Sannsynlighetsbegrepet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sannsynlighetsbegrepet"

Transkript

1 Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis av John Rice. Framstillingen i denne boka forutsetter at leseren fra før har en forståelse av sannsynlighetsbegrepet. I avsnitt 1.3 innføres derfor aksiomene for et sannsynlighetsmål uten at det gis noen diskusjon av hva sannsynlighet egentlig betyr. Formålet med dette notatet er å gi en slik diskusjon og å motivere aksiomene for et sannsynlighetsmål. Deterministiske fenomener og stokastiske forsøk Flere almanakker viser hvilke dager det er fullmåne og når sola står opp og når den går ned ulike steder i landet vårt. Det er mulig siden astronomene kan gi en nøyaktig matematisk beskrivelse av himmellegemenes bevegelser. Dermed kan de regne ut når vi får fullmåne og når det blir soloppgang og solnedgang. De har til og med funnet ut at vi i Norge vil få neste totale solformørkelse 16. oktober 2126! Fenomener som fullmåne, soloppgang/solnedgang og solformørkelse kan forutsies de er deterministiske. Når vi kaster en terning, vet vi ikke hvor mange øyne vi vil få. Vi vet heller ikke hva vinnertallene blir ved neste ukes lottotrekning. Terningkast og lottotrekning er eksempler på det vi kaller stokastiske forsøk (tilfeldige forsøk). Det er også et stokastisk forsøk når vi ser om et nyfødt barn er en gutt eller en jente. For heller ikke da vet vi resultatet på forhånd (hvis ikke barnets kjønn er blitt avklart i løpet av svangerskapet ved en kromosomtest eller en ultralydundersøkelse). Det avgjørende kjennetegnet på et stokastisk forsøk er altså at vi ikke på forhånd kan si hva resultatet vil bli. Vi vet bare hvilke resultater som kan forekomme. Utfall og begivenheter Når vi gjør et stokastisk forsøk, vet vi ikke på forhånd hva resultatet vil bli. Men vi kan angi de mulige resultatene, eller utfallene for forsøket. Mengden av alle utfallene for et stokastisk forsøk kaller vi utfallsrommet Ω. Eksempel 1. Når vi kaster en terning, kan vi få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne. Disse seks mulige resultatene er utfallene ved terningkast. Utfallsrommet er altså Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 1

2 Eksempel 2. Vi kaster en terning til vi får sekser første gang, og registrerer hvor mange kast vi må gjøre. Vi kan få sekseren i første kast, eller i andre kast, eller i tredje kast, osv. Utfallene for forsøket er 1, 2, 3, 4,..., og utfallsrommet er Ω = {1, 2, 3, 4,...}. Eksempel 3. Vi ser på forsøket som består i å registrere vekten til en nyfødt jente. Her vil de mulige fødselsvektene ligge i et intervall på tallinja 1, for eksempel i intervallet fra 0 kg til 6 kg. Da blir utfallsrommet intervallet Ω = (0, 6). I eksemplene 1 og 2 er utfallsrommet diskret. Det betyr at det enten er endelig mange utfall i utfallsrommet (som i eksempel 1), eller at det er tellbart uendelig mange utfall (som i eksempel 2). Hvis utfallsrommet er et intervall på tallinja (eventuelt hele tallinja), slik tilfellet er i eksempel 3, sier vi at utfallsrommet er kontinuerlig. Vi vil ofte være interessert i et resultat av et stokastisk forsøk som omfatter flere utfall. Et slikt resultat kaller vi en begivenhet (hendelse). Eksempel 1 (fortsatt). Ved terningkast kan vi være interessert i om vi får minst fem øyne. Begivenheten minst fem øyne består av utfallene 5 og 6. Kaller vi denne begivenheten for A, kan vi skrive A = {5, 6}. Eksempel 2 (fortsatt). Vi kaster en terning til vi får sekser og registrerer hvor mange kast vi må gjøre. Vi ser på begivenhetene A = høyst tre kast og B = minst fem kast. Da er A = {1, 2, 3} og B = {5, 6, 7,...}. Eksempel 3 (fortsatt). Vi registrerer vekten til en nyfødt jente, og er interessert i om jenta veier mellom 3 kg og 4 kg. Kaller vi denne begivenheten for A, kan vi skrive A = (3, 4). Matematisk sett er en begivenhet en delmengde av utfallsrommet. Derfor er utfallene selv også begivenheter, og vi kan snakke om den umulige begivenheten som ikke inneholder noen utfall (den tomme mengden). Vi kan også benytte vanlige operasjoner for mengder som union, snitt og komplement slik det er forklart i avsnitt 1.2 i boka til Rice. Der er det også forklart hva det betyr at to begivenheter er disjunkte. Det klassiske sannsynlighetsbegrepet De første arbeidene om sannsynlighetsregning var motivert av problemstillinger i spill, og det sannsynlighetbegrepet de brukte var tilpasset disse problemstillingene. La oss illustrere tankegangen med et enkelt eksempel. Når vi kaster en terning er det seks mulige utfall, nemlig 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvis terningen er lagd av et homogent materiale, er det ingen grunn til å tro at en av de seks sidene skal ha større mulighet til å vende opp når terningen kastes enn de andre. Et slikt symmetriargument fører til at alle de seks utfallene må ha samme sannsynlighet. Siden sannsynligheten er lik 1 for at en eller annen av de seks sidene vil vende opp, må hver av de seks utfallene ha sannsynlighet 1/6 for å inntreffe. Hva er så sannsynligheten for å få minst fem øyne når vi kaster terningen? Begivenheten minst fem øyne inntreffer hvis ett av utfallene 5 eller 6 inntreffer. Vi sier at de to 1 I praksis vil en ikke måle vekten til en nyfødt jente mer nøyaktig enn til nærmeste tiende gram. Men når vi skal angi en modell for forsøket, tenker vi oss at vi måler helt nøyaktig slik at fødselsvekten kan få alle verdier i et intervall. Som vi vil se seinere, er det faktisk hensiktsmessig å la utfallsrommet være hele tallinja, selv om fødselvekter selvfølgelig må være positive. 2

3 Relativ frekvens Antall kast Figur 1: Relativ frekvens av seksere i terningkast. utfallene er gunstige for begivenheten minst fem øyne. Siden 2 av de 6 mulige utfallene er gunstige for minst fem øyne, er sannsynligheten for denne begivenheten lik 2/6. Vi kan gi en generell formulering av argumentet ovenfor. Betrakt et stokastisk forsøk hvor utfallsrommet består av N utfall, og anta at alle de N mulige utfallene er like sannsynlige. Da har hvert av dem sannsynlighet 1/N for å inntreffe. Vi ser så på en begivenhet A som består av n utfall. De n utfallene er de gunstige utfallene for A. Sannsynligheten for begivenheten A er da P (A) = n N = antall gunstige utfall for A antall mulige utfall (1) Den klassiske definisjonen (1) av sannsynlighet fungerer for de fleste spill og i en del andre situasjoner. Men definisjonen er for restriktiv til å kunne brukes i situasjoner hvor utfallsrommet er tellbart uendelig (jf. eksempel 2) eller kontinuerlig (jf. eksempel 3). Og selv når utfallsrommet er endelig er den ikke til hjelp når det er urimelig å anta at utfallene er like sannsynlige. Vi har derfor bruk for et mer generelt sannsynlighetsbegrep. Sannsynlighet som relativ frekvens i det lange løp Hva betyr egentlig at sannsynligheten er 1/6 for å få sekser når vi kaster en terning? Det betyr ikke at hvis vi kaster en terning 6 ganger, så vil vi få nøyaktig én sekser. Men hvis vi kaster mange ganger, vil vi få sekser i omtrent en sjettedel eller 16.7% av kastene. For å illustrere dette har vi (ved hjelp av datamaskin) kastet en terning ganger. Etter k kast er den relative frekvensen av seksere r k (6) = antall seksere i k kast k 3

4 Tabell 1: Fødte i Norge i ulike tidsperioder a År Levendefødte Flerfødsler Årsgjennomsnitt I alt Gutter Jenter I alt Tvillingfødsler Trillingfødsler b a Tabellen er en redigert versjon av Tabell 67 i Statistisk årbok 2003 (www.ssb.no/aarbok). b Medregnet firling- og femlingfødsler. Figur 1 viser den relative frekvensen som funksjon av k. Vi ser at variasjonen i den relative frekvensen er ganske stor til å begynne med. Men etterhvert stabiliserer den seg nær 1/6 = Hva er sannsynligheten for at et nyfødt barn er en jente? Er den 50%? Hvis det var tilfellet, ville det bli født omtrent like mange gutter og jenter hvert år. Tabell 1 viser at det ikke er slik. Det blir systematisk født litt færre jenter enn gutter. I 2002 var den relative frekvensen av jentefødsler 27109/55434=0.489, mens den i årene varierte mellom 48.3% og 49.6% (kontroller selv). At variasjonen er såpass liten skyldes at det er mange fødsler nesten hvert eneste år. I femtiårsperioden ble det tilsammen født (omtrent) barn i Norge, og av disse var (omtrent) jenter. Den relative frekvensen av jentefødsler i hele femtiårsperioden var derfor / = Den relative frekvensen av seksere vil være omtrent 1/6 når vi kaster en terning mange ganger, og den relative frekvensen av jenter blant alle nyfødte er hvert år omtrent 48.6%. Det er to eksempler på et fenomen som observeres gang på gang et fenomen som er en forutsetning for å forstå hva sannsynlighet er: Vi er interessert i en begivenhet A for et stokastisk forsøk. Forsøket gjentas under like betingelser. Etter k forsøk er den relative frekvensen av A r k (A) = antall ganger A inntreffer i k forsøk k Når k øker, vil r k (A) nærme seg en grenseverdi. Denne grenseverdien er sannsynligheten P (A) for begivenheten A. (2) 4

5 Rent språklig er ordet sannsynlighet knyttet til ett forsøk. Vi sier at sannsynligheten for å få sekser ved et terningkast er 1/6 og at sannsynligheten for at et nyfødt barn skal være en jente er Det vi egentlig uttaler oss om er imidlertid ikke et enkelt kast eller en enkelt fødsel, men hva som vil skje i det lange løp. I det lange løp vil 16.7% av terningkastene gi sekser og 48.6% av de nyfødte vil være jenter. Sannsynlighet er altså det samme som relativ frekvens i det lange løp. Merk at en forutsetning for at sannsynligheten for en begivenhet skal være lik relativ frekvens i det lange løp, er at det stokastiske forsøket gjentas under like betingelser. Hvis forsøksbetingelsene endres, vil også sannsynligheten for begivenheten bli en annen. Et enkelt eksempel er terningkast. Sannsynligheten 1/6 for sekser forutsetter at terningen kastes slik at den snurrer rundt mange ganger før den blir liggende. Hvis den i stedet kastes ved at den slippes med sekseren øverst fra tre centimeters høyde, vil sannsynligheten for sekser være større enn 16.7%. Et annet eksempel er trillingfødsler. Av Tabell 1 ser vi at andelen svangerskap som gir trillingfødsel, har økt siden midten av 1980-årene. Det kommer av at det er blitt vanligere med kunstig befruktning der flere befruktede egg blir satt inn i kvinnens livmor. De aller siste årene har det igjen vært en viss nedgang i andelen trillingfødsler, noe som skyldes at en nå setter inn færre egg enn det en gjorde for noen år siden. Vi har over fortolket sannsynligheten for en begivenhet som grenseverdien av den relative frekvensen i det lange løp. Sannsynlighet forstått på denne måten kalles enkelte ganger frekventistisk sannsynlighet. Den frekventistiske forståelsen av sannsynlighet forutsetter at det er mulig å gjenta forsøket mange ganger. Enkelte ganger brukes sannsynlighetsbegrepet i situasjoner hvor et stokastisk forsøk ikke kan gjentas. En sportsjournalist kan for eksempel skrive at det er 70% sannsynlig at Rosenborg vil slå Stabæk i fotball neste søndag. Denne sannsynligheten kan ikke fortolkes som relativ frekvens i det lange løp. Søndagens kamp kan ikke spilles mange ganger! Sannsynligheten er her et uttrykk for journalistens personlige vurdering. Når sannsynlighet blir brukt på denne måten, kaller vi det subjektiv sannsynlighet. Vi vil ikke komme nærmere inn på subjektiv sannsynlighet i STK1100, men vi merker oss at subjektive sannsynligheter spiller en sentral rolle i det en kaller Bayesiansk statistikk (jf. avsnittene 1.7 og 15.3 i boka til Rice). Aksiomene for et sannsynlighetsmål Vi kan ikke bruke grenseverdi av relativ frekvens som en matematisk definisjon av sannsynlighet. For den grenseverdien vi snakker om her er empirisk. Den er ikke en grenseverdi i samme presise forstand som grenseverdien for en tallfølge. For å løse dette problemet går vi fram på en måte som er typisk i matematikken. Motivert av det klassiske sannsynlighetsbegrepet og vår forståelse av at sannsynlighet kan fortolkes som relativ frekvens i det lange løp, setter vi opp noen regler som sannsynlighet må oppfylle. Disse grunnleggende reglene, som vi postulerer gyldigheten av uten å bevise at de er riktige, kalles aksiomer. På grunnlag av aksiomene (og definisjoner av nye begreper) kan vi så utlede nye regler for sannsynlighet. I avsnitt 1.3 i boka til Rice gis følgende aksiomer for sannsynlighet 2, eller mer presist for et sannsynlighetsmål: 2 Generelt er det ikke mulig å definere sannsynligheten for absolutt alle delmengder av Ω. Men siden det er mulig for alle delmengder som er av praktisk interesse, vil vi ikke bry oss om dette problemet (som behandles i avanserte kurs i målteori). 5

6 1 P (Ω) = 1. 2 For A Ω, er P (A) 0. 3 a) Hvis A 1 og A 2 er disjunkte, så er b) Hvis A 1, A 2, A 3,... er disjunkte, så er P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P ( A i ) = P (A i ) i=1 i=1 Vi skal altså ikke bevise at disse aksiomene er riktige. Det vi må gjøre er å motivere at de er fornuftige. Vi tar i første omgang for oss aksiomene 1, 2 og 3a. Vi ser først på den klassiske definisjonen av sannsynlighet. Siden alle de N utfallene er gunstige for Ω, følger det av (1) at det første aksiomet er oppfylt for det klassiske sannsynlighetsbegrepet. Videre er (1) alltid ikke-negativ, så aksiom 2 er også oppfylt. Vi ser endelig på aksiom 3a. La A 1 og A 2 være disjunkte begivenheter, og anta at det er n 1 utfall som er gunstige for A 1 mens det er n 2 utfall som er gunstige for A 2. Siden A 1 og A 2 er disjunkte, er det da n 1 + n 2 utfall som er gunstige for A 1 A 2. Av (1) følger det dermed at aksiom 3a er oppfylt for den klassiske definisjonen av sannsynlighet. Aksiomene 1, 2 og 3a er altså oppfylt for det klassikse sannsynlighetsbegrepet, og det gir en motivasjon for disse aksiomene. Vi ser så på det frekventistiske sannsynlighetsbegrepet, der sannsynligheten for en begivenhet A oppfattes som (den empiriske) grensen av den relative frekvensen (2) når forsøket gjentas mange ganger. Hver gang vi gjentar forsøket inntreffet begivenheten Ω. Av (2) har vi derfor at r k (Ω) = 1. Det følger også uten videre at (2) alltid er ikke-negativ. Endelig, hvis A 1 og A 2 er disjunkte begivenheter, så vil antall ganger A 1 A 2 inntreffer være summen av antall ganger A 1 inntreffer og antall ganger A 2 inntreffer. Av (2) følger det dermed at r k (A 1 A 2 ) = r k (A 1 ) + r k (A 2 ). Vi ser altså at resultater svarende til aksiomene 1, 2 og 3a holder for relative frekvenser. Siden sannsynlighet er relativ frekvens i det lange løp, gir det nok en motivasjon for disse aksiomene. Vi har nå motivert aksiomene 1, 2 og 3a. Hva så med aksiom 3b? Vi merker oss først at hvis A 1, A 2, A 3,..., A n er disjunkte begivenheter, så følger det ved induksjon fra aksiom 3a at n n P ( A i ) = P (A i ) (3) i=1 Aksiom 3b postulerer at (3) skal fortsette å gjelde når n vokser over alle grenser. Aksiomene gjelder uansett om utfallsrommet er diskret eller kontinuerlig. Men når utfallsrommet er diskret, blir situasjonen spesielt enkel. La oss se nærmere på dette. Vi betrakter et stokastisk forsøk med utfallsrom Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,...}, og lar p i = P (ω i ) 0 for i = 1, 2, 3,... være slik at i=1 p i = 1. For A Ω, setter vi så P (A) = p i (4) i=1 i : ω i A Da vil (4) tilfredsstille aksiomene for et sannsynlighetsmål. (Kontroller dette selv!) For å spesifisere et sannsynlighetsmål for et forsøk med diskret utfallsrom er det derfor nok å angi sannsynlighetene for hvert av utfallene i utfallsrommet. 6

7 Den klassiske definisjonen (1) av sannsynlighet er et spesialtilfelle av (4), og derfor en logisk følge av aksiomene. Anta nemlig at et stokastisk forsøk har N mulige utfall ω 1, ω 2,..., ω N som alle er like sannsynlige, og la p i = P (ω i ). Siden alle p i -ene skal være like store og summen av dem skal være lik én, følger det at alle p i = 1/N. La nå A være en begivenhet som består av n utfall. Da følger det av (4) at P (A) = i : ω i A 1 N = n 1 N = n N Formel (1) gjelder derfor (selvfølgelig!) fortsatt, men den er ikke lenger en definisjon, men et resultat som er utledet av aksiomene. I avsnitt 1.4 i Rice er det gitt mange eksempler på stokastiske forsøk der alle utfallene er like sannsynlige. Vi merker oss til slutt at aksiomene bare gir oss noen generelle regler som et sannsynlighetsmål må tilfredsstille. Aksiomene sier ikke noe om hvordan sannsynlighetene for ulike begivenheter bør spesifiseres i en konkret situasjon. For å gjøre det må vi ty til symmetriargumenter slik vi gjorde i forbindelse med det klassiske sannsynlighetsbegrepet, eller vi må bestemme sannsynlighetene ut fra relative frekvenser for mange gjentatte forsøk. 7

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2016 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Geir Storvik Basert på presentasjon av Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang

Detaljer

Eksplosjon av data! Innledning til STK1100. Stokastiske forsøk STK1100. Statistisk analyse. Deterministiske fenomener. Data samles inn overalt

Eksplosjon av data! Innledning til STK1100. Stokastiske forsøk STK1100. Statistisk analyse. Deterministiske fenomener. Data samles inn overalt Eksplosjon av data! Innledning til STK1100 Januar 2014 Ørnulf Borgan/Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Data samles inn overalt Medisinske undersøkelser Aksjekurser Metrologi-miljø

Detaljer

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,

Detaljer

Blokk1: Sannsynsteori

Blokk1: Sannsynsteori Blokk1: Sannsynsteori Statistikk er vitskapen om læring frå data, og måling, kontroll og kommunikasjon av usikkerheit (Davians Louis, Science, 2012). Vi lærer frå data ved å spesifisere ein statistisk

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Innledning og litt historie Flere almanakker viser hvilke dager det er fullmåne og når

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING

SANNSYNLIGHETSREGNING SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like

Detaljer

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner

STK1100 våren Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner STK1100 våren 2017 Kontinuerlige stokastiske variabler Forventning og varians Momentgenererende funksjoner Svarer til avsnittene 4.1 og 4.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

KAPITTEL 7 Integrasjon

KAPITTEL 7 Integrasjon KAPITTEL 7 Integrasjon Integrasjon er et helt sentralt begrep i store deler av matematikken, samtidig som integralet har uttallige anvendelser i ulike praktiske situasjoner. Her skal vi ta for oss et par

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning etinget sannsynlighet, total sannsynlighet og ayes setning Vi vil først ved hjelp av et eksempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr: Vi legger fire røde kort og to svarte kort i en bunke

Detaljer

KAPITTEL 7 Integrasjon

KAPITTEL 7 Integrasjon KAPITTEL 7 Integrasjon Integrasjon er et helt sentralt begrep i store deler av matematikken, samtidig som integralet har uttallige anvendelser i ulike praktiske situasjoner. Her skal vi ta for oss et par

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet Vi repeterer først et eksempel fra samlingen for sist uke Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet

Detaljer

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 7: Utvalgsfordeling Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra kapittel 1: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Fra første forelesning: Populasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

Fra første forelesning:

Fra første forelesning: 2 Fra første forelesning: ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag opulasjon Den mengden av individer/objekter som vi ønsker å analysere. Utvalg En delmengde av populasjonen

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Binomisk fordeling. Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Binomisk fordeling. Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilfeldige variabler Når vi kaster to terninger er det 36 utfall Vi ser på X = «sum antall øyne» De mulige verdiene

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null,

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk.

Sannsynlighetsregning og Statistikk. Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET

BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET 24. april 2002 Aanund Hylland: # BESLUTNINGER UNDER USIKKERHET Standard teori og kritikk av denne 1. Innledning En (individuell) beslutning under usikkerhet kan beskrives på følgende måte: Beslutningstakeren

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Ny rammeplan for ingeniørfag Sannsynlighetsregning

Detaljer

MAT1030 Forelesning 10

MAT1030 Forelesning 10 MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1 STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.

Detaljer

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast

Detaljer

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 15: Rekursjon og induksjon. Roger Antonsen MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 11. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 20:38) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013

Introduksjon til statistikk og dataanalyse. Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Arild Brandrud Næss TMA4240 Statistikk NTNU, høsten 2013 Introduksjon til statistikk og dataanalyse Hollywood-filmer fra 2011 135 filmer Samla budsjett: $ 7 166

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008

MAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 9: Mengdelære Dag Normann OVER TIL KAPITTEL 5 Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 11. februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk 11. februar 2008 2 De fleste

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

STK Oppsummering

STK Oppsummering STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

Forelesning 29: Kompleksitetsteori

Forelesning 29: Kompleksitetsteori MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.5: Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august 2010 2 Kapittel

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

Introduction to the Practice of Statistics

Introduction to the Practice of Statistics David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Statistisk inferens

Detaljer

STK1100 våren Generell introduksjon. Omhandler delvis stoffet i avsnitt 1.1 i læreboka (resten av kapittel 1 blir gjennomgått ved behov)

STK1100 våren Generell introduksjon. Omhandler delvis stoffet i avsnitt 1.1 i læreboka (resten av kapittel 1 blir gjennomgått ved behov) STK1100 våren 2017 Generell introduksjon Omhandler delvis stoffet i avsnitt 1.1 i læreboka (resten av kapittel 1 blir gjennomgått ved behov) Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 «Overalt»

Detaljer

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU 3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

Mappeoppgave om sannsynlighet

Mappeoppgave om sannsynlighet Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition

Slide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Slide 1 David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness 9/22/2010 Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Slide

Detaljer