RF5100 Lineær algebra Leksjon 2

Transkript

1 RF5100 Lineær algebra Leksjon 2 Lars Sydnes, NITH 27.august 2013

2 I. LINEÆRE SYSTEM

3 SKJÆRINGSPUNKTET FOR TO LINJER l 1 : x + y = 1 P l 2 : x + y = 3 Geometri: (i) P ligger på linjen l 1 (ii) P ligger på linjen l 2 Algebra: (i) eq 1 : x + y = 1 (ii) eq 2 : x + y = 3

4 LØSNING eq 1 + eq 2 : 2y = 4 eq 2 : x + y = 3 eq 1 2 : y = 2 eq 2 : x + y = 3 eq 1 : y = 2 eq 2 eq 1 : x = 1 Resultat: Vi har omformet de opplysningene vi hadde om P til x = 1, y = 2. Metode: Vi dannet lineærkombinasjoner av ligningene.

5 NAIV GAUSS-JORDAN-ELIMINASJON n ligninger eq 1, eq 2,..., eq n. n variabler x 1, x 2,..., x n. Bruk eq 1 til å eliminere x 1 fra de andre ligningene. Bruk den oppdaterte versjonen av eq k til å eliminere x k fra de andre ligningene. Resultat: Siste versjon av eq k inneholder kun variabelen x k : eq 1 : a 1 x 1 = b 1 eq 2 : a 2 x 2 = b 2. eq n : a n x n = b n Altså: x i = b i /a i.

6 PIVOTERING OG AVRUNDINGSFEIL x y = x y = 1 GIVEN MATRIX: { 1.234e e e+19 } { 1.000e e e+00 } Straightforward Gauss Elimination: { 1.000e e e+11 } { 0.000e e e+01 } Error indicator: e+11 Scaled pivoting: { 1.000e e e+01 } { 0.000e e e+01 } Error indicator: e+00 METODEVALG PÅVIRKER NUMERISK STABILITET

7 PIVOTERING n ligninger eq 1, eq 2,..., eq n. n variabler x 1, x 2,..., x n. Finn fram til den ligningen eq i1 som egner seg best for eliminasjon av variabelen x 1. Utfør eliminasjonen og merk ligningen eq i1 som brukt. Steg k: Finn fram til ligningen eq ik som egner seg best for eliminasjon av variabelen x k. Let blant de oppdaterte versjonene av de ubrukte ligningene. Utfør eliminasjonen og merk eq ik som brukt. Resultat: Siste versjon av eq ik inneholder kun variabelen x k : eq ik : a k x k = b k

8 HVILKEN LIGNING EGNER SEG BEST? Svaret er ikke opplagt Tradeoff: Velegnethet vs. Ressursbruk. Absolutt verdi av koeffesienter: Velg den ligningen der x k sin koeffesient har størst absoluttverdi. (Delvis pivotering / Partial pivoting) Relativ verdi av koeffesienter: Velg den ligningen der koeffesienten til variabelen x k har størst absoluttverdi relativt til de andre variablene. (Skalert pivotering / Scaled pivoting)

9 II. LINEÆRE SYSTEM PÅ MATRISEFORM

10 KOEFFESIENTMATRISEN Lineært system: x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 3 x + 2y + 3z = 6 Koeffesientmatrisen: (Arbeidsdata) double[][] coefficients;

11 HVA MATRISER ER 1.0 Matriser holder orden på koeffesienter. Lineært system Koeffesientmatrisen

12 RADOPERASJONER

13 III. MATRISER

14 IV. LINEÆRE SYSTEM OG MATRISELIGNINGER

15 V. INVERSJON OG TRANSPONERING

16 VI. OPPSUMMERING

17 OPPSUMMERING I ETTERKANT Eksempel: Skjæringspunktet mellom to linjer bestemmes av 2 lineære ligninger i to variabler. Eksempel: Tre ligninger med tre ukjente x, y, z. Systematikk: Gausseliminasjon (Enkelt grunnprinsipp): Eliminer variabelen x ved å kombinere ligning 1 med de to andre ligningene. Eliminer variabelen y ved å kombinere ligning 2 med de to andre ligningene. Eliminer variabelen z ved å kombinere ligning 3 med de to andre ligningene.

18 EKSEMPEL x + y + z = 1 x + 2y + 2z = 3 x + 2y + 3z = 6 Trekker ligning 1 fra de to andre, og variabelen x står igjen alene i første kolonne: x + y + z = y + z = y + 2z = 5 Trekker ligning 2 fra de to andre, og variabelen y står igjen alene i andre kolonne: x = y + z = z = 3

19 EKSEMPEL Trekker ligning 3 fra ligning 2, og variabelen z står igjen alene i tredje kolonne: x = 1 Altså må: 0 + y + 0 = z = 3 x = 1, y = 1 og z = 3 De opprinnelige ligningene bestemmer x, y, z-verdiene, vi former ligningene om og gjør dem gjennomsiktige. Vi hverken legger til eller trekker fra informasjon.

20 GAUSS-JORDAN-ELIMINASJON n ligninger e 1, e 2,..., e n. (Altså n opplysninger) n variabler x 1, x 2,..., x n. (Altså n ukjente) Bruk ligning e k til å frigjøre x k fra de andre ligninge- Steg 1: ne. Steg k: ne. Bruk ligning e 1 til å frigjøre x 1 fra de andre ligninge- Aber: Vi forutsetter her at x k forekommer i ligning k etter steg k 1. Dette kan vi ikke garantere!!

21 PROBLEMEKSEMPEL Systemet x + y + z = 1 2x + 2y + 3z = 3 3x + 3y z = 4 omformes til følgende system etter ett steg: x + y + z = z = z = 1 Vi får ikke til å eliminere y. Vi har to forslag til z-verdier: z = 1, z = 1 4. Systemet er altså selvmotsigende. Vi har utledet en absurditet av det.

22 MILDERE PROBLEMEKSEMPEL Systemet x + y + z = 1 2x + 2y + 3z = 3 2x + 3y z = 4 omformes til følgende system etter ett steg: x + y + z = z = y + 3z = 2 Her kan vi gå videre, men vi må bruke ligning 3 for å eliminere y-variabelen i de andre ligningene. Vi er tjent med svakere kobling mellom ligningene og variablene

23 VII. OPPGAVER

24 REGNEOPPGAVER Noen ligningsystem å bryne seg på: x + 2y 3z = 6 2x y + 4z = 1 x y + z = 3 x + 2y + z = 4 3x + 8y + 7z = 20 2x + 7y + 9z = 23 Den neste har en twist in the tail: 3x 8y + 10z = 22 x 3y + 2z = 5 2x 9y 8z = 11 Og: Hvorfor ikke bruke rad 2 til å eliminere x? Da blir aritmetikken enklere. Løs disse systemene med å arbeide med ligningene og/eller matriseformen til systemet.

25 LAB: MATRISER Skriv en matriseklasse i Java. Ta gjerne utgangspunkt i RF5100/kode/matLib/Matrix.java eller Denne må man vel også ha for å få koden til å kompilere: ~sydlar/rf5100/kode/matlib/dimensionerror.java Her er de lineære matriseoperasjonene allerede implementert. Studer dem og kritiser dem. Arbeid med følgende: public Matrix multiply(matrix other);

26 LAB: GAUSSELIMINASJON Arbeid med: util/solvers.java.

27 REFERANSER -Lineære system : A & R : Kap. 1 D & P: Matriser: D & P: