Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner"

Transkript

1 MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske operasjoner deretter på familier av mengder. 1 Regneregler for Booleske operasjoner I vanlig tallregning har vi den distributive lov som forteller oss hvordan vi kan gange et tall med en sum (eller lest baklengs hvordan vi kan trekke en felles faktor utenfor en parentes): x(y 1 + y y n ) = xy 1 + xy xy n Vi har to tilsvarende lover for snitt union: Setning 1 For alle mengder A, B 1, B 2,..., B n gjelder A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ) (1) A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ) (2) Disse lovene gjelder så for (uendelige) indekserte familier: Teorem 2 (Distributive lover for snitt union) For alle mengder A indekserte familier {B α } α I gjelder: ( ) A B α = α I(A B α ) (3) α I ( ) A B α = α I(A B α ) (4) α I Proof: Jeg beviser (3) overlater (4) til leserne. Vi skal følge standardstrategien for å vise at to mengder er like: Først viser vi at ethvert element i mengden på venstre side må være med i mengden på høyre side, deretter viser vi at ethvert element i mengden på høyre side må være med i mengden på venstre side. Dermed har vi vist at mengdene har nøyaktig de samme elementene, følgelig må de være like. 1

2 Anta derfor først at x er et element i mengden på venstre side av (3), dvs. x A ( α I B ) α. Da må x både være element i A i α I B α, følgelig er x med i A minst én B α. Dette betyr at x er med i minst én av mengdene A B α, følgelig er x α I (A B α), dvs. x er med i mengden på høyre side av (3). Vi må nå resonnere den andre veien antar derfor at x α I (A B α). Da er x A B α for minst én α, følgelig er x med i A minst én B α. Altså er x med i A i α I B α, dermed i A α I B α. I de neste regnereglene må vi anta at alle mengdene vi ser på, er inneholdt i et univers U at komplementer er definert med hensyn på U, dvs. at A = U \ A Det er for øvrig nyttig å være klar over at mange bøker bruker en annen notasjon for komplementer skriver isteden. A c = U \ A Setning 3 Dersom A 1, A 2,..., A n er delmengder av universet U, er A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n (5) A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n (6) Vi kan altså ta komplementer av snitt unioner ved å ta komplementer av hver enkelt mengde, men da må vi bytte ut alle unioner med snitt omvendt. Også dette resultatet gjelder like godt for indekserte familier: Teorem 4 (De Morgans lover for mengder) Anta at {A α } α I er en indeksert familie av delmengder av et univers U. Da er α I A α = α I α I A α = α I A α (7) A α (8) Bevis: Jeg beviser (7) overlater (8) til leserne. Strategien er den samme som før: Vi viser først at hvis x U er med i α I A α, så er x med i α I A α, deretter at hvis x U er med i α I A α, så er x med i α I A α. 2

3 Vi antar derfor først at x α I A α. Da er x / α I A α, det vil si at x ikke er med i noen A α. Følgelig er x A α for alle α, dermed er x α I A α. Anta omvendt at x α I A α. Da er x A α for alle α, følgelig er ikke x i A α for noen α. Det betyr at x / α I A α, det vil si at x α I A α. Bemerkning: Legg merke til at de to argumentene ovenfor er helt like bortsett fra at de går i hver sin retning. Vi kan derfor slå dem sammen til ett argument, som litt stilisert kan fremstilles slik ved hjelp av ekvivalenspiler: For x U har vi x α I A α x / α I A α x er ikke i A α for noen α I x er med i A α for alle α I x α I A α Lovene ovenfor er ofte nyttige hjelpemidler når vi skal vise at mengder er like. Her er et litt kunstig (men eksamensrelevant!) eksempel. Eksempel 1 Vi skal vise at for alle mengder A, B, C, er A (B \ C) = (A \ B) (A C) Bruker vi definisjonen av mengdedifferanse etterfulgt av først en av De Morgans lover deretter en distributiv lov, ser vi at A (B \ C) def. De M. = A (B C) = A (B C) = A (B C) dist. = (A B) (A C) def. = (A \ B) (A C) Oppgaver til seksjon 1 1. Anta at A, B, C er delmengder av et univers U. Vis at A (B C) = (B \ A) (C \ A) 2. Vis at dersom A B er delmengder av et univers U, så er (A B) = A \ B 3. A B er to delmengder av et univers U. Vis at 4. Bevis formel (4). 5. Bevis formel (8). (A B) B = A B 3

4 2 Familier av mengder Mange av de mengdene vi bruker i matematikken, har selv mengder som elementer. Eksempel 2: Hvis A er en mengde, er potensmengden definert ved P(A) = mengden av alle delmengder av A Elementene i potensmengden er altså selv mengder. Eksempel 3: Mengden av alle lukkede, begrensede intervaller på tallinjen I = {[a, b] : a, b R, a b} er et annet eksempel på en mengde der elementene er mengder. En mengde av mengder kalles ofte en familie (av mengder). Strengt tatt er det ikke nødvendig å innføre et nytt navn, men det blir fort forvirrende å snakke om mengder av mengder, da er det greit å bruke betegnelsen familie isteden. Familier betegnes ofte med skriftbokstaver som A, B, F, G. Dette gir en systematikk i symbolbruken som det kan være lurt å holde seg til: elementer (tall, vektorer osv.): mengder (av elementer): familier (av mengder): små bokstaver: a, f, x, α, u osv. store bokstaver: A, F, X, U osv. skriftbokstaver: A, F, X, U osv. Det er ikke alltid naturlig å følge disse retningslinjene, men som regel gir de en fremstilling som er grei å lese fordi notasjonen forteller oss hvilket nivå (element, mengde eller familie) vi er på. De familiene du finner i læreboken er gjerne indekserte, dvs. på formen {A α } α I for en indeksmengde I. Det er alltid mulig å indeksere en gitt familie, men det er ofte unødvendig tungvint. Man bør derfor lære seg så å behandle familier som ikke er indekserte. Det er litt abstrakt, men ikke spesielt vanskelig. For eksempel er union snitt av mengdene i en ikke-tom familie A gitt ved A = {x : x er med i minst én av mengdene A A} A = {x : x er med i alle mengdene A A} Regnereglene vi har utledet, gjelder som før: 4

5 Teorem 5 (Distributive lover for familier) For alle mengder A familier B gjelder: ( ) A B = B B(A B) (9) A B B ( B B B ) = B B(A B) (10) For å formulere de nye versjonene av De Morgans lover, må vi anta at alle mengdene i familien er delmengder av et felles univers U som vi bruker når vi lager komplementer. Teorem 6 (De Morgans lover for familier) Anta at A er en familie av delmengder av et univers U. Da er A = A = A (11) A (12) Bevisene for disse resultatene er akkurat som før overlates til leserne. De familiene du vil møte i videre matematikkurs, er av ulike typer, disse typene har navn som algebraer, σ-algebraer, topolier, filtre, idealer osv. avhengig av hva slags egenskaper de har. Mange av disse egenskapene ligner på hverandre, det kan derfor være nyttig å se et eksempel på en slik type av familier. Definisjon 7 Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie A av delmengder av X kalles en algebra dersom følgende krav er oppfylt: (i) A (ii) Hvis A A, så er A A (komplementer er med hensyn på X, så A = X \ A) (iii) Hvis A, B A, så er A B A Legg merke til konstruksjonen: Den første betingelsen sørger for at visse mengder er med i familien (i dette tilfellet ), mens de to neste sier at hvis noen mengder er med i familien, så må andre så være det: Vi sier at A er lukket under komplementer (betingelse (ii)) under unioner (betingelse (iii)). Slike betingelser er svært vanlige når man definerer familietyper (du vil se flere eksempler i oppgavene). 5

6 Det er vanligvis mange algebraer på samme mengde X. Den største er potensmengden P(X) som består av alle delmengder av X, mens den minste er A = {, X} som bare består av den obligatoriske mengdene pluss dens komplement X. De andre algebraene på X ligger mellom disse ytterpunktene. Ofte vil familietypen ha interessante egenskaper i tillegg til dem som er tatt med i definisjonen. Her er et eksempel. Setning 8 Anta at A er en algebra på en mengde X. Hvis A, B A, så er A B A. En algebra er altså så lukket under snitt. Bevis: Vi skal utnytte betingelse (ii) (iii) i samarbeid med De Morgans lover. Legg merke til at ifølge De Morgans ene lov er A B = A B = A B siden komplementet til komplementet er mengden selv. Det er derfor nok å vise at A B A. Men det følger fra (i) (ii): Siden A B er i A, må A B være med i A ifølge (ii). Fra (iii) følger det da at A B A, bruker vi (ii) igjen, ser vi at A B A. Argumenter av denne typen er svært vanlig, du vil ha anledning til å bruke dem i oppgavene. Her er et annet triks som ofte er nyttig: Setning 9 Anta at A er en algebra på en mengde X at A 1, A 2,... A n er endelig mange mengder i A. Da er A 1 A 2... A n A; dvs. A er lukket under unioner av endelig mange mengder. Bevis: Vi skal vise dette ved induksjon på n. For n = 1 er det en selvfølgelighet for n = 2 er det punkt (ii) i definisjonen av algebra. Anta derfor at setningen er oppfylt for n = k, at vi skal vise at den holder for n = k + 1. Hvis A 1, A 2,..., A k, A k+1 A, må vi altså vise at A 1 A 2... A k A k+1 A. Ifølge induksjonshypotesen er siden A 1 A 2... A k A A 1 A 2... A k A k+1 = (A 1 A 2... A k ) A k+1 følger det fra betingelse (ii) at A 1 A 2... A k A k+1 A. Til slutt skal vi se på en problemstilling som ofte dukker opp: Anta at vi er gitt en familie A 0 av delmengder av en mengde X, at vi ønsker å utvide den til en algebra. Finnes det en minste algebra A som inneholder 6

7 A 0? Vi skal se på to argumenter for at det gjør det. Argument 1: I dette argumentet lager vi en kjede {A n } n N av stadig større familier setter til slutt A = n N A n. I hver mengde A n putter vi inn mengder som mangler for at vi skal ha en algebra. Konstruksjonen er induktiv, dvs. den virker på samme måte som et induksjonsbevis: Grunnsteget: Vi lar A 1 = A 0 { }. Dette sørger for at den tomme mengde er med slik betingelse (i) i definisjonen av algebra krever. Induksjonssteget: Anta at vi allerede har konstruert A n. Da konstruerer vi A n+1 ved å sette A n+1 = A n {A : A A n } {A B : A, B A n } Vi utvider altså A n ved å putte inn komplementer unioner av mengder i A n. Skal vi få en algebra, må disse være med ifølge betingelsene (ii) (iii) i definisjonen. Som allerede nevnt, avslutter vi konstruksjonen ved å sette A = n N A n. Det gjenstår å vise at A er den minste algebraen som inneholder A 0 ( minste i den forstand at hvis B er en annen algebra som inneholder A 0, så er A B). Vi begynner med å observere at siden A 0 A 1, så er A 0 A. Videre observerer vi ved induksjon at hvis B er en algebra som inneholder A 0, så må den så inneholde alle A n dermed A (det er fordi en algebra som inneholder alle mengdene i A n, så må inneholde alle elementene i A n+1 siden den er lukket under komplementer unioner). Dermed gjenstår det å vise at A er en algebra, dvs. at den tilfredsstiller betingelsene (i)-(iii). Vi sjekker disse hver for seg: (i) Siden A 1 per konstruksjon, er A. (ii) Hvis A A, må A A n for en eller annen n. Ifølge konstruksjonen er dermed A A n+1, det medfører at A A. (iii) Hvis A, B A, finnes det tall m, n slik at A A m B A n. Lar vi k være det største av tallene m, n, er A, B A k. Per konstruksjon er dermed A B A k+1, dermed er A B A. Dermed er argument 1 fullført. Styrken til argument 1 er at vi vet nøyaktig hvilke mengder vi putter inn i A. Ulempen er at trikset med å sette A = n N A n ikke fungerer når familiene er mer kompliserte enn algebraer. Vi skal derfor se på en mer abstrakt metode som alltid virker, men der vi mister kontrollen over hvilke mengder A består av. Argument 2: La α være mengden av alle algebraer på X som inneholder A 0 (α er altså en familie av familier!). Siden P(X) er en algebra, er α ikke-tom. 7

8 Vi definerer nå A = B α B (A er altså snittet av alle algebraer på X som inneholder A 0 ). Vi skal vise at A er den minste algebraen som inneholder A 0. At A faktisk inneholder A 0, følger umiddelbart av at A 0 B for alle A α. Siden A = B α B, ser vi så at A B for alle B α, dvs. at det ikke kan finnes noen algebra som inneholder A 0 er mindre enn A. Dermed gjenstår det å vise at A er en algebra, igjen sjekker vi betingelsene (i)-(iii) hver for seg. (i) Siden B for alle B α (fordi enhver slik B er en algebra), er A = B α B. (ii) Hvis A A, så er A B for enhver B α. Siden enhver slik B er en algebra, er dermed A B for enhver B α. Men det betyr at A B α B = A som er det vi skulle vise. (iii) Hvis A, B A, så er A, B B for enhver B α. Siden enhver slik B er en algebra, er dermed A B B for enhver B α. Men det betyr at A B B α B = A (iii) akkurat som vi skulle vise. Dermed har vi vist at A er en algebra, argument 2 er fullført. Når man blir vant til det, er ikke argument 2 spesielt vanskelig, men det er lett å bli forvirret første gang man ser det. Grunnen er at det inneholder mengder på tre forskjellige nivåer: delmengder av X (som, X, A, B), familer av delmengder (som A 0, A, B) familier av familier (som α). Det er lett å blande disse nivåene, da blir argumentet vanskelig å følge. Den store fordelen ved argument 2 er at det nesten alltid fungerer når vi har familier definert ved lukningsegenskaper. La oss avslutte med litt terminoli. Definisjon 10 Den minste algebraen A som inneholder A 0 kalles algebraen generert av A 0. Oppgaver til seksjon 2 1. Bevis de distributive lovene for familier (formlene (9) (10)). 8

9 2. Bevis De Morgans lover for familier (formlene (11) (12)). 3. Anta at X er en uendelig mengde. La Vis at A er en algebra. A = {A X : A eller A er endelig} 4. Anta at A er en algebra av delmengder av X. Vis at dersom A, B A, så er A \ B A. 5. Anta at A er en algebra av delmengder av X at A 1, A 2,... A n er endelig mange mengder i A. Vis at A 1 A 2... A n A. 6. Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie A av delmengder av X kalles en σ-algebra dersom følgende krav er oppfylt: (i) A (ii) Hvis A A, så er A A. (iii) Hvis {A n } n N er en følge av mengder i A, så er n N A n A. I resten av oppgaven antar vi at A er en σ-algebra på X. a) Vis at X A. b) Vis at hvis {A n } n N er en følge av mengder i A, så er n N A n A. c) Vis at A er en algebra. d) Anta at A 0 er en delmengde av X. Vis at det finnes en minste σ-algebra på X som inneholder A 0. Forklar hvorfor du må modellere beviset på argument 2 ovenfor ikke på argument Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie T av delmengder av X kalles en topoli dersom følgende krav er oppfylt: (i), X T (ii) Hvis O 1, O 2,..., O n er en endelig samling av elementer i T, så er O 1 O 2... O n T ( T er lukket under endelige snitt ). (iii) Hvis {O α } α I er familie av mengder i T, så er α I O α A. ( T er lukket under vilkårlige unioner ). En mengde F X kalles lukket dersom F c T. Vis at: a) Hvis F 1, F 2,..., F n er lukkede mengder, så er F 1 F 2... F n lukket. b) Hvis {F α } α I er familie av lukkede mengder, så er α I F α lukket. c) Anta at T 0 er en delmengde av X. Vis at det finnes en minste topoli på X som inneholder T 0. d) En delmengde O av R kalles åpen hvis den enten er tom eller dersom det for hver a O finnes en r > 0 slik at (a r, a + r) O. Vis at samlingen av åpne mengder er en topoli på R. 8. Anta at X er en ikke-tom mengde. En ikke-tom familie F av delmengder av X kalles et filter dersom følgende krav er oppfylt: 9

10 (i) / F. (ii) Hvis F, G F, så er F G F. (iii) Hvis F F F G X, så er G F. a) La x X. Vis at F x = {F X : x F } er et filter. b) Anta at X er uendelig. Vi sier at en mengde F X er kofinit dersom komplementet F c er endelig. Vis at familien av alle kofinite mengder er et filter. c) Anta at F er et filter på X at G er en delmengde av X slik at for alle F F er F G. Vis at det finnes et filter G på X slik at F G G G. En ikke-tom familie I av delmengder av X kalles et ideal dersom følgende krav er oppfylt: (i) X / I. (ii) Hvis I, J I, så er I J I. (iii) Hvis I I J I, så er J I. d) Vis at hvis I er et ideal, så er et filter. e) Vis at hvis F er et filter, så er et ideal. F = {I : I I} I = {F : F F} 10

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:41) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)

Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret

Detaljer

MAT1030 Forelesning 10

MAT1030 Forelesning 10 MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis

Grafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis Grafteori MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Vi regner oppgavene på tavlen

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

x A e x = x e = x. (2)

x A e x = x e = x. (2) Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste

Detaljer

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med

Detaljer

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.

Detaljer

Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis

Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Plenumsregning 11 Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen - 24. april 2008 Grafteori Vi regner oppgavene på tavlen i dag. Oppgave 10.9 Oppgave 10.10 Oppgave 10.11 Oppgave 10.12 Oppgave

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt

Detaljer

INF3170 / INF4171. Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet. Andreas Nakkerud. 15. september 2015

INF3170 / INF4171. Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet. Andreas Nakkerud. 15. september 2015 INF3170 / INF4171 Intuisjonistisk logikk: Kripke-modeller, sunnhet, kompletthet Andreas Nakkerud 15. september 2015 Kripke-modeller Vi ser på modeller for et språk L. Definisjon En Kripke-modell er et

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

INF1800 Forelesning 2

INF1800 Forelesning 2 INF1800 Forelesning 2 Mengdelære Roger Antonsen - 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste av det vi gjør her kan leses uavhengig av boken. Følgende avsnitt i boken

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder

x 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder 4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Mengdelære Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Læreboken Mengder Definisjon

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2015

Matematikk for IT, høsten 2015 Matematikk for IT, høsten 015 Oblig 5 Løsningsforslag 5. oktober 016 3.1.1 3.1.13 a) Modus ponens. b) Modus tollens. c) Syllogismeloven. a) Ikke gyldig. b) Gyldig. 3.1.15 a) Hvis regattaen ikke avlyses,

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2017

Matematikk for IT, høsten 2017 Matematikk for IT, høsten 017 Oblig 5 Løsningsforslag 0. september 017 Oppgave 1 (eksamen desember 013) Gitt følgende logiske utsagn: ( p ( p q)) Benytt lovene i logikk til å finne hvilket av følgende

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1

Detaljer

LO118D Forelesning 3 (DM)

LO118D Forelesning 3 (DM) LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til

Detaljer

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018

8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018 8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.

Detaljer

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

4 Matriser TMA4110 høsten 2018

4 Matriser TMA4110 høsten 2018 Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 9: Mengdelære Dag Normann OVER TIL KAPITTEL 5 Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 11. februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk 11. februar 2008 2 De fleste

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Hvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning.

Hvis formlene i Γ og er lukkede, vil sannhetsverdiene til formlene under M være uavhengig av variabeltilordning. Forelesning 12: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Christian Mahesh Hansen - 30. april 2007 1 Kompletthet av fri-variabel LK Teorem 1.1 (Kompletthet). Hvis Γ er gyldig,

Detaljer

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert

Detaljer

Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C)

Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C) Mengder, fortsettelse. Tre mengder Venndiagram for tre mengder A, B og C må tegnes slik at alle muligheter blir dekket. For å få dette til må de overlappe hverandre: Oppgave: Avgjør om følgende to mengder

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]

INF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng] INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den

Detaljer

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret

Detaljer

MAT1030 Forelesning 17

MAT1030 Forelesning 17 MAT1030 Forelesning 17 Rekurrenslikninger Roger Antonsen - 18. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-18 19:3) Forelesning 17 Forrige gang ga vi en rekke eksempler på bruk av induksjonsbevis og rekursivt definerte

Detaljer

Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet. 1 Mengdelære III. 2 Utsagnslogikk. 1.1 Multimengder. 2.

Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet. 1 Mengdelære III. 2 Utsagnslogikk. 1.1 Multimengder. 2. Forelesning 3-6. februar 2006 Utsagnslogikk sekventkalkyle og sunnhet 1 Mengdelære III 1.1 Multimengder Multimengder Mengder der antall forekomster av hvert element teller Definisjon (Multimengde). En

Detaljer

Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.

Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar. Forelesning 16: Repetisjon Christian Mahesh Hansen - 4. juni 2007 1 Kompletthet 1.1 Introduksjon Definisjon 1.1 (Kompletthet). Sekventkalkylen LK er komplett hvis enhver gyldig sekvent er LK-bevisbar.

Detaljer

Dagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens)

Dagens plan. INF4170 Logikk. Modelleksistens for grunn LK repetisjon. Kompletthet av fri-variabel LK. Teorem (Kompletthet) Lemma (Modelleksistens) INF4170 Logikk Dagens plan Forelesning 11: Automatisk bevissøk III fri-variabel kompletthet og repetisjon av sunnhet Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 31. april 2008 Institutt

Detaljer

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket

Detaljer

INF3170 Forelesning 1

INF3170 Forelesning 1 INF3170 Forelesning 1 Introduksjon og mengdelære Roger Antonsen - 26. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-26 14:58) Dagens plan Innhold Velkommen til INF3710 Logikk 1 Litt praktisk informasjon...................................

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma

Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma Fredrik Meyer Her er et løsningsforslag på Oppgave 3 og Oppgave 5 i notatet om Zorns lemma. De to første oppgavene ble gjort på plenum. Oppgave 1. Vi skal

Detaljer

Notat med oppgaver for MAT1140

Notat med oppgaver for MAT1140 Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis

Detaljer

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige

Detaljer

MAT1030 Forelesning 19

MAT1030 Forelesning 19 MAT1030 Forelesning 19 Generell rekursjon og induksjon Roger Antonsen - 25. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-25 11:06) Forelesning 19 Forrige gang så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 26: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 5. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-06 22:27) Forelesning 26 MAT1030 Diskret Matematikk 5.

Detaljer

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018 9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Venn-diagrammer. MAT1030 Diskret matematikk. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Eksempel. Forelesning 10: Mengdelære

Venn-diagrammer. MAT1030 Diskret matematikk. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Eksempel. Forelesning 10: Mengdelære Venn-diagrammer MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 13. februar 2008 Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement

Detaljer

Forelesning 10. Mengdelære. Dag Normann februar Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer

Forelesning 10. Mengdelære. Dag Normann februar Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer. Venn-diagrammer Forelesning 10 Mengdelære Dag Normann - 13. februar 2008 Venn-diagrammer Mandag innførte vi de Booleske operasjonene Union Snitt Komplement A Mengdedifferens A B samt de faste mengdene og E. Venn-diagrammer

Detaljer

MAT1030 Forelesning 14

MAT1030 Forelesning 14 MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er

Detaljer

Viktige begrep i kapittel 1.

Viktige begrep i kapittel 1. Viktige begrep i kapittel 1. 1. Egenskaper ved relasjoner. La R A A være en binær relasjon. (a) At R er refleksiv betyr at x (x, x) R. (b) At R er symmetrisk betyr at x y ((x, y) R (y, x) R ). (c) At R

Detaljer

Litt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel

Litt mer mengdelære. INF3170 Logikk. Multimengder. Definisjon (Multimengde) Eksempel INF3170 Logikk Forelesning 2: Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Litt mer mengdelære 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030

Detaljer

Hint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.

Hint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere

Detaljer

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon.

Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk. Generell induksjon og rekursjon. Generell induksjon og rekursjon. MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 18: Generell rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 12. mars 2008 Mandag så vi på induktivt definerte mengder og noen eksempler

Detaljer

INF3170 Forelesning 2

INF3170 Forelesning 2 INF3170 Forelesning 2 Mengdelære, induktive definisjoner og utsagnslogikk Roger Antonsen - 2. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-02 14:26) Dagens plan Innhold Litt mer mengdelære 1 Multimengder.........................................

Detaljer

Et detaljert induksjonsbevis

Et detaljert induksjonsbevis Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall

Detaljer

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.

Detaljer

En følge i en lukket delmengde av R^m kan altså ikke konvergere mot en vektor utenfor den lukkede delmengden.

En følge i en lukket delmengde av R^m kan altså ikke konvergere mot en vektor utenfor den lukkede delmengden. MAT1300 Analyse I 2. februar 2009 For analyse i R spiller delmengder E \subset R på formen E = (a,b) og E= [a,b] ofte en spesiell rolle. Dette er de åpne og de lukkede intervallene. For analyse i R^m er

Detaljer

Øvingsforelesning 2. Mengdelære, funksjoner, rekurrenser, osv. TMA4140 Diskret Matematikk. 10. og 12. september 2018

Øvingsforelesning 2. Mengdelære, funksjoner, rekurrenser, osv. TMA4140 Diskret Matematikk. 10. og 12. september 2018 Mengdelære, funksjoner, rekurrenser, osv. Øvingsforelesning 2 TMA4140 Diskret Matematikk 10. og 12. september 2018 Dagens øvingsforelesning Spørsmål til emnene i forrige uke Oppgaver fra midtsemesterprøver

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 32: Repetisjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. mai 2008 Streik? Det er muligheter for streik i offentlig sektor fra midnatt, natt til fredag.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære

Detaljer

KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting

KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting Logikk er sentralt både i matematikk og programmering, og en innføring i de enkleste delene av logikken er hovedtema i dette kapitlet I tillegg ser vi litt

Detaljer

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer