Nicolai Kristen Solheim

Transkript

1 Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne modulus (r) og argumentet () for. Modulus (r) er gitt ved Argumentet () er gitt ved, hvor, Da vi har funnet r og kan vi nå skrive på polarformen

2 Oppgave 2. For likningen 2 33 får vi følgende: Som gir oss koordinatene for midtpunktet 1, 1 og radiusen 2 2 for sirkelen. Dette gir en løsningsmengde på sirkelen med radius 2 2 og midpunkt 1, 1, hvor koordinatene,, for. 2

3 For å vise dette grafisk bruker vi en parametrisk enhetssirkel, med parameter. Hvor: 2 2 cos sin sin Vi får med dette løsningsmengden for likningen 2 33 i det komplekse planet. Som vist over befinner løsningsmengden seg på en sirkel med radius 2 2 og midpunkt 1, 1. 3

4 Dersom dette komplekse løsningsplanet er korrekt vil vi finne to symetriske løsningspunkt på linjen, da løsningsplanet vårt er en sirkel. Det vil si at vi vil få en linje som skjærer gjennom midpunktet 1, 1 hvis vi drar en linje mellom disse to punktene : 2 3 : 2 3 : For har vi følgende: For 0: For 0: og 1 : For har vi følgende: For 0: For 0: og 1 4

5 Dette gir følgende komplekse tall: For å se om disse tallene er riktige kan vi se om to av disse går opp i uttrykket For 3 3 : For 1: og 1 oppfyller derfor likningen Dersom vi plotter disse to komplekse tallene, 3, 3 og 1, 1 inn på det komplekse løsningsplanet får vi som vist på figuren til høyre. Vi kan også se at de to verdiene er symetriske da de skjærers gjennom midtpunktet 1, 1. Som vil bety at det alltid vil finnes to symetriske løsninger i det komplekse løsningsplanet. Vi kan med dette konkludere med at det komplekse løsningsplanet er korrekt. Videre vil alle tall være gitt på dette løsningsplanet da,, for. 5

6 Oppgave 3. Vi kan skrive om utrykket 10: 10 10, hvor Da det nye utrykket har formen : 0, kan vi bruke formelen finne to komplekse løsninger. for å, hvor og Deretter er det ønskelig å skrive uttrykkene på polarformen. Modulus (r) er gitt ved 1 1 Argumentet () er gitt ved , og Vi kan fra den parametriske figuren til høyre, ( cos, sin ), se at for, =

7 Med dette får vi og som er utgangspunkt for,, og, som sammen gir oss de fire komplekse løsningene til likningen 10. De fire komplekse løsningene for er gitt ved. Tilsvarende kan vi få på formen dersom vi går ut fra cos. De fire komplekse løsningene er derfor r cos, hvor og, og 1. Vi må først finne verdiene for cos og. Dette finner vi ved hjelp av enhetssirkelen

8 Fra enhetssirkelen får vi følgende verdier: cos, sin, cos sin Dette gir oss de komplekse løsningene i formen konvertert fra formen med cos, hvor 1., 1,, Vi har derfor de komplekse løsningene for likningen 10. Vi ønsker deretter å skrive uttrykket 1 som førstegradspolynomer. Da et av leddene er, vil det være fire ledd som multipliserers med hverandre for å oppnå 1. Et ledd for hver av de komplekse løsningene

9 Deretter ønsker vi å skrive 1 som andregradspolynomer. Dette gjør vi ved å gange sammen de konjugerte førstegradspolynomene Hvor består av reelle andregradspolynomer. Hvor de reelle løsningene 3 1. Vi kan dermed skrive uttrykket 1 som både førstegrads og andregradspolynomer. Som førstegradspolynomer: 1 Som andregradspolynomer:

10 Oppgave 4. Grensen for uttrykket lim kan bli funnet på to forskjellige måter. I) En måte er å bruke L Hôpitals regel for uttrykk: lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim II) En annen måte er ved å faktorisering: lim lim Hvor lim 4 4 lim lim 3 3 lim lim lim Begge disse metodene gir grensen for uttrykket hvor. 10

11 Grensen for uttrykket lim 5 kan bli funnet ved å faktorisere. Først ønsker vi å gjøre om uttrykket til en brøk ved å gange med den konjugerte i teller og nevner. 5 Deretter ønsker vi å multiplisere teller og nevner med slik at vi får ferre n er. 5 5 Herfra regner vi ut for. lim 5 lim hvor lim 1 1 lim 5 Vi får gjennom dette grensen for uttrykket 5 hvor. 11

12 Oppgave 5. For følgen som er definert ved 3 og 3 for 1 kan det vises at 10. Dersom vi tar utgangspunkt i får vi følgende: Fordi 9 og 9, har vi vist at 10 fordi

13 Da dette er vist, ønsker vi også å bevise at for 1. Vi kan skrive om 3 som et generelt uttrykk da , og hvor 3 og. Videre kan vi bevise uttrykket for, hvor vi antar at uttrykket er sant for 1, og 1. For 1: som betyr at er sant for 1. Vi har sett at uttrykket er sant for 1. Videre kan vi at anta at 1 er sant dersom er sant, hvor. For : Da dette er sant for, vil også 1 være sant. For 1:

14 Vi har dermed bevist at det generelle uttrykket for er sant for alle verdier. Da vi har bevist uttrykk for kan vi bevise at. Ettersom basen er lik i begge uttrykkene vil eksponenten være avgjørende for å vise ulikheten hvor for og 1 for Dette viser at ulikheten er sann for alle tall, hvor 0. 14

15 Uttrykket konvergerer også mot en øvre grense da uttrykket har følgende form: Dersom vi ser på eksponenten i uttrykket ser vi at telleren er større enn nevneren. Dette betyr at 1, altså konvergerer uttrykket mot en øvre grense. For å finne grensen for uttrykket når faktoriserer vi det generelle uttrykket. lim lim lim hvor lim 2 2 lim lim, hvor 3 lim 9 Vi får at grensen for utrykket er 9 når. 15