5 Geometri. Trigonometri

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "5 Geometri. Trigonometri"

Transkript

1 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling. Det er først og fremst grekerne som har gitt de store bidragene til geometrien slik vi kjenner den i dag. Det er grekerne som har bevist de setningene eller formlene vi bruker. I denne sammenhengen kan grekeren Euklid, som levde ca. 300 år f.kr., nevnes. Han skrev bøker som heter Elementene (13 stykker). Helt fram til i dag har vi studert Euklids geometri. I kapittel 12 skal vi se at ikke all geometri passer til den euklidske. Vi har fått den såkalte fraktalgeometrien. 5.1 Omgjøring av enheter Når vi skal regne ut areal og volum, er det viktig at alle lengdene har samme måleenhet. Samtidig er det viktig å velge fornuftige enheter på lengdene på figurene. Det er ikke særlig lurt å si at vi har kjøpt en tomt på 10 millioner kvadratcentimeter ( cm 2 ), når tomta er på ett mål (1000 m 2 ). Skal vi regne ut volum i liter, bør vi bruke lengder i desimeter, dm. Det er viktig å kunne følgende: 1m¼ 10 dm ¼ 100 cm ¼ 1000 mm 1dm¼ 10 cm ¼ 100 mm 1cm¼ 10 mm Når vi skal gjøre om til areal- og volumenheter, er det lurt å bruke figurer. 57

2 1m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 100 dm 2 1 m 1 m 2 =10 2 dm 2 10 dm 1 m 10 dm cm mm cm 1000 mm =10 4 cm 2 =10 6 mm cm 1000 mm 1m 2 = 10 2 dm 2 = 10 4 cm 2 = 10 6 mm 2 ð1 mþ 2 ¼ 1m 1m¼ 1m 2 ð1 mþ 2 ¼ ð10 dmþ 2 ¼ ð100 cmþ 2 ¼ ð1000 mmþ 2 1m 2 ¼ 100 dm 2 ¼ cm 2 ¼ mm 2 1dm 2 ¼ 100 cm 2 ¼ mm 2 1cm 2 ¼ 100 mm 2 58

3 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 1 m 10 dm 1 m 1 m 10 dm 10 dm 1 m dm 3 = 10 3 dm cm 1000 mm 100 cm 100 cm 1000 mm 1000 mm cm 3 = 10 6 cm mm 3 = 10 9 mm 3 1m 3 = 10 3 dm 3 = 10 6 cm 3 = 10 9 mm 3 ð1 mþ 3 ¼ 1m 1m 1m¼ 1m 3 ð1 mþ 3 ¼ ð10 dmþ 3 ¼ ð100 cmþ 3 ¼ ð1000 mmþ 3 1m 3 ¼ 1000 dm 3 ¼ cm 3 ¼ mm 3 1dm 3 ¼ 1000 cm 3 ¼ mm 3 1cm 3 ¼ 1000 mm 3 Vi ser at vi kan gjøre tallene om til potenser med 10 som grunntall. 59

4 100 ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 10 9 Eksempel 1 1m 2 ¼ 10 4 cm 2 1dm 2 ¼ 10 4 mm 2 1m 3 ¼ 10 6 cm 3 1cm 3 ¼ 10 3 mm 3 I praksis flytter vi kommaet to plasser til høyre/venstre for hver lavere/høyere enhet vi går til når det gjelder areal. Ved volum flyttes kommaet tre plasser. Eksempel 2 3,12 dm 2 ¼ 312 cm 2 Kommaet flyttes to plasser til høyre. 3,12 dm 2 ¼ 0,0312 m 2 Kommaet flyttes to plasser til venstre. (desimeter er en høyere enhet enn centimeter, men lavere enn meter.) ,7 cm 3 ¼ 42,1837 dm 3 Kommaet flyttes tre plasser til venstre ,7 cm 3 ¼ 0, m 3 Kommaet flyttes to ganger tre plasser til venstre. 60

5 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri ndre viktige størrelser det er lurt å huske: 1dm 3 ¼ 1 liter 1 mil ¼ 10 km ¼ m 1km¼ 1000 m 1 nautisk mil (sjømil) ¼ 1852 m 1 engelsk mil ¼ 1609 m 100 yard ¼ 91,44 m 1 yard ¼ 0,9144 m 1 yard ¼ 3 feet ¼ 36 inches 1 foot ¼ 0,9144 m ¼ 0,3048 m ¼ 30,48 cm 3 1 foot ¼ 12 inches 1 inch ¼ 30,48 cm 12 ¼ 2,54 cm 5.2 Formler for areal og volum real,, for kjente figurer: 1) Rektangel h ¼ g h g 2) Trekant h ¼ g h 2 ¼ 1 2 g h g 3) Parallellogram h ¼ g h g 61

6 b 4) Trapes h ¼ ða þ bþh 2 a 5) Sirkel diameter, d ¼ p r 2 radius, r 6) Sirkelsektor n r b ¼ b r 2 n ¼ p r Volum, V, for romfigurer: 1) Terning (kube) s V ¼ s 3 s s 2) Prisme h h V ¼ G h G G 62

7 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 3) Pyramide h h V ¼ G h 3 G G 4) Sylinder h V ¼ p r 2 h G 5)Kjegle h V ¼ p r2 h 3 r 6) Kule V ¼ 4 p r Overflate av romfigurer O ¼ overflate s 1) Terning s s s s s s s O ¼ 6 s 2 s 63

8 r 2) Sylinder h h O ¼ 2 p r 2 þ 2 p r h G 2r r h s s 3) Kjegle r 2r O ¼ p r s þ p r 2 r (Sideflaten er en sirkelsektor se formelen for arealet av en sirkelsektor.) 4) Kule r O ¼ 4 p r 2 Når det gjelder overflaten på et prisme og en pyramide, har vi ikke like konkrete formler som ovenfor. Vi kan bare uttrykke det slik: Prisme (m/lokk): O ¼ 2G þ sideflatene Pyramide: O ¼ G þ sideflatene (G ¼ grunnflate) 5.4 Vinkler og vinkelsum I plangeometrien snakker vi om tre typer vinkler: spiss, stump og rett vinkel. En rett vinkel er 90, en spiss vinkel er mindre enn 90 og en stump vinkel er større enn

9 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 1) Vinkelen er spiss. 2) Vinkelen er 90, dvs. rett vinkel. 3) Vinkelen er stump. 4) Vinkelsummen i en trekant er 180. u w v w v u Dette kan vi vise ved å bruke det vi vet om samsvarende vinkler og toppvinkler. Vi har tegnet en linje gjennom som er parallell med linjen gjennom. Vi har kalt vinklene i trekanten for v, u og w. Ved å se på vinklene i tegningen finner vi ut at ff u þffv þffw ¼ Þ u v 65

10 I en rettvinklet trekant, der altså den ene vinkelen er 90,måde to andre vinklene være spisse. Summen av en rett vinkel og en stump vinkel er alltid over 180, dvs. mer enn vinkelsummen i en trekant. I trekanten er ff ¼ 90,ogff v og ff u er de spisse vinklene. Eksempel 3 I en rettvinklet trekant er den ene vinkelen 30. Hvor store er de andre vinklene? Løsningsforslag 30 Vi tegner en prøvefigur. Når trekanten er rettvinklet, må en av vinklene være 90.Når den andre vinkelen er 30,måden tredje vinkelen være ¼ 60. I en rettvinklet trekant er summen av de spisse vinklene lik 90. Eksempel 4 Ien4 er ff ¼ 30 og ff ¼ 40. Finn ff. Løsningsforslag ff þff ¼ 30 þ 40 ¼ 70 ff ¼ ¼ 110, dvs. vinkel er stump. 66

11 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.5 Pytagoras læresetning katet, b katet, a hypotenus, c I 4 er en rett vinkel ð90 Þ. Sidene og kalles for kateter, og den lengste siden kalles for hypotenus. Hypotenusen ligger alltid rett overfor den rette vinkelen. Pytagoras beviste følgende: a 2 þ b 2 ¼ c 2 Med ord kan dette uttrykkes ved å si at summen av kvadratet av katetene er lik kvadratet av hypotenusen. (Vi bruker store bokstaver for hjørnene i trekanten og små bokstaver for sidene. Merk at side (kateten) a står rett overfor vinkel osv.) En indisk matematiker, haskara ( ), brukte følgende figur for å bevise setningen: a b c a c b c 2 b a c b a Et kvadrat med side c er skrevet inn i et annet kvadrat med side ða þ bþ. Påfiguren har vi skravert fire like store rettvinklede trekanter. For å finne arealet av det innskrevne kvadratet tar vi arealet av det store kvadratet og trekker ifra arealet av de fire trekantene: c 2 ¼ða þ bþ 2 4 a b 2 ¼ a2 þ 2ab þ b 2 2ab ¼ a 2 þ b 2 c 2 ¼ a 2 þ b 2 67

12 Eksempel 5 I en rettvinklet trekant er de to katetene henholdsvis 3 cm og 4 cm. Finn hypotenusen! Løsningsforslag 3 cm x 4 cm Vi tegner en figur og setter inn gitte størrelser. Vi kaller hypotenusen x: 3 2 þ 4 2 ¼ x 2 9 þ 16 ¼ x 2 25 ¼ x 2 p ffi (Vi tar kvadratroten på begge sider.) 5 ¼ x Hypotenusen ¼ 5 cm. N! Løsningen på andregradslikningen x 2 ¼ 25 er þ5 og 5, men den negative verdien har ingen mening her. Eksempel 6 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 10 cm, og den ene kateten er 6 cm. Finn den andre kateten. Løsningsforslag 6 cm 10 cm x Vi tegner en figur og setter inn gitte størrelser. Vi kaller den andre kateten x: 6 2 þ x 2 ¼ þ x 2 ¼ 100 x 2 ¼ ¼ 64 x ¼ 8 pffi Den andre kateten ¼ 8 cm. (Sammenlikn med eksempel 5.) 68

13 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Eksempel 7 Undersøk om de to trekantene med sidene 5, 8 og 10 cm og 10,5, 14 og 17,5 cm er rettvinklede. Løsningsforslag 5 cm 10 cm 8 cm Vi tegner prøvefigurer. Hvis den første trekanten er rettvinklet, må 5 cm og 8 cm være lengdene på katetene og 10 cm lengden på hypotenusen. Vi bruker setningen til Pytagoras, men vi regner ut katetene og hypotenusen hver for seg: 5 2 þ 8 2 ¼ 25 þ 64 ¼ ¼ 100 Den første trekanten er ikke rettvinklet, fordi summen av katetene ikke er lik kvadratet av hypotenusen. 10,5 cm 17,5 cm 14 cm For den andre trekanten får vi ved tilsvarende regning: 10,5 2 þ 14 2 ¼ 110,25 þ 196 ¼ 306,25 17,5 2 ¼ 306,25 Den andre trekanten er rettvinklet. (Hvorfor?) 69

14 5.6 Formlike trekanter E D Her har vi to rettvinklede trekanter. De to trekantene har vinkel felles. Når to av vinklene er like i de to trekantene, må også den tredje vinkelen være lik. E D Vi ser at de to trekantene har lik form. lle trekanter som har lik form, kalles formlike trekanter. 4 4 DE (trekant er formlik trekant DE). Eksempel 8 Hvis vi setter at ¼ 10 cm, ¼ 5cmogD ¼ 6 cm, er det lett å finne lengden på DE. I den store trekanten er den minste kateten halvparten av den største kateten. Det samme vil forholdet være i den minste trekanten. DE er halvparten av D; dvs. DE ¼ 3 cm. En viktig egenskap ved formlike trekanter er at forholdet mellom tilsvarende sider i trekantene er det samme. Problemet ovenfor kunne vi ha løst ved hjelp av en proporsjon ved å sette siden DE ¼ x: 5 10 ¼ x 6 x ¼ 3 DE ¼ 3cm Venstre side i proporsjonen er forholdet mellom katetene i den store trekanten, og høyre side er forholdet mellom de tilsvarende sidene (katetene) i den minste trekanten. 70

15 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Når vi ser på trekantene og DE, finner vi ut at vi kan sette opp følgende: ðþ ¼ D DE der venstre side er sidene i den store trekanten og høyre side er sidene i den minste trekanten. Men proporsjonen ðþ kan også skrives D ¼ DE Venstre og høyre side i proporsjonen uttrykker forholdet mellom to tilsvarende sider i de to trekantene: stor trekant stor trekant ¼ liten trekant liten trekant Eksempel 9 Vi har gitt to formlike trekanter, og DEF. I4 er ff ¼ 90, siden ¼ 12 cm og siden ¼ 13 cm. I 4 DEF er ff D ¼ 90, og siden EF er 6,5 cm. Finn sidene, DE og DF. Løsningsforslag Vi tegner prøvefigurer og setter inn opplysningene. 13 cm F 6,5 cm 12 cm D E Vi kan bruke Pytagoras setning for å finne i trekanten ( ¼ x). x 2 þ 12 2 ¼ 13 2 x þ 144 ¼ 169 x 2 ¼ 25 x ¼5 ¼ 5cm pffi For å finne lengden av de to katetene i trekanten DEF bruker vi egenskapene ved formlike trekanter. 71

16 Vi setter DE ¼ y: ¼ 6,5 y 13 y ¼ 12 6,5 y ¼ 6 DE ¼ 6cm DF kan nå finnes ved å bruke Pytagoras eller ved å bruke formlikhet. Vi velger det siste for øvelsens skyld (DF ¼ x): DF ¼ EF 5 x ¼ 13 6,5 x ¼ 2,5 DF ¼ 2,5 cm Her har vi brukt forholdet stor trekant dividert på liten trekant på begge sider i proporsjonen. De eksemplene som brukes her, er nokså enkle, slik at det er lett å se hva forholdstallene er. Da er det greit å kontrollere at proporsjonsregningen vår er korrekt. Eksempel 10 F D E De to trekantene ser formlike ut, men uten nærmere opplysninger kan vi ikke anta at de er det. Hvis det derimot er opplyst at ff ¼ffD og ff ¼ffF, er trekantene formlike. Når to vinkler er like store, vil den tredje vinkelen også være lik (vinkelsummen er 180 ). Setter vi ¼ 7, ¼ 9, DF ¼ 3ogDE ¼ 5, kan vi finne sidene og EF. Men her kan vi ikke bruke Pytagoras, for det er ikke gitt at det er rettvinklede trekanter. 72

17 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Formlikheten gir oss: ¼ DF EF 7 9 ¼ 3 EF EF ¼ ¼ 3,9 EF ¼ 3,9 DE ¼ DF 5 ¼ 7 3 ¼ ¼ 11,7 ¼ 11,7 Her er det viktig å poengtere at når forholdet mellom tilsvarende sider i to trekanter er det samme, vil deres motstående vinkler være like! Dette fører oss over til å regne ut vinkler i en trekant (og lengder på sider). Det er dette vi kaller trigonometri (metri = måling, trigon = triangel = trekant). 5.7 Å finne vinkler i en trekant. Tangens, sinus og cosinus E D Her har vi tegnet to rettvinklede og formlike trekanter, 4 og 4 DE. Det vi tidligere har lært om formlike trekanter i avsnitt 5.6, er at forholdet mellom parvis like sider er det samme, uansett hvor store trekantene er. I dette tilfellet indikeres likheten ved DE E ¼ eller E D ¼ E eller DE D ¼ Trekanter med parvis like vinkler har samme forhold mellom tilsvarende sider. 73

18 Eksempel 11 Vi har en rettvinklet trekant der vinkel er 90. er hypotenusen og og er katetene. 5 cm 8 cm Vi tar utgangspunkt i vinkel (ff ). Siden er motstående katet til ff og siden er hosliggende katet til ff. Vi setter ¼ 8cmog ¼ 5 cm. ¼ 8 5 ¼ 1,6 Forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet til ff er 1,6. Dette forholdet kaller vi for tangens til vinkel og skrives tan ff eller bare tan. Når vi vet forholdet mellom de to katetene, bruker vi lommeregneren for å finne vinkel. Vi taster inn slik: SHIFT TN 1,6 EXE som gir svaret 57, , ff ¼ 58. Lommeregneren viser tan 1 1,6 ¼ 57, Konklusjon Vi har altså gitt katetene og, og skal finne vinkel. Vi setter opp tan ¼ 8 5 ¼ 1,6 ff ¼ 58 tan ¼ motstående katet hosliggende katet ¼ Når vi har regnet ut vinkel til 58,erff lik ¼ 32. Dette kunne vi også ha funnet ut ved tilsvarende regning som ovenfor: tan ¼ ¼ 5 8 ¼ 0,625 Lommeregner: SHIFT TN 0,625 EXE gir 32; dvs. at ff ¼ 32 : 74

19 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Eksempel 12 Ved bruk av Pytagoras kan vi finne lengden på hypotenusen,, i trekanten i eksempel 11: p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 2 þ 8 2 9,434 cm motstående katet til ff hypotenusen ¼ 8 9,434 ¼ 0,8480 Dette forholdet kaller vi for sinus til vinkel, og det skrives sin ff eller bare sin. sin ¼ ¼ 8 9,434 ¼ 0,8480 Lommeregneren viser: SHIFT SIN 0,8480 EXE gir 57, ; dvs. at ff ¼ 58 : Vi kan finne vinkel på tilsvarende måte: motstående katet til ff sin ¼ hypotenusen Lommeregneren viser: ¼ 5 9,434 0,5300 SHIFT SIN 0,5300 EXE gir 32; ; dvs. at ff ¼ 32 : Eksempel 13 hosliggende katet til ff hypotenusen ¼ 5 9,434 0,5300 Dette forholdet kaller vi cosinus til vinkel, og det skrives cos ff eller cos : cos ¼ ¼ 5 9,434 0,5300 Lommeregneren viser: SHIFT OS 0,5300 EXE gir 57,994 58; dvs. at ff ¼ 58 : Tilsvarende utregning for vinkel : cos ¼ ¼ 8 9,434 0,8480 Lommeregneren viser: SHIFT OS 0,8480 EXE gir 32,005 32; dvs. at ff ¼ 32 : 75

20 N! Legg merke til forskjellen mellom utregningene for sin og cos. Det er de samme tallene som går igjen. Oppsummering Vi kan finne både vinkler og sider i en rettvinklet trekant ved å bruke trigonometriske funksjoner som sinus, cosinus og tangens til en vinkel. Definisjonen av funksjonene følger av denne trekanten: b a V c tan v ¼ sin v ¼ cos v ¼ motstående katet hosliggende katet ¼ b a motstående katet hypotenusen hosliggende katet hypotenusen ¼ b c ¼ a c Poenget er å finne ut hvilke av de tre funksjonene som er mest hensiktsmessige å bruke for gitte problemstillinger. Skal vi finne vinkler, må vi bruke trigonometriske funksjoner, mens vi kan komme langt med å bruke Pytagoras for å finne lengder. åde trigonometriske funksjoner som sin, cos og tan, og Pytagoras betinger at vi har rettvinklede trekanter. Hvis vi ikke har en rettvinklet trekant, må vi trekke en normal fra et hjørne slik at vi får to rettvinklede trekanter. Kunsten er å finne ut hvor vi skal trekke normalen. 76

21 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.8 Å finne sider i en trekant 5 cm 40 Vi har gitt 4 der ff ¼ 90 og ¼ 5 cm. Vi skal finne sidene og når vivetatff ¼ 40. Skal vi finne hypotenusen ðþ først, må vi velge mellom sinus og cosinus. Til vinkel har vi gitt motstående katet, derfor bruker vi sinus: sin 40 ¼ 5 Det kan være smart å skrive sin 40 ¼ 5 1 ¼ ¼ 7,8 cm ¼ sin 40 0,6428 Siden kan vi nå f.eks. finne ved å bruke Pytagoras, men som et ledd i treningen bruker vi begrepene ovenfor. Til vinkel har vi ikke lengden på den hosliggende kateten, men vi har den motstående kateten. Da er det rimelig å bruke tangens her: tan 40 ¼ 5 eller tan 40 ¼ 5 1 ¼ 5 ¼ 6,0 cm tan 40 Eksempel 14 Vi har gitt 4 der ff ¼ 60, ¼ 12 cm og ¼ 8 cm. Normalen fra hjørne ned på treffer i punkt D. Vi skal finne D, D, D,, ff og ff. 77

22 Løsningsforslag 8 cm 60 D 12 cm 8 cm 60 D D Vi tegner en prøvefigur. Normalen D er høyden i trekanten. En normal står alltid vinkelrett på en linje. Her er det kanskje lettere å tegne to separate trekanter for oversiktens skyld. Når hypotenusen er en gitt størrelse, bruker vi sinus eller cosinus. sin 60 ¼ D 8 som gir D ¼ 8 sin 60 ¼ 6,9 cm cos 60 ¼ D 8 som gir D ¼ 8 cos 60 ¼ 4,0 cm OS! Når ff D er 30,erD (den korteste kateten) halvparten av hypotenusen (sin 30 ¼ 0,5). D ¼ D ¼ 12 cm 4cm¼ 8cm Pytagoras gir ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 2 þ 6,9 2 ¼ 10,6 cm Vinkel finnes ved å bruke tangens: tan ¼ 6,9 8 ¼ 0,8625 SHIFT TN 0,8625 EXE viser 40, ff ¼ 40,8 ff ¼ ,8 ¼ 79,2 78

23 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.9 Sinusproporsjonen Oppgave Vi har en trekant der ¼ 12 cm, ¼ 10 cm, ff ¼ 40 og ff ¼ 55. Vi skal finne lengden av siden og arealet av trekanten. Løsningsforslag Vi tegner trekanten og setter inn de oppgitte størrelsene. 10 cm cm D 55 Deretter trekker vi en normal ned fra på i punktet D. Slik får vi to rettvinklede trekanter og kan bruke trigonometriske funksjoner. Vi kan sette opp: sin 40 ¼ D D ¼ 10 sin 40 ¼ 6,43 cm 10 sin 55 ¼ D ¼ 6,43 realet av trekanten: Vi ser ovenfor at ¼ 12 6,43 2 sin 40 ¼ D ¼ 6,43 ¼ 7,85 cm sin 55 cm 2 ¼ 38,58 cm 2 og sin 55 ¼ D Her har vi to uttrykk der D inngår. Vi kan løse de to uttrykkene med hensyn på D og sette de to uttrykkene for D lik hverandre: sin 40 ¼ sin 55 Denne likningen kan vi skrive som en proporsjon (vi deler på begge sider med ): sin 40 sin 55 ¼ Dette kaller vi sinusproporsjonen. Den uttrykker at forholdet mellom 79

24 sinus til en vinkel og vinkelens motstående side er lik forholdet mellom sinus til en annen vinkel og dens motstående side. I denne oppgaven kunne vi ha funnet lengden av siden uten å ha regnet ut høyden D i trekanten: Vi setter ¼ x cm: sin 40 ¼ x sin sin 40 x ¼ sin 55 ¼ 7,85 cm Høyden i trekanten D ¼ 10 sin 40 ¼ sin 40. realet,, av trekanten, kan da skrives som ¼ 1 sin 40 2 Vi finner arealet av trekanten ved å ta halvparten av produktet av de to sidene og multiplisere med sinus til den mellomliggende vinkelen (ff ). ¼ cm 10 cm sin 40 ¼ 38,57 cm 2 Vi har en generell trekant der sidene er a, b og c. Vi bruker store bokstaver på hjørnene (vinklene) og tilsvarende små bokstaver på vinklenes motstående sider. a b c Når vi skal finne sider og/eller vinkler i en vilkårlig trekant, kan vi bruke følgende proporsjon: sin a ¼ sin b ¼ sin c Denne proporsjonen sinusproporsjonen kan vi altså bruke for alle trekanter, ikke bare de rettvinklede. Vi har en tilsvarende formel for arealet av trekanten: ¼ 1 2 b c sin ¼ 1 2 a c sin ¼ 1 2 a b sin 80

25 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5.10 Oppgaveeksempler knyttet til areal og volum N! Det er alltid lurt å tegne figurer! Eksempel 15 Finn arealet av et kvadrat med omkrets 20 cm. Løsningsforslag S S S S Et kvadrat har fire like sider, og i dette tilfellet er lengden av sidene 20 cm : 4 ¼ 5 cm. realet blir da 5 cm 5cm¼ 25 cm 2. Eksempel 16 I trekanten er grunnlinjen ¼ 10 cm og siden ¼ 6 cm. Normalen fra på treffer i et punkt D slik at D ¼ 3 cm. Finn arealet av trekanten. Løsningsforslag 6 cm 3 cm D 10 cm Vi finner høyden D i trekanten ved å bruke Pytagoras: D 2 þ 3 2 ¼ 6 2 D 2 ¼ 36 9 p D ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð36 9Þ ¼ 5,2 cm 81

26 realet av trekanten: ¼ 10 5,2 2 cm 2 ¼ 26 cm 2 Eksempel 17 Vi ser på tverrsnittet av et sylinderformet rør ogfinner ut at den ytre radius, R, er 10 cm, og den indre radius, r, er 4 cm. Regn ut arealet av tverrsnittet av røret. Deretter setter vi den indre radius, r, lik x. Finn et uttrykk (formel) for arealet av tverrsnittet, uttrykt ved x. Kontroller formelen ved å regne ut ved x ¼ 4. Løsningsforslag 4 cm 10 cm For å finne arealet av tverrsnittet må vi ta arealet av den store sirkelen og trekke ifra arealet av den minste sirkelen: ¼ p 10 2 p 4 2 ¼ pð Þ¼pð100 16Þ ¼ 84 p cm 2 263,76 cm 2 (rukes p-knappen på lommeregneren, vil svaret bli 263,89 cm 2.) Noen ville velge å løse oppgaven slik: ¼ 3, , ¼ ,24 ¼ 263,76 cm 2 x cm 10 cm Når den indre radius av røret er x, blir arealet: ¼ p 10 2 p x 2 ¼ pð10 2 x 2 Þ¼pð100 x 2 Þ cm 2 82

27 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri eller ¼ 3, ,14 x 2 ¼ð314 3,14 x 2 Þ cm 2 Når vi setter den indre radius lik x, vil arealet av tykkelsen variere med x, dvs. ¼ ðxþ. realet uttrykker altså en funksjon. Funksjonen ovenfor er en parabel som har et toppunkt (se kapittel 10). Vi setter inn x ¼ 4: eller ð4þ ¼pð Þ¼84 p 84 3,14 ¼ 263,76 cm 2 ð4þ ¼ð314 3, Þ cm 2 ¼ð314 50,24Þ cm 2 ¼ 263,76 cm 2 Dette stemmer overens med det vi regnet ut først. Formlene (funksjonsuttrykkene) synes å være riktige. Eksempel 18 Finn arealet av firkanten D der ¼ 15 cm, D ¼ 5 cm, D ¼ 7 cm, ff ¼ 60, ff ¼ 50 og vinkel er en rett vinkel. Løsningsforslag 7 cm D E 5 cm F G Vi ser at vi må tegne inn noen hjelpelinjer for å finne ønskede lengder. For å finne arealet av firkanten må vi finne arealet av trapeset DE og av trekanten DE. Høyden i trapeset finnes ved DF ¼ 5 sin 60 ¼ 4,3 cm. For å finne DE må vi regne ut F og G: F ¼ 5 cos 60 ¼ 2,5 cm G ¼ 4,3 ¼ 3,6 cm ðdf ¼ GEÞ tan 50 DE ¼ 15 cm 2,5 cm 3,6 cm ¼ 8,9 cm For å finne den andre kateten i trekanten DE kan vi bruke Pytagoras: 83

28 ðeþ 2 þ 7 2 ¼ 8,9 2 E ¼ 5,5 cm realet er: ¼ ð15 þ 8,9Þ4,3 þ 7 5,5 ¼ 70,635 cm (trapes + trekant): Eksempel 19 vstanden mellom to fyrtårn, og, er 30,0 km. Siktelinjen gjennom og danner 48,0 med en tenkt linje i retning nord sør. Ved et bestemt tidspunkt er et skip i posisjonen P slik at P danner 73,0 med den tenkte linjen i retning nord sør. P danner 138,0 med den tenkte linjen. Se figuren nedenfor. NORD P 73,0 138,0 30,0 km 48,0 a) Vis at ff P ¼ 90 b) Regn ut avstanden fra skipet til hvert av de to fyrene. c) Regn ut arealet av P. En liten øy Ø ligger 18,0 km fra og 12,0 km fra. d) Regn ut vinkelen som linjen PØ danner med en linje som går nord sør. Løsningsforslag aþ ff P ¼ ¼ 42 ff P ¼ ¼ 90 ff P ¼ffP ¼ 90 84

29 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri b) ff ¼ 25 (hvorfor?) tan 25 ¼ P 30 cos 25 ¼ 30 P P ¼ 30 tan 25 14,0 km P ¼ 30 33,1 km cos 25 cþ dþ tan 48 ¼ 14 realet av 4 P ¼ ¼ 14 12,6 km tan 48 ¼ 12,6 km þ 30,0 km ¼ 42,6 km 42, km 2 ¼ 298,2 km 2 tan v ¼ 18 1,2857 ff v ¼ 52,1 14 ff u ¼ ,1 ¼ 85,9 Eksempel 20 Vi har en sylinder uten lokk, med høyde 1,2 m og radius 40 cm. Regn ut a) Hvor mange liter vann sylinderen rommer. b) Overflaten på sylinderen. Vi tapper ut 353 liter vann fra sylinderen. c) Hvor høyt står vannet i sylinderen? Løsningsforslag 1,2 m 1,2 m 40 cm 40 cm a) Så lenge vi skal finne antall liter, gjør vi om alle lengder til desimeter: 1dm 3 ¼ 1 liter 1,2 m ¼ 12 dm 40 cm ¼ 4dm 85

30 Volumet: V ¼ p dm 3 ¼ 603,19 dm dm 3 (Her bruker vi p-knappen på lommeregneren). lternativt: V ¼ 3, dm 3 ¼ 602,88 dm dm 3 Sylinderen rommer 603 liter vann. b) Overflaten O ¼ðp 4 2 þ 2 p 4 12Þ dm 2 ¼ 351,86 dm 2 3,52 m 2 (O ¼ 351,68 dm 3 med 3,14 i stedet for p) c) Når vi tapper ut 353 liter vann, er det ¼ 250 liter igjen, dvs. 250 dm 3. 1,2 m x Vi setter høyden på vannsøylen lik x: Hvis vi snur på likningen, får vi 40 cm 250 ¼ p 4 2 x p 4 2 x ¼ 250 Vi deler på p 4 2 på begge sider: x ¼ 250 ¼ 4,97 5,0 p 42 Vannet står 5,0 dm høyt i sylinderen. Eksempel 21 Vi har vann i et beger som er formet som en kjegle. Radius i begeret er 5 cm, og høyden er 20 cm. Etter at vi har drukket litt vann, står det resterende vannet 12 cm høyt i begeret. 86

31 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri a) Hva er volumet av begeret? b) Hvor mye vann er det igjen etter at vi har drukket litt? c) Hva er overflaten av begeret? Løsningsforslag 5 cm h = 20 cm a) Volumet, V, av begeret: p ¼ 523,6 cm 3 Dette er det samme som 0,5236 dm 3, som igjen er ca. 0,5 liter vann. 5 cm 20 cm x cm 12 cm b) Her må vi finne radius i vannsøylen. Vi setter radius lik x: x 5 ¼ x ¼ 60 x ¼ 3 Radius i vannsøylen er 3 cm. Volumet av det resterende vannet: p cm 3 ¼ 113,1 cm 3 Det er 0,1 liter vann igjen, det er det samme som 1 dl vann. 87

32 5 cm 20 cm s c) For å finne overflaten av begeret må vi finne lengden av sidekanten og samtidig unngå å regne ut lokket (sirkelen). Sidekanten, s, finnes ved bruk av Pytagoras: s 2 ¼ 5 2 þ 20 2 ¼ 425 p s ¼ ffiffiffiffiffiffiffi 425 ¼ 20,6 cm Overflaten, O ¼ p 5 20,6 cm 2 ¼323,6 cm 2. Hvor mange kvadratdesimeter og kvadratmillimeter er dette? 5.11 Kjeglesnitt På figuren nedenfor har vi lagt inn to plan som skjærer den ene av de rette dobbeltkjeglene. Når planet er parallelt med grunnflaten, ser vi at snittflaten blir en sirkelflate. Omkretsen av flaten er en sirkel. Tegner vi inn et plan som heller litt, ser vi at snittflaten blir en avlang flate. Omkretsen av denne snittflaten kaller vi en ellipse. På neste figur har vi også lagt inn plan. Felles for disse to planene er at de skjærer kjeglen i grunnflaten. Det øverste planet er parallelt med sidekanten i kjeglen, og snittflaten kaller vi en parabel. 88

33 MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri Det andre planet skjærer «begge» kjeglene i grunnflaten. Derfor får vi to snittflater. Den geometriske figuren som da dukker opp, kaller vi en hyperbel. (Kan det bli andre geometriske figurer når vi legger inn et plan?) Parabel Hyperbel Nedenfor har vi tegnet de fire figurene som vi har omtalt ovenfor. Vi skal definere de enkelte kurvene vi fikk, ved å «snitte» kjeglene: Sirkel eliggenheten av alle punkter som har samme avstand fra et gitt punkt, sirkelens sentrum. vstanden kalles for radius, r. r P 1 r P 2 Ellipse eliggenheten av alle punkter hvor avstanden til to gitte punkter, brennpunktene, har en konstant sum ðd 1 þ d 2 ¼ d 3 þ d 4 ¼ konstantþ. P 1 d 1 d2 F 1 F 2 d 4 d 3 P 2 89

34 d 1 F d 1 P 1 d 2 Parabel eliggenheten av alle punkter som har samme avstand til et gitt punkt, brennpunktet, og en gitt linje, styrelinjen ðd 1 ¼ d 2, d 3 ¼ d 4, osv.). d 2 P 1 d 3 Styrelinje d 4 P 2 Hyperbel eliggenheten av alle punkter hvor avstanden til to gitte punkter, brennpunktene, har en konstant differanse ðd 1 d 2 ¼ d 4 d 3 ¼ konstantþ. d 3 d 4 F 2 F 1 Nedenfor har vi vist hvordan de enkelte kurvene reflekterer (lys)stråler og (lyd)bølger fra figurens brennpunkt. s F 1 F 2 90

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Trigonometri og geometri

Trigonometri og geometri 6 Trigonometri og geometri 6.1 Sinus til en vinkel Oppgave 6.110 a) Hvilken av disse påstandene er riktig? 1) sin = 3) sin = 2) sin = b) Hvilken av disse påstandene er riktig? b a Oppgave 6.111 ruk lommeregneren

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne. bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og pytagorassetningen til beregninger og i praktisk arbeid løse praktiske problemer knyttet til lengde, vinkel, areal og volum

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets (O)

Detaljer

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer

Detaljer

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE VOLUM 1 FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER 1 Innledning til volum 1 V - 2 2 Grunnleggende om volum 1 V - 2 3 av V - 5 3a Kube V - 5 3b Rett prisme V - 7 3c Sylinder V - 8 3d

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

99 matematikkspørsma l

99 matematikkspørsma l 99 matematikkspørsma l TALL 1. Hva er et tall? Et tall er symbol for en mengde. Et tall forteller om antallet i en mengde. 5 sauer eller 5 epler eller 5.. 2. Hvilket siffer står på eneplassen i tallet

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 101 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT101 Eksamen Tid: 4 timer Dato: 24.10.2016 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Notodden og nett Antall sider:

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25 Side 1 av 25 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle...

Detaljer

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

Bedre vurderingspraksis. Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana)

Bedre vurderingspraksis. Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana) Bedre vurderingspraksis Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana) Bedre vurderingspraksis Prosjekt Bedre vurderingspraksis skal arbeide for å få en tydeligere

Detaljer

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Matematikk 1P Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Geometri «Schaukeln» (Svingninger), 195, av den russiske kunstneren Vassily Kandinsky (1866 1944) AKTIVITET: Maksimalt

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk Mellomtrinn Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Fargelegg a) 4 ruter

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

Løsning del 1 utrinn Høst 13

Løsning del 1 utrinn Høst 13 //06 Løsning del utrinn Høst - matematikk.net Løsning del utrinn Høst Contents DEL EN Oppgave + 679 = 0 89 78 = 8 c) 7,, 6 = 6, 6 d) : 0, = 0 : = 80 Oppgave 78 dl = 7,8 L, mil = kilometer = 000 m c), t

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co.

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co. MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål Del 3 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag

Detaljer

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold

Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Matematikk eksamensklassen 2013 / 14 Oversikt over temaer / innhold 1 Regning med positive og negative tall 2 Regnerekkefølge og parenteser 3 Potenser 4 Algebra 5 Brøkregning 6 Ligninger 7 Ulikheter

Detaljer

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT

ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, FASIT ÅRSPRØVE, 9. KLASSE, 016. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1: 187 + 9 = 16 9,4-15,6 = 13,8 c: 4,. 1,7 94 4 7,14 d: 3,4 : 0,9 = 34 : 9 = 6 18 54 54 OPPGAVE : -. (- 3) = 6 5. () = 5 4 = 1 c: 3. (- ) (- 4) = - 6

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

ÅRSPLAN FAG: MATEMATIKK

ÅRSPLAN FAG: MATEMATIKK Begby barne- og ungdomsskole ÅRSPLAN FAG: MATEMATIKK TRINN: 8 Tid Kompetansemål Tema med emner Fokus/grunnleggende STATISTIKK 5 uker - hente fakta ut av tabeller - lese av, tolke og lage ulike diagrammer

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Lengdemål, areal og volum

Lengdemål, areal og volum Lengdemål, areal og volum Lengdemål Elever bør tidlig få erfaring med å vurdere ulike avstander og lengdemål. De kommer ofte opp i situasjoner i hverdagen hvor det er en stor ulempe å ikke ha begrep om

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

plassere negative hele tall på tallinje

plassere negative hele tall på tallinje Kompetansemål etter 7. trinn Tall og algebra: 1. beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinje 2. finne

Detaljer

REPETISJON, 10A, VÅR 2017.

REPETISJON, 10A, VÅR 2017. REPETISJON, 10A, VÅR 2017. Jeg har satt opp en sjekkliste som kan benyttes som hjelp til repetisjon før heldagsprøva, 23.03.17, og eksamen. Bruk lærebokas oppsummeringskapittel, utdelte hefter og diverse

Detaljer

Generell trigonometri

Generell trigonometri 7 Generell trigonometri 7.1 et utvidede vinkelbegrepet Oppgave 7.110 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 30 b) 120 c) 210 d) 300 Oppgave 7.111 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 45 b) 360 c) 540 d) 720 Oppgave

Detaljer

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler

Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Kul geometri - overflateareal og volum av kuler Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Kul geometri - volum og overflate av kulen

Kul geometri - volum og overflate av kulen Kul geometri - volum og overflate av kulen Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri 1 I trekanten ABC er A = 65. AC = BC = 4,5 cm. CD står vinkelrett på AB. a) Regn ut sidene CD og AB. Punktet E ligger på forlengelsen av AB slik at BE er dobbelt så lang som AB.

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

Matematikk og kart et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole

Matematikk og kart et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole Helge Jellestad, Laksevåg videregående skole Matematikk og kart et undervisningsopplegg for ungdomstrinnet og videregående skole Kart er en grei tilnærming til trigonometri. Avstanden mellom koordinatene

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm.

Lærerveiledning. Oppgave 1. Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm. Oppgave 1 Et rektangel har sidelengder 15 cm og 9 cm. Tina klipper bort et kvadrat i hvert hjørne. Hvert kvadrat har omkrets 8 cm. Hva er omkretsen til den nye figuren? A 32 cm B 40 cm C 48 cm D 56 cm

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2016-2017 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 33-UKE 39 Tema: Tall og tallforståelse sammenligne og omregne hele tall,

Detaljer

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003)

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) 0. mars 2005 Radianer Gitt et punkt A på en sirkel med radius og sentrum O. La punktet P v flytte seg fra punktet A slik at det beveger seg langs en sirkelbue

Detaljer

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å legge sammen tall. Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor

Detaljer

Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole

Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret Haumyrheia skole Årsplan i matematikk Trinn 9 Skoleåret 2016-2017 Tids rom 3 Kompetansemål Hva skal vi lære? (Læringsmål) Hvordan jobber vi? (Metoder) sammenligne og regne tall på standardform og uttrykke slike tall på

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Enheter for lengde. 1.2 Måling av lengde og avstand

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Enheter for lengde. 1.2 Måling av lengde og avstand Oppgaver 1 Geometri KTEGORI 1 1.1 Enheter for lengde Oppgave 1.110 Gjør om til meter. a) 2,5 km b) 1,5 mil c) 0,5 km d) 0,8 mil Oppgave 1.111 a) Hvor mange kilometer er 2,2 mil? b) Hvor mange mil er 540

Detaljer

Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet

Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet SI-systemet Lengder Masse Volum Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet Den grunnleggjande SI-eininga for môling av lengder er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggjande

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tema: Statistikk gjennomføre undersøkelser og bruke databaser

Detaljer

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY

Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Regelbok i matematikk 1MX og 1MY Utgave 1.4 Skrevet av Bjørnar Tollaksen. Hele regelboka er et sammendrag av læreboka. Dette er ment som et supplement til formelheftet, ikke en erstatning. Skrivefeil kan

Detaljer

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2015/ 2016

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2015/ 2016 Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 20.08.2015 Faglærere:

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2014/ 2015

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2014/ 2015 Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 18.08.2014 Faglærere:

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 vår 2016

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 vår 2016 sforslag til eksamen i MAT101 vår 2016 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 567 åtte = ti ii) 476 ti = åtte : i) 567 åtte = 5 8 2 + 6 8 + 7 = 375 ti ii) 476 ti = 7 8

Detaljer

MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017

MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017 UKE MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017 TEMA KAPITTEL 1 «TALL» 33 Arbeidsrutiner Tall 34 Titallsystemet / Desimaltall/Tekstoppgaver 35 Addisjon og subtraksjon / BLÅ: LÆRINGSSTØTTENDE PRØVE 36 Negative

Detaljer

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2017/ 2018

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2017/ 2018 Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Faglærere: Heidi Kvamvold, Bodil

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34-38 Tema: Kap.1 «Tall og tallforståelse» sammenligne og omregne hele tall ( ) og tall på standardform,

Detaljer

Lokal læreplan Sokndal skole. Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B

Lokal læreplan Sokndal skole. Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B Lokal læreplan Sokndal skole Fag: Matematikk Trinn: 5.trinn Lærebok: Grunntall 5A og 5B Uke Tema Komp.mål (direkte fra læreplanen) Læringsmål Uke 34 42? Uke 42-46 Repetisj on tidligere tema. Forbere dende

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Multiplikasjon s. 3 Multiplikasjon med desimaltal s. 4 Divisjon s. 5 Divisjon med desimaltal s. 6 Omkrins s. 7 Areal s. 8 Utvide og forkorta brøk s.

Multiplikasjon s. 3 Multiplikasjon med desimaltal s. 4 Divisjon s. 5 Divisjon med desimaltal s. 6 Omkrins s. 7 Areal s. 8 Utvide og forkorta brøk s. 1 Multiplikasjon s. 3 Multiplikasjon med desimaltal s. 4 Divisjon s. 5 Divisjon med desimaltal s. 6 Omkrins s. 7 Areal s. 8 Utvide og forkorta brøk s. 9 Addisjon og subtraksjon med brøk s. 10 Multiplikasjon

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P

Basisoppgaver til Tall i arbeid P Basisoppgaver til Tall i arbeid P 1 Tall og algebra Økonomi Geometri Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra 1.1 Regning med hele tall 1. Brøk 1. Store og små tall 1.4 Bokstavuttrykk

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER.

TENTAMEN, VÅR FASIT MED KOMMENTARER. TENTAMEN, VÅR 017. FASIT MED KOMMENTARER. DELPRØVE 1. OPPG 1 556 + 1555 = 111 3 85 = - (85 3) 85-3 6 3 85 = - 6 C: 30. 9 718 108 = 1798 D: 68 : 3 = 16 6 3 18 18 OPPG 3 50 mm = 3,50 m 0, h = 0,. 60 = 1

Detaljer

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4

Uttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4 9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra:

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: 1. sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform, uttrykke slike tall på varierte

Detaljer

4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrykk 4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1

Detaljer

Foto: Bensinstasjon. Literprisen på bensin og diesel er oppgitt på skiltet nederst til venstre i bildet.

Foto: Bensinstasjon. Literprisen på bensin og diesel er oppgitt på skiltet nederst til venstre i bildet. Foto: Bensinstasjon. Literprisen på bensin og diesel er oppgitt på skiltet nederst til venstre i bildet. 1 I dagliglivet opplever vi at volum spiller en sentral rolle på en rekke områder. Når du går i

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 4. mai 2007. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Eksamen Fag: VG1341 Matematikk 1MY Eksamensdato: 4. mai 2007 Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer