Definisjoner og løsning i formel

Transkript

1 Dilik. p.1/24 Dierensiallikninger Deinisjoner og løsning i ormel Forelesning uke 45, 2005 MA-INF1100

2 Dilik. p.2/24 Dierensiallikninger Struktur i presentasjonen Lysarkene gjennomgår hovedpunkter ra alkulus kap og Rekkeølgen er endret, spesielt er 10.7 lyttet ram. Mye detaljer er utelatt selv om del viktige mellomst er inkludert. ksempler er bare tatt med i brenset grad. Henvisninger til eks. sats i alkulus skrives Noen steder reereres likninger med navn.

3 Dilik. p.3/24 Hva er en dierensialikning? n algebraisk likning har ett eller lere) tall som ukjente. ksempel: Løsningene oppyller relasjonen. og er de verdiene or som n dierensiallikning er en relasjon mellom en unksjon og dens deriverte. Funksjonen er den ukjente. ksempel n løsning oppyller denne or alle. Insetting er en løsning. Det er ikke eks. som oppyller likningen bare or.

4 Dilik. p.4/24 Hvoror studere dierensiallikninger? Dierensiallikninger er helt sentrale or ysiske ag og ingeniørvitenskap. lasse av eksempler Hvordan en tilstand endrer s i tiden avhenger av tilstanden selv. an tilstanden beskrives ved en unksjon av tiden,, kan endringen beskrives ved siden dette er endringsraten av mhp.. Resultatet er en relasjon mellom og.

5 Dilik. p.5/24 ksempel A: nedbrytning av radioaktivt sto Vi har en masse av et radiokativt sto. Hvert atom har en viss sannsynlighet or å orvandles emmitere eller partikler) i et gitt tidsrom. ndringsraten av massen er da proposjonal med massen selv. Dersom vi starter med masse har vi det matematisk problemet 1) n dierensiallikning or i og en initialbetingelse. avhengig av hvor radiokativt stoet er.. eksempel er lassiisering: Første orden, lineær, konst. koe., homogen. Likninger av denne typen skal vi snart løse.

6 ! " " Dilik. p.6/24 ksempel B: jemisk reaksjon Oksydasjon av nitrogenmonoksyd til nitrogendioksyd o molekyler reagerer med ett til onsentrasjoner:,, volum) Reaksjonsrate er proposjonal med sannsynlighet or sammenstøt av 2 molekyl)... molekyler per og ett # der er en konstant. Det inngår ennå to ukjente.

7 " " & & ' ' & ' % % % Dilik. p.7/24 ksempel B orsetter Bevaring av masse Startkonsentrasjoner: Massebevaring er totalt volum), som gir Insatt i reaksjonslikning: der. lassiisering: Første orden, ikkelineær, separabel orklart senere) Denne kan vi også rne på.

8 * ) * ) " ) +, * " " * Dilik. p.8/24 ksempel C: Bevelse av partikkel Newton s 2 lov, rettlinjet bevelse * der = masse, = akselerasjon og = krat. Posisjon gis som. Hvis krat avhenger av posisjon, hastighet og tid:.-,/, -,/ Newton s 2 lov " Dierensiallikning av orden 2.

9 1 * " 0) 0 " Dilik. p.9/24 ksempel C: onkret tilelle Fallskjermhopperen ra kompendiet Leme i ritt all måles vertikalt nedover) 21 " 6 3BC 3BA =3?> :<; " der art,/., - ) " lassiisering: Andre orden, ikkelineær, separabel orklares siden)

10 D Dilik. p.10/24 Lineær, homogen likning av orden 1 Fraviker. kap.10.1 Vi skriver den om til ri variabel ) D som har orm: Funksjon av ganger = unksjon av Likninger som kan skrives slik kalles separable Fortsetter neste lysark

11 D Vi intrerer bge sider mhp. F D Poenget er at vi med en gang kan subsitituere : 6 G G der er en intrasjonskonstant. Derved : 6 G G D Dilik. p.11/24

12 G G G G OP N LM OP NS OP NS D Lineær, homogen likning av orden 1, orts. Anvender vi eksponensialunksjonen på bge sider og bruker og løser opp J J - H?I der ved er en reell konstant. ntydig skrevet orm kan vi å Q LM R S Initialbetingelse Initialbetingensen S Q LM R ksplisitt ormel dersom intreres i ormel Dilik. p.12/24

13 V WX V V V Separable likninger Form. kap. 10.7) Intrasjon gir og antideriverte av hhv. og der er intrasjonskonstant. Initialbetingelse Løsning i ormel orusetter 1. og 2. kan innes må kunne løses ra SI). rinn 1 og 2 kan utøres numerisk Dilik. p.13/24

14 1 OP N LM D D 1 0 YZ OP N LM Dilik. p.14/24 Inhomogen, lineær likning av orden 1. kap. 10.3) nep: variasjon av parameteren Vi skriver løsningen av IN) der oppyller den homogene delen. Innsetting i IN) D 1 1 Fordi løser den homogene likningen kansellerer de siste to ledd på venstre side 0 1

15 N N 0 L M / 1 M L M 0 ^ \ D 0 Inhomogen, lineær likning av orden 1, orts. kan vi da skrive ) For OP LM OP LM Alle løsninger har denne ormen. Dersom IN) skal løses or, med utøres intraler ra til ) og eneste mulig løsning er ) ]\ OP N/ Q ^ OP S NS Q L a\ / _ OP N/ `Q ^ _ har D ]\ 0 er intrerbare. og Vist: entydig løsning når Dilik. p.15/24

16 c b Dilik. p.16/24 Andreordens, lineære likninger lassiisering: lineær, homogen, variable koeisienter, orden 2. Superposisjonering ) Dersom og er løsninger av H2) er, en løsning av H2)., Når kan H2) løses i ormel? Når koeisientene er konstante og i noen å andre tileller

17 onstante koeisienter der og er konstante. lassiisering: lineær, homogen, konstante koeisienter, orden 2 Likning har løsning d / vi prøver med e / i 2) e / e / e / e / e / er løsning når er nullpunkt i karakteristisk likning Minner om noe? Dierenslikninger. Dilik. p.17/24

18 \ % j % 6 i A Dilik. p.18/24 ilelle 1; to reelle røtter, Løsning ilelle 2; en reell rot, Løsning, e ilelle 3; to komplekse røtter Løsning der Vi må se på % A@ 2h ) ), ) r løsningene ullstendige? Vi har gjettet på en orm og unnet de løsningene som har denne. Dette er ulikt behandlingen av ørsteordenslikningen. Hvordan ramkommer løsningen i tilelle 2? Minner om tilsvarende tilelle med dierenslikninger. Formen på løsningen i 3

19 1 l k k 1 o J k J d n l m m k O d n _ O d n r løsningene ullstendige? Bruker knep med variasjon av parameteren er der 1 Alle mulige løsninger kan skrives en løsning Innsatt i likningen 2) De 3 ørste ledd på høyre side kansellerer og Siden er kjent og leddet med er borte er dette en lineær ørsteordenslikning or. Den kan vi løse H?I OP LN d d N og N ' Videre Dilik. p.19/24

20 N ' ' O d n 1 Dilik. p.20/24 r løsningene ullstendige? Fortsettelse For inner vi så Leddet med oppyller er av samme orm som har vi. Derved. Siden og ' e som viser at vi har den ullstendige løsningen i tilelle 1. ilelle 3 er i prinsippet likt, mens vi or tilelle 2 viser ullstendighet sammen med at vi inner delen.

21 N 1 O d n ' 1 Dilik. p.21/24 ilelle 2 Fra innsetting av eksponensialormen har vi bare en uavhengig løsning. Vi bruker igjen variasjon av parameterenen med. Får Siden ølger Den generelle løsningen blir da '

22 % j ' ' i ' A 6 ilelle 3. n komplekst evaluert unksjon deriveres som. Da er det Vi har j 0 D j 0 D klart at leddene i O pq N \ O pqn N \ er kompleksevaluerte løsninger av dierensiallikningen. Dersom blir den reell og j O pq % A@ h \ N \ O pqn % N \ Sjekk ved innsetting! Dilik. p.22/24

23 Dilik. p.23/24 Initialverdiproblem ) r har entydig løsning. For tilelle 1-3 gir initialbetingelsene 2 likninger or konstantene og som har entydig løsning. ntydig løsning av andreordenslikning med initialbetingelser or unksjonsverdien og den ørstederiverte er ikke brenset til tileller med konstante koeisienter.

24 ntydighet; tilelle 1 Vi viser bare or tilelle 1. Den generelle løsningen e satt inn i r gir \ e \ \ e \ r Løsning ved eliminasjon r \ r e \ som eksisterer så lenge s. Dilik. p.24/24