Kontinuerlige stokastiske variable.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kontinuerlige stokastiske variable."

Transkript

1 Kontinuerlige stokastiske variable. I forelesning har vi sett på en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f() =2 og sannsynlighetsfunksjon F () = 2 for. Der hadde jeg et reint regneteknisk perspektiv, for å illustrere bruken av formlene. Her kommer et eksempel, som nok er noe oppkonstruert, men forhåpentligvis ganske konkret, som har denne sannsynlighetsfordelinga. Hensikten er først og fremst å begrunne hvorfor og hvordan formelverket for kontinuerlige fordelinger naturlig stammer fra de tilsvarende formlene for diskrete fordelinger. Versjon per 28. januar 29 av Hans Petter Hornæs. Innledning. Situasjonsbeskrivelse I dette notatet skal vi se på det halvrealistiske eksemplet at en person kaster pil (eller skyter) på en sirkulær blink med radius (for eksempel desimeter). Den stokastiske variabelen X er avstanden fra treffpunktet til blinkens sentrum. I figur vises blinken med resultatet av et kast til venstre. Utfallet er da lengden på linja mellom treffpunktet og sentrum (i dette tilfellet er = ). I figuren til høyre er alle treffene ienseriepå25kastvist. Figur : Figur av blinken med henholdsvis et og en serie utfall. For å kunne si noe om sannsynligheter må vi vite noe om hvor god pilkasteren er (for en god kaster vil sannsynligheten for åfå treff i midtfeltet være stor, men det gjelder åpenbart ikke denne kasteren). Vi skal anta at han er en ganske dårlig pilkaster som treffer i hytt og pine. Mange ganger treffer han ikke blinken i det hele tatt, men da er regelen at dette ikke teller, og han kaster omigjen. Dette betyr at han helt sikkert treffer et eller annet sted innenfor blinkskiva, sannsynligheten for dette er. Derimot treffer han helt tilfeldig (uniformt) på skiva. Det vil si at to områder med samme areal har samme sannsynlighet for å bli truffet uansett hvor på blinkskiva arealene er plassert. Dette medfører at sannsynligheten for at han treffer innenfor et bestemt område er proporsjonalt med arealet av området. Skuddserien i figur er i virkeligheten simulert kunstig i Maple med disse forutsetningene.

2 .2 Hensikt og plan for dette notatet. Dette eksemplet vil bli presentert i kortversjon på forelesning, så kan man ta ut dette notatet om man ønsker det skriftlig og med flere detaljer. Hensikten er primært å lage et eksempel som viser overgangen fra diskret til kontinuerlig stokastisk variabel. Eksemplet er tilpasset for åfå matematikken så enkel som mulig uten at det er helt trivielt. Jeg har tidligere brukt uniform fordeling, men ulempen med dette er at det blir for enkelt til at man ser de generelle poengene. Selv om spillet (og forutsetningene) ikke er helt realistiske håper jeg det er lett åforstå slik at man kan få en praktisk forestilling om prosessen, ikke bare abstrakt matematisk manipulering. Fram til dette eksemplet har vi snakket om diskrete fordelinger der de mulige utfallene kan listes opp i en ordnet tellbar rekkefølge... < 2 < < < < 2 < 3... (eller bare en del av dette som f.eks < 2 < 3 <...< n ). I denne situasjonene kan i prinsippet hvilket som helst reelt tall (mellom og ) ende opp som utfall, og de reelle tallene kan ikke listes opp på denne måten. Når alle reelle tall i et (muligens uendelig) intervall kan oppnås sier vi at X har en kontinuerlig fordeling. I virkeligheten kan vi selvfølgelig ikke måle treffpunktet med en nøyaktighet med uendelig mange desimaler, men det viktige er at det er matematisk hensiktsmessig å tenke seg at det er dette vi skal gjøre. Kontinuerlige stokastiske variable har en rekke egenskaper felles med diskrete variable, men det er også noen viktige forskjeller. Vi skal derfor begynne med en diskret variant av eksemplet, og se på overgangen fra denne til den kontinuerlige varianten. 2 Diskrete modeller Vi skal i første omgang se på følgende den varianten av eksemplet at avstanden avrundes til det av tallene.,.3,.5,.7 eller.9 som er nærmest. Dette tilsvarer at vi har en vanlig blink men med en litt spesiell poengberegning som i figur 2. Jeg skal kalle denne stokastiske variabelen X 5, der indeksen 5 refererer til at vi har delt inn blinken i5felter: Det første skuddet (som hadde avstand = til sentrum) gir således utfallet.7. I den simulerte skuddserien er det.9 ere, 8.7 ere, 4.5 ere, 2.3 ere og ingen. ere Figur 2: Diskret blink med n =5felter.

3 2. Diskrete modell. Siden radien på hele skiva er er hele arealet π 2 = π. Sannsynligheten for at vi treffer innenfor yttergrensene av et felt er andelen dette arealet utgjør av hele. Her skal jeg kalle radius i ytterkantene r i (det vil si r =.2, r 2 =.4, r 3 =.6, r 4 =.8 og r 5 = ), mens poengene kalles i (det vil si =.q, 2 =.3, 3 =.5, 4 =.7 og 5 =.9). Sannsynligheten for åfå i eller færre poeng er dermed andelen arealet med radius r i utgjør. Jeg skal kalle sannsynlighetsfunksjonen F 5 : F 5 ( i )=P(X 5 i )= Arealet av sirkelen med radius r i Arealet av hele sirkelen For eksempel er F 5 (.7) =.8 2 tabellform: = πr2 i π = r2 i. =.64, og med tilsvarende utregninger kan F 5 settes opp på i F 5 ( i ) () Vi kan nå finne punktsannsynlighetene f 5 ( i ) ved formelen f( i )=F ( i ) F ( i )(dervimå sette F ( )=): i f 5 ( i ) (2) Merk at f 5 ( i ) passer med formelen f 5 ( i )=.4 i. Dette er igjen på formen f n ( i )= 2 n i (3) med n = 5, og dette blir den generelle formelen om vi deler inn i n felter. Du kan selv sjekke dette (med litt geometri og algebra) hvis du vil. 2.2 Sannsynlighetsmodellen Et stolpediagram for punktsannsynligheten f( i ) er vist i figur 3. Forventningsverdi og standardavvik er tegnet inn. Legg merke til at toppene på stolpene passer på en rett linje gjennom origo, noe som svarer til at den kontinuerlige modellen har sannsynlighetstetthet som er en rett linje gjennom origo (for ) Forventningsverdi Forventningsverdien er definert som μ =E(X) = n i= i f( i ) som i dette tilfellet blir slik: μ =E(X) = =.66 (4) Dette er som du ser nokså nært (men ikke eksakt lik) 2/3 som er forventningsverdien i den kontinuerlige modellen (regnet ut på forelesning) Varians og standardavvik Variansen er Var (X) =σ 2 = n i= 2 i f( i) μ 2 som i dette tilfellet blir slik: σ 2 =Var(X) = =.544 (5) Dette er nokså nært (men ikke eksakt lik) /8 som er variansen i den kontinuerlige modellen (regnetutpå forelesning).

4 f( i )=P(X = i ) k =.4 f( i )=k i =.4 i Figur 3: Stolpediagram for punktsannsynlighet med n = 5 poengfelter. Standardavviket er σ = Var (X) som i dette tilfellet er: σ =.544 =.233 (6) 2.3 Generalisering til vilkårlig antall felter Anta nå vi istedenfor 5 poengringer har n slike like brede ringer. For eksempel vil blinken og stolpediagrammet med n = 2 se ut som i figur 4: f( i )=P(X n = i ) k =. f( i )=k i =. i Figur 4: Blink og punktsannsynlighet med n = 2 poengområder. Punktsannsynligheten er da gitt ved f( i )=P(X n = i )= 2 n i. (7) Med n = 2 som i figuren gir dette f( i )=P(X 2 = i )= 2 2 i =. i.

5 Med n = 2 blir (noen av) midtpunktene.25,.75,.25,...,.625,.675,.725,.775,...,.925,.975. Sammenliknet med stolpediagrammet i figur 3 er andreaksen strekt ut, toppen er bare /4 ganger så høy. Alle søylene er jo lavere, det er flere verdier å fordele den samlede sannsynligheten på. For eksempel utgjør de 4 feltene med midtpunkter.625,.675,.725,.775 tilsammen feltet som med n = 5 hadde midtpunkt.7. Disse har hver omtrent /4 av høyden til stolpen for P (X 5 =.7) =.28, og har samlet sannsynlighet = =.28 = P (X 5 =.7) 2.3. Forventningsverdi og varians Forventningsverdien μ =E(X n )ogvariansenvar(x n )er μ n =E(X n )= 2 3 6n 2 og Var (X n )= 8 n2 + 36n 4. (8) Som en liten kontroll kan vi sjekke med n =5: E(X 5 )= =.66, som stemmer med første eksempel. Var (X 5 )= =.544, som også stemmer med første eksempel. 4 3 Kontinuerlig modell Nå skal vi tilbake til hovedeksemplet der skåren er avstanden fra treffpunktet til sentrum av skiva. Dermed har vi (ikke tellbart) uendelig mange mulige verdier for, alle reelle tall mellom og. Alle punkter med en skår mindre eller lik er da punktene på sirkellinja med radius r =. Viskal kalle sannsynlighetsfunksjonen for dette tilfellet F,og F () =P(X ) = Arealet av sirkelen med radius Arealet av hele sirkelen altså den sannsynlighetsfunksjone vi hadde i eksemplet på forelesningen. For alle sannsynlighetsfunksjoner (kontinuerlige og diskrete) gjelder = π2 π = 2, P(a<X b) =F (b) F (a) (9) Her kommer (delvis) utledning av formel (7) og formlene i (8). Bredden på hver ring er i denne situasjonen Δ = og punktsannsynligheten er gitt ved f(i) =P(Xn = i) = n 2 i. Dermed er f(i) fremdeles en lineær funksjon på formenf(i) =ki, med konstanten k =2/n som blir mindre n jo større n er. Skårverdien er Δ =, siden den er midt i første intervall med bredde Δ. 2 2n Deretter kommer i-verdiene med mellomrom Δ slik at 2 = 2n + n = 3 2n, 3 = 2n +2 n = 5,...,i = 2n 2n +(i ) n = 2i,...,n = 2n 2n Vi kan sette opp symbolske uttrykk for forventningsverdi og varians, som lar seg forenkle. Jeg har overlatt til Maple å utføre denne forenklinga: E(X n)= n if( i)= i= n i= 2i 2n altså 2/3 minus et lite ledd som går mot når n går mot uendelig. Variansen kan regnes ut etter samme tankegang. 2 2i Maple = 2 n 2n 3 6n, 2

6 siden X b = X a a<x b såp(x b) =P(X a) +P(a<X b) F (b) = F (a)+p(a<x b). Sannsynligheten for at skåren ligger i et lite intevall [, +Δ] med bredde Δ er dermed (fra formel 9) P(<X +Δ) =F ( +Δ) F () Riktignok står det og ikke < i første ulikhet, men ved åsepå arealbetrakningene ser du at dette fortsatt stemmer (for kontinuerlige, men ikke diskrete fordelinger). For åfå sannsynligheten for at X er nøyaktig kan vi la Δ gåmotif ( +Δ) F (), men da blir vi stående igjen med F () F () =(sidenf er en kontinuerlig funksjon). Det vil si: P(X = ) = () Dette kan også sees ved at arealet av sirkelinja med radius er, den har jo bredde. Mange stusser på at sannsynligheten er, det er jo ikke umulig. En eller annen verdi av får vi jo som utfall, og denne hadde også sannsynlighet før pilen ble kastet. Det som er umulig har sannsynlighet, men det omvendte gjelder altså ikke. Vi er nødt til å si at det er slik, hvis ikke bryter sannsynlighetsregninga sammen (Kolmogoroffs aksiomer kan ikke oppfylles). Hvis sannsynligheten var større enn på et intervall ville den samlede sannsynligheten blit, ikkesom den skal være. Skal du bruke sannsynlighetsregning på dette må du dermed revurdere den oppfatningen av sannsynlighet du (kanskje) har. Her skal jeg forsøke å forklare hvordan dette skjer, i første omgang litt halvformelt: 3. Sannsynlighetstetthet Istedenfor å betrakte sannsynligheten for at utfallet er nøyaktig lik betrakter vi sannsynligheten per enhet på aksen i et lite intervall: P( X +Δ) Δ = F ( +Δ) F () Δ Grensen for dette når Δ (som svarer til n ) kan bettraktes som gjennomsnittssannsynligheten på et uendelig kort intervall. Dette kalles sannsynlighetstettheten. Men denne grensen er definisjonen av deriverte i matematikken: F P( X +Δ) def () = lim = f() () Δ Δ Siden F () = 2 er da f() =F () =2. Strengt tatt gjelder dette bare de mulige verdiene mellom og, f() = for de umulige verdiene utenfor dette intervallet, slik at Grafen er vist i figur 5. for < f() = 2 for < for > Legg merke til analogien mellom sannsynlighetstettheten f() =2 og punktsannsynlighetene f( i)=k i for de diskrete tilfellene. Sammenlik også stolpediagrammet til f( i)oggrafentilf(). Det er imidlertid en viktig forskjell at punktsannsynlighet gir sannsynlighet direkte, mens sannsynlighetstetthet gir (momentan) gjennomsnittssannsynlighet per enhet langs aksen. (2)

7 2,5,8,6,4,2,5 -,5,5,5 -,5,5,5 Figur 5: Sannsynlighetstetthet f() og sannsynlighetsfunksjon F () for eksemplet 2 P(a<X b) a b Figur 6: Sannsynlighet tolket som areal under f() 3.. Sammenhengen mellom sannsynlighetstetthet og sannsynlighetsfunksjon. Vi har følgende sammenheng mellom sannsynlighetsfunksjonen F og sannsynlighetstettheten f: F () =f() (3) Siden F () =f() er b a f() d = F (b) F (a) (fundamentalsetningen i kalkulus, den regelen du er vant til åbrukeforå regne ut bestemte integraler). Siden høyresiden er P (a <X b), fra formel 9, er b P(a<X b) = f() d En geometrisk tolkning av bestemt integral er arealet av området under grafen til integranden, mellom grensene. Dermed kan sannsynligheter illustreres som arealer som i figur 6. Mange resonnementer om sannsynlighet gjøres lettere halvformelt med henvisning til arealer i en figur som denne framfor mer formelle argumenter via integraler. Hvis vi har en formel for F () kan derivasjon brukes til å finne en formel for f(), men situasjonen er ofte at det er f() som er kjent. Da kan vi finne F () vedå integrere f. Forå unngå navnekollisjon bytter vi variabelnavn (fra til t) i integranden: F () = a f(t) dt (4)

8 Dette får vi ved å sette b = og la a iformel9,dalim a F (a) = (det blir sannsynlighet for et utfall som er minfre enn alle mulig reelle tall a). For generell bruk settes den nedre grensen til, men i dette tilfellet (og mange andre, men ikke i den viktige normalfordelinga) er F () =P(X ) =hvis, og da blir integralet F () = f(t) dt = dt + f(t) dt = f(t) dt hvis. Dette gir med f() =2, som i dette eksemplet: F () = 2tdt= [t 2] = 2. Egentlig er det for < siden P (X <) =, dette er umulig. F () = 2 for for > siden P (X ) =, dette er helt sikkert. Kommentar: Også i de diskrete tilfellene er F ( i)et2.gradspolynom,vimå justere litt så -verdiene blir ytre radius r i i poengsirkelen. Tabell får vi for eksempel med formelen F ( i)=( i +.) Noen egenskaper ved sannsynlighetstetthet og sannsynlighetsfunksjon De grunnleggende matematiske egenskapene for f og F er: a) f() b) f() d = c) F () = f(t) dt d) f() =F () e) F () er en ikke avtagende, kontinuerlig funksjon. f) lim F () = og lim F () = b g) P (a <X b) = f() d a (5) Kommentar: Hvis en funksjon f har egenskapene 5a og b kan sannsynlighet defineres via 5c og P (a <X b) = F (b) F (a). Det samme kan vi gjøre for en hvilken som helst funksjon F som har egenskapene 5e og f. En kontinuerlig stokastisk modell definert på en av disse måtene oppfyller Kolmogoroffs aksiomer, og er dermed matematisk gyldig som definisjon på sannsynlighet. Det viser seg også at det er svært nyttig i veldig mange anvendelser å definere kontiuerlig sannsynlighet slik. Når modellen både er matematisk gyldig, matematisk hensiktsmessig og praktisk svært anvendelig er det ingen vits i å stritte mot og hekte seg opp i innvendinger om at den kanskje ikke er % sann, for eksempel fordi vi i praksis ikke kan måle en verdi som et eksakt reelt tall. 3.2 Forventningsverdi og varians. Hvis den kontinuerlige stokastiske variabelen X har sannsynlighetstetthet f er forventningsverdien μ =E(X) def = f() d (definisjon av forventningsverdi). (6) Legg merke til at denne er nokså lik definisjonen for det diskrete tilfellet når erstattes med n i= (eller mer generelt i= ), og i erstattes med (uten indeks).

9 Var (X) def = ( μ) 2 f() d (Definisjon avvarians.) (7) Igjen tilsvarer dette definisjonene for det diskrete tilfellet med integrasjon istedenfor summering. σ def = Vi har følgende nyttige omskrivning av formelen for varians: Var (X) (Definisjon standardavvik.) (8) Var (X) = 2 f() d μ 2 (Alternativ definisjon varians.) (9) Dette tilsvarer tilsvarende omskrivning for det diskrete tilfelle når integrasjon erstatter summering. Integrasjonsgrensene kan erstattes med nedre grense for verdier der f() mens kan erstattes med øvre grense for verdier der f(). For viktige spesialtilfeller trenger vi imidlertid ofte uendelig i en eller begge grensene så vi får uegentlige integraler. For alle de viktigste spesialtilfellene (alle fordelinger i pensum) konvergerer disse integralene. I motsatt fall er ikke variansen og forventningsverdien definert. Forventningsverdi og varians i eksemplet. I eksemplet med f() =2 for f() = ellers, er forventningsverdien E(X) = 2d= 2 2 d = [ ] = 2 3 =2 3 Merk sammenhengen med det diskrete tilfellet, der 2 3 6n der 2 6n er et lite ledd som går mot når n. 2 Nå kan vi si at n har gått mot uendelig, og vi står bare igjen med Variansen er det som oftest greiest å regne ut med formel 9: Var (X) = 2 2d ( ) 2 2 = 2 3 d 4 [ ] = = = = 8. Merk sammenhengen med det diskrete tilfellet, der Var (X) = 8 v n der v n var et lite ledd som går mot når n.nå kan vi si at n har gått mot uendelig, og vi står bare igjen med Halvformell begrunnelse for definisjonen av forventningsverdi (formel 6) : Betrakt først blinken delt inn i n felter med bredde Δ, venstre endepunkt i og midtpunkt i,oglax n være poengene i dette tilfellet. Poengene i den diskrete blinken har da punktsannsynlighet (per definisjon av X n ): f n ( i )=P( i <X< i +Δ) f n ( i )=F ( i +Δ) F ( i ) Videre er (som en konsekvens av definisjonen av f, eller enda mer formelt fra sekantsetningen): F ( i +Δ) F ( i ) Δ Disse kan da kombineres til Forventningsverdi for X n : Siden også i i E(X n )= 8. f( i ) F ( i +Δ) F ( i ) f( i )Δ f n ( i ) f( i )Δ har vi n i f n ( i ) i= n i f( i )Δ i=

10 Det siste uttrykket er en Riemannsum som konvergerer mot det tilsvarende integralet når n : E(X) def = lim n E(X n)= f() d Ved å generalisere først med grensene a og b (istedenfor og ) i integralet, og så laa og b får vi den generelle definisjonen. Variansformelen kan begrunnes på en tilsvarende måte. At disse fomlene og alle andre formler på en liknende måte transformeres fra formler med summetegn for det diskrete tilfellet til tilsvarende formler med integrasjon for det kontinuerlige tilfellet er vel i seg selv god nok begrunnelse for at det er sannsynlighetstettheten som naturlig erstatter punktsannsynligheten for kontinuerlige variable. 4 Endring av poengskala. Til slutt tar vi med et eksempel på hva som skjer om vi endrer poengivninga til en mer vanlig poengskala for blink: Figur 7: Blinken med gammel og ny skala. Vi kaller de gamle verdiene i,dvs. =., 2 =.3, 3 =.5, 4 =.7 og 5 =.9, og poeng med gammel blink for X. Punktsannsynlighten betegnes med f X ( i ), og er den samme som i tabell 2. De nye verdiene kaller vi y i,dvs.y =,y 2 =2,y 3 =3,y 4 =4ogy 5 =5,ogpoengmedny blink for Y. Punktsannsynligheten kaller vi f Y (y i ). Kastsituasjonen er den samme, slik at samme felt får samme sannsynlighet. Siden poengretningen er omvendt må indeksene reverseres, dvs. P (Y = y i )=P(X = i ), det vil si f Y (y i )=f X ( i )=. Dermed kan en tabell for f Y settes opp ved en liten justering av tabell 2: 6 i y i f Y (y i ) (2) Forventningsverdien er dermed μ Y = = 2.2 Standardavviket er σ Y = =.66.

11 Det er imidlertid mulig å regne ut μ Y og σ Y uten ågå om punktsannsynligheten f Y : Legg merke til at y i = 5 i +5.5 (sjekk!). Vi sier da at den stokastiske variabelen Y er en lineær funksjon av X ved Y = 5X +5.5 Det finnes en generell formel for hvordan forventningsverdi og standarddavvik transformeres gjennom lineære funksjoner: E(aX + b) =ae(x)+b og σ ax+b = a σ X (2) Vi har i dette tilfellet at μ =.66 (fra likning 4) og σ =.233(fra likning 6), så denne formelen gir μ Y = =2.2 σ Y = = =.65 Avviket på i 3. desimal skyldes at vi har brukt avrundede verdier i mellomregningene.

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk: Oppsummering kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlig uniform fordeling f() = B A, A B. En kontinuerlig størrelse (vekt, lengde, tid), som aldri kan bli mindre enn

Detaljer

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Krasjkurs MAT101 og MAT111

Krasjkurs MAT101 og MAT111 Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten

Detaljer

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.

Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.

MAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall. MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal

Detaljer

Poissonprosesser og levetidsfordelinger

Poissonprosesser og levetidsfordelinger Poissonprosesser og levetidsfordelinger Poissonfordeling som grensetilfelle for binomisk fordeling La X være binomisk fordelt med fordeling P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x, for x = 0, 1,... n. (1) x Forventningsverdien

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

ECON2130 Kommentarer til oblig

ECON2130 Kommentarer til oblig ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) =

6 x P (X = x) = x=1 = P (X 2 = 6)P (X 2 = 6)P (X 3 = 6) = Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 4, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfallsrommet til X 1 er {1, 2,, 4, 5, }. Sannsynlighetsfordelingen

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

Binomisk sannsynlighetsfunksjon

Binomisk sannsynlighetsfunksjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Normal- og eksponentialfordeling.

Normal- og eksponentialfordeling. Ukeoppgaver i Statistikk, uke 8 : Normal- og eksponentialfordeling. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 8 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag 15. desember 2014 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 11 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I - LØSNING Mandag. desember 214 Tid: 9: 14:

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Potensrekker. Binomialrekker

Potensrekker. Binomialrekker Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever

Detaljer

6.2 Normalfordeling. Høyde kvinner og menn. 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling. Kapittel 6

6.2 Normalfordeling. Høyde kvinner og menn. 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling. Kapittel 6 3 6.2 Normalfordeling Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4245 V2007: Eirik Mo Normalfordeling: Sannsynlighetstettheten til en normalfordelt stokastisk variabel, X, med forventning

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. En tilfeldig variabel er en variabel som får sin numeriske verdi bestemt

Detaljer

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014

MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).

Detaljer

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

1 Grafisk framstilling av datamateriale

1 Grafisk framstilling av datamateriale 1 Grafisk framstilling av datamateriale Dette notatet er laget med tanke på åfå til en rask gjennomgang av denne delen av pensum. Determentforå ha nedskrevet det som forholdsvis rakt blir sagt i forelesning,

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk.

Sannsynlighetsregning og Statistikk. Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den

Detaljer

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.

Siden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden. Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2015

TMA4240 Statistikk H2015 TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/ 2 Høyde, kvinner Frequency

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Sum to terninger forts. Eksempel: kast med to terninger. Sum to terninger forts. Kapittel 3. TMA4240 H2006: Eirik Mo

Sum to terninger forts. Eksempel: kast med to terninger. Sum to terninger forts. Kapittel 3. TMA4240 H2006: Eirik Mo 3 Sum to terninger forts. Kapittel 3 TMA4240 H200: Eirik Mo 2 3 4 5,,2,3,4,5, 2 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 2, Andre 3 3, 3,2 3,3 3,4 3,5 3, terning 4 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4, 5 5, 5,2 5,3 5,4 5,5 5,,,2,3,4,5, Med

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

Fasit, Implisitt derivasjon.

Fasit, Implisitt derivasjon. Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 5 Fasit, Implisitt derivasjon. Oppgave Vi kaller den deriverte av y for y, og dette blir første ledd. Andre ledd må deriveres med kjerneregelen,

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2

TMA4100 Matematikk 1, 4. august 2014 Side 1 av 12. x 2 3x +2. x 2 TMA4 Matematikk, 4. august 24 Side av 2 Oppgave Den rasjonale funksjonen p er definert som p(x) x2 3x +2 3x 2 5x +2. Finn de tre grenseverdiene lim xæ p(x), lim xæ p(x) og lim xæœ p(x). Løsning: x 2 3x

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 27. mai 211. KLASSE: HIS 8 11. TID: kl. 8. 13.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside) TILLATTE

Detaljer

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen

Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen For å tegne grafen til en likning, skal vi bruke kommandoen Den krever at vi henter ned Maples plottekommandoer fra arkivet. Det gjør vi ved kommandoen with plots Gjør det (altså: trykk linjeskift med

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Statistikk 1. Nico Keilman. ECON 2130 Vår 2014

Statistikk 1. Nico Keilman. ECON 2130 Vår 2014 Statistikk 1 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Pensum Kap 1-7.3.6 fra Løvås «Statistikk for universiteter og høgskoler» 3. utgave 2013 (eventuelt 2. utgave) Se overspringelsesliste på emnesiden Supplerende

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen i matematikk 1, modul 2, for 2NGLU(ss) våren 2012

Løsningsforslag, eksamen i matematikk 1, modul 2, for 2NGLU(ss) våren 2012 Løsningsforslag, eksamen i matematikk 1, modul 2, for 2NGLU(ss) våren 2012 OPPGAVE 1 (8 %) a) 2 b) Totalt areal: (a + b)² Areal av rektanglene: a², b², ab og ab. c) 5 25 10 d) OPPGAVE 2 (15 %) a) 7 11

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Eksempel: kast med to terninger

Eksempel: kast med to terninger Kapittel 3 TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 Eksempel: kast med to terninger I et eksperiment kaster vi to terninger og registerer antall øyne på hver terning. Utfallsrom S={(,),(,2),(,3),...,(,), (2,),...,(2,),...,(,)}

Detaljer

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014

Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014 Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING

SANNSYNLIGHETSREGNING SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like

Detaljer

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Iman Ghayoornia February 22, 2016 Oppgave 2.1 Se Excel-filen som er tilgjengelig på emnesiden. Hvis du lurer på hvordan jeg fikk verdiene i cellene så

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

Forelesning 1: Integrasjon. Separable differensiallikninger.

Forelesning 1: Integrasjon. Separable differensiallikninger. Forelesning 1: Integrasjon. Separable differensiallikninger. Trond Stølen Gustavsen 12. januar, 2010 Innhold Anbefalt lesning 1 1.1. Kort repetisjon av integrasjon 1 1.2. Hva er en differensiallikning?

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen

Diskrete sannsynlighetsfordelinger som histogram. Varians. Histogram og kumulativ sannsynlighet. Binomial-fordelingen Diskret sannsynlighetsfordeling (kap 1.1-1.6) Oversikt Utfallsrom (sample space) Sannsynlighetsfordeling Forventning (expectation), E(, populasjonsgjennomsnitt Bruk av figurer og histogram Binomialfordelingen

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.8: Bayes regel 3.1: Stokastisk variabel 3.2: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 3.3: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Mette Langaas Foreleses onsdag 1. september 2010

Detaljer

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger f(x,y) NTNU Kapittel 3: Stokastiske variable og sannsynlighetsfordelinger TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 3.4: Foreleses mandag 30.august y=hoyde x=vekt Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/18 Oppsummering

Detaljer

, men det blir svært tungvindt her.) 3 xe3x 1 9 e3x C 1 9 e3x 3x 1 C

, men det blir svært tungvindt her.) 3 xe3x 1 9 e3x C 1 9 e3x 3x 1 C Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x sinx uv u v uv gir: f x x sinx x cosx x sinx x cosx ) gx sinx sinxcosx sinx, x k cosx cosx g x cosx (x k) (Kan også bruke u v u vuv, men det blir svært tungvindt

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II

Eksamen. Fag: AA6524/AA6526 Matematikk 3MX. Eksamensdato: 6. desember 2006. Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Eksamen Fag: AA654/AA656 Matematikk 3MX Eksamensdato: 6. desember 006 Vidaregåande kurs II / Videregående kurs II Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Elevar/Elever Privatistar/Privatister

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36

MAT1100 - Grublegruppen Uke 36 MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)

Detaljer

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling: Normat 55:, 3 7 (7) 3 Bøker på bøker En bokorms øvelse i stabling Ivar Farup Høgskolen i Gjøvik Postboks 9 N 8 Gjøvik ivar.farup@hig.no Innledning For en tid siden ble jeg konfrontert med følgende problemstilling:

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning)

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling (tillatt som overgangsordning) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: REA4 EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer