Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner"

Transkript

1 MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske operasjoner deretter på familier av mengder. 1 Regneregler for Booleske operasjoner I vanlig tallregning har vi den distributive lov som forteller oss hvordan vi kan gange et tall med en sum (eller lest baklengs hvordan vi kan trekke en felles faktor utenfor en parentes): x(y 1 + y y n ) = xy 1 + xy xy n Vi har to tilsvarende lover for snitt union: Setning 1 For alle mengder A, B 1, B 2,..., B n gjelder A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ) (1) A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ) (2) Disse lovene gjelder så for (uendelige) indekserte familier: Teorem 2 (Distributive lover for snitt union) For alle mengder A indekserte familier {B α } α I gjelder: ( ) A B α = α I(A B α ) (3) α I ( ) A B α = α I(A B α ) (4) α I Proof: Jeg beviser (3) overlater (4) til leserne. Vi skal følge standardstrategien for å vise at to mengder er like: Først viser vi at ethvert element i mengden på venstre side må være med i mengden på høyre side, deretter viser vi at ethvert element i mengden på høyre side må være med i mengden på venstre side. Dermed har vi vist at mengdene har nøyaktig de samme elementene, følgelig må de være like. 1

2 Anta derfor først at x er et element i mengden på venstre side av (3), dvs. x A ( α I B ) α. Da må x både være element i A i α I B α, følgelig er x med i A minst én B α. Dette betyr at x er med i minst én av mengdene A B α, følgelig er x α I (A B α), dvs. x er med i mengden på høyre side av (3). Vi må nå resonnere den andre veien antar derfor at x α I (A B α). Da er x A B α for minst én α, følgelig er x med i A minst én B α. Altså er x med i A i α I B α, dermed i A α I B α. I de neste regnereglene må vi anta at alle mengdene vi ser på, er inneholdt i et univers U at komplementer er definert med hensyn på U, dvs. at A = U \ A Det er for øvrig nyttig å være klar over at mange bøker bruker en annen notasjon for komplementer skriver isteden. A c = U \ A Setning 3 Dersom A 1, A 2,..., A n er delmengder av universet U, er A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n (5) A 1 A 2... A n = A 1 A 2... A n (6) Vi kan altså ta komplementer av snitt unioner ved å ta komplementer av hver enkelt mengde, men da må vi bytte ut alle unioner med snitt omvendt. Også dette resultatet gjelder like godt for indekserte familier: Teorem 4 (De Morgans lover for mengder) Anta at {A α } α I er en indeksert familie av delmengder av et univers U. Da er α I A α = α I α I A α = α I A α (7) A α (8) Bevis: Jeg beviser (7) overlater (8) til leserne. Strategien er den samme som før: Vi viser først at hvis x U er med i α I A α, så er x med i α I A α, deretter at hvis x U er med i α I A α, så er x med i α I A α. 2

3 Vi antar derfor først at x α I A α. Da er x / α I A α, det vil si at x ikke er med i noen A α. Følgelig er x A α for alle α, dermed er x α I A α. Anta omvendt at x α I A α. Da er x A α for alle α, følgelig er ikke x i A α for noen α. Det betyr at x / α I A α, det vil si at x α I A α. Bemerkning: Legg merke til at de to argumentene ovenfor er helt like bortsett fra at de går i hver sin retning. Vi kan derfor slå dem sammen til ett argument, som litt stilisert kan fremstilles slik ved hjelp av ekvivalenspiler: For x U har vi x α I A α x / α I A α x er ikke i A α for noen α I x er med i A α for alle α I x α I A α Lovene ovenfor er ofte nyttige hjelpemidler når vi skal vise at mengder er like. Her er et litt kunstig (men eksamensrelevant!) eksempel. Eksempel 1 Vi skal vise at for alle mengder A, B, C, er A (B \ C) = (A \ B) (A C) Bruker vi definisjonen av mengdedifferanse etterfulgt av først en av De Morgans lover deretter en distributiv lov, ser vi at A (B \ C) def. De M. = A (B C) = A (B C) = A (B C) dist. = (A B) (A C) def. = (A \ B) (A C) Oppgaver til seksjon 1 1. Anta at A, B, C er delmengder av et univers U. Vis at A (B C) = (B \ A) (C \ A) 2. Vis at dersom A B er delmengder av et univers U, så er (A B) = A \ B 3. A B er to delmengder av et univers U. Vis at 4. Bevis formel (4). 5. Bevis formel (8). (A B) B = A B 3

4 2 Familier av mengder Mange av de mengdene vi bruker i matematikken, har selv mengder som elementer. Eksempel 2: Hvis A er en mengde, er potensmengden definert ved P(A) = mengden av alle delmengder av A Elementene i potensmengden er altså selv mengder. Eksempel 3: Mengden av alle lukkede, begrensede intervaller på tallinjen I = {[a, b] : a, b R, a b} er et annet eksempel på en mengde der elementene er mengder. En mengde av mengder kalles ofte en familie (av mengder). Strengt tatt er det ikke nødvendig å innføre et nytt navn, men det blir fort forvirrende å snakke om mengder av mengder, da er det greit å bruke betegnelsen familie isteden. Familier betegnes ofte med skriftbokstaver som A, B, F, G. Dette gir en systematikk i symbolbruken som det kan være lurt å holde seg til: elementer (tall, vektorer osv.): mengder (av elementer): familier (av mengder): små bokstaver: a, f, x, α, u osv. store bokstaver: A, F, X, U osv. skriftbokstaver: A, F, X, U osv. Det er ikke alltid naturlig å følge disse retningslinjene, men som regel gir de en fremstilling som er grei å lese fordi notasjonen forteller oss hvilket nivå (element, mengde eller familie) vi er på. De familiene du finner i læreboken er gjerne indekserte, dvs. på formen {A α } α I for en indeksmengde I. Det er alltid mulig å indeksere en gitt familie, men det er ofte unødvendig tungvint. Man bør derfor lære seg så å behandle familier som ikke er indekserte. Det er litt abstrakt, men ikke spesielt vanskelig. For eksempel er union snitt av mengdene i en ikke-tom familie A gitt ved A = {x : x er med i minst én av mengdene A A} A = {x : x er med i alle mengdene A A} Regnereglene vi har utledet, gjelder som før: 4

5 Teorem 5 (Distributive lover for familier) For alle mengder A familier B gjelder: ( ) A B = B B(A B) (9) A B B ( B B B ) = B B(A B) (10) For å formulere de nye versjonene av De Morgans lover, må vi anta at alle mengdene i familien er delmengder av et felles univers U som vi bruker når vi lager komplementer. Teorem 6 (De Morgans lover for familier) Anta at A er en familie av delmengder av et univers U. Da er A = A = A (11) A (12) Bevisene for disse resultatene er akkurat som før overlates til leserne. De familiene du vil møte i videre matematikkurs, er av ulike typer, disse typene har navn som algebraer, σ-algebraer, topolier, filtre, idealer osv. avhengig av hva slags egenskaper de har. Mange av disse egenskapene ligner på hverandre, det kan derfor være nyttig å se et eksempel på en slik type av familier. Definisjon 7 Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie A av delmengder av X kalles en algebra dersom følgende krav er oppfylt: (i) A (ii) Hvis A A, så er A A (komplementer er med hensyn på X, så A = X \ A) (iii) Hvis A, B A, så er A B A Legg merke til konstruksjonen: Den første betingelsen sørger for at visse mengder er med i familien (i dette tilfellet ), mens de to neste sier at hvis noen mengder er med i familien, så må andre så være det: Vi sier at A er lukket under komplementer (betingelse (ii)) under unioner (betingelse (iii)). Slike betingelser er svært vanlige når man definerer familietyper (du vil se flere eksempler i oppgavene). 5

6 Det er vanligvis mange algebraer på samme mengde X. Den største er potensmengden P(X) som består av alle delmengder av X, mens den minste er A = {, X} som bare består av den obligatoriske mengdene pluss dens komplement X. De andre algebraene på X ligger mellom disse ytterpunktene. Ofte vil familietypen ha interessante egenskaper i tillegg til dem som er tatt med i definisjonen. Her er et eksempel. Setning 8 Anta at A er en algebra på en mengde X. Hvis A, B A, så er A B A. En algebra er altså så lukket under snitt. Bevis: Vi skal utnytte betingelse (ii) (iii) i samarbeid med De Morgans lover. Legg merke til at ifølge De Morgans ene lov er A B = A B = A B siden komplementet til komplementet er mengden selv. Det er derfor nok å vise at A B A. Men det følger fra (i) (ii): Siden A B er i A, må A B være med i A ifølge (ii). Fra (iii) følger det da at A B A, bruker vi (ii) igjen, ser vi at A B A. Argumenter av denne typen er svært vanlig, du vil ha anledning til å bruke dem i oppgavene. Her er et annet triks som ofte er nyttig: Setning 9 Anta at A er en algebra på en mengde X at A 1, A 2,... A n er endelig mange mengder i A. Da er A 1 A 2... A n A; dvs. A er lukket under unioner av endelig mange mengder. Bevis: Vi skal vise dette ved induksjon på n. For n = 1 er det en selvfølgelighet for n = 2 er det punkt (ii) i definisjonen av algebra. Anta derfor at setningen er oppfylt for n = k, at vi skal vise at den holder for n = k + 1. Hvis A 1, A 2,..., A k, A k+1 A, må vi altså vise at A 1 A 2... A k A k+1 A. Ifølge induksjonshypotesen er siden A 1 A 2... A k A A 1 A 2... A k A k+1 = (A 1 A 2... A k ) A k+1 følger det fra betingelse (ii) at A 1 A 2... A k A k+1 A. Til slutt skal vi se på en problemstilling som ofte dukker opp: Anta at vi er gitt en familie A 0 av delmengder av en mengde X, at vi ønsker å utvide den til en algebra. Finnes det en minste algebra A som inneholder 6

7 A 0? Vi skal se på to argumenter for at det gjør det. Argument 1: I dette argumentet lager vi en kjede {A n } n N av stadig større familier setter til slutt A = n N A n. I hver mengde A n putter vi inn mengder som mangler for at vi skal ha en algebra. Konstruksjonen er induktiv, dvs. den virker på samme måte som et induksjonsbevis: Grunnsteget: Vi lar A 1 = A 0 { }. Dette sørger for at den tomme mengde er med slik betingelse (i) i definisjonen av algebra krever. Induksjonssteget: Anta at vi allerede har konstruert A n. Da konstruerer vi A n+1 ved å sette A n+1 = A n {A : A A n } {A B : A, B A n } Vi utvider altså A n ved å putte inn komplementer unioner av mengder i A n. Skal vi få en algebra, må disse være med ifølge betingelsene (ii) (iii) i definisjonen. Som allerede nevnt, avslutter vi konstruksjonen ved å sette A = n N A n. Det gjenstår å vise at A er den minste algebraen som inneholder A 0 ( minste i den forstand at hvis B er en annen algebra som inneholder A 0, så er A B). Vi begynner med å observere at siden A 0 A 1, så er A 0 A. Videre observerer vi ved induksjon at hvis B er en algebra som inneholder A 0, så må den så inneholde alle A n dermed A (det er fordi en algebra som inneholder alle mengdene i A n, så må inneholde alle elementene i A n+1 siden den er lukket under komplementer unioner). Dermed gjenstår det å vise at A er en algebra, dvs. at den tilfredsstiller betingelsene (i)-(iii). Vi sjekker disse hver for seg: (i) Siden A 1 per konstruksjon, er A. (ii) Hvis A A, må A A n for en eller annen n. Ifølge konstruksjonen er dermed A A n+1, det medfører at A A. (iii) Hvis A, B A, finnes det tall m, n slik at A A m B A n. Lar vi k være det største av tallene m, n, er A, B A k. Per konstruksjon er dermed A B A k+1, dermed er A B A. Dermed er argument 1 fullført. Styrken til argument 1 er at vi vet nøyaktig hvilke mengder vi putter inn i A. Ulempen er at trikset med å sette A = n N A n ikke fungerer når familiene er mer kompliserte enn algebraer. Vi skal derfor se på en mer abstrakt metode som alltid virker, men der vi mister kontrollen over hvilke mengder A består av. Argument 2: La α være mengden av alle algebraer på X som inneholder A 0 (α er altså en familie av familier!). Siden P(X) er en algebra, er α ikke-tom. 7

8 Vi definerer nå A = B α B (A er altså snittet av alle algebraer på X som inneholder A 0 ). Vi skal vise at A er den minste algebraen som inneholder A 0. At A faktisk inneholder A 0, følger umiddelbart av at A 0 B for alle A α. Siden A = B α B, ser vi så at A B for alle B α, dvs. at det ikke kan finnes noen algebra som inneholder A 0 er mindre enn A. Dermed gjenstår det å vise at A er en algebra, igjen sjekker vi betingelsene (i)-(iii) hver for seg. (i) Siden B for alle B α (fordi enhver slik B er en algebra), er A = B α B. (ii) Hvis A A, så er A B for enhver B α. Siden enhver slik B er en algebra, er dermed A B for enhver B α. Men det betyr at A B α B = A som er det vi skulle vise. (iii) Hvis A, B A, så er A, B B for enhver B α. Siden enhver slik B er en algebra, er dermed A B B for enhver B α. Men det betyr at A B B α B = A (iii) akkurat som vi skulle vise. Dermed har vi vist at A er en algebra, argument 2 er fullført. Når man blir vant til det, er ikke argument 2 spesielt vanskelig, men det er lett å bli forvirret første gang man ser det. Grunnen er at det inneholder mengder på tre forskjellige nivåer: delmengder av X (som, X, A, B), familer av delmengder (som A 0, A, B) familier av familier (som α). Det er lett å blande disse nivåene, da blir argumentet vanskelig å følge. Den store fordelen ved argument 2 er at det nesten alltid fungerer når vi har familier definert ved lukningsegenskaper. La oss avslutte med litt terminoli. Definisjon 10 Den minste algebraen A som inneholder A 0 kalles algebraen generert av A 0. Oppgaver til seksjon 2 1. Bevis de distributive lovene for familier (formlene (9) (10)). 8

9 2. Bevis De Morgans lover for familier (formlene (11) (12)). 3. Anta at X er en uendelig mengde. La Vis at A er en algebra. A = {A X : A eller A er endelig} 4. Anta at A er en algebra av delmengder av X. Vis at dersom A, B A, så er A \ B A. 5. Anta at A er en algebra av delmengder av X at A 1, A 2,... A n er endelig mange mengder i A. Vis at A 1 A 2... A n A. 6. Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie A av delmengder av X kalles en σ-algebra dersom følgende krav er oppfylt: (i) A (ii) Hvis A A, så er A A. (iii) Hvis {A n } n N er en følge av mengder i A, så er n N A n A. I resten av oppgaven antar vi at A er en σ-algebra på X. a) Vis at X A. b) Vis at hvis {A n } n N er en følge av mengder i A, så er n N A n A. c) Vis at A er en algebra. d) Anta at A 0 er en delmengde av X. Vis at det finnes en minste σ-algebra på X som inneholder A 0. Forklar hvorfor du må modellere beviset på argument 2 ovenfor ikke på argument Anta at X er en ikke-tom mengde. En familie T av delmengder av X kalles en topoli dersom følgende krav er oppfylt: (i), X T (ii) Hvis O 1, O 2,..., O n er en endelig samling av elementer i T, så er O 1 O 2... O n T ( T er lukket under endelige snitt ). (iii) Hvis {O α } α I er familie av mengder i T, så er α I O α A. ( T er lukket under vilkårlige unioner ). En mengde F X kalles lukket dersom F c T. Vis at: a) Hvis F 1, F 2,..., F n er lukkede mengder, så er F 1 F 2... F n lukket. b) Hvis {F α } α I er familie av lukkede mengder, så er α I F α lukket. c) Anta at T 0 er en delmengde av X. Vis at det finnes en minste topoli på X som inneholder T 0. d) En delmengde O av R kalles åpen hvis den enten er tom eller dersom det for hver a O finnes en r > 0 slik at (a r, a + r) O. Vis at samlingen av åpne mengder er en topoli på R. 8. Anta at X er en ikke-tom mengde. En ikke-tom familie F av delmengder av X kalles et filter dersom følgende krav er oppfylt: 9

10 (i) / F. (ii) Hvis F, G F, så er F G F. (iii) Hvis F F F G X, så er G F. a) La x X. Vis at F x = {F X : x F } er et filter. b) Anta at X er uendelig. Vi sier at en mengde F X er kofinit dersom komplementet F c er endelig. Vis at familien av alle kofinite mengder er et filter. c) Anta at F er et filter på X at G er en delmengde av X slik at for alle F F er F G. Vis at det finnes et filter G på X slik at F G G G. En ikke-tom familie I av delmengder av X kalles et ideal dersom følgende krav er oppfylt: (i) X / I. (ii) Hvis I, J I, så er I J I. (iii) Hvis I I J I, så er J I. d) Vis at hvis I er et ideal, så er et filter. e) Vis at hvis F er et filter, så er et ideal. F = {I : I I} I = {F : F F} 10

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

LO118D Forelesning 3 (DM)

LO118D Forelesning 3 (DM) LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting

KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting Logikk er sentralt både i matematikk og programmering, og en innføring i de enkleste delene av logikken er hovedtema i dette kapitlet I tillegg ser vi litt

Detaljer

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen

Kapittel 5. Trær og nettverk. 5.1 Trær og Fibonacci-følgen Kapittel 5 Trær og nettverk Vi har sett at anvendelser av differenslikninger studerer fenomener som skjer i adskilte tidsrom, dvs. vi ser på diskrete anvendelser (jfr. Seksjon 1.3). I dette kapittelet

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Eksempel MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo barn barn

Detaljer

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no

Nummer 8-10. H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400. www.aschehoug.no Nummer 8-10 H. Aschehoug & Co Sehesteds gate 3, 0102 Oslo Tlf: 22 400 400 www.aschehoug.no Hvorfor styrker man algebra i skolen? Det klages over at begynnerstudenter ved ulike høgskoler/universiteter har

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Diskret matematikk tirsdag 15. september 2015

Diskret matematikk tirsdag 15. september 2015 Avsnitt 2.2 fra læreboka Mengdeoperasjoner Tema for forelesningen: Snittet av to mengder Disjunkte mengder Union av to mengder Eksklusiv union (symmetrisk differens) av to mengder Differensen mellom to

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning

Lineær Algebra og Vektorrom. Eivind Eriksen. Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning Lineær Algebra og Vektorrom Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo, Avdeling for Ingeniørutdanning c Eivind Eriksen 2005. Innhold Kapittel 1. Lineære likningssystemer 1 1.1. Lineære likningssystemer i to variable

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

MAT-INF1100 Oblig 1. Teodor Spæren, brukernavn teodors. September 16, 2015

MAT-INF1100 Oblig 1. Teodor Spæren, brukernavn teodors. September 16, 2015 MAT-INF1100 Oblig 1 Teodor Spæren, brukernavn teodors September 1, 015 1 Oppgave 1 I de oppgavene som krever at man gjør om et rasjonalt tall i intervallet (0, 1) om til en binærsifferutvikling, fant jeg

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

TOPOLOGI. Dan Laksov

TOPOLOGI. Dan Laksov Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst

Detaljer

Noen syntaktiske derivasjoner i den doxastiske predikatlogikken Kη og enkelte beslektede kalkyler.

Noen syntaktiske derivasjoner i den doxastiske predikatlogikken Kη og enkelte beslektede kalkyler. Side 1 * Noen syntaktiske derivasjoner i den doxastiske predikatlogikken Kη og enkelte beslektede kalkyler. av Morten Rognes 2007 * Side 2 1 Innledning I det følgende notat skal jeg fremstille en rent

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter

Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Algebraiske morsomheter Vg1-Vg3 90 minutter Algebraiske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene kan bruke forskjellige matematiske modeller i praktiske undersøkende

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

Emne 13 Utsagnslogikk

Emne 13 Utsagnslogikk Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato

Detaljer

Tallregning og algebra

Tallregning og algebra 30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer

Detaljer

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2

Forelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2 Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon

Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon DUMMY Gauss-eliminasjon og matrisemultiplikasjon Lars Sydnes 9 september 2015 Sammendrag Dette notatet handler om hvordan man løser lineære ligningssystemer, altså systemer av flere ligninger i flere ukjente,

Detaljer

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.

Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Matematikk 15 V-2008

Matematikk 15 V-2008 Matematikk 5 V-008 Løsningsforslag til øving 9 OPPGVE Husk at N = {alle naturlige tall} = {0,,,,... }, Z = {alle heltall} = {...,,, 0,,,,... }, R = {alle reelle tall} og = {alle komplekse tall} = { z :

Detaljer

v : T, kan bare ha verdi av typen T. n =0 slyfes alltid parentesene. Typet uttrykkssprak type representerer en verdimengde. variabel, deklarert funksjon, herunder karakteriseres syntaktisk ved a angi navn

Detaljer

Algebra Vi på vindusrekka

Algebra Vi på vindusrekka Algebra Vi på vindusrekka Utsagn... 2 Åpne utsagn... 3 Den ukjente... 4 Likhetstegnet... 5 Likninger... 6 Løs likninger... 7 Matematiske uttrykk... 8 Formel... 9 Tilordning... 10 Funksjon... 11 Koordinatsystem...

Detaljer

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100

Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 Kort innføring i polynomdivisjon for MAT 1100 I dette notatet skal vi se litt på polynomdivisjon. Mange vil kjenne denne teknikken fra før, men etter siste læreplanomlegning er den ikke lenger pensum i

Detaljer

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter.

Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Ulikheter. Vi gir her eksempel på hvordan man kan finne ut hvornår ulikheter er sanne på forskjellige måter. Dersom man ofte ikke er intressert i å finne eksakte løsninger kun sikkre interval, er ulikheter

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM

MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM MATEMATIKK FOR REALFAG PROGRAMFAG I STUDIESPESIALISERENDE UTDANNINGSPROGRAM Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

1T og 1P på Studiespesialiserende

1T og 1P på Studiespesialiserende 1T og 1P på Studiespesialiserende Snart skal du velge hvilket matematikkurs du ønsker å følge på VG1. Valget ditt på VG1, kommer også å påvirke dine valgmulighetene på VG2 og VG3. Vi ønsker derfor å informere

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015 Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK.

KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. KRITISK BLIKK PÅ NOEN SKOLEBØKER I MATEMATIKK. Som foreleser/øvingslærer for diverse grunnkurs i matematikk ved realfagstudiet på NTNU har jeg prøvd å skaffe meg en viss oversikt over de nye studentenes

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Rom forskning. - det finnes kulere rom enn verdensrommet. Hvilken fasong har universet?

Rom forskning. - det finnes kulere rom enn verdensrommet. Hvilken fasong har universet? Rom forskning Af: Bjørn Ian Dundas Matematisk Institutt Universitetet i Bergen email: dundas@math.uib.no - det finnes kulere rom enn verdensrommet den) vil jeg avslutte med å snakke om sfærespekteret.

Detaljer

n-te røtter av komplekse tall

n-te røtter av komplekse tall . 29. august 2011 Eksponentialform Forrige gang så vi at e iθ = cos θ + i sin θ Dette kan vi bruke til å gjøre polarfremstillingen av komplekse tall mer kompakt: z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = re iθ

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper

Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >

Detaljer

Prosent- og renteregning

Prosent- og renteregning FORKURSSTART Prosent- og renteregning p prosent av K beregnes som p K 100 Eksempel 1: 5 prosent av 64000 blir 5 64000 =5 640=3200 100 p 64000 Eksempel 2: Hvor mange prosent er 9600 av 64000? Løs p fra

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

Det finnes mange måter og mange hjelpemidler til å illustrere brøk. Ofte brukes sirkelen som symbol på en hel.

Det finnes mange måter og mange hjelpemidler til å illustrere brøk. Ofte brukes sirkelen som symbol på en hel. Brøk Hvis vi spør voksne mennesker som ikke har spesiell interesse for matematikk om hva de syntes var vanskelig i matematikk på skolen, får vi ofte svaret: Brøk. Vår påstand er at hvis innføring av brøk

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

SUBTRAKSJON FRA A TIL Å

SUBTRAKSJON FRA A TIL Å SUBTRAKSJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til subtraksjon S - 2 2 Grunnleggende om subtraksjon S - 2 3 Ulike fremgangsmåter S - 2 3.1 Tallene under hverandre

Detaljer

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet

Detaljer

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Andre forelesning Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. august 2010 Induksjon Pensumlitteratur: Notat 3 Induksjon Brukes til å bevise formler og setninger.

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Tall. Binære regnestykker. Binære tall positive, negative heltall, flytende tall

Tall. Binære regnestykker. Binære tall positive, negative heltall, flytende tall Tall To måter å representere tall Som binær tekst Eksempel: '' i ISO 889-x og Unicode UTF-8 er U+ U+, altså Brukes eksempelvis ved innlesing og utskrift, i XML-dokumenter og i programmeringsspråket COBOL

Detaljer

Introduksjon i tallteotri med anvendelser

Introduksjon i tallteotri med anvendelser Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide

Turingmaskiner en kortfattet introduksjon. Christian F Heide 13. november 2014 Turingmaskiner en kortfattet introduksjon Christian F Heide En turingmaskin er ikke en fysisk datamaskin, men et konsept eller en tankekonstruksjon laget for å kunne resonnere omkring

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 27 848 Eksamensdato:. august 2014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Frankering og computer-nettverk

Frankering og computer-nettverk 318 Frankering og computer-nettverk Øystein J. Rødseth Universitetet i Bergen Beskrivelse av oppgaven. I denne oppgaven vil du bruke kombinatorikk, tallteori og muligens også litt analyse. Oppgaven er

Detaljer

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016

NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 NTNU KOMPiS Studieplan for MATEMATIKK 2 (8.-13. trinn) med hovedvekt på 8.-10. trinn Studieåret 2015/2016 Profesjons- og yrkesmål Dette studiet er beregnet for lærere på ungdomstrinnet som ønsker videreutdanning

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

PRIMTALL FRA A TIL Å

PRIMTALL FRA A TIL Å PRIMTALL FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til primtall P - 2 2 Grunnleggende om primtall P - 2 3 Hvordan finne et primtall P - 5 Innledning til primtall

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Forelesning nr.4 INF 1410

Forelesning nr.4 INF 1410 Forelesning nr.4 INF 1410 Flere teknikker for kretsanalyse og -transformasjon 1 Oversikt dagens temaer inearitet Praktiske Ekvivalente Nortons Thévenins Norton- og superposisjonsprinsippet (virkelige)

Detaljer

Python: Oppslagslister (dictionaries) og mengder 3. utgave: Kapittel 9

Python: Oppslagslister (dictionaries) og mengder 3. utgave: Kapittel 9 Python: Oppslagslister (dictionaries) og mengder 3. utgave: Kapittel 9 TDT4110 IT Grunnkurs Professor Guttorm Sindre Læringsmål og pensum Mål Forstå prinsippene for, og kunne bruke i praksis Mengder (sets)

Detaljer

ANDEBU KOMMUNE ANDEBU UNGDOMSSKOLE

ANDEBU KOMMUNE ANDEBU UNGDOMSSKOLE ANDEBU KOMMUNE ANDEBU UNGDOMSSKOLE FORSLAG TIL FAGPLAN I MATEMATIKK 8. KLASSE- Justert 27.09.2011 Periode Tema Kompetansemål Aktiviteter/innhold Kilder Vurdering August og September (ca. 6 uker) Tall og

Detaljer

Tractatus-modeller og begreps-rammer. Morten Rognes

Tractatus-modeller og begreps-rammer. Morten Rognes 1 * Tractatus-modeller og begreps-rammer. * Morten Rognes 1998 * 2 Forord Det følgende arbeid er basert på notater som forfatteren gjorde i 1983. Disse notatene ble liggende uten å bli bearbeidet helt

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler 2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 16. juni 2009. KLASSE: HIS 07 10. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside)

Detaljer

Hvordan skal man skrive et godt leserbrev?

Hvordan skal man skrive et godt leserbrev? Hvordan skal man skrive et godt leserbrev? For de fleste av oss vil leserbrev være det mest naturlige hvis vi skal bidra til synlighet for partiet og partiets standpunkter i valgkampen. Leserbrev-sidene

Detaljer

Det finnes ingen rettferdige valg!

Det finnes ingen rettferdige valg! Det finnes ingen rettferdige valg! Notater fra forelesninger i et prosjekt for gymnaset støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs stiftelse. Dan Laksov Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen

Detaljer