INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS"

Transkript

1 INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert handler disse teoremene om inversunksjoner og hvordan de arver egenskaper ra de opprinnelige unksjonene, deriblant monotonisitet og deriverbarhet. Vi skal også studere hvordan, i disse tilellene, de deriverte til inversunksjonene kan uttrykkes ved de deriverte til de opprinnelige unksjonene. Med inverst unksjonsteorem som verktøy skal vi deinere og studere egenskaper ved elementærunksjonene. 1 Spesielt skal vi se hvordan potensog eksponentialunksjoner, logaritmiske og trigonometriske unksjoner remkommer, blant annet, som inversunksjoner av kjente unksjoner og deretter studere noen av deres egenskaper. Poenget her er ikke å vise egenskaper vi «allerede vet» om disse unksjonene på en mer komplisert måte; poenget er heller å gi en tilredsstillende teoretisk redegjørelse or hvordan disse unksjonene kan deineres, og hvoror de har de egenskapene de har. Dette gjøres tradisjonelt ved hjelp av rekkeutvikling, men vi skal av pedagogiske årsaker ikke benytte denne remgangsmåten. Innhold 1. Introduksjon 1 2. Inverst Funksjonsteorem Terminologi Global Formulering Lokal Formulering 8 Reeranser 9 2. Inverst Funksjonsteorem 2.1. Terminologi. I denne seksjonen skal vi utvikle den nødvendige terminologien or å kunne ormulere og bevise de versjonene av inverst unksjonsteorem som er annonsert i innledningen. 1 Materialet om elementærunksjoner vil ikke bli behandlet i dette dokumentet, som kun inngår som pedagogisk supplement i emnet MAT1100 ved Universitetet i Oslo. 1

2 INVERST FUNKSJONSTEOREM Komposisjon. Vi minner om at dersom X, Y og Z er mengder og g : X Y og : Y Z er unksjoner, så er g : X Z (komposisjonen av med g; uttales «ring g») unksjonen deinert ved ( g)(x) = ( g(x) ) (x X). Følgende diagram illustrerer situasjonen: X g Z g Y Oppgave Vis at komposisjon er assosiativt; det vil si at ( g) h = (g h) or alle unksjoner, g og h slik at komposisjonene over gir mening Injeksjoner og Bijeksjoner. La X og Y være to mengder. En unksjon : X Y kalles en injeksjon, eller sies å være injektiv, dersom det or hver y Y innes på det meste ett punkt x X slik at (x) = y. Med andre ord, er injektiv dersom det or alle u X og v X er slik at (u) = (v) medører u = v. Eksempel La : (0, ) R være unksjonen deinert ved (x) = x 2 or x > 0. Dersom 0 < u < v, er (u) = u 2 < v 2 = (v), slik at (u) < (v). Dette viser at er strengt voksende, og dermed at den er injektiv. Deinisjon (Bijeksjon). La X og Y være to mengder, og anta at : X Y er en unksjon. Man sier at er en bijeksjon, eller sies å være bijektiv, dersom det or alle y Y innes nøyaktig ett punkt x X slik at (x) = y. Bemerkning. Funksjonen ra Eksempel er injektiv men ikke bijektiv. Dette har med å gjøre at det innes punkter i R som ikke oppnås som noen unksjonsverdi av. I begrepet injektiv ligger det at «orskjellige punkter sendes til orskjellige punkter», men or at : X Y skal være en injeksjon, stilles det ikke noe krav om at det or alle y Y aktisk skal eksistere et punkt x X slik at (x) = y; det er dette som skiller injeksjoner ra bijeksjoner. Til tross or at injektive unksjoner ikke nødvendigvis er bijektive, innes det en naturlig måte å danne en bijeksjon ra en injeksjon. La oss igjen betrakte en unksjon : X Y ; vi betegner dens verdimengde med (X) = { (x): x X }. Dersom er injektiv og vi deinerer unksjonen g : X (X) ved g(x) = (x) (x X),

3 INVERST FUNKSJONSTEOREM 3 er g en bijeksjon som «opererer» på samme måte som. Vi kan med andre ord danne en bijeksjon ra en injeksjon ved å begrense kodomenet, og vi vil gjøre dette videre i dokumentet uten ytterlige kommentarer Inversunksjoner. Anta at : X Y er en bijeksjon. Da kan man deinere en unksjon g : Y X på ølgende måte: dersom y Y, la x være det entydige punktet i X slik at (x) = y (et slikt punkt x eksisterer og er entydig ettersom er bijektiv), og sett g(y) = x. Vi har ølgende likheter or alle x X og alle y Y : (1) g ( (x) ) = x og ( g(y) ) = y. Dersom vi innører unksjonene id X : X X og id Y : Y Y ved id X (x) = x og id Y (y) = y, or alle x X og alle y Y, kan likhetene i (1) uttrykkes ved g = id X og g = id Y. Av åpenbare grunner kaller man g inversunksjonen til, og man betegner den med g = 1. Følgende diagram illustrerer samspillet mellom og dens invers: X Y id X g id Y X Y Bemerkning. Det er de bijektive unksjonene som har inversunksjoner. Til tross or dette skal vi også tillate oss å snakke om inversunksjoner av injektive unksjoner. For anta at F : X Y er en injeksjon, og la : X F (X) være bijeksjonen indusert av F ved å begrense dens kodomene, slik som i siste avsnitt av Seksjon Da har en inversunksjon 1 : F (X) X, og vi skal omtale denne som inversunksjonen til F og betegne den med F 1. Oppgave Anta at X og Y er to mengder og at : X Y er en unksjon. Vis at er en bijeksjon hvis og bare hvis det innes en unksjon g : Y X slik at (2) g = id X og g = id Y. Vis videre at dersom h: Y X og k : Y X er to unksjoner som tilredsstiller (2) (erstatt g), så er h = k. Med andre ord, eksistensen av en unksjon g som tilredsstiller (2) karakteriserer bijektive unksjoner ullstendig, og disse relasjonene karakteriserer også 1. Oppgave Anta at X og Y er mengder og at : X Y er en bijeksjon. Vis at da er også 1 : Y X en bijeksjon, og ( 1 ) 1 =. Hint. Bruk Oppgave Oppgave Anta at X, Y og Z er mengder og at g : X Y og : Y Z er bijeksjoner. Vis at da er også g : X Z en bijeksjon, og Tolk dette ut ira ølgende diagram: ( g) 1 = g 1 1.

4 INVERST FUNKSJONSTEOREM 4 g X Y Z id X id Y id Z X Y Z g Dieomorier. Vi vil være spesielt interesserte i unksjoner som innehar en viss grad av «glatthet». Mer presist vil vi i hovedsak være interesserte i unksjoner som har kontinuerlige deriverte av ørste orden. Med mindre noe annet er påpekt, vil vi i resten av dokumentet la I betegne et åpent og ikke-tomt intervall i R. Vi tillater også at intervallet I er ubegrenset, or eksempel ved at det er lik R selv. Deinisjon (Kontinuerlig Deriverbar Funksjon). Anta at I R er et åpent intervall og at : I R er en unksjon deinert på I. Vi sier at er kontinuerlig deriverbar dersom er deriverbar og er en kontinuerlig unksjon på I. Vi betegner mengden av alle kontinuerlig deriverbare unksjoner på I med C 1 (I). Dersom C 1 (I), er ikke bare deriverbar, men den deriverte varierer jevnt (kontinuerlig) på I. I Seksjon 2.2 skal vi inne betingelser på C 1 (I) som sikrer at den er injektiv, at dens verdimengde (I) er et åpent intervall, og videre at 1 C 1( (I) ). En slik unksjon kalles en dieomori. Deinisjon (Dieomori). La I være et åpent intervall og anta at : I R er en unksjon. Vi sier at er en dieomori av klasse C 1 dersom den er injektiv, dersom (I) er et åpent intervall, og dersom C 1 (I) og 1 C 1( (I) ). 2 Med andre ord, en dieomori av klasse C 1 på I er en kontinuerlig deriverbar injeksjon hvis verdimengde er et åpent intervall og som har en kontinuerlig deriverbar inversunksjon. 1 Oppgave La I = R og deinér unksjonen : I R ved { x 2 sin(1/x 2 ), hvis x 0 (x) = (x R). 0, hvis x = 0 Vis at er deriverbar på I, men at ikke er kontinuerlig i punktet 0. Denne oppgaven viser at det innes deriverbare unksjoner på I som ikke er kontinuerlig deriverbare. Hint. Vis at (0) = 0, og betrakt ølgen (x n) n=1 gitt ved x n = 1/ 2πn or n 1. Vis at lim (x n) =, n og bruk dette til å orklare hvoror ikke er kontinuerlig i punktet Global Formulering. Vi har nå utviklet den nødvendige terminologien or å ormulere den globale versjonen av inverst unksjonsteorem, men vi skal ørst ormulere og bevise noen hjelperesultater. Ikke bare er disse resultatene interessante i seg selv, men de vil også vise seg nyttige or å bevise hovedteoremet i denne seksjonen. 2 Strengt talt krever man bare at I og (I) skal være åpne mengder, men vi skal av pedagogiske årsaker kun benytte begrepet i denne mer restriktive orstanden.

5 INVERST FUNKSJONSTEOREM Hjelperesultater. Vi skal ørst karakterisere verdimengden til visse type unksjoner, og deretter skal vi se hvordan visse bijeksjoner har kontinuerlige inversunksjoner. Inverst unksjonsteorem vil gi betingelser på en unksjon tilstrekkelige or å garantere at den har en kontinuerlig deriverbar inversunksjon. Proposisjon Anta at I er et åpent intervall og at : I R er en kontinuerlig og strengt monoton unksjon. Da er verdimengden (I) det åpne intervallet gitt ved (I) = (m, M), hvor m = in (I) og M = sup (I). 3 Bevis. Vi skal bevise resultatet i det tilellet hvor er strengt voksende. Resultatet or tilellet hvor er strengt avtagende overlates til leseren. Anta at er strengt voksende. Det holder å vise at vi har ølgende to inklusjoner: (I) (m, M) og (I) (m, M). (1) Anta ørst at y (I), og velg x I slik at (x) = y. La deretter u I og v I være punkter slik at u < x < v (slike punkter eksisterer ettersom intervallet I er åpent). Ettersom er strengt voksende, ølger det at m (u) < (x) < (v) M, hvor ørste og siste ulikhet ølger ra m = in (I) og M = sup (I). Dette viser at y (m, M), da (x) = y. (2) Anta nå at y (m, M). Ettersom m er den største nedre skranken til (I) og m < y, kan ikke y være en nedre skranke or (I), og vi velger deror et punkt u I slik at (u) < y. Vi velger tilsvarende et punkt v I slik at y < (v). Da (u) < y < (v) og er strengt voksende, må u < v, slik at det lukkede og begrensede intervallet [u, v], hvorpå er kontinuerlig, er inneholdt i I. Det ølger ra skjæringssetningen at det innes et punkt x (u, v) slik at (x) = y, som viser at y (I). Bemerkning. En kritisk leser vil stille spørsmål ved vår kommentar om at in (I) = og sup (I) = dersom (I) ikke er henholdsvis nedad eller oppad begrenset: hva betyr det egentlig at noe er lik eller? Første måte å komme seg rundt dette spørsmålet på er ved å dele beviset ovenor inn i tileller avhengig av hvordan (I) er begrenset eller ikke. Man kan argumentere i tilelle or tilelle at (I) = (m, ) dersom (I) er nedad og ikke oppad begrenset, at (I) = (, M) dersom (I) er oppad og ikke nedad begrenset, at (I) = R dersom (I) hverken er nedad eller oppad begrenset, og så videre. Vi synes at en slik løsning er rotete, og den vil nødvendigvis øre til repetisjon av essensielt de samme argumentene i hvert tilelle. Den andre måten å komme seg rundt dette spørsmålet på er ved å konstruere og som objekter, or deretter å danne en utvidet tallinje [, ]. Deretter kan man utvide de vanlige operasjonene og strukturene 3 Vi setter in (I) = dersom (I) ikke er nedad begrenset, og, tilsvarende, sup (I) = dersom (I) ikke er oppad begrenset.

6 INVERST FUNKSJONSTEOREM 6 ra R til denne utvidede tallinjen. En slik remgangsmåte vil øre til en mer enhetlig og økonomisk behandling av emnet vi mener at det er i denne konteksten det er riktig å gjøre kalkulus men vi skal ikke ha anledning til å gå inn på detaljene her. Proposisjon Anta at situasjonen er den samme som i Proposisjon 2.2.1, og la g : (I) I betegne inversunksjonen til. Da er g kontinuerlig og strengt monoton, og den har samme monotonisitet som. Bevis. Beviset or dette er akkurat som or [1, s. 369, Teorem 7.4.5]. Oppgave La I = (a, b) være et åpent intervall, hvor a < b, og anta at unksjonen : I R er voksende. Vis at in (I) = lim (x) og sup (I) = lim (x), x a x b hvor vi tillater at disse størrelsene kan være lik eller. (Her betyr x a at x a med a < x, og x b betyr at x b med x < b.) Formuler og bevis et tilsvarende resultat or avtagende unksjoner Inverst Funksjonsteorem. Vi skal nå ormulere og bevise den globale versjonen av inverst unksjonsteorem. Teorem (Global Inverst Funksjonsteorem). La I være et åpent intervall, og anta at : I R er en kontinuerlig deriverbar unksjon slik at ikke tar verdien null på I. Da gjelder ølgende: (1) Funksjonen bytter ikke ortegn på I, og er strengt monoton. (2) Verdimengden (I) er et åpent intervall. La g : (I) I være inversunksjonen til. Da er g kontinuerlig deriverbar, den har samme monotonisitet som, og or alle y (I) har man at det vil si g = 1/( g). g (y) = 1 ( g(y) ), Hovedpunktene i Teorem er at dersom C 1 (I) er slik at ikke tar verdien null, så er en dieomori av klasse C 1, og dens inversunksjon g C 1( (I) ) tilredsstiller g = 1/( g). Legg merke til hvordan inversunksjonen «arver» egenskapene til. Vi skal bevise teoremet i lere steg. Lemma Funksjonen bytter ikke ortegn på I. Bevis. Anta, or motsigelse, at bytter ortegn på I, og la a I og b I være punkter slik at (a) < 0 og (b) > 0. Anta uten tap av generalitet at a < b. Da er [a, b] et lukket og begrenset intervall som er inneholdt i I, og er kontinuerlig på [a, b]. Ved skjæringssetningen, anvendt på, innes det et punkt c (a, b) slik at (c) = 0, hvilket motstrider hypotesen om at ikke tar verdien null. Lemma Funksjonen er strengt monoton, og verdimengden (I) er et åpent intervall.

7 INVERST FUNKSJONSTEOREM 7 Bevis. Ettersom ikke endrer ortegn, vil enten > 0 eller < 0 på hele I, og det ølger da på samme måte som i beviset or [1, s. 293, Korollar 6.2.5] at er strengt monoton. Per antagelse er deriverbar, og dermed kontinuerlig, og det ølger ra Proposisjon at (I) er et åpent intervall. Vi har vist at er strengt monoton, slik at den må være en bijeksjon ra I til (I). Vi lar g : (I) I betegne dens inversunksjon. Det ølger ra Proposisjon at g er en kontinuerlig unksjon på (I) med samme monotonisitet som, og det gjenstår å vise at den er kontinuerlig deriverbar. Lemma Inversunksjonen g : (I) I til er kontinuerlig deriverbar og tilredsstiller (3) g 1 (y) = ( g(y) ) or alle y (I), det vil si g = 1/( g). Bevis. La y (I). Vi skal vise at g er deriverbar i y og at (3) holder. Iølge Oppgave er det tilstrekkelig å vise at g(y n ) g(y) lim = n y n y 1 ( g(y) ) or alle ølger (y n ) n=0 i (I) som er slik at y n y og lim n y n = y. Anta at (y n ) n=0 er en slik ølge som beskrevet over, og la x = g(y) I og x n = g(y n ) I. Ettersom g er en bijeksjon og y n y, må x n = g(y n ) g(y) = x, slik at (x n ) n=0 er en ølge i I med x n x. Videre, ettersom g er kontinuerlig i punktet y og lim n y n = y, ølger det ra [1, s. 237, Setning ] at lim x n = lim g(y n) = g(y) = x. n n Med andre ord, (x n ) n=0 er en ølge i I slik at x n x og lim n x n = x. Siden er deriverbar i punktet x, ølger det ra nok en anvendelse av Oppgave at (x n ) (x) (4) lim = (x) 0. n x n x Ettersom x n x og er en bijeksjon, er (x n ) (x), og vi ser at g(y n ) g(y) lim = lim n y n y n x n x (x n ) (x) 1 = lim ( n (xn ) (x) ) /(x n x) = 1 (x) = 1 ( g(y) ), hvor nest siste likhet ølger ra (4) og [1, s. 207, Setning 4.3.3]. Dette viser at g er deriverbar i y og at (3) er oppylt. Vi har nå vist at g = 1/( g). Ettersom og g er kontinuerlige, ølger det ra [1, s. 235, Setning 5.1.6] at g er kontinuerlig på (I). Ettersom ikke tar verdien null, gjelder det samme or g, og det ølger ra [1, s.

8 INVERST FUNKSJONSTEOREM 8 234, Setning 5.1.4] at g = 1/( g) er kontinuerlig på (I), som viser at g C 1( (I) ). Oppgave La I være et åpent intervall og : I R en unksjon. Anta at a I. Vis at grenseverdien lim x a (x) eksisterer og er lik α R hvis og bare hvis lim (a n) = α n or alle ølger (a n) n=0 av punkter i I som tilredsstiller a n a og lim n a n = a. Hint. Tilpass beviset or [1, s. 237, Setning ] og se bemerkningen som ølger det Lokal Formulering. Hovedresultatet i orrige seksjon, Teorem 2.2.3, er av global natur. Med dette mener vi at det garanterer at den aktuelle unksjonen har en globalt deinert inversunksjon; det vil si at den er inverterbar på hele sitt deinisjonsområde. Selv om det i mange tileller ikke eksisterer globale inversunksjoner, kan man like vel, under visse betingelser, inne lokale inversunksjoner ved å innskrenke unksjonenes deinisjonsområde Restriksjon av Funksjoner. Anta at : Y Z er en unksjon mellom to mengder Y og Z, og la X Y være en delmengde av Y. Med restriksjonen av til X mener man unksjonen X : X Z deinert ved X (x) = (x) (x X). Med andre ord, restriksjonen X av til X er den unksjonen man år ved å restriktere sitt deinisjonsområde til X. La oss deinere en unksjon ι X Y : X Y ved ι X Y (x) = x (x X). Denne unksjonen kalles inklusjonsavbildningen av X inn i Y. Vi ser at ι X Y = id Y X. Følgende diagram illustrerer situasjonen: Y Z ι X Y X X Oppgave Anta at Y og Z er to mengder og at : Y Z er en unksjon. La betegne den tomme mengden. Hvoror er Y, og hva er? Oppgave Anta at A er en delmengde av R og at : A R er en kontinuerlig unksjon. Vis at dersom B A, så er unksjonen B også kontinuerlig. Denne oppgaven viser at restriksjon bevarer kontinuitet. Vi minner om at et omegn om et punkt a R er et åpent intervall som inneholder a. Oppgave La a R, og betrakt en unksjon : R R. Vis at er kontinuerlig i punktet a hvis og bare hvis det or alle omegn I om a er slik at restriksjonen I av til I er kontinuerlig i punktet a. Denne oppgaven viser at kontinuitet er et lokalt enomen: kontinuiteten til i punktet a avhenger kun av hvordan ser ut i vilkårlig små omegn om a.

9 INVERST FUNKSJONSTEOREM 9 Oppgave La situasjonen være den samme som i Oppgave 2.3.3, og la α R. Vis at er deriverbar i punktet a med (a) = α hvis og bare hvis det or alle omegn I om a er slik at restriksjonen I av til I er deriverbar i punktet a med ( I ) (a) = α. Denne oppgaven viser at deriverbarhet er et lokalt enomen: deriverbarheten til i punktet a avhenger kun av hvordan ser ut i vilkårlig små omegn om a Lokal Inverst Funksjonsteorem. Vi skal nå ormulere og bevise den lokale versjonen av inverst unksjonsteorem. Teorem (Lokal Inverst Funksjonsteorem). Anta at A er en ikke-tom delmengde av R og at : A R er en unksjon. Anta videre at a A og at det innes et omegn om a hvorpå er kontinuerlig deriverbar og tilredsstiller (a) 0. Da innes det et åpent intervall J A som inneholder a slik at J er en dieomori av klasse C 1. Bemerkning. Dette teoremet sier at dersom er kontinuerlig deriverbar på et omegn om punktet a og (a) 0, så innes det et åpent intervall J som inneholder a slik at (J ) er et åpent intervall og : J (J ) er en kontinuerlig deriverbar bijeksjon med en kontinuerlig deriverbar inversunksjon J 1 : (J ) J. Med andre ord, under disse betingelsene har en lokalt J deinert inversunksjon i nærheten av a. Bevis. La I være et omegn om a hvorpå er kontinuerlig deriverbar. Ettersom er kontinuerlig på I og (a) 0, anvender vi Oppgave til å inne et omegn J I om a slik at ikke tar verdien null på J. Resultatet ølger ved å anvende den globale versjonen av inverst unksjonsteorem, Teorem 2.2.3, på restriksjonen av til J. J Vi overlater det til leseren å undersøke hvordan Oppgave og Oppgave er brukt i beviset ovenor. Bemerkning. Det innes versjoner av inverst unksjonsteorem som ikke orutsetter like strenge krav om kontinuitet på de deriverte til de aktuelle unksjonene, men de versjonene vi har ormulert vil være tilstrekkelige or våre anvendelser, hvor disse kontinuitetskravene alltid vil være oppylt. Oppgave Anta at I er et åpent intervall og at : I R er en unksjon. Vis at dersom a I og er kontinuerlig i punktet a med (a) 0, så innes det et omegn J om a slik at har samme ortegn som (a) på hele J. Denne oppgaven viser at dersom en kontinuerlig unksjon er orskjellig ra null i et gitt punkt, så innes det et helt omegn om dette punktet hvor unksjonen er orskjellig ra null. Hint. Anta ørst at (a) > 0, og la ɛ = (a)/2 > 0. Forklar hvoror det innes en δ > 0 slik at 0 < (a)/2 = (a) ɛ < (x) når x a < δ, og bruk dette til å bevise konklusjonen. Reeranser [1] Lindstrøm, Tom: Kalkulus, 4. utgave (2016), Universitetsorlaget.

EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS

EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere

Detaljer

(ii) g = (f B)^{-1} \: V \to B \subset R^m er deriverbar med Dg(f(u)) = (Df(u))^{-1} \: R^m \to R^m for alle u i B.

(ii) g = (f B)^{-1} \: V \to B \subset R^m er deriverbar med Dg(f(u)) = (Df(u))^{-1} \: R^m \to R^m for alle u i B. MAT1300 Analyse I 5. mai 2009 13.3. Det inverse funksjonsteoremet Vi vil bruke kontraksjonsprinsippet for å bevise følgende teorem: Teorem 13.13 (Det inverse funksjonsteoremet): La U \subset R^m være åpen,

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09

Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x

Detaljer

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN

NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner

Detaljer

Oblig 1 - MAT Oppgave 1. Fredrik Meyer. Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved. x n+1 = α + x n 1 + x n.

Oblig 1 - MAT Oppgave 1. Fredrik Meyer. Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved. x n+1 = α + x n 1 + x n. Oblig 1 - MAT2400 Fredrik Meyer 1 Oppgave 1 Vi lar α > 1 og x 1 > α. Vi definerer en følge (x n ) ved Lemma 1 (a). x n > 1 n N x n+1 = α + x n = x n + α x2 n Bevis. Siden α > 1 er α + x n >, så 1 = 1+xn

Detaljer

Andre del av forelesningen om funksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utfyllende enn forelesningen.

Andre del av forelesningen om funksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utfyllende enn forelesningen. NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Andre del av orelesningen om unksjoner bygger på dette notatet. Notatet bygger på læreboken og er noe mer utyllende enn orelesningen. GRENSEVERDI Man kan or eksempel

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk or IT, høsten 016 Oblig 4 Løsningsorslag 30. setember 016.4.11 a) ( 1, 3, 5, 7, ) Her vil relasjonsmengden være slik: {(1, 1), (3, 1), (3, 3), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (7, 1), (7, 3), (7, 5),

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Injektive og surjektive funksjoner

Injektive og surjektive funksjoner Injektive og surjektive funksjoner Christian F. Heide 5. september 07 Dette notatet forklarer begrepene injektive og surjektive funksjoner, og er tenkt brukt som et supplement til avsnitt.5 i boken «Mathem»

Detaljer

Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a

Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x

Detaljer

MAT jan jan jan MAT Våren 2010

MAT jan jan jan MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 18. januar 2010 Forelesning I denne første forelesningen skal vi friske opp litt rundt funksjoner i en variabel, se på hvordan de vokser/avtar, studere kritiske punkter og beskrive

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 07 Notasjon i rettingen: R = Rett R = Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning

Detaljer

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09

Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgaveark Uke 37 (07/09-11/09) MAT111 - H09 Oppgave 1 Du ar fått deg en jobb i et firma og skal kjøre til en konferanse med overnatting. Du drar jemmefra på mandag kl 07:15 og ankommer 11:07. Du overnatter

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 5 I kapittel 5 har mange av oppgavene et mer teoretisk preg enn du er vant til fra skolematematikken, og jeg har derfor lagt vekt på å lage løsningsforslag

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36. Oppgaver til seminaret 9/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 9/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

MA oppsummering så langt

MA oppsummering så langt MA1101 - oppsummering så langt Torsdag 29. september 2005 http://www.math.ntnu.no/emner/ma1101/2005h/ MA1101- oppsummering så langt p.1/21 Pensum til semesterprøven Kapittel P Kapittel 1 Kapittel 2: avsnittene

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10

OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43. Oppgaver til seminaret 28/10 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 43 Avsn. 5.1: 41 Avsn. 5.3: 3, 7 Avsn. 5.4: 13, 31, 37 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 28/10 Oppgaver til gruppene uke 44 Merknad: Oppgavene under skal kunne løses uten

Detaljer

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1

Detaljer

Logaritmer og eksponentialfunksjoner

Logaritmer og eksponentialfunksjoner Logaritmer og eksponentialfunksjoner Harald Hanche-Olsen og Marius Irgens 20-02-02 Dette notatet ble først laget for MA02 våren 2008. Denne versjonen er omskrevet for MA02 våren 20. Du vil oppdage at mange

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag :

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36. Oppgaver til seminaret 8/9. Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag : OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 36 Avsnitt 1.4: 17, 29, 32 Avsnitt 2.2: 12 Avsnitt 2.3: 41, 52 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 8/9 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar

Detaljer

ANALYSEDRYPP. Et forkurs til MAT2400. av Tom Lindstrøm. Matematisk insitutt og CMA Universitetet i Oslo 2011

ANALYSEDRYPP. Et forkurs til MAT2400. av Tom Lindstrøm. Matematisk insitutt og CMA Universitetet i Oslo 2011 1 ANALYSEDRYPP Et forkurs til MAT2400 av Tom Lindstrøm Matematisk insitutt og CMA Universitetet i Oslo 2011 2 Forord Hensikten med dette heftet er å bygge en bro mellom kalkuluskursene og det første kurset

Detaljer

Kleene-Kreisels funksjonaler

Kleene-Kreisels funksjonaler Kapittel 7 Kleene-Kreisels funksjonaler 7.1 De hereditært totale funksjonalene Det er en kjent sak at hvis vi har en opplisting av beregnbare funksjoner fra N til N så vil enten opplistingen selv ikke

Detaljer

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9

OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde

Detaljer

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Ekstremverdier Mellomverdisatsen Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. september 2011 Kapittel 4.1. Funksjoners ekseremverdier fra og med lokale ekstrema

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven

TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven TMA4100: Repetisjon før midtsemesterprøven 10.10.09 Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag October 1, 2009 L.S. (NTNU) TMA4100: Oversikt October 1, 2009 1 / 20 Kapittel 1: Funksjoner.

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart forelesning 6 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart forelesning 6 Grenseverdier I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 En formell definisjon

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 11. Oktober 2017 Strengt voksende funksjon (Def. 6 i Ÿ2.8) f er strengt voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA400 Matematikk, høst 203 Forelesning 2 www.ntnu.no TMA400 Matematikk, høst 203, Forelesning 2 Transcendentale funksjoner I dagens forelesning skal vi se på følgende: Den naturlige logaritmen. 2 Eksponensialfunksjoner.

Detaljer

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016

Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016 Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

Notasjon i rettingen:

Notasjon i rettingen: UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Løsningsforslag med kommentarer) til Innlevering /4 i emnet MAT, høsten 207 Notasjon i rettingen: R Rett R Rett, men med liten tulle)feil

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære

Detaljer

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma

Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 6: Derivasjon Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 22. august, 2012 Stigningstallet i et punkt Stigningstallet i et punkt Vi vender nå tilbake til problemet med å finne

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017

Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning

Detaljer

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting

Forelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket

Detaljer

Den deriverte og derivasjonsregler

Den deriverte og derivasjonsregler Den deriverte og derivasjonsregler Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 3, 2014 Tangenten til en funksjon i et punkt (kap. 2.1) Sekant til en funksjon gjennom to punkter 25 20 f(c+h)

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 7: Derivasjon (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 23. august, 2012 Den deriverte som momentan endringsrate Den deriverte som momentan endringsrate Repetisjon

Detaljer

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der

Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende

Detaljer

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009

Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)

Detaljer

Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma

Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma Løsningsforslag til noen oppgaver om Zorns lemma Fredrik Meyer Her er et løsningsforslag på Oppgave 3 og Oppgave 5 i notatet om Zorns lemma. De to første oppgavene ble gjort på plenum. Oppgave 1. Vi skal

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier

Fremdriftplan. Siste uke. I dag. Kap. 1 Funksjoner Grenseverdier 1 Fremdriftplan Siste uke Kap. 1 Funksjoner 2.1-2.2 Grenseverdier I dag 2.3 Den formelle definisjonen av grenseverdi 2.4 Ensidige grenser og grenser i uendelig 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet

Fremdriftplan. I går. I dag. 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet 1 Fremdriftplan I går 2.5 Uendelige grenser og vertikale asymptoter 2.6 Kontinuitet I dag 2.7 Tangenter og derivasjon 3.1 Den deriverte til en funksjon 3.2 Derivasjonsregler 3.3 Den deriverte som endringsrate

Detaljer

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Første og andrederivasjons testen Anvendt optimering Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 13. september 2011 Kapittel 4.3. Monotone funksjoner og førstederivasjons-testen

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030

Detaljer

Definisjoner og løsning i formel

Definisjoner og løsning i formel Dilik. p.1/24 Dierensiallikninger Deinisjoner og løsning i ormel Forelesning uke 45, 2005 MA-INF1100 Dilik. p.2/24 Dierensiallikninger Struktur i presentasjonen Lysarkene gjennomgår hovedpunkter ra alkulus

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk Høst 04 Løsningsforslag Øving 04 30 For å vise at f er en injektiv one-to-one funksjon, ser vi på den deriverte,

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012 Formell definisjon av grenseverdi Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon

Detaljer

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians.

Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. H. Goldstein Revidert januar 2008 Litt om forventet nytte og risikoaversjon. Eksempler på økonomisk anvendelse av forventning og varians. Dette notatet er ment å illustrere noen begreper fra Løvås, kapittel

Detaljer

MAT1030 Forelesning 14

MAT1030 Forelesning 14 MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

MAT feb feb feb MAT Våren 2010

MAT feb feb feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Forelesning Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 9. oktober 205 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark, formelsamling.

Detaljer

Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C)

Oppgave: Avgjør om følgende to mengder er like: 1) (A B) C 2) A (B C) Mengder, fortsettelse. Tre mengder Venndiagram for tre mengder A, B og C må tegnes slik at alle muligheter blir dekket. For å få dette til må de overlappe hverandre: Oppgave: Avgjør om følgende to mengder

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at

Detaljer

Sekventkalkyle for utsagnslogikk

Sekventkalkyle for utsagnslogikk Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet

Detaljer

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010

Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å

Detaljer

Kontinuitet og grenseverdier

Kontinuitet og grenseverdier Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

1 Mandag 8. februar 2010

1 Mandag 8. februar 2010 1 Mandag 8. februar 2010 Vi er ferdig med en-variabel-teorien, og vi kan begynne å jobbe med funksjoner i flere variable. Det første vi skal gjøre er å gå gjennom de vanlige analysene vi gjør for funksjoner

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

Teorem 12.8: Anta f \: R^2 \to R er kontinuerlig, t_0, y_0 \in R og \delta>0. Anta videre at det finnes en K>0 med K\delta<1 slik at

Teorem 12.8: Anta f \: R^2 \to R er kontinuerlig, t_0, y_0 \in R og \delta>0. Anta videre at det finnes en K>0 med K\delta<1 slik at MAT1300 Analyse I 4. mai 2009 12.2. Eksistens av løsninger for differensiallikninger Teorem 12.8: Anta f \: R^2 \to R er kontinuerlig, t_0, y_0 \in R og \delta>0. Anta videre at det finnes en K>0 med K\delta

Detaljer

Econ 2200 V08 Sensorveiledning

Econ 2200 V08 Sensorveiledning Econ 00 V08 Sensorveiledning Vi lar ogavene telle som ølger: Og. : Og. : 3 Og. 3: 0 Og. 4: 0 Og. 5: 5 Og. 6: Og. 7: 0 Og. 8: 5 Og. 9: 5 Sum 00 Vi kommer tilbake til oengkravene or de orskjellige karakterene.

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:00) MAT1030 Diskret

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen

PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen PENSUM MAT1100 H11 Flervariabel analyse med lineær algebra, Tom Lindstrøm og Klara Hovberg Kalkulus, Tom Lindstrøm, 3. Utgave Joakim Myrvoll Johansen MAT1100 Pensum fra Kalkulus KAP3 KOMPLEKSE TALL 3.1

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 9 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 9 Derivasjon I dagens forelesning skal vi se på følgende: 1 Tilnærminger til små endringer. 2 Vekstfart.

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i Matematikk II Torsdag 4. juni 05, kl. 09:00-4:00 Bokmål Tillatte hjelpemiddel: Enkel kalkulator i samsvar

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,

Detaljer

INF3170 Forelesning 1

INF3170 Forelesning 1 INF3170 Forelesning 1 Introduksjon og mengdelære Roger Antonsen - 26. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-26 14:58) Dagens plan Innhold Velkommen til INF3710 Logikk 1 Litt praktisk informasjon...................................

Detaljer

MAT1030 Forelesning 14

MAT1030 Forelesning 14 MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Dag Normann - 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:01) Kapittel 6: Funksjoner Injektive funksjoner Igår begynte vi på kapitlet om funksjoner f : X Y, og

Detaljer