerte kovariansen fanget opp. Det er da sannsynlig at estimatet vil være feil. 5 viser hvordan hvordan UKF benytter sigmapunkter, χ(k ), plukket ut rundt apostriori tilstandsestimatet (ligning (4.0)): χ i (k ) = ˆx (k ) ± Γ ˆP (k )

35 4.. TEORI OG HISTORIE 23 Det er størrelsen på Γ som bestemme hvor mye sigmapunktene spres rundt ˆx (k ). Ved så å propagere sigmapunktene gjennom ulineariteten ender man opp i 6 (ligning (4.)): χ i (k) = f (χ i (k ), u (k )) Nytt apriori tilstandsestimat blir da gitt som en vektet sum av de propagerte sigmapunktene (ligning (4.2)): x (k) = 2n i= W x i χ i (k) Ligningene for UKF er beskrevet mer utfyllende i kap Jo større ulinearitet man har rundt målepunktet desto større utbytte vil man kunne ha av å bruke UKF. Det nnes ere forskjellige implementeringer av UKF. Forskjellen ligger ofte i hvordan sigmapunktene plukkes ut og hvordan de vektes, men prinsippet er det samme. I denne oppgaven er det valgt å bruke en algoritme foreslått av Dan Simon i 2006 [8, 0] som er beregnet på systemer med additiv støy. At støyen er additativ innebærer at prosesstøy og målestøy blir lagt til prosess og måling direkte og er uavhengig av parametre som pådrag og vannivå i tankene. 4.. Ligningene for UKF Før ligningene for UKF presenteres må noen vekter velges. I ligningene for disse vektene inngår følgende konstanter: n, som er antall tilstander, som for totankprosessen er 2 (nivå i tank og nivå i tank 2). α, som bestemmer spredningen av sigmapunktene rundt apostriori tilstandsestimat fra forrige tidssteg ˆx (k ) som er det beste tilgjengelige estimatet når sigmapunktene skal beregnes. Se algoritme 4.. α velges i intervallet 0 α [2]. β, som brukes for å inkorporer kjennskap til støyens fordeling. β velges i intervallet 0 β [2]. For Gaussisk støy er β = 2 optimalt [6, 0]. Støyen i totankanlegget antas Gaussisk. κ, som er en skaleringsfaktor velges i intervallet 0 κ for å garantere positiv semidenitt kovariansmatrise, ˆP (k) [2]. Dette er en forutsetning for at matrisekvadratroten i ligning (4.0) skal kunne regnes ut. Størrelsen på κ kan som α benyttes til å påvirke spredningen av sigmapunktene. Vanligvis settes κ til κ = 0. [2] Fra punktene over velges n = 2, α =, β = 2 og κ = 0. Disse valgene av α, β og κ er også foreslått i [0, 2]. ˆP (k) er positiv semidenitt hvis og bare hvis alle egenverdiene til ˆP (k) er ikkenegative.

36 24KAPITTEL 4. IMPLEMENTERING AV UNSCENTED KALMANFILTER (UKF) λ samler noen av konstantene over og er gitt ved: λ = α 2 (n + κ) n (4.) I en generell UKF algoritme deneres følgende vekter: W x 0 = W c 0 = W x i = W c i = λ n + λ (4.2) λ + ( + α + β) n + λ (4.3) 2 (n + λ) (4.4) Γ = n + λ (4.5) der λ er gitt ved: λ = α 2 (n + κ) n (4.6) hvor W0 x og W0 c er vekter som brukes i algoritmer der forrige tilstandsestimat, ˆx (k ), tas med som ett sigmapunkt. Wi x og Wi c er vektene som brukes for sigmapunktene som nnes rundt ˆx (k ). I algoritme 4., som benyttes i denne oppgaven er ikke ˆx (k ) ett sigmapunkt, så vektene W0 x og W0 c blir ikke brukt videre. Γ er en skaleringsfaktor for sigmapunktene. Ved å sette inn tallene fås følgende vekter og skaleringsfaktor: λ = α 2 (n + κ) n = 2 (2 + 0) 2 = 0 (4.7) Wi x = Wi c = 2 (n + λ) = 2 (2 + 0) = 4 (4.8) Γ = n + λ = = 2 (4.9) Algoritme 4. viser ligningene som denerer UKF- lteret som er brukt i denne oppgaven.

37 4.. TEORI OG HISTORIE 25 Algoritme 4. Ligningene for UKF χ i (k ) = ˆx (k ) ± Γ ˆP (k ) (4.0) χ i (k) = f (χ i (k ), u (k )) (4.) x (k) = P (k) = 2n i= 2n Wi c i= W x i χ i (k) (4.2) ( )( T χ i (k) x (k) χ i (k) x (k)) + Q (4.3) γ i (k) = h (χ i (k)) (4.4) ŷ (k) = P yy (k) = P xy (k) = 2n i= 2n Wi c i= 2n Wi c i= W x i γ i (k) (4.5) ( )( T γ i (k) ŷ (k) γ i (k) ŷ (k)) + R (4.6) ( )( T χ i (k) x (k) γ i (k) ŷ (k)) (4.7) K (k) = P xy (k) Pyy (k) (4.8) ( ) ˆx (k) = x (k) + K (k) y (k) ŷ (k) (4.9) ˆP (k) = P (k) K (k) P yy (k) K T (k) (4.20) Forklaring til ligningene i UKF- algoritmen: Ligning (4.0) beregner sigmapunktene. Notasjonen ˆx (k )±Γ ˆP (k ) 2 betyr her at ˆx (k ) adderes/subtraheres til hver kolonne i Γ ˆP (k ). Dette gir 2n sigmapunkt, der n er antall tilstander i prosessen. For totankprosessen blir da χ (k ) en 2 4 matrise med ett sigmapunkt i hver kolonne: χ (k ) = χ x χ x2 χ x3 χ x4 (4.2) χ x2 χ x22 χ x23 χ x24 Ligning (4.) propagerer sigmapunktene gjennom de ulineære prosessligningene som tilsvarer å beregne apriori tilstandsestimat som for EKF (ligning (3.4)) for hvert sigmapunkt. Ligning (4.2) beregner apriori tilstandsestimat ved å vekte χ i (k) med Wi x og deretter summere. Siden man har 2n = 4 sigmapunkter, og ligning (4.4) gir Wi x = 4 tilsvarer dette gjennomsnitt av sigmapunktene: x (k) = 4 χ + 4 χ χ χ 4 (4.22) 2 Matrisekvadratroten, R, av en matrise, A, er denert ved at A = R R T

38 26KAPITTEL 4. IMPLEMENTERING AV UNSCENTED KALMANFILTER (UKF) Ligning (4.3) beregner apriori kovariansmatrise. Ligning (4.4) propagerer sigmapunktene gjennom måleligningen som kan være ulineære. På totankprosessen måles nivået i tank 2 direkte. γ i (k) blir da en vektor med sigmapunktverdiene for x 2. Ligning (4.5) beregner prediktert måling ved å vekte γ i (k) med Wi x deretter summere. og Ligning (4.6) og (4.7) beregner målekovariansmatrisa, som her blir en skalar, og kryss-kovariansen mellom tilstand og måling, som blir en 2 kolonnevektor. Ligning (4.8) beregner Kalmanlterforsterkningen. Ligning (4.9) beregner aposteriori tilstandsestimat, som blir utgangen fra Kalmanlteret. Dette tilstandsestimatet skal også brukes i ligning (4.0) ved neste tidssteg. Ligning (4.20) oppdaterer kovariansmatrisen som skal brukes i ligning (4.0) ved neste tidssteg. 4.2 Implementering av UKF i Simulink Unscented Kalmanlteret implementeres som en funksjonsblokk av typen Embedded MATLAB Function i Simulink. Funksjonsblokken inneholder Matlabkode som implementer UKF-ligningene fra ligning (4.0) til ligning (4.20). Se vedlegg A.4 for utskrift av kode i funksjonsblokk. Figur 4.2 viser funksjonsblokken med innganger og utganger som beskrevet i tabell 4..

39 4.2. IMPLEMENTERING AV UKF I SIMULINK 27 y SigmaStat <SigmaStat > 2 y2 <u_pa00 > f hest <hest> Pumpekarakteristikk <u_lv00 > f2 Ventilkarakteristikk LV00 <u_lv002 > f3 fcnukf h2est <h2est> C Ventilkarakteristikk LV002 TotankData Konstanter 6 Q_inn KogP <KogP > 7 R_inn KF_tilstand _inn KF_tilstand _ut Embedded MATLAB Function, Unscented Kalman filter z Unit Delay KF_tilstand Figur 4.2: UKF Simulink Tabell 4.: Innganger og utganger UKF Inn-/utgang Forklaring y Måling av nivå i tank. Benyttes kun ved initialisering y2 Måling av nivå i tank 2 f Tabelloppslag for pumpekarakteristikk for pumpe P A00 f2 Tabelloppslag for ventilkarakteristikk for ventil LV 00 f3 Tabelloppslag for ventilkarakteristikk for ventil LV 002 TotankData Henter inn konstanter fra to_tank_data.m Q_inn Tuning-matrise Q som brukes i ligning (4.3). R_inn Tuning-matrise R som brukes i ligning (4.6). KF_tilstand_inn Verdier fra forrige tilstand som brukes i ligning (3.3), (3.4) og (3.5) SigmaStat Sigmapunkt og propagerte sigmapunkt hentes ut for hvert tidssteg. hest Estimat av høyde i tank h2est Estimat av høyde i tank 2 KogP Kalmanlterforsterkning og P-matrise KF_tilstand_ut Verdier som skal brukes ved neste tilstand i ligning (3.3), (3.4) og (3.5)

40 28KAPITTEL 4. IMPLEMENTERING AV UNSCENTED KALMANFILTER (UKF)

41 Kapittel 5 Testing og tuning I dette kapittelet blir EKF og UKF utviklet i kap. 3 og 4 testet mot totankprosessen. Filtrene testes også mot hverandre ved ulike driftssituasjoner for å studere hvorvidt ytelsen er forskjellig. Figur 5. viser hvordan denne sammeligningen mot totankprosessen er implementert i Simulink. Figur 5.: Kalmanlter mot prosess Hver hoveddel av implementeringen i gur 5. er nummerert, og med referanse til dette nummeret blir implementeringen forklart mer detaljert.. Innganger til prosessen; pådragssignal til pumpe P A00 og de to ventilene LV 00 og LV 002. (Styres manuelt fra PC). 29

42 30 KAPITTEL 5. TESTING OG TUNING 2. Tuning-matriser, Q og R, og logging av disse for EKF. 3. Tuning-matriser, Q og R, og logging av disse for UKF. 4. Totankprosessen. 5. Funksjonsblokk EKF, gur Funksjonsblokk UKF, gur Bryter for å velge om initielt nivå i tank skal være kjent. 8. Logging av prosessinnganger, nivåmålinger og estimat fra UKF og EKF 9. Logging av Kalmanlterforsterkning og P-matrise for EKF. 0. Logging av Kalmanlterforsterkning og P-matrise for UKF.. Logging av sigmapunkter fra UKF. Under disse forsøkene ønsker man å sammenligne ytelsen til ltrene ved forskjellige innstillinger av tuning-matrisene. For enkelt å kunne sammenligne virkningen av ulike innstillinger, logges innganger og utganger ved kjøring av totankprosessen. Deretter kan ltrene kjøres mot de loggede inngangene og utgangene fra prosessen. Simulink-implementeringen for dette er vist i vedlegg A Normal drift Fra teorien om Kalmanlter er det en tommelngerregel å sette R tilnærmet lik variansen til målestøyen i systemet [4], for deretter å bruke diagonalelementene i matrisen Q som tuning-parametre. Diagonalelementene i Q som representere varians til prosesstøyen kan det være vanskelig å vite noe om på forhånd. Vanligvis benytter man seg av prøving og feiling for å stille inn elementene i Q []. For å ha et utgangspunkt for R viser gur 5.2 nivåmåling i tank 2 over en 20 sekunds periode. Målinger viser at målestøyen gir et utslag i størrelsesorden -3 mm avhengig av dagsform og nivå i tanken. Ved å anta at støyen er Gaussisk fordelt, har man at ca 68% av observasjonene vil ligge innenfor ett standardavvik fra gjennomsnittet [9].

43 5.. NORMAL DRIFT Målestøy Måling Gjennomsnitt +2mm Gjennomsnitt 2mm Figur 5.2: Målestøy Figuren viser også linjene for gjennomsnitt ±2mm. Disse er valg ut fra at erer forsøk har vist at det meste av målestøyen ligger innenfor disse linjene. Fra gur 5.2 og teorien over fås R = σ 2 ( 2 0 3) 2 = (5.) Et eksakt tall for målestøyen lar seg ikke nne da denne varierer over tid og etter væskenivå. Det er heller ikke viktig å ha dette nøyaktig, da tuningparametrene uansett kan n-tunes under drift. Fra en tidligere hovedoppgave [7] er R = benyttet, og siden anslaget fra gur 5.2 bekrefter størrelsesordenen benyttes også R = som utgangspunkt her. Ved å anta [ at nivået i begge tankene ] kan variere med ca mm per tidssteg, velger Q = som et utgangspunkt. Etter å ha testet ltrene mot totankprosessen [ ere ] ganger med forskjellige verdier for Q viser det seg at Q = gir gode resultat for både EKF og[ UKF. Resultatene ] i gur 5.3 viser ltrenes prestasjon med R = og Q = Fra forsøkene over er følgende tuningparametre valgt:

44 32 KAPITTEL 5. TESTING OG TUNING R = (5.2) [ ] Q = (5.3) En av forutsetningene for Kalmanlteret er at alle initielle tilstander er kjent. Figur 5.3 viser hvordan ltrene estimerer seg inn ved ukjente startverdier, sammenlignet med når startverdiene er kjent. For forsøket med kjente initialtilstander måles nivået i begge tankene ved det første tidssteget. Pådrag u PA u LV00 u LV X 0 = ˆX 0 = 0.3 Nivå i tank x 0 ukjent Måling UKF EKF X 0 = ˆX 0 = Nivå i tank x 0 kjent Måling UKF EKF Figur 5.3: Innsvingning ved ukjent/kjent initialtilstand Figur 5.3 viser at de valgte parametrene gir god ytelse både når initielt nivå i tank er kjent og ikke. Filtrene svinger seg inn til rett verdi i løp av ca ett minutt når initialtilstanden er ukjent. Sann tilstand, X 0, og estimert tilstand X 0 i oppstartstispunktet er også vist i guren over. At ltrene svinger seg inn såpass raskt, og følger målingen så bra, tyder på at både modellen funnet i kap. 2 og tuning-parametrene funnet her passer godt. 5.. P-matrise Kovariansmatrisen for estimeringsavvikene, også kalt P-matrisen, gir informasjon om hvordan usikkerheten i tilstandsestimatene er. P-matrisen fra forrige

45 5.. NORMAL DRIFT 33 tidssteg benyttes til å beregne Kalmanlterforsterkning i ligning (3.7) for EKF og ligning (4.8) for UKF. P-matrisen oppdateres altså for hvert tidssteg ut fra hvordan avviket mellom estimat og måling utvikler seg. [ ] P P Figur 5.4 viser hvordan P-matrisen på formen P = 2 utvikler seg P 2 P 22 ved forsøket i gur 5.3 for EKF og UKF..2 x 0 3 P UKF 3 x 0 7 P EKF x P x 0 6 UKF P 22 x 0 7 EKF Figur 5.4: P-matrise Det er verdiene til P og P 22 som er mest intuative siden disse gir informasjon om estimeringsavvikene for nivået i henholdsvis tank og tank 2. Som det går fram av guren over, variere P mye i løp av kjøringen. Dette er også rimelig siden man her ikke måler nivået i tank. Som det går frem av guren er det en markant forskjell i P 22 mellom EKF og UKF. Det har ikke lykkes å nne ut hva som forårsaker denne forskjellen, men det antas at det har med hvordan P -matrisen beregnes i de to algoritmene 3. og 4. å gjøre, og som det blir vist i neste kapittel gir ikke denne forskjellen i P 22 et betydelig utslag i Kalmanlterforsterkningen for de to ltrene. P 22 er meget lavt og tilnærmet konstant for begge ltrene. Dette er som forventet, siden man måler nivå i tank 2 i hvert tidssteg, og derfor hele tiden har et godt estimat for nivået. Elementene i P -matrisen er alltid 0. Som det går frem av guren er både P 2 og P 2 null i et lite intervall. Ved å studere gur 5.3 og sammenligne med gur 5.4 ser man at dette er i det samme intervallet hvor ventil LV 00 er stengt. Når ventilen mellom de to tankene er stengt mister man koblingen mellom tankene, og siden P 2 og P 2 sier noe om denne koblingen det er da logisk at disse blir null.

46 34 KAPITTEL 5. TESTING OG TUNING 5..2 Kalmanlterforsterkning P-matrisen fra kap. 5.. benyttes til å beregne Kalmanlterforsterkningen, K. Denne forsterkningsfaktoren benyttes av både EKF og UKF til å bestemme hvor raskt ltrene skal korrigere for avvik mellom apriori tilstandsestimat og måling. Jo mer man kan stole på estimatet av hver tilstand, dess større vil forsterkningsfaktorene bli. Figur 5.5 viser hvordan K og K 2 utvikler seg ved forsøket i kap. 5. for EKF og UKF. 0.4 K K 2 UKF EKF Figur 5.5: Kalmanlterforsterkningen Som vist i gur 5.5 er forsterkningsfaktoren, K, for tank mye mindre enn K 2, for tank 2, og dette er som forventet siden man måler nivået i tank 2 direkte og dermed har et bedre grunnlag for raskt å korrigere for estimeringsavvik for denne tanken. Som for P 2 og P 2 i P -matrisen ser man her at også K blir null i intervallet hvor ventilen mellom de to tankene er stengt. Dette betyr at nivåestimatet for tank ikke blir justert ut fra endringer i tank 2 når ventilen mellom tankene er steng. Dette er fornuftig da stengt ventil betyr at endringer i nivå i tank 2 ikke kan skylles endring av nivå i tank. Figur 5.5 viser også at UKF og EKF gir tilnærmet like forsterkningsfaktorer. At K 2 varierer litt mer for UKF enn for EKF skylles at P 2 er litt større for UKF enn EKF, ref gur 5.4.

47 5.2. PROSESSFORSTYRRELSE TANK 35 Kalmanltrene med parametre som i ligning (5.2) og (5.3) har vist seg å fungere godt for å estimere nivå i tank under normal drift. Det kan tenkes situasjoner hvor prosessen kan bli påvirket eksternt, for eksempel at vann blir tilført eller tappet ut av en av tankene eller at fremmedlegemer legger seg i pumpen eller i en av ventilene og påvirker strømning gjennom disse. For å sjekke hvor robuste Kalmanltrene er mot ekstern påvirkning blir det her vist hvordan estimatet av høyden i tank påvirkes når systemet utsettes for forstyrrelser. Under disse testene holdes pådragene til pumpen og ventilene konstant mens nivåene i tank og tank 2 manipuleres. 5.2 Prosessforstyrrelse tank Nivået i tank utsettes for en ekstra forstyrrelse ved at en liter ekstra vann tilføres tanken. Initielt benyttes tuning-parametrene funnet i ligning (5.2) og (5.3) R=5e 6 Q =e 6 Q 22 =3e 6 Nivå i tank initielle parametre Måling UKF EKF Nivå i tank 2 initielle parametre 0.2 Måling UKF EKF Figur 5.6: Forstyrrelse i tank, initielle tuning-parametre Som det går fram av gur 5.6 klarer ikke ltrene å estimere denne eksterne påvirkningen. Etter ere forsøk har det vist seg at man ved å endre Q til Med normal drift menes her at prosessen ikke blir utsatt for ekstern påvirkning

48 36 KAPITTEL 5. TESTING OG TUNING Q = [ ] (5.4) får et Kalmanlter som håndterer forstyrrelser i tank mye bedre, se gur R=5e 6 Q =4e 7 Q 22 =3e 9 Nivå i tank spesialtilpassede parametre Måling UKF EKF Nivå i tank 2 spesialtilpassede parametre 0.2 Måling UKF EKF Figur 5.7: Forstyrrelse i tank, tilpassede tuning-parametre I den nye Q-matrisen er prosesstøykovariansen for tank 2 forholdsvis mye mindre enn for tank. Dette fører til at Kalmanltrene i større grad tolker endringen av målt nivå i tank 2 som en konsekvens av forstyrrelse i tank enn som forstyrrelse i tank 2. Som det går frem av gur 5.7 blir estimatene for nivået i tank også mer støyfulle som en følge av de nye parametrene. Dette skylles at den nye Q-matrisen fører til at en del av prosesstøyen som er i tank 2 blir tolket som forstyrrelse i tank P-matrise Figur 5.8 viser hvordan elementene i P-matrisen utvikler seg i løp av forsøket med forstyrrelse i tank. Det går klart fram av guren at kovariansen til estimeringsavvikene for nivået i begge tankene er lavere med de nye tuningparametrene.

49 5.2. PROSESSFORSTYRRELSE TANK 37 6 x 0 4 P x 0 6 P UKF initielle parametre EKF initielle parametre UKF tilpassede parametre EKF tilpassede parametre x P x P Figur 5.8: P-matrise, forstyrrelse i tank Av guren kan det se ut som det bare er to kurver i hver graf. Grunnen til dette er at UKF og EKF presterer så likt at kurvene for UKF og EKF legger seg over hverandre, unntatt for P 22. Elementene i P -matrisen er også mye glattere enn i gur 5.4 siden alle pådrag her er faste Kalmanlterforsterkning Som forklart i forbindelse med gur 5.6 gjør de nye tuning-parametrene at endringer i nivå i tank 2 blir tolket som at det har vært en endring av nivå i tank. Dette viser i gur 5.9 hvor K som bestemmer hvor raskt nivåestimatet i tank skal oppdateres er mye større med de nye tuning-parametrene, mens K 2 blir mye mindre.

50 38 KAPITTEL 5. TESTING OG TUNING 0.25 K K UKF initielle parametre EKF initielle parametre UKF tilpassede parametre EKF tilpassede parametre Figur 5.9: Kalmanlterforsterkning, forstyrrelse i tank 5.3 Prosessforstyrrelse tank 2 I dette forsøket manipuleres nivået i tank 2 på samme måte som for tank i kap. 5.2, ved at en liter ekstra vann tilsettes. Først sjekkes det hvordan ltrene fungerer med parametre funnet i ligning (5.4), som raskt fanget opp endring i nivået i tank. Som det går fram av gur 5.0 gjør disse tuning-parametrene at ltrene gir store utslag i estimatet for nivå i tank ved forstyrrelse i tank 2. Dette skylles at ltrene som forklart i kap. 5.2 tolker nivåendringen i tank 2 som et resultat av en nivåendring i tank. For å teste hvorvidt tuning-parametrene funnet i ligning (5.2) og (5.3) gir bedre prestasjon utføres forsøket på nytt med disse.

51 5.3. PROSESSFORSTYRRELSE TANK R=5e 6 Q =4e 7 Q 22 =3e 9 Nivå i tank spesialtilpassede parametre for forstyrrelse i tank Måling UKF EKF Nivå i tank 2 spesialtilpassede parametre for forstyrrelse i tank Måling UKF EKF Figur 5.0: Forstyrrelse i tank 2, Q som funnet i ligning (5.4) R=5e 6 Q =e 6 Q 22 =3e 6 Nivå i tank initielle parametre Måling UKF EKF Nivå i tank 2 initielle parametre Måling UKF EKF Figur 5.: Forstyrrelse i tank 2, initielle tuning-parametre Figur 5. viser at forstyrrelsen bare gir et minimalt bidrag til estimatet av nivået i tank med disse parametrene.

52 40 KAPITTEL 5. TESTING OG TUNING 5.3. P-matrise og Kalmanlterforsterkning P-matrisen i gur 5.2 og Kalmanlterforsterkningen i gur 5.3 blir her omtrent som de ble vist i kap x 0 4 P x 0 6 P UKF initielle parametre EKF initielle parametre UKF tilpassede parametre EKF tilpassede parametre x 0 6 P x 0 6 P Figur 5.2: P-matrise, forstyrrelse i tank K K UKF initielle parametre EKF initielle parametre UKF tilpassede parametre EKF tilpassede parametre Figur 5.3: Kalmanlterforsterkning, forstyrrelse i tank 2 At disse er så like gurene for P -matrise, gur 5.8, og Kalmanlterforsterkningen, gur 5.9, fra kap. 5.2 er rimelig siden det er de samme tuning-parametrene som er benyttet.

53 5.4. MER OM VALG AV TUNING-PARAMETRE Mer om valg av tuning-parametre Som det framgår av de foregående kapitlene kan man ikke få i pose og sekk. Tuning-parametre som raskt oppdager forstyrrelse i tank vil reagere altfor kraftig på forstyrrelser i tank 2. Og motsatt vil tuning-parametrene som kompenserer for forstyrrelser i tank 2, gjør at ltrene blir veldig trege til å oppdage forstyrrelse i tank. For å designe et best mulig Kalmanlter må man derfor ha kjennskap til prosessen og vite noe om hva slags forstyrrelser en kan vente seg. For totankanlegget ser en at under vanlig drift fungerer begge ltrene relativt bra med tuning-parametrene funnet i kap. 5.. Ønsker man at lteret skal bli raskere til å oppdage forstyrrelser på nivået i tank må man gjøre noe med tuningparametrene. En kan for eksempel prøve med parametrene mer i retning av de som ble funnet i kap Figur 5.4 viser hvordan forskjellige tuning-parametre fungere på den loggede kjøringen fra kap. 5.. Pådrag 0.5 u PA00 u LV00 0 u LV Nivå i tank 0.6 Måling 0.4 "Hissige" parametre 0.2 Initielle parametre Nivå i tank Måling "Hissige" parametre 0.05 Initielle parametre Figur 5.4: Forskjellige tuning-parametre [ ] 0 Som det går frem av gur 5.4 vil R = og Q = (vist som Initielle parametre i gur 5.4) som ble funnet i[ kap. 5. for vanlige] 4 0 situasjoner fungere mye bedre enn R = og Q = (vist som Hissige parametre i gur 5.4) som i kap. 5.2 ble valgt for å raskt oppdage ekstern påvirkning på høyden i tank. Man må vurdere hvor ofte

54 42 KAPITTEL 5. TESTING OG TUNING forstyrrelser på nivået i tank kan oppstå, og hvor viktig man anser det å oppdage dette raskt. Hvis man ønsker å kunne oppdage dette raskere enn det de opprinnelige parametrene fra kap. 5. gjør, kan man velge en Q-matrise et sted mellom de som er foreslått over. 5.5 Sigmapunkter Som det framgår av gurene i foregående kapitler, så har resultatene fra EKF og UKF vært svært like på totankprosessen. Som vist i gur 4. vil fordelingen til sigmapunktene endre seg når sigmapunktene blir propagert gjennom ulineariteten. Jo større ulinearitet, dess større vil forskjellen mellom fordelingen til sigmapunktene og de propagerte sigmapunktene være. Figuren under viser fordelingen til sigmapunkter og propagerte sigmapunkter ved forskjellige tuning-parametre ved samme kjøring. Overgangen fra sigmapunktene til de propagerte sigmapunktene er beskrevet i kap x 0 4 Sigmapunkt 4 Sigmapkt. X strek 3 x 0 3 Sigmapunkt 2 Sigmapkt. X strek 2 X 2 0 X X X 6 x 0 4 Propagerte sigmapunkt 4 2 Prop. sigmapkt. X hatt 3 x 0 3 Propagerte sigmapunkt 2 Prop. sigmapkt. X hatt X 2 0 X X X Figur 5.5: Sigmapunkter ved forskjellige tuning-parametre Som guren viser har de propagerte sigmapunktene så godt som identisk fordeling som de opprinnelige sigmapunktene plukket rundt apriori tilstandsestimat. Ved å se dette i sammenheng med gur 4. ser en at det ikke er så mye ulinearitet rundt apriori tilstandsestimat. Dette forklarer hvorfor EKF og UKF har gitt så like estimater.

55 Del II Kalmanlter for estimering av lekkasje i ventil og/eller tank 43

56 44

57 Kapittel 6 Modellering Her utvides modellen fra del I for å kunne brukes til lekksjeestimering. Målet er å utvikle en metode for å oppdage lekkasje fra tank ut fra kjenneskap til prosessen og måling av nivå i tank 2. I industriell sammenheng kan det være ere anvendelser for denne teknologien, feks for å detektere uønsket varmetap, lekkasje eller inntrengning av uønsket medie i en prosess. 6. Utvide modell fra del I Modellen for totankprosessen som ble utviklet i kap. 2 under del I hadde to tilstander som skulle estimeres, høyde i tank og i tank 2. I del II skal modellen utvides for å inkludere lekkasje fra tank, Q lekk, gjennom ventil F V 00. Se prosesskisse i gur 6. og tabell 6. som forklarer symbolene som benyttes videre i dette kapittelet Figur 6.: Prosesskisse av totankoppsett del II 45

58 46 KAPITTEL 6. MODELLERING Tabell 6.: Forklaring til symboler i dierensialligningene Variabel Enhet Beskrivelse h (t) m Vannivå i tank målt fra bunnen i tanken h 2 (t) m Vannivå i tank 2 målt fra bunnen i tanken h LV 00 m Høyde fra ventil LV 00 opp til bunn i tank h LV 002 m Høyde fra ventil LV 002 opp til bunn i tank 2 m Q lekk (t) 3 s Lekkasje fra tank til oppsamlingskar gjennom ventil F V 00 m q P A00 (t) 3 s Strømning av vann gjennom pumpe P A00 m q LV 00 (t) 3 s Strømning av vann gjennom ventil LV 00 m q LV 002 (t) 3 s Strømning av vann gjennom ventil LV 002 A m 2 Areal av vannspeilet i tank A 2 (t) m 2 Areal av vannspeilet i tank 2 Kv LV 00 m 3 h bar Kv LV 002 m 3 h bar Ventilkonstant for ventil LV 00 Ventilkonstant for ventil LV 002 u P A00 (t) - Pådrag på pumpe P A00 u LV 00 (t) - Pådrag på ventil LV 00 u LV 002 (t) - Pådrag på ventil LV 002 f (u LV 00 (t)) Tabelloppslag av ventilkarakteristikk f 2 (u LV 002 (t)) Tabelloppslag av ventilkarakteristikk m f 3 (u P A00 (t)) 3 s Tabelloppslag av pumpekarakteristikk kg ρ Tettheten til vann 3 m g s Tyngdeakselerasjon 2 c Samling av konstanter i dierensialligning 2.2 c 2 Samling av konstanter i dierensialligning Dierensialligninger 6.2. Dierensialligning for nivå i tank Dierensialligningen (2.3) for nivået i tank som ble funnet i kap. 2. utvides ved at lekkasjen Q lekk (t) tas med: dh (t) dt = (f 3 (u P A00 (t)) A ) c f (u LV 00 (t)) h (t) + h LV 00 Q lekk (t) (6.) der c er gitt ved: c = Kv LV 00 ρ g (6.2)

59 6.3. OBSERVERBARHET Dierensialligning for nivå i tank 2 Siden det ikke gjøres endringer i hva som strømmer inn og ut av tank 2 blir dierensialligningen (2.7) for nivået i tank 2 som ble funnet i kap. 2. som før: dh 2 (t) dt = ( c f (u LV 00 (t)) h (t) + h LV 00 A 2 (t) ) c 2 f 2 (u LV 002 (t)) h 2 (t) + h LV 002 (6.3) der c 2 og A 2 (t) er gitt ved: c 2 = Kv LV 002 ρ g (6.4) A 2 (t) = h 2 (t) (6.5) Dierensialligning for lekkasje Lekkasjen Q lekk (t) som inngår i den nye dierensialligningen (6.) for nivå i tank deneres som en egen tilstand. Siden lekkasjen ikke er avhengig av noen kjente parametre, modelleres den som en funksjon av hvit støy []. Da støy ikke tas med i dierensialligningene fås: dq lekk (t) dt = 0 (6.6) Diernesialligningen (6.6) diskretiseres ved hjelp av Eulers forovermetode (3.2): Denerer: og får: x 3 (k) = h (k) (6.7) x 3 (k + ) = x 3 (k) (6.8) 6.3 Observerbarhet En forutsetning for at Kalmanlteret for estimering av lekkasje fra tank skal fungere er som nevnt i kap..2.2 at systemet er observerbart. I dette kapittelet blir observerbarhet undersøkt for systemet vist i gur 6.. Før det kan avgjøres om systemet er observerbart må den nye transisjonsmatrisen Φ (k) nnes. Denerer: x (k) = h (k) (6.9) x 2 (k) = h 2 (k) (6.0) x 3 (k) = Q lekk (k) (6.)

60 48 KAPITTEL 6. MODELLERING og lineariserer systemet ved å benytte Eulers forovermetode, og får: x (k + ) = x (k) + T x (k) = g x 2 (k + ) = x 2 (k) + T x 2 (k) = g 2 (6.2) x 3 (k + ) = x 3 (k) + T x 3 (k) = g 3 Transisjonsmatrisen nnes ved uttrykket: Φ (k) = g ( ) g ( ) g ( ) x x 2 x 3 g 2( ) g 2( ) g 2( ) x x 2 x 3 g 3( ) g 3( ) g 3( ) x x 2 x 3 (6.3) på samme måte som vist i kap Som vist i vedlegg B. nnes den nye transisjonsmatrisen på formen: Φ (k) = φ 0 φ 3 φ 2 φ φ 33 (6.4) hvor φ = T q LV 00 2 A (x + h LV 00 ) φ 3 = T A φ 2 = T q LV 00 2 A 2 (x + h LV 00 ) φ 22 = 0.07 T q LV 002 A2 2 (q LV 00 q LV 002 ) 2 A 2 (x 2 + h LV 002 ) φ 33 = 6.3. Kontroll av observerbarhet Systemet er observerbart hvis, og bare hvis observerbarhetsmatrisen D D Φ Q o =. D Φ n (6.5) har rang lik n, der n er er systemets orden (antall tilstandsvariable) [].

61 6.3. OBSERVERBARHET 49 For modellen i ligning 6.2 er n = 3 og målematrisen D er gitt ved: siden det er nivå i tank 2 som måles. D = [ 0 0 ] (6.6) Ved å benytte transisjonsmatrisen fra ligning 6.4 fås observerbarhetsmatrisen (se vedlegg B.2 for utregning): Q o = 0 0 φ 2 φ 22 0 φ 2 φ + φ 22 φ 2 φ 2 22 φ 2 φ 3 Som har rang = 3 = n og systemet er observerbart. (6.7)

62 50 KAPITTEL 6. MODELLERING

63 Kapittel 7 Implementering, testing og tuning I dette kapittelet skal EKF for lekkasjeestimering utvikles og testes mot totankprosessen. Som en del av testingen for å se hvor godt det nye Kalmanlteret fungerer, sammenlignes det også med det utvidede Kalmanlteret funnet i kap. 3. Filtrene testes mot hverandre ved ulike driftssituasjoner for å studere hvorvidt ytelsen er forskjellig, og hvorvidt det nye Kalmanlteret gir et godt estimat for lekkasje. 7. Implementering I kap. 3.2 ble et utvidet Kalmanlter for totankprosessen i del I utviklet. Ved å oppgradere dette med den nye modellen og den nye transisjonsmatrisen funnet i kap. 6.3, kan dette lteret brukes videre i denne delen. Figur 7. viser funksjonsblokken med innganger og utganger som beskrevet i tabell 7.. Den synlige forskjellen mellom denne nye blokken og blokken fra del I (gur 3.) er utgangen lekk. Se vedlegg B.3 for utskrift av kode i funksjonsblokken. 5

64 52 KAPITTEL 7. IMPLEMENTERING, TESTING OG TUNING y hest <hest> 2_logg y2 <u_pa00 > f h2est <h2est> Pumpekarakteristikk <u_lv00 > f2 Ventilkarakteristikk LV00 <u_lv002 > f3 fcnekf lekk <lekk> Ventilkarakteristikk LV002 C TotankData Konstanter 6 Q_inn KogP <KogP > 7 R_inn KF_tilstand _inn KF_tilstand _ut z Unit Delay Embedded MATLAB Function, Utvidet Kalman filter KF_tilstand Figur 7.: EKF Simulink Tabell 7.: Innganger og utganger EKF Inn-/utgang Forklaring y Måling av nivå i tank. Benyttes kun ved initialisering y2 Måling av nivå i tank 2 f Tabelloppslag for pumpekarakteristikk for pumpe P A00 f2 Tabelloppslag for ventilkarakteristikk for ventil LV 00 f3 Tabelloppslag for ventilkarakteristikk for ventil LV 002 TotankData Henter inn konstanter fra to_tank_data.m Q_inn Tuning-parameter Q som brukes i ligning (3.5) R_inn Tuning-parameter R som brukes i ligning (3.7) KF_tilstand_inn Verdier fra forrige tilstand som brukes i ligning (3.3), (3.4) og (3.5) hest Estimat av høyde i tank h2est Estimat av høyde i tank 2 lekk Estimat av lekkasje gjennom ventil F V 00 KogP Kalmanlterforsterkning og P-matrise KF_tilstand_ut Verdier som skal brukes ved neste tilstand i ligning (3.3), (3.4) og (3.5)

65 7.. IMPLEMENTERING 53 Figur 7.2 viser hvordan kjøring mot loggede prosessdata er implementert i Simulink. Dette tilsvarer implementeringen i gur 5. i del I. Figur 7.2: Kalmanlter mot loggede data. Innganger til prosessen; pådragssignal til pumpe P A00 og de tre ventilene LV 00, LV 002 og F V Tuning-parametre og logging av disse for EKF fra del I 3. Tuning-parametre og logging av disse for EKF fra del II 4. Prosessen 5. EKF fra del I 6. EKF fra del II 7. Bryter for å velge om initielt nivå i tank skal være kjent. 8. Logging av prosessinnganger, nivåmålinger og estimat fra begge ltrene 9. Logging av Kalmanlterforsterkning og P-matrise for EKF fra del I 0. Logging av Kalmanlterforsterkning og P-matrise for EKF fra del II

66 54 KAPITTEL 7. IMPLEMENTERING, TESTING OG TUNING 7.2 Sammenligning av ltre uten lekkasje Før testene med lekkasje i systemet er det greit å verisere at lteret fungere godt når det ikke er lekkasje. Det vil si at det nye Kalmanlteret klarer å estimere nivået i tank og at estimert lekkasje hele tiden er tilnærmet lik null. I gur 7.3 er ltrene kjørt mot totankprosessen uten lekkasje med følgende tuning-parametre: Tuning-parametre for EKF uten lekkasjeestimering: R = (7.) [ ] Q = (7.2) Tuning-parametre for EKF med lekkasjeestimering: R = (7.3) Q = (7.4) Figur 7.3: Ingen lekkasje

67 7.3. MOTVIKRING AV ESTIMERINGSFEIL P.G.A. DØDTID 55 Som det går frem av guren følger begge ltrene målt nivå i tank relativt bra når systemet ikke er utsatt for lekkasje, utenom i de tre markerte tidspunktene. I disse tidspunktene ser man en kraftig økning i estimert lekkasje. Som det vises i den midterste grafen går også estimert nivå i tank noe ned i disse tidspunktene. Dette er fornuftig, da en lekkasje fra tank vil føre til at nivået avtar eller stiger mindre enn for et system uten lekkasje. Ved å se tidspunktene for de estimerte lekkasjene i sammenheng med pådragskurvene ser man at det er en sammenheng mellom estimert lekkasje og økning i pådrag til ventil LV 00. Dette er vist i større detalj i gur 7.4. Figur 7.4: Feilestimert lekkasje Kalmanltert skal ved hjelp av måling av nivå i tank 2 estimere nivå i tank og en eventuell lekkasje. I de to øverste grafene i gur 7.4 ser man at det en en viss tidsforsinkelse fra man gir signal om å åpne LV 00 til nivået i tank 2 begynner å stige. Dette kan skylles dynamikk i ventil og/eller transporttid i rørene. I denne tidsperioden hvor nivået ikke endres som det i følge den matematiske modellen burde,vil Kalmanlteret tolke dette som en lekkasje. Dette viser i de to nederste grafene i gur Motvikring av estimeringsfeil p.g.a. dødtid Fra gur 7.4 ser man at tidsforsinkelsen fra pådrag på ventil LV 00 blir endret til nivået i tank 2 blir påvirket er ca.5 til 2 sekunder. For å redusere problemet denne forsinkelsen medfører med tanke på feil lekkasjeestimat, gjøres en

68 56 KAPITTEL 7. IMPLEMENTERING, TESTING OG TUNING enkel endring på modellen i Simulink. Ved å sette en Transport-Delay-blokk mellom pådraget til LV 00 og inngangen på Kalmanlterblokken (se gur 7.5) vil lteret registrere endring i pådag til LV 00 omtrent samtidig med at pådragsendringen gir utslag på nivå i tank 2. Figur 7.5: Forsinkelse av ventilpådrag Pådrag 0.5 u PA00 u LV00 u LV Måling EKF EKF med tidsforsinket inngang Nivå i tank x 0 4 Estimert lekkasje 3 2 EKF EKF med tidsforsinket inngang Figur 7.6: Eekt av pådragsforsinkelse Figur 7.6 viser at den innførte forsinkelen fører til at de brå endringene i estimert nivå i tank og estimert lekkasje i sammenheng med endring av ventilpådrag til LV 00 er betydelig redusert. Dette er benyttet videre i oppgaven.