RF5100 Lineær algebra Leksjon 2

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "RF5100 Lineær algebra Leksjon 2"

Transkript

1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013

2 I. LINEÆRE SYSTEM

3 SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på linjen l 2 Algebra: (i) eq 1 : x + y = 1 (ii) eq 2 : x + y = 3

4 LØSNING eq 1 + eq 2 : 2y = 4 eq 2 : x + y = 3 eq 1 2 : y = 2 eq 2 : x + y = 3 eq 1 : y = 2 eq 2 eq 1 : x = 1 Resultat: Vi har omformet de opplysningene vi hadde om P til x = 1, y = 2. Metode: Vi dannet lineærkombinasjoner av ligningene.

5 NAIV GAUSS-JORDAN-ELIMINASJON n ligninger eq 1, eq 2,..., eq n. n variabler x 1, x 2,..., x n. Bruk eq 1 til å eliminere x 1 fra de andre ligningene. Bruk den oppdaterte versjonen av eq k til å eliminere x k fra de andre ligningene. Resultat: Siste versjon av eq k inneholder kun variabelen x k : eq 1 : a 1 x 1 = b 1 eq 2 : a 2 x 2 = b 2. eq n : a n x n = b n Altså: x i = b i /a i.

6 PIVOTERING OG AVRUNDINGSFEIL x y = x y = 1 GIVEN MATRIX: { 1.234e e e+19 } { 1.000e e e+00 } Straightforward Gauss Elimination: { 1.000e e e+11 } { 0.000e e e+01 } Error indicator: e+11 Scaled pivoting: { 1.000e e e+01 } { 0.000e e e+01 } Error indicator: e+00 METODEVALG PÅVIRKER NUMERISK STABILITET

7 PIVOTERING n ligninger eq 1, eq 2,..., eq n. n variabler x 1, x 2,..., x n. Finn fram til den ligningen eq i1 som egner seg best for eliminasjon av variabelen x 1. Utfør eliminasjonen og merk ligningen eq i1 som brukt. Steg k: Finn fram til ligningen eq ik som egner seg best for eliminasjon av variabelen x k. Let blant de oppdaterte versjonene av de ubrukte ligningene. Utfør eliminasjonen og merk eq ik som brukt. Resultat: Siste versjon av eq ik inneholder kun variabelen x k : eq ik : a k x k = b k

8 HVILKEN LIGNING EGNER SEG BEST? Svaret er ikke opplagt Tradeoff: Velegnethet vs. Ressursbruk. Absolutt verdi av koeffesienter: Velg den ligningen der x k sin koeffesient har størst absoluttverdi. (Delvis pivotering / Partial pivoting) Relativ verdi av koeffesienter: Velg den ligningen der koeffesienten til variabelen x k har størst absoluttverdi relativt til de andre variablene. (Skalert pivotering / Scaled pivoting)

9 II. LINEÆRE SYSTEM PÅ MATRISEFORM

10 KOEFFESIENTMATRISEN Lineært system: x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 3 x + 2y + 3z = 6 Koeffesientmatrisen: (Arbeidsdata) double[][] coefficients;

11 HVA MATRISER ER 1.0 Matriser holder orden på koeffesienter. Lineært system Koeffesientmatrisen

12 RADOPERASJONER

13 III. MATRISER

14 IV. LINEÆRE SYSTEM OG MATRISELIGNINGER

15 V. INVERSJON OG TRANSPONERING

16 VI. OPPSUMMERING

17 OPPSUMMERING I ETTERKANT Eksempel: Skjæringspunktet mellom to linjer bestemmes av 2 lineære ligninger i to variabler. Eksempel: Tre ligninger med tre ukjente x, y, z. Systematikk: Gausseliminasjon (Enkelt grunnprinsipp): Eliminer variabelen x ved å kombinere ligning 1 med de to andre ligningene. Eliminer variabelen y ved å kombinere ligning 2 med de to andre ligningene. Eliminer variabelen z ved å kombinere ligning 3 med de to andre ligningene.

18 EKSEMPEL x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 3 x + 2y + 3z = 6 Trekker ligning 1 fra de to andre, og variabelen x står igjen alene i første kolonne: x + y + z = y + z = y + 2z = 5 Trekker ligning 2 fra de to andre, og variabelen y står igjen alene i andre kolonne: x = y + z = z = 3

19 EKSEMPEL Trekker ligning 3 fra ligning 2, og variabelen z står igjen alene i tredje kolonne: x = 1 Altså må: 0 + y + 0 = z = 3 x = 1, y = 1 og z = 3 De opprinnelige ligningene bestemmer x, y, z-verdiene, vi former ligningene om og gjør dem gjennomsiktige. Vi hverken legger til eller trekker fra informasjon.

20 GAUSS-JORDAN-ELIMINASJON n ligninger e 1, e 2,..., e n. (Altså n opplysninger) n variabler x 1, x 2,..., x n. (Altså n ukjente) Bruk ligning e k til å frigjøre x k fra de andre ligninge- Steg 1: ne. Steg k: ne. Bruk ligning e 1 til å frigjøre x 1 fra de andre ligninge- Aber: Vi forutsetter her at x k forekommer i ligning k etter steg k 1. Dette kan vi ikke garantere!!

21 PROBLEMEKSEMPEL Systemet x + y + z = 1 2x + 2y + 3z = 3 3x + 3y z = 4 omformes til følgende system etter ett steg: x + y + z = z = z = 1 Vi får ikke til å eliminere y. Vi har to forslag til z-verdier: z = 1, z = 1 4. Systemet er altså selvmotsigende. Vi har utledet en absurditet av det.

22 MILDERE PROBLEMEKSEMPEL Systemet x + y + z = 1 2x + 2y + 3z = 3 2x + 3y z = 4 omformes til følgende system etter ett steg: x + y + z = z = y + 3z = 2 Her kan vi gå videre, men vi må bruke ligning 3 for å eliminere y-variabelen i de andre ligningene. Vi er tjent med svakere kobling mellom ligningene og variablene

23 VII. OPPGAVER

24 REGNEOPPGAVER Noen ligningsystem å bryne seg på: x + 2y 3z = 6 2x y + 4z = 1 x y + z = 3 x + 2y + z = 4 3x + 8y + 7z = 20 2x + 7y + 9z = 23 Den neste har en twist in the tail: 3x 8y + 10z = 22 x 3y + 2z = 5 2x 9y 8z = 11 Og: Hvorfor ikke bruke rad 2 til å eliminere x? Da blir aritmetikken enklere. Løs disse systemene med å arbeide med ligningene og/eller matriseformen til systemet.

25 LAB: MATRISER Skriv en matriseklasse i Java. Ta gjerne utgangspunkt i RF5100/kode/matLib/Matrix.java eller Denne må man vel også ha for å få koden til å kompilere: ~sydlar/rf5100/kode/matlib/dimensionerror.java Her er de lineære matriseoperasjonene allerede implementert. Studer dem og kritiser dem. Arbeid med følgende: public Matrix multiply(matrix other);

26 LAB: GAUSSELIMINASJON Arbeid med: util/solvers.java.

27 REFERANSER -Lineære system : A & R : Kap. 1 D & P: Matriser: D & P:

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12

RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 RF5100 Lineær algebra Leksjon 12 Lars Sydnes, NITH 26. november 2013 I. GAUSS-ELIMINASJON 2x + 3y + z = 1 2x + 5y z = 1 4x + 7y + 4z = 3 x + 3/2 y + 1/2 z = 1/2 x + 2z = 2 y z = 1 3z = 2 x + 2z = 2 y z

Detaljer

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1

RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1 RF3100 Matematikk og fysikk Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 30. august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Ved NTNU: Doktorgrad i Matematikk 2012, Siv.ing. Industriell

Detaljer

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes 11. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger gjort

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 9

RF5100 Lineær algebra Leksjon 9 RF5100 Lineær algebra Leksjon 9 Lars Sydnes, NITH 11. november 2013 I. DATASKJERMEN DATASKJERMEN (0, 0) x (wp os x, wp os y ) y winres x (wcenter x, wcenter y ) winres x (devres x, devres y ) Merk: Det

Detaljer

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit

Obligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1

RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 1 Lars Sydnes, NITH 20.august 2013 I. INFORMASJON FAGLÆRER Kontakt: Lars Sydnes lars.sydnes@nith.no 93035685 Bakgrunn: Doktorgrad i Matematikk fra NTNU (2012), Siv.ing. Industriell

Detaljer

Vektorer og matriser

Vektorer og matriser DUMMY Vektorer og matriser Lars Sydnes 1.september 2014 OBS: UNDER UTVIKLING Oppgaver Det finnes passende oppgaver og løsningsforslag til dette notatet. 1 Innledning La oss se på et system av tre lineære

Detaljer

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata

Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Projeksjoner av vektorer Analyse av værdata Lars Sydnes NITH 12. september 2013 1 Osloserien Ved værstasjoner rundt omkring i verden måler man temperaturen hver eneste dag. Vi har tilgang til målinger

Detaljer

Lineær algebra-oppsummering

Lineær algebra-oppsummering Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 2 Lars Sydnes, NITH 15. januar 2014 I. Forrige gang Praktisk eksempel: Live-koding II. Innlevering Innlevering 1 2.februar Offentliggjøring: 22.januar Innhold:

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Allotment. Innhold. Allotment

Allotment. Innhold. Allotment Allotment Copyright 2008 VisBook AS all rights reserved Dato: 28. mai 2008 - Revisjon: 8 Innhold Allotment...1 Definisjoner...2 Bruksområde...3 Hvordan komme igang med allotment...4 Tillatelser til allotmentbrukeren:...4

Detaljer

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5

Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Oppgaver som illustrerer alle teknikkene i 1.4 og 1.5 Gitt 3 punkter A 1,1,1,B 2,1,3,C 3,4,5 I Finne ligning for plan gjennom 3 punkt Lager to vektorer i planet: AB 1, 0,2 og AC 2,3, 4 Lager normalvektor

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

EGENDEFINERTE FUNKSJONER I SAS OG LITT OM OPEN SOURCE INTEGRASJON SAS FANS I STAVANGER 21.10.2015, MARIT FISKAAEN (SAS INSTITUTE)

EGENDEFINERTE FUNKSJONER I SAS OG LITT OM OPEN SOURCE INTEGRASJON SAS FANS I STAVANGER 21.10.2015, MARIT FISKAAEN (SAS INSTITUTE) EGENDEFINERTE FUNKSJONER I SAS OG LITT OM OPEN SOURCE INTEGRASJON SAS FANS I STAVANGER 21.10.2015, MARIT FISKAAEN (SAS INSTITUTE) EGENDEFINERTE FUNKSJONER INNLEDNING 2 På FANS 4. mars 2015 ble det vist

Detaljer

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser

Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium 1 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT1001!

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10 Lars Sydnes, NITH 9. april 2014 NOE Å STUSSE PÅ? Quadratic probing i Hash-tabell: ( ) 2 i + 1 p = p + ( 1) i+1 2 Underforstått forutsetning: Heltallsaritmetikk

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra

EKSAMEN RF5100, Lineær algebra Side av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF500, Lineær algebra Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator og utdelt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4. oktober 04 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK)

100 ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) ENKLERE OPPGAVER MED HINT OG LØSNINGSFORSLAG I LINEÆR ALGEBRA (OG NOEN I DISKRET MATEMATIKK) EIVIND ERIKSEN, TROND STØLEN GUSTAVSEN, AND HELGE HÜLSEN Introduksjon Dette kompendiet inneholder oppgaver med

Detaljer

Leksjon 3. Kontrollstrukturer

Leksjon 3. Kontrollstrukturer 6108 Programmering i Java Leksjon 3 Kontrollstrukturer Del 2 Løkker Roy M. Istad 2015 Utførelse av et program Programflyt så langt start setning setning setning setning Sekvensielt Alle setninger utføres,

Detaljer

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kompendium i MAT00 Matematikk Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Velkommen til Universitetet i Oslo, og til MAT00! Selv om

Detaljer

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat, vår 2003. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat, vår 2003. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat, vår 2003 Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU Vår 2004 Erling Berge 2004 1 Forelesing IV Multivariat

Detaljer

Emne 7. Vektorrom (Del 1)

Emne 7. Vektorrom (Del 1) Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 7 Lars Sydnes, NITH 19. mars 2014 I. TERMINOLOGI FOR TRÆR TRÆR Lister: Lineære Trær: Hierarkiske Modell / Språk: Bestanddeler: Noder, forbindelser. Forbindelse

Detaljer

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.

Lineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over. Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort

Detaljer

Øving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab

Øving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab Øving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab For grunnleggende bruk av Matlab vises til slides fra basisintroduksjon til Matlab som finnes på kursets hjemmeside. I denne øvingen skal vi analysere

Detaljer

Plan for dagen. Vprg 4. Dagens tema - filbehandling! Strømmer. Klassen FilLeser.java. Tekstfiler

Plan for dagen. Vprg 4. Dagens tema - filbehandling! Strømmer. Klassen FilLeser.java. Tekstfiler Plan for dagen Vprg 4 LC191D Videregående programmering Høgskolen i Sør-Trøndelag Avdeling for informatikk og e-læring Anette Wrålsen Del: Intro til tekstfiler Del II: Mer om tekstfiler, Scanner-klassen

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2015

TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2015 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4102 Prosedyre og Objektorientert programmering Vår 2015 Øving 6 Frist: 2015-02-27 Mål for denne øvinga:

Detaljer

Bruksanvisning i Mathcad Videregående skoler i Oppland

Bruksanvisning i Mathcad Videregående skoler i Oppland Bruksanvisning i Mathcad Videregående skoler i Oppland Sverre Nygård, Sverre.Nygard@oppland.org. En kort bruksanvisning 7.4 Symbolsk løsning av ligninger.0 Symbolpalettene 5.5 Ulikheter. De mest brukte

Detaljer

Høst 2014. Øving 5. 1 Teori. 2 Månedskalender. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap

Høst 2014. Øving 5. 1 Teori. 2 Månedskalender. Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap TDT4105 IT Grunnkurs Høst 2014 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Øving 5 1 Teori a) Hva er den binære ASCII-verdien av bokstaven E (stor e)?

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal

TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk. Eirik Refsdal TMA4135 Matematikk 4D Kompendium i numerikk Eirik Refsdal 2. august 2005 En mangel ved dagens autorative kompendium i matematikk 4, er at numerikkbiten i matematikk 4D er fullstendig utelatt. Dette er

Detaljer

Anordning og fremgangsmåte for kanalkoding og -dekoding i et kommunikasjonssystem som anvender low-density parity-check-koder

Anordning og fremgangsmåte for kanalkoding og -dekoding i et kommunikasjonssystem som anvender low-density parity-check-koder 1 Anordning og fremgangsmåte for kanalkoding og -dekoding i et kommunikasjonssystem som anvender low-density parity-check-koder BAKGRUNN FOR OPPFINNELSEN 5 1. Oppfinnelsens område 10 Den foreliggende oppfinnelsen

Detaljer

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk

Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk Eivind Eriksen Digital Arbeidsbok i ELE 3719 Matematikk 3. april 215 Handelshøyskolen BI Innhold Del I Forelesninger i ELE3719 Matematikk 1 Vektorer og vektorregning......................................

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Bruk av egendefinert kode i SAS Data Integration Studio

Bruk av egendefinert kode i SAS Data Integration Studio Bruk av egendefinert kode i SAS Data Integration Studio D a g H å k o n S o l b e r g C e n t r i c i n n o v a t i o n S A S F A N S 2 6. 1 1. 1 5 Etablert i 2011, men med røtter tilbake til slutten av

Detaljer

Øving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab

Øving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab Øving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab For grunnleggende introduksjon til Matlab, se kursets hjemmeside https://wiki.math.ntnu.no/tma4240/2015h/matlab. I denne øvingen skal vi analysere to

Detaljer

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109

Obligatorisk innlevering 2 - MA 109 Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da

Detaljer

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430

MAT 1001. Vår 2010. Oblig 1. Innleveringsfrist: Fredag 19.februar kl. 1430 MAT Vår Oblig Innleveringsfrist: Fredag 9februar kl 43 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7 etg i Niels Henrik Abels hus innen fristen Oppgaven vil

Detaljer

Løsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130

Løsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130 Løsningsforslag ATEATIKK 1, X130 UTSATT EKSAEN 8. januar 2010 Oppgave 1 a) Alle flisene forutsettes å være like store. Vi tenker oss at sidekantene på flisene er 1 enhet lang og at arealet av hver flis

Detaljer

201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave

201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave 201303 ECON2200 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi deriverer i denne oppgaven de gitte funksjonene med hensyn på alle argumenter. a) b) c),, der d) deriveres med hensyn på både og. Vi kan benytte dee generelle

Detaljer

INF1000 - Uke 10. Ukesoppgaver 10 24. oktober 2012

INF1000 - Uke 10. Ukesoppgaver 10 24. oktober 2012 INF1000 - Uke 10 Ukesoppgaver 10 24. oktober 2012 Vanlige ukesoppgaver De første 4 oppgavene (Oppgave 1-4) handler om HashMap og bør absolutt gjøres før du starter på Oblig 4. Deretter er det en del repetisjonsoppgaver

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i PG4200 Algoritmer og datastrukturer 10. desember 2014

Løsningsforslag til eksamen i PG4200 Algoritmer og datastrukturer 10. desember 2014 Løsningsforslag Dette er et utbygd løsningsforslag. D.v.s at det kan forekomme feil og at løsningene er mer omfattende enn det som kreves av studentene på eksamen. Oppgavesettet består av 5 (fem) sider.

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2006 MAT-INF1100 Differenslikn. p. 1 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst.

Detaljer

Viktige læringsaktiviteter

Viktige læringsaktiviteter Viktige læringsaktiviteter Læringsaktiviteter som dekkes av Aktiviteter Stille spørsmål. Utvikle og bruke modeller. = dekkes Planlegge og gjennomføre undersøkelser. Analysere og tolke data. Bruke matematikk,

Detaljer

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02

MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET. Eskilstuna 5 september 02 Leting på nettet 3 MATEMATIKK OG INFORMASJONSSØKNING PÅ NETTET Eskilstuna 5 september 02 Som så ofte når det gjelder spektakulære tekniske anvendelser, og spesielt når det gjelder verktøyene på nettet,

Detaljer

Hvordan installere Java og easyio på Windows

Hvordan installere Java og easyio på Windows Hvordan installere Java og easyio på Windows Denne veiledningen forklarer en enkel måte å installere Java og easyio på din egen Windows-datamaskin. Du kan finne veiledninger for andre operativsystemer

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 3440 / INF 4440 Signalbehandling Eksamensdag: 27. oktober 2003 10. november 2003 Tid for eksamen: 12.00 12.00 Oppgavesettet

Detaljer

Hva er en algoritme? Har allerede sett på mange algoritmer til nå i IT1101. Forholdet mellom en algoritme og et program. Algoritme program prosess

Hva er en algoritme? Har allerede sett på mange algoritmer til nå i IT1101. Forholdet mellom en algoritme og et program. Algoritme program prosess IT1101 Informatikk basisfag, dobbeltime 2/10 Hva er en algoritme? Fremgangsmåte for noe Hittil: Datarepresentasjon Datamanipulasjon Datamaskinarkutektur hvordan maskinen jobber Operativsystem Program som

Detaljer

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk

EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Side 1 av 5 Oppgavesettet består av 5 (fem) sider. EKSAMEN RF3100 Matematikk og fysikk Tillatte hjelpemidler: Kalkulator, vedlagt formelark Varighet: 3 timer Dato: 4.juni 2015 Emneansvarlig: Lars Sydnes

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Java. INF1000 : Forelesning 2. Ulike varianter for ulike behov. Java Standard Edition (Java SE) Java:

Java. INF1000 : Forelesning 2. Ulike varianter for ulike behov. Java Standard Edition (Java SE) Java: Variable og tilordninger Heltall, desimaltall og sannhetsverdier Kompilering og kjøring Utskrift på skjerm Ole Christian Lingjærde Gruppen for bioinformatikk Institutt for informatikk Universitetet i Oslo

Detaljer

Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs

Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs Generelt om Microsoft Mathematics... 2 Nedlasting... 2 Innholdsoversikt... 2 Fremgangsmåte... 3 Tall og algebra... 4 Omgjøring mellom enheter... 4 Likninger...

Detaljer

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs. Introduksjon til programmering i Matlab. Rune Sætre / Anders Christensen {satre, anders}@idi.ntnu.

TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs. Introduksjon til programmering i Matlab. Rune Sætre / Anders Christensen {satre, anders}@idi.ntnu. 1 TDT4105 Informasjonsteknologi, grunnkurs Introduksjon til programmering i Matlab Rune Sætre / Anders Christensen {satre, anders}@idi.ntnu.no 2 Frist for øving 1: Fredag 11. Sept. Noen oppstartsproblemer

Detaljer

og bevegelse funksjoner som blir aktivert av hendelser Keyboard Informasjonsteknologi 2 Læreplansmål Gløer Olav Langslet Sandvika VGS

og bevegelse funksjoner som blir aktivert av hendelser Keyboard Informasjonsteknologi 2 Læreplansmål Gløer Olav Langslet Sandvika VGS Keyboard og bevegelse Gløer Olav Langslet Sandvika VGS 12.09.2012 Informasjonsteknologi 2 funksjoner som blir aktivert av hendelser Læreplansmål Eleven skal kunne programmere med enkle og indekserte variabler

Detaljer

KJ1042 Øving 12: Elektrolyttløsninger

KJ1042 Øving 12: Elektrolyttløsninger KJ1042 Øving 12: Elektrolyttløsninger Ove Øyås Sist endret: 14. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva sier Gibbs faseregel? Gibbs faseregel kan skrives som f = c p + 2 der f er antall frihetsgrader, c antall

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Hvor i All Verden? Del 3 Erfaren Scratch PDF

Hvor i All Verden? Del 3 Erfaren Scratch PDF Hvor i All Verden? Del 3 Erfaren Scratch PDF Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. Dette er den siste av tre

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

KAPITTEL 2 Tall og datamaskiner

KAPITTEL 2 Tall og datamaskiner KAPITTEL 2 Tall og datamaskiner I dette kapitlet skal vi se på heltall og reelle tall og hvordan disse representeres på datamaskin. Heltall skaper ingen store problemer for datamaskiner annet enn at vi

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Differenslikn. p.124 Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2005 MAT-INF1100 Differenslikn. p.224 Differenslikning av orden 2 (1) Vi kjenner formler for

Detaljer

Forelesning 13 Regresjonsanalyse

Forelesning 13 Regresjonsanalyse Forelesning 3 Regresjonsanalyse To typer bivariat analyse: Bivariat tabellanalyse: Har enhetenes verdi på den uavhengige variabelen en tendens til å gå sammen med bestemte verdier på den avhengige variabelen?

Detaljer

TOD063 Datastrukturer og algoritmer

TOD063 Datastrukturer og algoritmer TOD063 Datastrukturer og algoritmer Øving : 3 Utlevert : Uke 7 Innleveringsfrist : 26. februar 2010 Klasse : 1 Data og 1 Informasjonsteknologi Gruppearbeid: 2-3 personer pr. gruppe. Oppgave 1 Vi skal lage

Detaljer

Matematikk R1 Oversikt

Matematikk R1 Oversikt Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac

Detaljer

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10

RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 RF5100 Lineær algebra Leksjon 10 Lars Sydnes, NITH 11. november 2013 I. LITT OM LYS OG FARGER GRUNNLEGGENDE FORUTSETNINGER Vi ser objekter fordi de reflekterer lys. Lys kan betraktes som bølger / forstyrrelser

Detaljer

SOS3003 Eksamensoppgåver

SOS3003 Eksamensoppgåver SOS3003 Eksamensoppgåver Oppgåve 1 gitt våren 2003 Erling Berge Vår 2004 Erling Berge 1 OPPGAVE 1 Regresjonsanalyse (teller 50%) Euronet/Cranfield undersøkelsen fra 1999 gir interessant informasjon om

Detaljer

AlgDat 12. Forelesning 2. Gunnar Misund

AlgDat 12. Forelesning 2. Gunnar Misund AlgDat 12 Forelesning 2 Forrige forelesning Følg med på hiof.no/algdat, ikke minst beskjedsida! Algdat: Fundamentalt, klassisk, morsomt,...krevende :) Pensum: Forelesningene, oppgavene (pluss deler av

Detaljer

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett. Hvor i All Verden? Del 1 Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. I denne første leksjonen vil vi se på hvordan

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

Kapittel 7: Mer om arv

Kapittel 7: Mer om arv Kapittel 7: Mer om arv Redigert av: Khalid Azim Mughal (khalid@ii.uib.no) Kilde: Java som første programmeringsspråk (3. utgave) Khalid Azim Mughal, Torill Hamre, Rolf W. Rasmussen Cappelen Akademisk Forlag,

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

INF1010 - Seminaroppgaver til uke 3

INF1010 - Seminaroppgaver til uke 3 INF1010 - Seminaroppgaver til uke 3 Oppgave 1 I denne oppgaven skal vi lage et klassehiearki av drikker. Alle klassene i hiearkiet skal implementere følgende grensesnitt p u b l i c i n t e r f a c e Drikkbar

Detaljer

I dag. Rep: Oppsummering - variabler. Rep: Datatyper. INF1000 (Uke 3) Mer om uttrykk, terminal I/O, forgreninger

I dag. Rep: Oppsummering - variabler. Rep: Datatyper. INF1000 (Uke 3) Mer om uttrykk, terminal I/O, forgreninger I dag INF1000 (Uke 3) Mer om uttrykk, terminal I/O, forgreninger Grunnkurs i programmering Institutt for Informatikk Universitet i Oslo Litt repetisjon Mer om uttrykk Lesing og skriving til terminal Forgreninger

Detaljer

Ukonvensjonell bruk av NDT

Ukonvensjonell bruk av NDT Ukonvensjonell bruk av NDT NDT-foreningens årsmøte Bodø 31 mai 2011 Tor Inge Waag, Dr. Ing Teknova AS Tidligere Sensorlink AS My first scanner FPS2000, Inspeksjon av fleksible risere Flere lag, vanskelig

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Kandidatnr Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet LØSNINGSFORSLAG Eksamen i: PRØVEEKSAMEN INF1000 Eksamensdag: Prøveeksamen 22.11.2011 Tid for eksamen: 12:15-16:15 Oppgavesettet

Detaljer

Forelesning 15.11. Datatyper Kap 5.2 Instruksjonsformat Kap 5.3 Flyttall App B

Forelesning 15.11. Datatyper Kap 5.2 Instruksjonsformat Kap 5.3 Flyttall App B TDT4160 Datamaskiner Grunnkurs Forelesning 15.11 Datatyper Kap 5.2 Instruksjonsformat Kap 5.3 Flyttall App B Dagens tema Datatyper (5.2) Heltall Ikke-numeriske datatyper Instruksjonsformat (5.3) Antall

Detaljer

6.2 Eksponentiell modell

6.2 Eksponentiell modell Oppgave 6.14 Du arbeider i 7. 8. klasse og du vil bruke oppgave 6.13 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer.

Detaljer

PG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 1. Frist: 2.februar kl 21.00

PG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 1. Frist: 2.februar kl 21.00 PG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 1 Frist: 2.februar kl 21.00 Utdelt materiale: Alle filer som nevnes er inneholdt i zip-filen innlevering1.zip. Innlevering: Besvarelsen skal være i form

Detaljer

Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004

Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004 Tips til arbeidet med obligatorisk oppgave 2 i MAT-INF 1100 høsten 2004 Knut Mørken 3. november 2004 Etter samtale med noen av dere de siste dagene skjønner jeg at noen strever med del 2 av oblig2. Problemene

Detaljer

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi

KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi KJ1042 Øving 5: Entalpi og entropi Ove Øyås Sist endret: 17. mai 2011 Repetisjonsspørsmål 1. Hva er varmekapasitet og hva er forskjellen på C P og C? armekapasiteten til et stoff er en målbar fysisk størrelse

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 10. Lars Sydnes 21. november 2014

PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 10. Lars Sydnes 21. november 2014 PG4200 Algoritmer og datastrukturer forelesning 10 Lars Sydnes 21. november 2014 I Grafer Grafisk fremstilling av en graf D A B C Ikke-rettet graf Grafisk fremstilling av en graf D A B C Rettet graf Grafisk

Detaljer

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005

SOS1120 Kvantitativ metode. Regresjonsanalyse. Lineær sammenheng II. Lineær sammenheng I. Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 SOS1120 Kvantitativ metode Regresjonsanalyse Forelesningsnotater 11. forelesning høsten 2005 Per Arne Tufte Lineær sammenheng I Lineær sammenheng II Ukelønn i kroner 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000

Detaljer

NB!!! Veldig korte svar er gitt her. Disse burde det vært skrevet mer på ved en eksamen..

NB!!! Veldig korte svar er gitt her. Disse burde det vært skrevet mer på ved en eksamen.. Løsningsforslag Eksamen V2007 Oppgave 1 NB!!! Veldig korte svar er gitt her. Disse burde det vært skrevet mer på ved en eksamen.. Oppgave 1.1 Klasse som pakke rinne n primitiv datatype, slik at vi kan

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i STK3100 Innføring i generaliserte lineære modeller Eksamensdag: Mandag 6. desember 2010 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet

Detaljer

ÅRSPLAN 2015-2016. Arbeidsmåter ( forelesing, individuelt elevarbeid, gruppearbeid, forsøk, ekskursjoner ) - Felles tavleundervisning

ÅRSPLAN 2015-2016. Arbeidsmåter ( forelesing, individuelt elevarbeid, gruppearbeid, forsøk, ekskursjoner ) - Felles tavleundervisning Øyslebø oppvekstsenter ÅRSPLAN 2015-2016 Fag: Matematikk Trinn: 9. klasse Lærer: Tove Mørkesdal og Tore Neerland Tidsrom (Datoer/ ukenr, perioder..) Tema Lærestoff / læremidler (lærebok kap./ s, bøker,

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

1. NetBeans IDE: Lage en enkel mobilapplikasjon

1. NetBeans IDE: Lage en enkel mobilapplikasjon Avdeling for informatikk og e-læring, Høgskolen i Sør-Trøndelag NetBeans IDE: Lage en enkel mobilapplikasjon Mildrid Ljosland/Lene Hoff 09.09.2008 Lærestoffet er utviklet for faget SO350D J2ME for programmering

Detaljer

Hvordan laste ned og installere Java på Windowsplattformen

Hvordan laste ned og installere Java på Windowsplattformen Hvordan laste ned og installere Java på Windowsplattformen Nedlasting 1. Bruk en nettleser og gå til adressen: http://java.sun.com/javase/downloads/ 2. Trykk på lenken Download til høyre for JDK 6 Update

Detaljer

Pong. Oversikt over prosjektet. Steg 1: En sprettende ball. Plan. Sjekkliste. Introduksjon

Pong. Oversikt over prosjektet. Steg 1: En sprettende ball. Plan. Sjekkliste. Introduksjon Pong Introduksjon Pong er et av de aller første dataspillene som ble laget, og det første dataspillet som ble en kommersiell suksess. Selve spillet er en forenklet variant av tennis hvor to spillere slår

Detaljer