Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C)

Transkript

1 Mengder, fortsettelse. Tre mengder Venndiagram for tre mengder A, B og C må tegnes slik at alle muligheter blir dekket. For å få dette til må de overlappe hverandre: Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C) 1

2 Antallet elementer i A B C A B C = A + B + C - A B - A C - B C + A B C. Hvorfor er denne formelen riktig? I summen A + B + C har vi tatt med A B C tre ganger, til tross for at vi bare skal ha det med en gang. A B C er delmengde av både A B, A C og B C. Når vi trekker fra disse snittene blir A B C trukket fra tre ganger, altså en gang for mye. Derfor må vi legge til snittet til slutt. Mengde-identitieter I forbindelse med utsagnslogikk gjennom gikk vi flere lover som gjaldt for utsagn, deriblant De kommutative lovene De assosiative lovene De distributive lovene De Morgans lover 2

3 Også for mengder har vi tilsvarende lover. De viktigste er Komplementasjonsloven: De kommutative lovene: A B = B A A B = B A De assosiative lovene: (A B ) C = A (B C ) (A B) C = A ( B C ) De distributive lovene: A (B C ) = (A B ) (A C) A ( B C ) = (A B ) (A C) De Morgans lover: Lovene kan vises ved hjelp av venndiagram. Eksempel 1. Viser den distributive loven A (B C ) = (A B ) (A C) 3

4 Eksempel 2. Viser De Morgans lov Vi kan også bruke medlemskapstabell (eng. membership table) til å bevise at Tallet 1 betyr at elementet er med i mengden. 4

5 Det finnes enda flere mengde-identiteter. Tabellen nedenfor er hentet fra læreboka og den viser de viktigste: 5

6 Mange mengder. Har vi mange mengder er det vanlig å indeksere dem. Anta at vi har n mengder. Da skriver vi: Vi setter opp snitt og union slik: Funksjoner La A og B være to mengder. En funksjon f fra A til B betegnes med f: A -> B og er en tilordning (regel) som til ethvert element a A tilordner ett og bare ett element b B. Elementet b kalles funksjonsverdien til a og vi skriver f(a) = b. Eksempel. La A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3} 6

7 La f være gitt ved: f(a) = 1, f(b) = 3, f(c) = 2, f(d) = 1. Dette kan illustreres slik: OBS! For at det skal være en funksjon må det gå en pil fra hvert eneste element i A til et element i B. Men det kan ikke gå to eller flere piler fra noe element i A! I B kan det være elementer som ikke blir truffet av noen pil og/eller elementer som blir truffet av flere piler. Mengden A kalles for funksjonens definisjonsmengde (eng: domain) og mengden B kalles funksjonens verdiområde (eng: codomain). Mengden f(a) er definert ved f(a) = { f(a) a A } Mengden f(a) er mengden av funksjonsverdier f(a) og kalles funksjonens verdimengde (eng: range). Uformelt kan vi si at verdimengden f(a) til f består av de elementene i B som blir truffet av minst én pil. Eksempel. A = {a, b, c, d} og B = {1, 2, 3, 4, 5} La f være definert ved: f(a) = 1, f(b) = 5, f(c) = 2, f(d) = 1. 7

8 Observasjon: Verdimengden er en delmengde av verdiområdet, dvs. V f B. En-til-en (entydig) (eng: on-to-one) En funksjon f: A -> B er en-til-en hvis ingen elementer i B blir truffet av mere enn én pil. Mer formelt: f: A -> B er en-til-en hvis to forskjellige elementer a og b i A, medfører at f(a) og f(b) er to forskjellige elementer i B, dvs. Hvis a b så er f(a) f(b) Eller omvendt: Hvis f(a) = f(b), så er a = b. På (eng: onto) En funksjon f: A -> B er på hvis verdimengden til f(a) er lik B. Da gjelder at for alle b B finnes det et element a A slik at f(a) = b. Dvs. ( b B) (a A) ( f(a) = b ) Dette betyr at alle elementene i B blir truffet av en pil, og at verdimengden og verdiområdet er like. 8

9 Eksempel. Denne er hverken en-til-en eller på. Funksjonen er ikke en-til-en fordi f(a) = f(c) = 2 (to piler inne til 2) Funksjonen er ikke på fordi 1 V f, men er med i verdiområdet B. (1 blir ikke truffet av noen pil) Observasjon: La f: A -> B. Hvis B har flere elementer enn A, dvs. A < B, kan f ikke være på. Hvis A har flere elementer enn B, dvs. A > B, kan f ikke være en-til-en. Hvis f: A -> B skal være både en-til-en og på må A = B. Eksempel. 9

10 Andre navn En funksjon som er en-til-en kalles injektiv En funksjon som er på kalles surjektiv En funksjon som er både en-til-en og på kalles bijektiv 10