Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Transkript

1 Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen diameteren forlodlet er uavhendig av sirkel (og sirkels radien), =3, Tilnærmelser til var en populært tema i antikk matematikk. Det er også en god tema for en presentasjon!

2 2. Beregning av arealer og volumer. Praktiske anvendelser av geometri, beregninger. Arealer av trekanter, sikler, rektangler osv. TREKANTER Arealet av en trekant er gitt ved: Der G er grunnlinja og h er høyden av trekanten. Arealet av en sirkel er gitt ved A=r 2. Volumer og overflater av kjegle, sylinder, pyramide, kule osv. SYLINDER

3 PYRAMIDE KJEGLE KULE

4 3. Pythagoras-setning. Rettvinklet trekant En rettvinklet trekant består av to kateter og en hypotenus. Begge katetene vil alltid utgjøre vinkelbeina i den rette vinkelen. Hypotenusen vil alltid være den lengste siden i trekanten. I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet på hypotenusen lik summen av arealet til kvadratene på katetene. c 2 = a 2 + b 2 Det fines mange måter å bevise denne setningen på.

5 4. Formlike trekanter. En trekant er formlik med en annen trekant dersom vinklene i begge trekantene er like store. Dersom vi skal påvise at to trekanter er formlike må vi vise at to av vinklene i trekantene er identiske (den tredje gir seg da selv). I denne figuren er rød trekant formlik blå trekant fordi linjene l og m er parallelle og fordi vinkel C og c er toppvinkler. Vinkel A = a, B = b (hvorfor?) og C =c. Vi har følgende forhold mellom lengdene på sidekantene i trekantene: Forholdet mellom to sider i den ene trekanten er lik forholdet mellom tilsvarende sider i den andre trekanten. Forholdet mellom sider i formlike trekanter var kjent i Babylonia, for det minste i noen enkleste tilfeller. Sannsynligvis var dette teoremet om formlike trekanter formulert og bevist i den form som vi har det her senere av gresk matematikker Thales.

6 Gresk geometri før Euklid Thales Thales var en av de første som har brukt den aksiomatiske metoden og beviser i geometri. Her er en list av noen resultater som han er kjent for. A. De to tilsvarende vinklene i en likebeinet trekant er kongruente (like store). Likebeint trekant Dersom to av sidene i en trekant er like lange er trekanten likebeint. "Pinnene" på sidene AC og BC markere at disse sidene er like lange. Når to sider i en trekant er like lange medfører det at to vinkler er like store. I dette eksempelet er vinkel A og vinkel B like store.

7 B. Toppvinkler er kongruente. Toppvinkler: Når to linjer krysser hverandre dannes det fire vinkler som parvis er like store. C. Tilsvarende sider av formlike trekanter er proporsjonelle. Thales fant en bevis av forholdet mellom sidene i formlike trekanter som var kjent før. Beviset var basert på parallellprojeksjon teoremet.

8 D. En vinkel innskrevet i en halvsirkel er rett. ( Thales-setning ).

9 Pythagoras og hans skole A. Platoniske legemer ( Regular solids) Tetraeder The equilateral triangle is the simplest regular polygon. Let's start with three equilateral triangles at a vertex (total angle 180 ). And we get a tetrahedron (4 faces, 4 vertices). Oktaeder We next try four equilateral triangles at each vertex (total angle 240 ). And we get an octahedron (8 faces, 6 vertices). Ikosaeder Now we try five equilateral triangles at each vertex (300 ) We end up with an icosahedron (20 faces and 12 vertices). A sixth equilateral triangle (at a vertex) will tile the plane (360 ). Heksaeder (kube, terning) So, we try the second simplest regular polygon, the square. Three squares at each corner (270 ) forms a cube, or hexahedron (6 faces and 8 vertices). And a fourth square tiles the plane (360 ), as we saw with six triangles. Dodekaeder The next simplest regular polygon is the regular pentagon. Three pentagons at each vertex (324 ) produce a dodecahedron (12 faces and 20 vertices). Three regular hexagons, at each vertex, tile the plane (360 ). And there is no room, at a vertex, for more complicated regular polygons.

10 B. Pythagoras-setning og det motsatte teoremet. Pythagoras-setning sier at: I en rettvinkel trekant er arealet av kvadratet på hypotenusen lik summen av arealet til kvadratene på katetene. For å formulere det motsatte teoremet la oss skrive Pythagorassetning i from: Hvis S da P. Hvis vinkelen C i trekanten ABC er rett da AC 2 =AB 2 +BC 2. Vinkelen C er rett AC 2 =AB 2 +BC 2 Da det motsatte teoremet er: Hvis P da S. Hvis AC 2 =AB 2 +BC 2 i trekanten ABC da er vinkelen C rett. AC 2 =AB 2 +BC 2 vinkelen C er rett Prøv å bevise den motsatte setningen! Hvilken setning fra skole matematikk kan du bruke her?

11 C. Den kvadratiske roten av 2 er et irrasjonelt tall. (bevis ved reductio ad absurdum). Anta at det er ikke sann, det betyr at den kvadratiske roten av 2 er et rasjonelt tall (vi formulerer benektelse av påstanden). Med andre ord er 2 lik med forhold av to helle tall: 2=m n vi kan også velge m og n slik at minst et av dem er odde 2n 2 =m 2 og vi ser at m er like, da n er odde, men da den venstre siden av den siste likheten er like men er ikke delelig med 4 mens den høyre siden er delelig med 4. Det er en motstigelse. Det betyr at vår antakelse er gal og den originalle påstand er sann.

12 Akademi av Plato (Atenian skole) Konstruksjoner ved linjal og passer. Hvilkne konstruksjoner husker du fra ungdom skolen? De tre klasiske problemene. I. Sirkelens kvadratur. Gitt en sirkel. Konstruer et kvadrat med det samme arealet. II. Vinkelens tredeling. Konstruer en vinkel som er lik med en tredje del av en gitt vinkel. III. Kubens fordobling. Kostruer en kube hvis volum er to ganger volumen av en gitt kube. Prøv å formulere de tilsvarende algebraiske oppgavene. En del av stoff ovenpå (og de fleste av bildene) er fra