Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner
|
|
- Tina Knudsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever i språket. Vi kan også tenke oss at de parene (x, y) A B som tilfredsstiller R utgjør en mengde, altså et matematisk objekt som vi kaller grafen til R. To relasjoner R og R er ekvivalente på A B dersom: x A y B R(x, y) R (x, y), (1) og dette er ekvivalent med at R og R har samme graf (på A B). Når G A B kan vi definere en relasjon R på A B ved at R(x, y) er påstanden (x, y) G. Grafen til denne relasjonen er da G. Dette gir oss muligheter til å bearbeide relasjoner ved hjelp av språket (bruk av konnektiver og kvantorer) men også mengdeteoretisk, med alle de verktøyene det innebærer. Vi har allerede møtt noen spesielle grafer, nemlig de funksjonelle, som er grafer til funksjoner. Vi skal nå se på noen andre mulige egenskaper ved relasjoner. Definisjon 5.1. La A være en mengde utstyrt med en relasjon som gitt (x, y) A A påstår at x y, som uttales «x triangel y». Vi sier at relasjonen er refleksiv dersom: x A x x, (2) symetrisk dersom: x, y A x y y x, (3) antisymetrisk dersom: x, y A (x y y x) = x = y, (4) transitiv dersom: x, y, z A (x y y z) = x z, (5) 1
2 Ekvivalenser Definisjon 5.2. Vi sier at en relasjon er en ekvivalens når den er refleksiv, symetrisk og transitiv. Eksempel 5.1. På enhver mengde er likhet en ekvivalens. La k Z være gitt. Relasjonen definert ved: er en ekvivalensrelasjon på Z. x k y k (y x) (6) Dersom f : A B kan vi definere en ekvivalens på A ved: x, y A x y f(x) = f(y). (7) Vi skal komme tilbake til ekvivalensrelasjoner senere. For eksempel skal vi vise at for enhver ekvivalens på A finnes det en mengde B og en avbildning f : A B slik at ekvivalensen tar formen (7). Ordener Definisjon 5.3. La A være en mengde og være en relasjon på A. Vi sier at er en orden når den er refleksiv, antisymetrisk og transitiv. La x, y A. Vi sier at x og y er sammenliknbare dersom: x y y x. (8) Vi sier at er en total orden dersom alle elementer er sammenliknbare (det vil si at (8) gjelder for alle x, y A). Hvis en orden ikke nødvendigvis er total, kan vi poengtere det ved å si at den er partiell. Eksempel 5.2. Likhet en orden på A. Den er ikke total med mindre A bare har ett element, eller ingen. På N er delbarhet en partiell orden. La U være en mengde. På P(U) er inklusjon (som gitt A, B U påstår at A B) en partiell orden. En vanlig notasjon for ordensrelasjoner er at den gitt (x, y) påstår at x y, som uttales «x er mindre enn y». Vi skriver x < y for påstanden (x y x y). Det uttales «x er strengt mindre enn y». Vi skriver x y and x > y for de respektive utsagnene y x og y < x. Vi noterer at når er en orden, tilfredsstiller også alle askiomene for å være en orden. Vi kaller for den motsatte ordenen til. 2
3 Bemerkning 5.1. Likhet er den eneste relasjonen som er både en orden og en ekvivalens. Definisjon 5.4. La A være utstyrt med en ordensrelasjon som vi skriver. La B være en delmengde av A og la a A. Vi sier at: a er en nedre skranke for B dersom ( x B a x). a er et minimalt element i B dersom a B og ( x B x a = x = a). Dette kan også skrives a B og ( x B (x < a)). a er et minimum i B dersom a B og ( x B a x). Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives min B. Vi kan også si at a er det minste elementet i B. Øvre skranke, maksimalt element, maksimum (max B, største element), defineres tilsvarende. Vi sier også at: a er et infimum av B dersom det er et maksimum i mengden av nedre skranker til B. Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives inf B. Supremum er definert på tilsvarende måte og skrives sup B når det eksisterer. Eksempel 5.3. La U være en mengde. Vi utstyrer P(U) med inklusjonsordenen. er det minste elementet i P(U), mens U er det største elementet i P(U). Dersom A P(U) har vi at A er et supremum til A mens A er infimum til A, forutsatt at A ikke er tom (i såfall er U infimum). Eksempel 5.4. På N utstyrt med standard ordenen, er 0 minste element og det finnes ikke noe største element. På N utstyrt med delbarhetsordenen er 1 minste element og 0 er største element (!). På N utstyrt med delbarhetsordenen er det ikke noe største element. Definisjon 5.5. La (A, ) og (B, ) være to ordnede mengder og la f : A B være en avbildning. Vi sier at f er voksende dersom: og strengt voksende dersom: x, y A x y = f(x) f(y), (9) x, y A x < y = f(x) < f(y). (10) Avtagende og strengt avtagende defineres ved å reversere ulikhetene blant bildene. Vi sier at f er monoton hvis den er voksende eller avtagende. 3
4 Eksempel 5.5. La f : A B være en avbildning. Vi lar f : P(A) P(B) være direktebilde avbildningen og f : P(B) P(A) være inversbilde avbildningen. Når potensmengdene er utstyrt med inklussjonsordenene er f og f voksende avbildninger. Eksempel 5.6. Utstyr N med delbarhetsordenen. For hver k N er avbildningen : x kx, fra N til seg selv, strengt voksende. For hver k N er avbildningen : x x k, fra N til seg selv, strengt voksende. 5.2 Binære operasjoner Vi vil være interessert i ordensrelasjoner på tall. For å karakterisere tall trenger vi en annen ingrediens, nemlig operasjoner. Definisjon 5.6. En binær operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Vi kan omtale en avbildning A A som en unær operasjon. Mer generelt kan vi la en n-ær operasjon være en avbildning A n A (forutsatt av vi har definert A n ). Siden vi skal studere binære operasjoner spesielt, dropper vi adjektivet binær og snakker bare om operasjoner. Definisjon 5.7. La : A A A være en operasjon. For x, y A skriver vi x y i stedet for (x, y). Vi sier at operasjonen er assosiativ dersom: x, y, z A (x y) z = x (y z). (11) Vi sier at e A er et neutralt element dersom: x A e x = x e = x. (12) Vi sier at to elementer x, y A kommuterer dersom x y = y x. Vi sier at operasjonen er kommutativ dersom x og y kommuterer for alle x, y A. Eksempel 5.7. La U være en mengde. (A, B) A B definerer en assosiativ og kommutativ operasjon på P(U), med som neutralt element. (A, B) A B definerer en assosiativ og kommutativ operasjon på P(U), med U som neutralt element. 4
5 Eksempel 5.8. La U være en ikke-tom mengde. La A bestå av avbildningene fra U til U. Avbildningen (g, f) g f er en assosiativ operasjon på A med id U som neutralt element. Operasjonen er ikke kommutativ når U har minst 2 elementer. La B bestå av bijeksjonene fra U til U. Igjen betrakter vi operasjonen som består i å komponere avbildninger. Merk at komposisjonen av to bijeksjoner er en bijeksjon. Operasjonen er assosiativ og har id U som neutralt element. Proposisjon 5.1. La A være utstyrt med en operasjon. Det finnes da høyst ett neutralt element i A. Definisjon 5.8. La A være utstyrt med en assosiativ operasjon og et neutralt element e. La x A. Vi sier at x er invertibel dersom det finnes y A slik at xy = yx = e. I såfall er y entydig bestemt av x og kalles inversen til x. Et neutralt element for en assosiativ lov er alltid invertibelt, med seg selv som invers. Eksempel 5.9. I (P(U), ) er det bare som er invertibel. I (P(U), ) er det bare U som er invertibel. Eksempel Vi følger opp Eksempel 5.8. I A utstyrt med komposisjon er en avbildning f : U U invertibel hvis og bare hvis den er bijektiv, og inversen er inversfunksjonen. I B er alle elementer invertible. Når operasjonen skrives + vil x betegne inversen til x. Når operasjonen skrives vil x 1 betegne inversen til x (dersom inversen finnes). Proposisjon 5.2. La A være utstyrt med en assosiativ operasjon som skrives multiplikativt og med et neutralt element. Dersom x og y er invertible elementer i A vil xy være invertibel og (xy) 1 = y 1 x 1. Dersom x er et invertibelt element i A er x 1 invertibel, og (x 1 ) 1 = x. Bemerkning 5.2. De tilsvarende påstandene dersom operasjonen skrives additivt er (x + y) = y + x og ( x) = x. Som regel bruker man additiv notasjon bare når man vet at inverser alltid eksisterer og når operasjonen er kommutativ. 5
6 Følgende to definisjoner gir naturlige måter å bruke eksisterende operasjoner til å definere nye operasjoner. Definisjon 5.9. La A være utstyrt med en operasjon. Man sier at en delmengde B av A er stabil under dersom: x, y B x y B. (13) I såfall kan man utstyre B med den såkalte induserte operasjonen: B B B, (x, y) x y. (14) Definisjon La B være utstyrt med en operasjon. La A være en ikke tom mengde. Vi utstyrer B A med en operasjon også kalt som følger. For f, g B A definerer vi f g B A ved: x A (f g)(x) = f(x) g(x). (15) Merk at vi bruker operasjonen på B i høyre ledd. Bemerkning 5.3. Vi betrakter forutsetningene for forrige definisjon. Hvis e er et neutralt element i B, vil den tilsvarende konstante avbildningen A B være neutralt element i B A. Hvis operasjonen på B er assosiativ, vil operasjonen på B A også være assosiativ. 5.3 Ringer Definisjon Vi betrakter en mengde R, utstyrt med to avbildninger kalt addisjon (+) og multiplikasjon ( ): + R R R, (x, y) x + y. R R R, (x, y) xy. (16) og to utvalgte elementer 0 and 1. Vi sier at (R, +,, 0, 1) er en ring dersom: addisjon er assosiativ, kommutativ, har neutralt element 0 og hvert element x har en invers (som skrives x). multiplikasjon er assosiativ og har neutralt element 1. multiplikasjon distribuerer over addisjon, i den forstand at for alle x, y, z R har vi: (x + y)z = xz + yz, (17) z(x + y) = zx + zy. (18) 6
7 Vi minner om følgende: Proposisjon 5.3. I en ring har vi: Dersom 0 også er et neutralt element for addisjon har vi 0 = 0. Gitt x R finnes det en og bare én y slik at x + y = 0. Denne y noteres x. Vi skriver x y = x + ( y). Vi har (x + y) = x y. Vi har x + z = y + z x = y. Dersom 1 også er et neutralt element for multiplikasjon har vi 1 = 1. Gitt x R, sier vi at x er invertibel dersom det finnes y slik at xy = yx = 1. I såfall er y entydig bestemt av x og skrives x 1. Hvis x og y er invertible et xy invertibel og (xy) 1 = y 1 x 1. Vi har også (fortegnsregler): Proposisjon 5.4. I en ring har vi: Vi har ( x)y = x( y) = (xy) og ( x)( y) = xy. Hvis x er invertibel er x invertibel og ( x) 1 = x 1. Vi har 0x = x0 = 0. Definisjon La R være en ring. Vi sier at R er triviell dersom 0 = 1. Da har vi R = 0}. Vi sier at R er kommutativ dersom multiplikasjonen er kommutativ. Dersom R er ikke-triviell, kommutativ og hvis vi har: x, y xy = 0 = (x = 0 y = 0), (19) sier vi at R er et integritetsdomene. Dersom R er ikke-triviell, kommutativ og alle elementer bortsett fra 0 har en multiplikativ invers, sier vi at R er en kropp. Bemerkning 5.4. Kropper er integritetsdomener: Hvis xy = 0 og x 0 har x en invers x 1 og vi kan skrive: y = 1y = (x 1 x)y = x 1 (xy) = x 1 0 = 0. (20) Her er et eksempel på en kropp: 7
8 Eksempel 5.11 (Binær kropp). La B = 0, 1}. Definer addisjon og multiplikasjon ved: (21) Man kan sjekke at dette er en kropp ved enumerasjon av tilfeller, eller et smartere triks. Noter at = 0, i motsetning til hva vi er vant med. Vi kaller dette for den binære kroppen. At følgende er eksempler på kropper kan vi foreløpig ta som aksiomer, som oppsummerer kjente regneregler. Vi skal komme tilbake til hvordan man kan kontruere disse kroppene. Eksempel Q er en kropp. R er en kropp. C er en kropp. Z er et integritetsdomene. Her er et eksempel som studeres i lineær-algebra: Eksempel 5.13 (Matriser). Velg en kropp K, for eksempel en av Q, R eller C. For n N utgjør n n matriser med koeffisienter i K en ring (med hensyn på matrise addisjon og matrise multiplikasjon). Den er ikke er kommutativ med mindre n = 1. Følgende konstruksjon gir også nye ringer fra gamle, og følger opp Definisjon Eksempel 5.14 (Avbildningsringer). La R være en ring og A en ikke-tom mengde. Vi ser på mengden R A og definerer addisjon og multiplikasjon av elementer som følger. Gitt f, g : A R definer vi f + g og fg ved: f + g A R, x f(x) + g(x). fg A R, x f(x)g(x). (22) Merk at vi bruker addisjonen og multiplikasjonen på R til å definere addisjon og multiplikasjon på R A. Man sjekker at dette gjør R A til en ring. Vi snakker om punktvis addisjon og multiplikasjon av avbildninger. Bemerkning 5.5. Selv om R er en kropp vil ikke R A være et integritetsdomene, når A har mer enn to elementer. 8
9 Oppgaver Oppgave 5.1. (i) I Notat 4, sjekk at de kanoniske bijeksjonene i 4.4 virkelig er bijeksjoner. Beskriv invers-avbildningene. (ii) I Notat 4, bevis Proposisjon Oppgave 5.2. La R være en ring. For hver x R definerer vi x 2 = xx og 2x = x + x. (i) La x, y R. Vis at x og y kommuterer hvis og bare hvis vi har: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. (23) (ii) La x, y R. Vis at x og y kommuterer hvis og bare hvis vi har: (x + y)(x y) = x 2 y 2. (24) Oppgave 5.3. (i) Sjekk påstandene i Definisjon (ii) Sjekk påstandene i Eksempel Oppgave 5.4. La A være elementene i R på formen a + b 2 med a, b Q. (i) Sjekk at A inneholder 0 and 1 og er stabil under addisjon og multiplikasjon. (ii) Sjekk at A, utstyrt med de induserte operasjonene, er en kropp (spesielt at alle elementene bortsatt fra 0 er invertible). 9
x A e x = x e = x. (2)
Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
Detaljer1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer
Notat XX for MAT1140 1 Aksiomatisk definisjon av vanlige tallsystemer 1.1 Aksiomer Vi betrakter en mengde R, utstyrt med to avbild- Algebraiske aksiomer. ninger: addisjon { R R R, (x, y) x + y. { R R R,
DetaljerNotat med oppgaver for MAT1140
Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis
DetaljerDette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:
Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til
DetaljerNotat om Peanos aksiomer for MAT1140
Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi
DetaljerAksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.
Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.
DetaljerTillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner
MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker
DetaljerEn rekke av definisjoner i algebra
En rekke av definisjoner i algebra Martin Strand, martin.strand@math.ntnu.no 11. november 2010 Definisjonene som er gitt her, kommer i MA2201 Algebra og MA3201 Ringer og moduler. Forhåpentligvis blir det
DetaljerGrublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I
Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00 (Fortsettes på side 2.) INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave
DetaljerHint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.
Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere
DetaljerObligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer
Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2012 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Innledning La U være mengden
DetaljerLO118D Forelesning 5 (DM)
LO118D Forelesning 5 (DM) Relasjoner 03.09.2007 1 Relasjoner 2 Ekvivalensrelasjoner 3 Matriser av relasjoner 4 Relasjonsdatabaser Relasjon Relasjoner er en generalisering av funksjoner En relasjon er en
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT1140 Strukturer og argumenter
12. november 2018 MAT1140 Strukturer og argumenter Innleveringsfrist Obligatorisk oppgave 2 av 2 Torsdag 8. november 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om
DetaljerTMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning
TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 9, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA
DetaljerNotat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da
DetaljerZorns lemma og utvalgsaksiomet
MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerINVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS
INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert
DetaljerRepetisjonsforelesning - INF1080
Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen Tid: Onsdag 7. desember 2016 kl. 14.30 18.30 (4 timer) Tillatte hjelpemidler: Ingen Eksamen består av to deler som er verdt omtrent like mye. Den
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerINF1080 Logiske metoder for informatikk. 1 Små oppgaver [70 poeng] 1.1 Grunnleggende mengdelære [3 poeng] 1.2 Utsagnslogikk [3 poeng]
INF1080 Logiske metoder for informatikk Digital eksamen (med løsningsforslag) Dette er et utkast til løsningsforslag til eksamen i INF1080, og feil kan forekomme. Hvis du finner noen feil, si ifra til
DetaljerMAT1030 Forelesning 14
MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er
DetaljerLitt topologi. Harald Hanche-Olsen
MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 27. desember 2015 Tid for eksamen: 08.15 12:15 Oppgave 1 Grunnleggende mengdelære
DetaljerForelesning 22 MA0003, Mandag 5/11-2012 Invertible matriser Lay: 2.2
Forelesning 22 M0003, Mandag 5/-202 Invertible matriser Lay: 2.2 Invertible matriser og ligningssystemet x b Ligninger på formen ax b, a 0 kan løses ved å dividere med a på begge sider av ligninger, noe
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerPartielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet
MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns
DetaljerLøsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0
Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0
DetaljerAnalysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
DetaljerUtvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma
Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerNotater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09
Notater fra forelesning i MAT1100 torsdag 27.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 28. august 2009 Definisjon 1.1. En delmengde A R kalles oppad begrenset dersom det finnes et tall b R slik at b x
DetaljerForelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting
Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket
DetaljerDagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.
INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1
DetaljerJulenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)
Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 10. desember 2013 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 2016 Oblig Løsningsforslag 16. september 2016 2.4.1 a) {(0, 1), (0, 2), (1, 2)} b) {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} c) {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (2, 0)} d) {(0, 0), (1, 0), (1,
DetaljerKarakterer. Kapittel Homomorfier av grupper. 8.2 Representasjoner
Kapittel 8 Karakterer 8. Homomorfier av grupper I forrige kapittel definerte vi begrepet abstrakt gruppe, som en abstrakt versjon av begrepet symmetrigruppe. For å studere forbindelsen mellom abstrakte
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerTo mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.
Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF1080
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerMAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet
MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerMAT1030 Forelesning 11
MAT1030 Forelesning 11 Relasjoner Roger Antonsen - 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner Binære relasjoner Definisjon. La A være en mengde. En binær relasjon på A er
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret
DetaljerKapittel 5: Relasjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 25. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-03 11:37) MAT1030 Diskret
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 26. november 2010 Tid for eksamen: 13:00 17:00 Oppgave 1 La A = { }. Mengdelære
DetaljerEKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT1100 KALKULUS
EKSEMPLER TIL ETTERTANKE MAT00 KALKULUS Simon Foldvik. Oktober 207 Dette dokumentet inneholder eksempler på hvor «ting går galt» og har til hensikt å vise eksempler på hva man ikke kan konkludere. Alle
DetaljerPrøveeksamen 2016 (med løsningsforslag)
Prøveeksamen 2016 (med løsningsforslag 1 Grunnleggende mengdelære La A = {0, {0}} og B = {0, {0}, {0, {0}}}. Er følgende påstander sanne eller usanne? 1 {{0}} A 2 0 B 3 A B 4 A B 1 Usann 2 Usann 3 Sann
DetaljerMAT Grublegruppen Notat 10
MAT1100 - Grublegruppen Notat 10 Jørgen O. Lye Ringer Vi fortsetter i et lynkurs i algebraiske dyr. Først ut er ringer. En ring A (også kalt R) er en abelsk gruppe med addisjon + som operasjon. I tillegg
DetaljerMAT1030 Forelesning 14
MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Dag Normann - 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:01) Kapittel 6: Funksjoner Injektive funksjoner Igår begynte vi på kapitlet om funksjoner f : X Y, og
DetaljerMatematikk for IT. Prøve 1. Torsdag 17. september 2015. Løsningsforslag. 22. september 2015
Matematikk for IT Prøve 1 Torsdag 17. september 2015 Løsningsforslag 22. september 2015 Oppgave 1 Gitt følgende mengder A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2} og C = {0, 3, 6, 9} Universet er U = {0, 1, 2,
Detaljer{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 3. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-03 15:00) MAT1030 Diskret
DetaljerAlgebraiske strukturer
MAT1140, H-16 Algebraiske strukturer Vi kan legge samme og multiplisere tall, funksjoner og matriser, og vi kan bruke snitt og union til å danne nye mengder. Mange av disse operasjonene følger de samme
DetaljerOppgave 14 til 9. desember: I polynomiringen K[x, y] i de to variable x og y over kroppen K definerer vi undermengdene:
HJEMMEOPPGAVER utgave av 8-12-2002): Oppgave 15 til 16 desember: La H være mengden av alle matriser på formen A = a 1 a 12 a 13 a 1n 0 a 2 0 0 0 0 a 3 0 0 0 a n der a 1 a 2 a n 0 Videre la SH være matrisene
DetaljerFør vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner og litt funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Før vi begynner 3. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-04 01:00) MAT1030
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerLØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret
DetaljerMAT1030 Forelesning 10
MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement
DetaljerDirekte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).
Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret
DetaljerMengder, relasjoner og funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerMAT1030 Forelesning 13
MAT1030 Forelesning 13 Funksjoner Dag Normann - 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:15) Kapittel 6: Funksjoner Forrige uke Forrige forelesning snakket vi om relasjoner. Vi snakket om ekvivalensrelasjoner
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF Logiske metoder for informatikk Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. Oppgavesettet er på sider. Vedlegg: Ingen Tillatte
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerINF1800 Forelesning 6
INF1800 Forelesning 6 Utsagnslogikk Roger Antonsen - 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk Hvordan fange inn utsagn? Jeg spiser det hvis det er godt. Jeg spiser
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 3: MENGDELÆRE, RELASJONER, FUNKSJONER Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 26. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-05 12:55) Repetisjon
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 2. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-02 14:14) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerRepetisjon INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 3: MENGDELÆRE, RELASJONER, FUNKSJONER. Mengder. Multimengder og tupler.
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 3: MENGDELÆRE, RELASJONER, FUNKSJONER Roger Antonsen Repetisjon Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 26. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-05 12:55)
DetaljerMer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner
MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske
DetaljerTOPOLOGI. Dan Laksov
Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst
DetaljerMA3301 Beregnbarhets- og kompleksitetsteori Høsten
MA3301 Beregnbarhets- og kompleksitetsteori Høsten 2012 1 Notat 2 Om den kanoniske automaten til et språk og minimalisering. Vi vil si at en automat M = Q, Σ, q 0, A, δ er redusert enhver tilstand q Q
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 6: UTSAGNSLOGIKK Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 3. september 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:49) Mer om bruk av utsagnslogikk
DetaljerEt noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans
Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerOppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014
Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier
DetaljerEn relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha.
Forelesning 12 Relasjoner, Dag Normann - 20. februar 2008 Oppsummering En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser
DetaljerVektorrom. Kapittel 7. Hva kan vi gjøre med vektorer?
Kapittel 7 Vektorrom Vårt mål i dette kapitlet og det neste er å generalisere og abstrahere ideene vi har jobbet med til nå Især skal vi stille spørsmålet Hva er en vektor? Svaret vi skal gi, vil virke
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Andre samling Runar Ile 1 Ringer og ringhomomorfier 1.1 Hva er en ring? Avsnitt 18: Ringer og kropper Stoff: Ring, direkte produkt av ringer, ringhomomorfi og ringisomorfi, kjernen
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
Detaljer