Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Transkript

1 Geometri A1A/A1B, vår mars 2009

2 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning i geometri Sidetallene refererer til Matematikk for Lærere 1 (Breiteig Venheim, 2005), kap. 6.

3 Innledning Geometriske objekter finnes overalt: Former og symmetri i natur Arkitektur og kunst Teknikk og vitenskap Geometri i matematikken er et logisk oppbygd fagområde med aksiomer, setninger og bevis. Samspill mellom ren og anvendt geometri: ingeniørarbeid, informatikk, navigasjon 2

4 1. Grunnleggende begreper i geometri ( 6.2 Punkt: Ingen utstrekning. Merker en posisjon. (Rett) Linje: Utstrekning i én dimensjon. Fortsetter i uendelighet i begge retninger. Inneholder uendelig mange punkter Plan: Flat, med utstrekning i to dimensjoner. To punkter i planet bestemmer ei linje, og to linjer bestemmer et punkt med mindre de er parallelle. Disse begrepene er idealiserte: For eksempel, enhver fysisk fremstilling av et punkt har en viss utstrekning, men et matematisk punkt har ingen lengde, areal eller volum. 3

5 Linjestykke: en sammenhengende bit av ei linje. Linjestykket avgrenset av punktene P og Q kalles P Q eller QP. Stråle: Ei halv linje, avgrenset av ett endepunkt. Vinkel: Dannes av to stråler (vinkelbeinene) med felles endpunkt (vinkelens topppunkt). Området mellom vinkelbeinene kalles for vinkelområdet. Når to linjer skjærer hverandre, danner de to par toppvinkler. Parallelle linjer: To linjer i planet som ikke skjærer hverandre. 4

6 Kurve: Et 1-dimensjonalt geometrisk objekt. Hvis ikke det har endpunkter, er den lukket. Hvis ikke det skjærer seg selv, er det enkel. Mangekant: En enkel, lukket kurve som er satt sammen av linjestykker. Vi kaller en mangekant med n kanter for en n-kant. En mangekant er regulær hvis alle kantene og vinklene er like store. Konvekst område: Et område slik at hvert linjestykke mellom to punkt på omkretsen er inneholdt i figuren. 5

7 Ulike vinkler Rett vinkel: 90, en fjerdedel av en hel sirkel Spissvinkel: mellom 0 og 90 Stump vinkel: større enn 90 Likevinkel: 180. Komplementvinkler: til sammen 90 Supplementvinkler: til sammen 180 Nabovinkler: supplementvinkler med et felles vinkelbein 6

8 Trekanter Setning: Vinkelsummen i en trekant er 180. (Vi gav et bevis for dette, som brukte det at vekselvinkler dannet av ei linje som krysser to parallelle linjer er like store.) Noen spesielle trekanter Likebeint: Minst to sider er like lange. Likesidet: Alle tre sider er like lange. Spiss trekant: Alle vinklene er mindre enn 90. Rettvinklet trekant: Én vinkel er 90. Stump trekant: Én vinkel er større enn 90. 7

9 Noen spesielle firkanter Trapes: Minst to sider er parallelle. Parallelogram: Motstående sider er parvis parallelle. Rektangel: Alle fire vinklene er rette. Rombe: Alle sidene er like lange. Kvadrat: Regulær firkant. Drake: To og to nabosider er like lange. 8

10 Sirkelen Radius: Et linjestykke fra sentrum til et punkt på omkretsen Sektor: Et område avgrenset av to radier og en sirkelbue mellom dem Sekant: Ei linje som skjærer sirkelen i to punkter Korde: Et linjestykke mellom to punkt på omkretsen Diameter: En korde som går gjennom sentrum Segment: Et område avgrenset av en korde og en sirkelbue mellom kordens endpunkter Tangent: Ei linje som berører sirkelen i ett punkt 9

11 Når vi lager figurer, har vi begrepene om å konstruere, der vi kun får lov å bruke passer og linjal, og å tegne, der vi har lov å bruke andre hjelpemiddel som gradskive. Grunnleggende konstruksjoner Vinkler: å halvere; 60 ; 30 ; 90 ; 45 Normaler: å nedfelle fra et punkt til ei linje; å oppreise fra et punkt på ei linje; midtnormalen til et linjestykke Tangenten til en sirkel fra et punkt Omsirkel og innsirkel til en trekant (s. 248) 10

12 Noen praktiske tips for konstruksjon 1. Det kan være en fordel å lage en arbeidstegning før man setter i gang, hvis figuren er komplisert. 2. Det å skille tydelig mellom hjelpelinjer og figuren har både logiske og didaktiske fordeler. Derfor er det bra om man bruker en hard blyant (2H, 3H eller 4H) til konstruksjonslinjene, og en mykere blyant (H eller HB) til selve figuren. På tavla kan man bruke en annen farge eller en annen stil (f.eks. stiplet) til konstruksjonslinjene. 11

13 Et geometrisk sted (s ) er en samling med punkter som oppfyller ett eller flere bestemte krav. Noen eksempler: Sirkel med radius r og sentrum O: Mengden av alle punkter som ligger et avstand r fra punktet O Midtnormalen til et linjestykke AB: Mengden av alle punkter som ligger like langt fra A og B Halveringslinja til en vinkel: Mengden av alle punkter som ligger like langt fra vinkelbeinene Parallellene i avstand d fra ei linje l: Mengden av alle punkter som ligger et avstand d fra l 12

14 2. Areal Et mål for todimensjonal utstrekning; for en flatestørrelse. Standardenheten er et kvadrat. Et kvadrat med kanter 1 meter lang, har areal 1 kvadratmeter (1m 2 ); et kvadrat med kanter 1km lang har areal 1 kvadratkilometer (1km 2 ) osv. Eksempler Formler for areal av et kvadrat; rektangel; trekant; parallelogram; trapes; sirkel (s ) 13

15 3. Kongruens og formlikhet Definisjon: To figurer er kongruente dersom den ene kan legges oppå den andre og dekke den nøyaktig (evt. etter en speiling). Alle tilsvarende avstander og vinkler er like. To trekanter er kongruente dersom vi har SVS, VSV, SSS eller SsV (s. 261). 14

16 Definisjon: To figurer F og G er formlike dersom det finnes en korrespondanse mellom punktene på F og punktene på G, samt et reelt tall k, slik at alltid om to punkter A og B på F korresponderer henholdsvis til A og B på G, så er A B = k AB. Tallet k kalles for målestokken. Figuren G er en forstørrelse av F hvis k > 1 og en forminskselse hvis k < 1. Hvis k = 1, da er figurene faktisk kongruente. Trekanter: To trekanter er formlike hvis og bare hvis vinklene er parvis like. Da er forholdet mellom korresponderende sider likt. Dette følger fra transversalsetningen (s ). Transversalsetningen kan også brukes til å beregne ukjente lengder i trekanter, og som begrunnelse for en konstruksjon som deler ei linje i et gitt forhold. Se s. 264 og mappeoppgave 4. 15

17 4. Periferivinkler og Thales setning Defn.: En periferivinkel i en sirkel er en vinkel med topppunkt på sirkelens omkrets, og en sentralvinkel er en vinkel med topppunkt i sentrum av sirkelen. Thales setning gir en relasjon mellom en periferivinkel og en sentralvinkel som spenner over den samme buen. Setningen og et bevis kan finnes på s Den har (minst!) to interessante følger: 1. Periferivinkler som spenner over den samme buen er like store. 2. En periferivinkel som spenner over en halv sirkel er en rett vinkel. 16

18 5. Pytagoras setning Definisjon: I en rettvinklet trekant, kalles den lengste siden for hypotenus og hver av de andre sidene kalles katet. Hypotenusen er alltid motstående til den rette vinkelen. Setning (Pytagoras): I en rettvinklet trekant med kateter a opg b og hypotenus c, gjelder c 2 = a 2 + b 2. Det er utrolig mange forskjellige bevis for denne setningen. Vi gir et veldig visuelt bevis, som kan være av indisk opprinnelse (s. 279). Pytagoras setning har mange anvendelser, f.eks. å beregne avstand å konstruere rettvinkler 17

19 Sidebemerkning algebra/tallteori Pytagoreiske tripler: tripler med hele tall a, b og c slik at c 2 = a 2 + b 2. Eksempel: = = = 17 2 Det finnes uendelig mange slike tripler. For hvert par positive hele tall s, t der s t, er en Pytagoreisk triple. s 2 t 2, 2st, s 2 + t 2 Hvilke s og t gir oss eksemplene ovenfor? 18

20 6. Romfigurer Tredimensjonale former: terning, prisme, pyramid, kule, kjegle, sylinder, torus... En polyeder en en romfigur som er avgrenset av flate mangekanter. Hvilke av de ovennevnte romfigurene er polyedre? Der nøyaktig to flater møtes, har vi en kant. Der tre eller flere flater møtes, har vi et hjørne. Et regulært polyeder er et polyeder som er begrenset av regulære mangekanter som alle er kongruente, og der alle hjørnene er like. For eksempel, en tetraeder eller en terning. Det finnes bare fem regulære polyedre, de såkalte Platonske legemene: Tetraeder, terning, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder. 19

21 Overflateareal og volum På samme måte som planfigurer har omkrets og areal, har romfigurer overflateareal og volum. I begge tilfelle er disse begrepene henholdsvis utstrekningene til figurens rand og innhold. Eksempler: Terning; prisme; sylinder; kjegle; kule (s ) 20

22 7. Undervisning i geometri I tidligere læreplaner hadde geometri et deduktivt preg. I K06 vektlegges også kreativitet og praktiske anvendelser, samt bruk av digitale midler. Geometri er med helt fra 1. klasse. 21

23 Van Hieles modell En modell for utvikling av elevenes forståelse for geometri (s ; sjekk gjerne et par kilder til hvis du har mulighet) 1. Visualisering Figurer klassifiseres kun etter det visuelle inntrykket de gjør. 2. Analyse Figurer kjennes ut ifra sine egenskaper; f.eks., en rombe har fire sider som er like lange. 3. Abstraksjon og uformell deduksjon Forståelse for klasser med figurer og relasjoner mellom dem; f.eks., et kvadrat er også et rektangel. Logisk resonnement kan forstås, men vedkommende ser ikke alltid behov for det. 22

24 4. Deduksjon Logiske bevis, som produserer setninger fra antagelser, kan gjennomføres. 5. Stringens Forståelse for ulike systemer med aksiomer som fører til forskjellige geometrier. 23

25 Van Hiele-modellen dreier seg om en hierarkisk utvikling. I motsetning til Piagets stadier, er utviklingen avhengig av modenhet, ikke (nødvendigvis) alder. Det hevdes at mange vanskeligheter for elever oppstår fordi at undervisning foregår ett eller flere nivå ovenfor elevenes nivå. Hvert trinn har sitt eget språk, som ikke forstås av elever i tidligere faser. Ulike form for bevis : Ofte bruker vi for eksempel konstruksjoner med passer og linjal som aksiomer, uten bevis. Dette kan være passende for elever på nivå 2 3 som ikke ennå ser behovet for et bevis for slike påstand. 24