Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Transkript

1 Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009

2 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen: Breiteig Venheim: Matematikk for Lærere 1, kap. 7.

3 1. Symmetri Se på denne formen, som heter Ola: Ola Hva kan vi si om Olas symmetri? 2

4 Her er Kari, en forme som likner på Ola men er litt forskjellig: Kari Hvordan er Karis symmetri annerledes? Hva betyr symmetri uansett? 3

5 En forme har symmetri dersom vi kan flytte på det og allikevel få samme forme tilbake. Stikkordet er flytte : Symmetri har med dynamikk å gjøre. I dette undervisningsløpet skal vi undersøke symmetribegrepet fra et matematisk synspunkt. I matematikken, når vi snakker om flytting, er det vanlig å innføre begrepet avbildning. 4

6 2. Avbildninger En avbildning er ikke annet enn en funksjon, men ordet brukes oftere i en geometrisk sammenheng. Argumenter og verdier til våre avbildninger skal oftest være punkter i planet. Definisjon: En avbildning f i planet er en regel som til ethvert punkt p i planet tilordner et punkt f(p) i planet. Vi sier at f avbilder p på f(p), og at f(p) er bildet av p. 5

7 Eksempel 0: Avbildningen som avbilder hvert punkt på seg selv, kaller vi for identitetsavbildningen eller I. Eksempel 1: Speiling S L i ei linje L En speiling er bestemt av speilingslinja; altså, vi behøver ikke å vite mer enn linja for å si hva avbildningen gjør med hvert punkt. 6

8 Eksempel 2: Rotasjon 60 om et punkt En rotasjon er bestemt av rotasjonssentrum og vinkelen (som måles mot klokka). Hvis p er et punkt i planet, skriver vi Rp 90 rotasjon 90 om p. for Er det opplagt hva p må være, kan vi skrive bare R 90. (For oss er ofte p origo.) 7

9 Eksempel 3: Parallellforskyvning En parallellforskyvning kan angis med en vektor, en pil som viser hvor vi skal flytte hvert punkt. I eksempelet parallellforskyves planet 3 enheter oppover og 2 enheter til venstre. 8

10 Sammensetning av avbildninger Hvis f og g er to avbildninger, da kan vi lage en ny avbildning ved å bruke først f og så g. Den nye avbildningen kalles for sammensetningen eller produktet av g med f. Vi skriver g f for den nye avbildning. Obs: f virker først og så g. Notasjonen gjenspeiler dette: Punktet p avbildes først på f(p) og da videre på g(f(p)) = g f(p). 9

11 Interessant, eller i hvert fall naturlig, spørsmål: Er f g den samme avbildningen som g f? Eksempel: La f være speiling i x-aksen og g parallellforskyvningen to enheter nedover. Hva er bildene f.eks. til punktet (1, 2) ved f g og g f? Generelt er f g og g f forskjellige avbildninger. Vi sier at sammensetning av avbildninger er ikke en kommutativ operasjon. 10

12 Men noen avbildningspar f og g kan kommutere. Eksempel: En glidespeiling er sammensetningen av en parallellforskyvning og en speiling, der speilingsaksen er parallelt med forskyvningsvektoren. Disse to avbildningene kommuterer; det spiller ingen rolle hvilken som vi kjører først. 11

13 3. Isometrier Speilinger, rotasjoner, parallellforskyvninger og glidespeilinger nyter en viktig egenskap: De bevarer avstand mellom punkter. Definisjon: En avbildning som bevarer avstander mellom punkter kalles for en isometri. Med andre ord, f er en isometri dersom for alle punkter p og q, avstand mellom f(p) og f(q) er lik avstand mellom p og q. Ikke-eksempel: Avbildningen som fordobler hvert punkts avstand fra origo, er ikke en isometri. Denne avbildningen kan beskrives naturlig med koordinater: Den tar punktet (x, y) til (2x, 2y). Vi kan også skrive (x, y) (2x, 2y). 12

14 Det underlige er at vi faktisk har sett alle mulige isometrier! Setning: En isometri i planet er enten en speiling, en rotasjon, en parallellforskyvning eller en glidespeiling. 13

15 4. Egenskaper ved avbildninger Definisjon: La f være en avbildning. Et fikspunkt for f er et punkt p slik at f(p) = p; altså, et punkt som f ikke rører på. Hva er fikspunktene til en speiling? en rotasjon? en parallellforskyvning? en glidespeiling? identitetsavbildningen? 14

16 Direkte og motsatte isometrier Vi tegner en trekant abc i planet. Er omløpsretningen a-til-b-til-c bevart av en speiling? en rotasjon? en parallellforskyvning? en glidespeiling? identitetsavbildningen? Definisjon: En isometri som bevarer omløpsretningen til en trekant, kalles for en direkte isometri. En isometri som snur på omløpsretningen, kalles for en motsatt isometri. 15

17 Den inverse til en avbildning Hvilket punkt får du hvis du speiler et punkt to ganger i samme linje? Sammensetning av en speiling med seg selv er identitetsavbildningen I. Vi husker avbildningen som tok (x, y) til (2x, 2y). Hva må vi sette denne sammen med for at hvert punkt havner tilbake der det begynte? Definisjon: La f være en avbildning. Hvis det finnes en annen avbildning g slik at g f = I = f g, da sier vi at f og g er inverse avbildninger. Vi skriver g = f 1. Tenk om vi roterer planet 120 om et punkt q. Hva må vi sette sammen med Rq 120 for å få til identitetsavbildningen? 16

18 Ikke alle avbildninger har inverse! Projeksjonen som avbilder planet på y-aksen, eier ingen invers avbildning. Faktum: Alle isometrier har inverse avbildninger. (Mange andre avbildninger har inverse òg.) Den ovennevte projeksjonen er ikke en isometri. Hvorfor? 17

19 5. Symmetrigrupper Defn: En symmetri for en planfigur er en isometri som avbilder figuren på seg selv. Eksempel: Symmetrier til et rektangel som ikke er et kvadrat. Speilingene S l og S k i midtnormalene til sidene S l S k er en annen symmetri; rotasjon Rs 180, der s er rektangelets sentrum. S k S l er faktisk også lik Rs 180. (Det er ikke typisk at symmetrier kommuterer!) 18

20 Vi kan lage en gangetabell til symmetriene. Avbildningen i den første raden anvendes først. For å lette notasjonen, skriver vi R for R 180 s. I S k S l R I I S k S l R S k S k I R S l S l S l R I S k R R S l S k I Eks.: Vi husker formen Ola som vi hilste på ved oppstarten: 19

21 Vi betrakter nå mengden med alle Olas symmetrier, som vi kaller for symmetrigruppen til Ola. Identitetsavbildningen (alltid en symmetri) Rotasjoner med 90, 180 og 270 om sentrum Multiplikasjonstabell for Olas symmetrier: I R 90 R 180 R 270 I I R 90 R 180 R 270 R 90 R 90 R 180 R 270 I R 180 R 180 R 270 I R 90 R 270 R 270 I R 90 R 180

22 Nå undersøker vi Karis symmetrier. 20

23 Kari har alle symmetriene som Ola har, samt noen flere: Speilinger S x og S y i de loddrette og vannrette symmetriaksene Speilinger S v og S h i de diagonale symmetriaksene Karis multiplikasjonstabell er en 8 8 tabell! Bemerkning: Karis symmetrigruppe er ikke kommutativ. For eksempel, R 90 S h = S y mens S h R 90 = S x. 21

24 Vi konstaterer noen egenskaper ved symmetrigrupper: Produktet av to vilkårlige symmetrier er en symmetri. Sammensetning av symmetrier er assosiativ : Vi har f (g h) = (f g) h for alle symmetrier f, g, h. Identitetsavbildningen er en symmetri. Den inverse avbildningen til en symmetri er også en symmetri. 22

25 Definisjon: En mengde med en slik sammensetningsoperasjon med egenskaper tilsvarende de ovennevte fire, kalles for en gruppe. Grupper er av de mest grunnleggende objekter i matematikken, særlig i algebrarelaterte områder. 23

26 Noen viktige typer symmetrigrupper: Sykliske grupper, som består kun av rotasjoner; nærmere presist, multipler av én rotasjon. Vi skriver C n for den sykliske gruppen som består av alle multipler av en rotasjon med 360 n om et bestemt punkt (det er n stykker). Eksempel: Symmetrigruppen til Ola er C 4. Sykliske grupper er alltid kommutative: Hvis v og w er vinkler, da har vi og R v p R w p = R v+w p R w p R v p = R w+v p = R v+w p = R v p R w p. 24

27 Dihedrale grupper, som består av rotasjoner og speilinger. Vi skriver D n for den dihedrale gruppen som består av multipler av en rotasjon med 360 n om et bestemt punkt, samt n speilinger om linjer mellom sentrum. Eksempler: Symmetrigruppen til et rektangel er D 2, og symmetrigruppen til Kari er D 4. Den dihedrale gruppen D n er ikke kommutativ med mindre n 2. 25

28 En sirkel har en annen type symmetrigruppe. Rotasjon om sirkelens sentrum med hvilken som helst vinkel er en symmetri, og speiling i ethvert diameter er også et symmetri. Dermed er det uendelig mange symmetrier. Sirkelens syymetrigruppe er en kontinuerlig gruppe. En kontinuerlig gruppe er uendelig, i motsetning til Olas og Karis symmetrigrupper. 26

29 Det finnes også symmetrigrupper som ikke er kontinuerlige men allikevel er uendelige. Eksempel: Symmetrigruppen til båndmønsteret består av parallellforskyvninger med 1, 2, 3 enheter osv. til høyre eller til venstre. 27

30 6. Formler for avbildninger En formel, eller beskrivelse for en avbildning i koordinater, kan være nyttig for å regne ut bilder til enkelte punkter å finne fikspunkter å sjekke om avbildninger kommuterer Opplysninger som arealforholdet kan ofte leses av formelen Vi skriver f(x, y) = (ny x-koordinat, ny y-koordinat). 28

31 Eksempler 0. Identitetsavbildning 1. Speiling i x-aksen 2. Speiling i linja y = x 3. Rotasjon 90 om origo 4. Parallellforskyvning én enhet til venstre og to enheter nedover 5. Glidespeilingen bestemt av linja y = x og vektoren (2, 2) 29

32 Å finne fikspunkter med formel Et punkt (x, y) er fikspunkt til en avbildning f dersom f(x, y) = (x, y). 1. Hvis f er speilingen i linja y = x, da er f gitt av formelen f(x, y) = (y, x). Fikspunkter til speilingen er derfor punktene (x, y) som tilfredsdstiller (y, x) = (x, y), altså de punktene der x- og y-koordinatene er like. Disse punktene utgjør linja y = x. 30

33 2. Fikspunkter til rotasjonen 180 om origo tilfredsstiller g(x, y) = ( x, y) = (x, y) Den eneste muligheten er hvor både x = 0 og y = 0, altså selve origo. 3. Parallellforskyvningen (x, y) (x 1, y 2) (x 1, y 2) = (x, y) Det finnes ingen x og y som tilfredsstiller x = x 1 og y = y 2. Dermed har parallellforskyvningen ingen fikspunkter. 31

34 Å sjekke om to avbildninger kommuterer Eksempel: Undersøk om avbildningene f(x, y) = (6x, 5y) og g(x, y) = (x+2, y 1) kommuterer. Eksempel: Undersøk om avbildningene h(x, y) = (4 x, y) og j(x, y) = (x, y + 5) kommuterer. 32

35 7. Kongruens og formlikhet igjen Definisjon: En formbevarende avbildning eller en similaritet er en avbildning som bevarer alle vinklers størrelse. Eksempel: Man kan bevise (f.eks. ved hjelp av kongruente trekanter) at en isometri er formbevarende. Eksempel: Avbildningen som fordobler hvert punkts avstand fra origo, er formbevarende men ikke en isometri. En fordel med disse definisjonene er at vi nå kan gi en penere definisjon av kongruens og formlikhet. 33

36 Vi husker at kongruens og formlikhet var opprinnelig definert slik: To figurer er kongruente dersom den ene kan legges oppå den andre og dekke den nøyaktig (evt. etter en speiling). To figurer F og G er formlike dersom det finnes en korrespondanse mellom punktene på F og punktene på G, samt et reelt tall k, slik at alltid om to punkter A og B på F korresponderer henholdsvis til A og B på G, så er A B = k AB. Tallet k kalles for målestokken. 34

37 Men det likeverdig og mye enklere å definere slik: Definisjon: To figurer i planet er kongruente (henh. formlike) dersom den ene figuren kan avbildes på den andre ved en isometri (henh. en formbevarende avbildning). (Eksempler) 35