EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: John Tyssedal / EKSAMEN I TMA4285 TIDSREKKEMODELLER Fredag 7. desember 2012 Tid: 09:00 13:00 Hjelpemidler: Kalkulator HP30S, CITIZEN SR-270X eller CITIZEN SR-270X College. Statistiske tabeller og formler, Tapir forlag. K. Rottman: Matematisk formelsamling. Et gult ark (A5 med stempel) med egne håndskrevne formler og notater. Sensur senest ferdig mandag 7. januar Merk: Alle svar skal begrunnes! Merk: Kalmanfilterligningene er oppgitt på siste side av oppgavesettet. Oppgave 1 Betrakt en ARMA(1,2)-modell med forventning lik null, (1 ϕ 1 B)z t = (1 θ 1 B θ 2 B 2 )a t, der ϕ 1, θ 1 og θ 2 er parametre, B betegner backshift-operatoren, dvs. B k z t = z t k, og {a t } er hvit støy med forventning lik null og Var(a t ) = σ 2 a. a) Hva betyr det at {z t } er invertibel? Er {z t } invertibel når ϕ 1 = 1 2, θ 1 = 1 2 og θ 2 = 1 4? Hva betyr det at {z t } er kovarians-stasjonær? Er {z t } kovarians-stasjonær når ϕ 1 = 1 2, θ 1 = 1 2 og θ 2 = 1 4?

2 Side 2 av 8 Vi antar i resten av denne oppgaven at {z t } er både invertibel og kovarians-stasjonær. Som kjent betyr dette spesielt at {z t } har en MA( )-representasjon, z t = ψ(b)a t. b) Utled formler for koeffisientene {ψ j } j=0 og vis at de kan skrives på formen ψ 0 = 1,ψ 1 = θ 1 ϕ 1 og ψ j = ϕ j 2 1 ((θ 1 ϕ 1 )ϕ 1 +θ 2 ) for j = 2,3,... c) Fra MA( )-representasjonen av {z t } gitt over, vis at variansen til z t er gitt ved γ 0 = σa [1+(θ 2 1 ϕ 1 ) 2 + ((θ ] 1 ϕ 1 )ϕ 1 +θ 2 ) 2. 1 ϕ 2 1 Fra den samme MA( )-representasjonen utled også en tilsvarende formel for γ 1. Oppgave 2 Et plott av en observert tidsrekke z t er vist i øverste venstre hjørne av figur 1. Samme figur viser også estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon for z t, samt den observerte tidsrekken etter en gangs differensiering og estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon for den differensierte tidsrekken. Videre i oppgaven skal vi forutsette at vi ønsker å tilpasse en ARIMA(p,d,q)-modell til z t. a) Ut fra plottene i figur 1 diskuter hvilke (tentative) verdier av p, d og q du finner naturlig å benytte. Dersom du konkluderer med at du vil forsøke med en modell hvor d > 0, diskuter ut fra plottene i figur 1 også hvorvidt du vil inkludere en deterministisk trendparameter, θ 0, i modellen. Husk å begrunne dine valg! Uavhengig av ditt svar i spørsmålet over, anta at man velger å tilpasse hele seks modeller: ARI- MA(1,1,0), ARIMA(2,1,0), ARIMA(3,1,0), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2) og ARIMA(1,1,3), alle uten deterministisk trendparameter. Estimerte parameterverdier med tilhørende standardavvik for de seks modellene er gitt i tabell 1 og plott av estimerte residualer og estimert autokorrelasjonsfunksjon for de estimerte residualene er vist i figur 2. b) Basert på resultatene i tabell 1 og figur 2, diskuter kort for hver av de seks ARIMAmodellene hvorvidt den tilhørende estimerte modellen er en rimelig modell for den observerte tidsrekken. Hvilken av de seks ARIMA-modellene vil du velge som modell for den observerte tidsrekken?

3 Side 3 av z t acf for z t pacf for z t z t+1 z t acf for z t+1 z t pacf for z t+1 z t Figur 1: Øvre rad: Observert tidsrekke z t, samt tilhørende estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon. Nedre rad: Tidsrekken z t etter differensiering, samt tilhørende estimert autokorrelasjonsfunksjon og partiell autokorrelasjonsfunksjon.

4 Side 4 av 8 ARIMA(1,1,0) ARIMA(2,1,0) ARIMA(3,1,0) verdi st. avvik verdi st. avvik verdi st. avvik ϕ ϕ ϕ σa log-like AIC ARIMA(1,1,1) ARIMA(1,1,2) ARIMA(1,1,3) verdi st. avvik verdi st. avvik verdi st. avvik ϕ θ θ θ σa log-like AIC Tabell 1: Estimerte parameterverdier med tilhørend standardavvik, samt optimal log-likelihood og AIC-verdier for de seks modellene: ARIMA(1,1,0), ARIMA(2,1,0), ARIMA(3,1,0), ARI- MA(1,1,1), ARIMA(1,1,2) og ARIMA(1,1,3).

5 Side 5 av 8 ARIMA(1,1,0) ARIMA(2,1,0) ARIMA(3,1,0) ARIMA(1,1,1) ARIMA(1,1,2) ARIMA(1,1,3) Figur 2: Estimerte residualer, med tilhørende estimerte autokorrelasjonsfunksjon for de seks modellene: ARIMA(1,1,0), ARIMA(2,1,0), ARIMA(3,1,0), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2) og ARIMA(1,1,3).

6 Side 6 av 8 Oppgave 3 I denne oppgaven skal vi betrakte tilstandsmodeller (state-space models) på formen x t+1 = Φx t +w t+1 og y t = Ax t +v t for t = 0,1,..., (1) der x 0 N(µ 0,Σ 0 ), w t N(0,Q) og v t N(0,R), samt at x 0, w t,t = 1,2,... og v t,t = 0,1,... alle antas uavhengige av hverandre. a) Reformuler følgende prosesser til tilstandsmodeller gitt på formen i ligning (1), dvs. spesifiser vektorer og matriser x t, y t, Φ, A, Q og R for hver av de to modellene, 1) z t = 0.9z t 1 +a t, u t = 0.5(z t +z t 1 )+b t, 2) z t = 0.9z t z t 2 +a t, r t = 0.5(r t 1 +z t 1 )+b t, u t = 0.5(r t +z t )+c t. Her er z t,a t,u t,b t, r t og c t alle skalare størrelser, {a t }, {b t } og {c t } er uavhengige normalfordelte hvit-støy-prosesser med forventning null og varians henholdsvis σ 2 a, σ 2 b og σ2 c, og i begge tilfeller observerer man kun prosessen {u t }. Videre i oppgaven skal vi anta at vi har en skalar tilstandsmodell på formen gitt i ligning (1), slik at x t, y t, Φ, w t, Q, A, v t, R, µ 0 og Σ 0 alle er skalare. b) Anta i dette punktet at Φ = 1, A = 2 og R = 1, og at P = lim 2 t Pt t eksisterer, der Pt t = Var[x t y 0,...,y t ]. Vis ved å ta utgangspunkt i kalmanfilterligningene gitt på siste side av dette oppgavesettet at ( P = 2Q+ 3 ) ( + Q+ 2Q ) Skisser P som funksjon av Q. Med utgangspunkt i tilstandsmodellen som her benyttes, gi en intuitiv forklaring på den kvalitative oppførselen av P som funksjon av Q. Forklar spesielt hvorfor verdien P får når Q = 0 er rimelig.

7 Side 7 av 8 c) For en skalar tilstandsmodell på formen gitt i ligning (1), benytt egenskaper til multinormalfordelingen til å forklare hvorfor den betingede fordelingen for x t+1 gitt y 0,...,y t er en normalfordeling. Forklar tilsvarende at den betingede fordelingen til x t+1 gitt y 0,...,y t,y t+1 også er en normalfordeling. Benytt dette til å utlede formler for som funksjon av x t+1 t+1 = E[x t+1 y 0,...,y t+1 ] og P t+1 t+1 = Var[x t+1 y 0,...,y t+1 ] x t t+1 = E[x t+1 y 0,...,y t ], P t t+1 = Var[x t+1 y 0,...,y t ] og størrelsene som definerer tilstandsmodellen. [Merk at du i dette punktet ikke skal benytte deg av de generelle kalmanfilterligningene oppgitt på siste side av oppgavesettet.]

8 Side 8 av 8 Vedlegg: Kalmanfilterligningene (i notasjonen benyttet på forelesningene): x t t+1 = Φx t t Pt+1 t = ΦPt t φt +Q x t+1 t+1 = x t t+1 +K t+1 (y t+1 A t+1 x t t+1) Pt+1 t+1 = [I K t+1 A t+1 ]Pt+1 t K t+1 = Pt+1 t AT t+1 [A t+1pt+1 t AT t+1 +R] 1