OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39. Oppgaver til seminaret 29/9

Transkript

1 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 Avsnitt 3.1: 9, 23, 34 Avsnitt 3.3: 48, 61 Avsnitt 3.4: 1, 2, 9 På settet: S.1 Oppgaver til seminaret 29/9 Oppgaver til gruppene uke 40 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn , 21, 28 ( ), 29 Avsn , 4, 15, 29 Avsn , 17, 24, 43, 66 Avsn , 5, 11 Ch. Probl. Kap 1 7 Ch. Probl. Kap 2 13 På settet: G.1, G.2, G.3 G.4, G.5, G.6, G.7, G.8 ( ) I denne oppgaven kunne læreboken godt spesifisert uttrykt ved f 1 (x). Oppgavene under Mer dybde behandles i 2. time av det raske seminaret 6/10. Obligatoriske oppgaver Oppgavene 4 og 5 i Obligatorisk innlevering 2(innleveringsfrist mandag 09/10 kl. 14:00). 1

2 2 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB) OPPGAVE G.1 (Deleksamen UiB-H03-Oppg. 8) OPPGAVE G.2 (Deleksamen UiB-H03-Oppg. 6) OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-V11-Oppg. 5)

3 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 3 OPPGAVE G.4 (Deleksamen UiB-V04-Oppg. 7) OPPGAVE G.5 (Eksamen NTNU) Tidlig en mandag morgen begynte det å sne med en konstant rate. Klokken begynte en sneplog å rydde en vei. Klokken hadde den kjørt 5 km. Først klokken hadde den kjørt 10 km. Anta at plogen rydder unna sne med en konstant rate (i f.eks. kubikkmeter per time). La t = 0 idet det begynner å sne, og la x(t) være distansen sneplogen har kjørt ved tid t. Forklar hvorfor t x (t) = k for en konstant k. Hva var klokken da det startet å sne? OPPGAVE G.6 (a) Vis at en kontinuerlig én-til-én funksjon definert på et intervall I er strengt monoton, dvs. enten strengt voksende ( increasing ) eller strengt avtagende ( decreasing ), på sin definisjonsmengde. (b) Gi et eksempel som viser at konklusjonen i (a) ikke holder for en ikkekontinuerlig funksjon. (c) Vis at dersom f er en kontinuerlig funksjon som har en invers, da er den inverse funksjonen også kontinuerlig. (Deloppgavene (a) og (b) er i praksis lik Oppgavene 37 og 38 i Avsnitt 3.1 i læreboken.) OPPGAVE G.7 Bevis følgende sats, som gir en nyttig regel for å avgjøre om en funksjon er derivérbar eller ikke. Sats La f være kontinuerlig i a og derivérbar for alle x i en punktert omegn om a. (i) Dersom lim x a f (x) = L (med L et endelig tall), da er f derivérbar i a med f (a) = L.

4 4 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 (ii) Dersom de to ensidige grensene lim x a f (x) og lim x a + f (x) eksisterer (og altså er endelige) men er ulike, eller en av dem er eller, da er f ikke derivérbar i a. Hint til beviset: Bruk definisjonen av derivert og del opp problemet i de to ensidige grensene. Dersom h > 0, bruk sekantsetningen på intervallet [a, a + h] til å konkludere at f(a + h) f(a) = f (c h ), h for en c h (a, a + h). Ta så grensen når h 0 +. Gjør så det samme for h < 0. Merknader (a) Husk at dersom f ikke er kontinuerlig i a, kan den heller ikke være derivérbar i a, ved Teorem 1 i 2.3, så da trenger vi ikke gjøre noe mer. (b) Merk også at satsen ikke sier noe i det tilfellet der én eller to av de ensidige grensene ikke eksisterer og ingen av dem er ±. Derfor kan f.eks. satsen ikke brukes på funksjonen x 2 sin 1, når x 0 x 0, når x = 0. (fra Oppgave G.2 i oppgavesett Uke 37, eller Oppgave i læreboken ( i utg. 7 og i utg. 6): Vi viste at f er derivérbar i 0 (med f (0) = 0) men lim x 0 f esisterer ikke og er heller ikke ± fra noen av sidene. (c) Merk at del (i) av satsen også gir at den deriverte er kontinuerlig i punktet a, siden den nettopp sier at lim x a f (x) = f (a) (se Definisjon 4 i 1.4). OPPGAVE G.8 Bruk Satsen fra forrige oppgave og andre resultater til å avgjøre om følgende funksjoner er derivérbare i 0: (a) e x 1, når x 0 sin x, når x < 0. (b) (c) Fasit/hint på neste side tan x, når x 0 ln(x 2 + 1), når x < 0. x, når x 0 x + 1, når x > 0.

5 OPPGAVESETT MAT111-H17 UKE 39 5 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden Merk at løsningsforslaget til Oppgave G.3 bruker teorien for separable differensialligninger fra 7.9. Oppgaven går imidlertid fint an å løse ved hjelp av teorien om eksponensiell vekst fra 3.4. Oppgave S.1. Kontinuitet krever β = 0. Ingen verdi av α gir derivérbarhet. Oppgave G.5. Hint til første del: Hvis raten er r (konstant), er snødybden ved tiden t lik h = rt. Hvis plogens bredde er b, x = x(t) er veistrekningen som plogen har kjørt, og V = V (t) er bortryddet snømengde, har vi dv = brt dx. Bruk så den dt dt gitte opplysningen at plogen rydder snø med konstant rate, kall raten a, som betyr dv = a. dt Hint til siste del: Differensialligningen kan skrives som dx = k, som har generell dt t løsning x(t) = k ln t + C. Sett t = t 0 når plogen begynner å kjøre klokken og bruk de gitte opplysningene til å sette opp tre ligninger, nok til å finne t 0 = 1. Det startet altå å snø én time før plogen startet, dvs. kl Oppgave G.8. (a) Derivérbar, ved satsen. (b) Ikke derivérbar, ved satsen. (c) Ikke derivérbar, siden ikke kontinuerlig (og satsen kan ikke brukes) LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen